正方体中的二面角

正方体中的二面角

——浅析求二面角大小的方法 江苏省丹阳高级中学 郭友敏

正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。

（注：以下所举例题中已知正方体不妨一律设棱长为1，并设所求二面角为θ角）

一、 平面角定义法

此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，

如图二面角α-l-β中，在棱l 上取一点O ， 分别在α、β两个平面内作AO ⊥l ，

∠AOB 即是所求二面角的平面角。

例题1：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 、O 1

面角O 1-BC-O 的大小。 解：取BC 中点E ，连接OE 、O 1E ，

易证⊿BOC 、⊿BO 1C 是等腰三角形。

∴OE ⊥BC ，O 1E ⊥BC ，

∴∠OEO 1是二面角O 1-BC-O 的平面角， 连OO 1，OO 1⊥平面ABCD ，

∴OO 1⊥OE 在RT ⊿OEO 1中，OO 1=1，DE=2

1

∴tan ∠OEO 1=

22

1

1

1==OE OO ∴所求二面角θ=arctan2。 例题2：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为A 1D 1、C 1D 1的中点，求平面EFCA 与底面ABCD 所成的二面角。

解：连B 1D 1交EF 于G ，连BD 交AC 于O ，作GH ⊥BD ，H 是垂足，连GO ，易证GO ⊥AC ，又BD ⊥AC

∴∠GOH 是所求二面角的平面角，

GH=1，OH=

42 ∴tan ∠GOH=224

2

1

==OH GH

∴所求二面角θ=arctan 22。

利用平面角定义法求二面角大小，在棱上取一点常常是取特殊点。例1中E 点，例2中O 点都是特殊位置的点，所作两垂线也是题中特殊位置的线段。

二、 利用三垂线定理法

此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。

如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ，

过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足，

由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ，

连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线，

BO 是AO 在平面β中的射影， 根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。

例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。

解：连接BD 交于AC 为O 点，连OB 1，

∵BB 1⊥平面ABCD ，BO ⊥AC

∴B 1O ⊥AC ，

∠BOB 1是二面角B-AC-B 1的平面角，

tan ∠BOB 1=22

2

1

1==BO BB

∴所求二面角θ=arctan 2.

例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。 解：设AC 与BD 交于E ，CD 1与C 1D 交于F ，连EF 是所求二面角B-EF-C 的棱，连A 1C ，易证A 1C ⊥平面BDC 1，垂足为H ，取AD 1中点

∵EF ∥AD 1，OC ⊥AD 1 ∴OC ⊥EF 即CG ⊥EF 。

根据三垂线定理逆定理得GH ⊥EF ∴∠CGH 是所求二面角的平面角。

先求得: CG=2

1

OC=

4

6)22()2(2122=-

CH=31A 1C=3

3

)2(13122=+

∴sin ∠CGH=32

24

6

33

==CG CH

∴所求二面角θ=arctan

3

2

2。 利用三垂线定理寻求作二面角的平面角要注意取点。例3中的B 点、例4中的C 点都是题中特殊位置的点。

三、 线面垂直法

此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。方法是过所求二面角的棱上一点，作棱的垂面，与两个平面相交所得两条交线的所成角即是二面角的平面角。

如图在二面角α-l-β的棱上任取一点O ，

过O 作平面γ⊥l ，α∩γ=AO ，β∩γ=BO ， 得∠AOB 是平面角， ∵l ⊥γ，l ⊥AO ，l ⊥BO 。

∴∠AOB 是二面角的平面角。

例题5：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-A 1

的大小。

解：连接BD 、BC 1、DC 1即作了平面BDC 1交AC 1于H 连接BH 、DH ，易证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BC 1

∴A 1C ⊥平面BDC 1。

连接三线所得平面BDC 1是棱A 1C 的垂面， ∴A 1C ⊥BH ，A 1C ⊥DH ，

∴∠BHD 是所求二面角B-A 1C-D 的平面角，

又∵BD=BC 1=DC 1=2，

在正三角形中易得∠BHD=1200。 ∴所求二面角θ=1200。

例题6：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求平面BC 1D 与平面EC 1F 所成的二面角。

解：平面BC 1D 与平面EC 1F 交点是C 1，且根据已知条

件得BD ∥EF

∴可知所求二面角的棱是经过C 1且平行于BD 和EF

的直线l ，连A 1C 1、AC ，平面ACC 1A 1与BD 交于H 、与EF 交于G ，连C 1G 、CH

∵l ∥BD ，易证BD ⊥平面ACC 1A 1， ∴l ⊥平面ACC 1A 1，

则由线面垂直法得∠HC 1G 是所求二面角的平面角。