高中数学同步测控(人教A必修1)第三章 3.2 3.2.1 几类不同增长的函数模型

3.2函数模型及其应用
3.2.1几类不同增长的函数模型
课时过关·能力提升
基础巩固
1.下列函数中,增长速度最慢的是()
A.y=6x
B.y=log6x
C.y=x6
D.y=6x
答案:B
2.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()
A.一次函数
B.二次函数
C.指数型函数
D.对数型函数
答案:D
3.若x∈(0,1),则下列结论正确的是()
A.2x>x12>lg x
B.2x>lg x>x12
C.x 1
2>2x>lg x
D.lg x>x12>2x
解析:当0<x<1时,2x>20=1,0<x 1
2<√1=1,lg x<lg 1=0,故2x>x
1
2>lg x.
答案:A
4.下表是函数y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最符合的函数模型是()
x3456789
A.一次函数
B.二次函数
C.指数函数
D.对数函数
答案:C
5.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是()
A.y=0.2x
B.y=1
10
(x2+2x)
C.y=2x
10
D.y=0.2+log16x
解析:当x=1时,排除B;当x=2时,排除D;当x=3时,排除A,故选C . 答案:C
6.加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位:min)满足函数关系p=at 2+bt+c (a ,b ,c 是常数),记录了三次实验的数据,如图所示.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )
A .3.50 min
B .3.75 min
C .4.00 min
D .4.25 min
解析:由题中图象可知点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)在函数图象上,因此有{0.7=a ×32+b ×3+c ,
0.8=a ×42+b ×4+c ,0.5=a ×52+b ×5+c ,
解得{a =-0.2,
b =1.5,
c =-2.
故p=-0.2t 2+1.5t-2,其对称轴方程为t =-1.52×(-0.2)=15
4=3.75.
所以当t=3.75时,p 取得最大值.故选B . 答案:B
7.函数y=x 2与y=ln x 2在区间(0,+∞)内增长较快的一个是 .
解析:由y=ln x 2=2ln x ,则在同一坐标系中画出y=x 2,y=2ln x 的图象比较得y=x 2在区间(0,+∞)上增长较快. 答案:y=x 2
8.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需经过 小时.
解析:设1个细菌分裂x 次后有y 个细菌,则y=2x ,令2x =4096=212,则x=12,即需分裂12次,需12×15=180(分钟),即3小时. 答案:3
9.某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 之间满足关系y=a ·0.5x +b.现已知该厂今年1月份、2月份生产的该产品分别为1万件、1.5万件,则3月份该产品的产量为 万件. 解析:由已知得
{0.5a +b =1,
0.25a +b =1.5,
解得{a =-2,b =2,
故y=-2×0.5x +2,当x=3时,y=1.75. 答案:1.75
10.每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,有两种方案如下: 方案一:每年植树1万平方米; 方案二:每年树木面积比上年增加9%. 你觉得哪个方案较好?
解:方案一:5年后树木面积是10+1×5=15(万平方米).
方案二:5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米).∵15.386>15,∴方案二较好.
能力提升
1.某地为了加强环境保护,决定使每年的绿地面积比上一年增长10%.若从今年起,x 年后绿地面积是今年的y 倍,则函数y=f (x )的大致图象是( )
解析:设今年绿地面积为m ,则有my=(1+10%)x m ,即y=1.1x .故仅有D 项符合题意. 答案:D
2.下列函数关系中,可以看作是指数型函数y=ka x (k ∈R ,a>0,且a ≠1)的模型的是( )
A.竖直向上发射的信号弹,从发射开始到信号弹到达最高点,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B.我国人口年自然增长率为1%时,我国人口总数与年份的关系
C.如果某人t s 内骑车行进了1 km,那么此人骑车的平均速度v 与时间t 的函数关系
D.信件的邮资与其质量间的函数关系
解析:A 是二次函数模型;B 是指数型函数模型;C 是反比例函数模型;D 是分段函数模型.故选B . 答案:B
3.据报道,某淡水湖的湖水在50年内减少了10%,若年平均减少率相等,按此规律,设2018年的湖水量为m ,从2018年起,则经过x 年后湖水量y 与x 的函数解析式为( ) A.y=0.9x
50
B.y =(1−0.1x
50)m
C.y=0.9x 50
m
D.y =(1−0.150x)m
解析:设每年湖水量为上一年的q %,则(q %)50=0.9,所以q %=0.91
50,所以x 年后的湖水量y=0.9x
50m. 答案:C
4.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况如图所示.现给出下列说法:
①前5 min 温度升高的速度越来越快;②前5 min 温度升高的速度越来越慢;③5 min 以后温度保持匀
速升高;④5 min 以后温度保持不变. 其中正确的说法是 .
解析:因为温度y 关于时间t 的图象是先凸后平,即5min 前每当t 增加一个单位增量Δt ,则y 相应的增量Δy 越来越小,而5min 后y 关于t 的增量保持为0,则②④正确. 答案:②④
5.某商场2018年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种模型:①f (x )=p ·q x (q>0,且q ≠1);②f (x )=log p x+q (p>0,且p ≠1);③f (x )=x 2+px+q.
能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为 (填序号).若所选函数满足f (1)=10,f (3)=2,则f (x )= .
解析:∵f (x )=p ·q x ,f (x )=log p x+q 都是单调函数,函数f (x )=x 2+px+q 的图象先下降后上升.∴选择函数f (x )=x 2+px+q. 又f (1)=10,f (3)=2,
∴{1+p +q =10,
9+3p +q =2,
∴p=-8,q=17, ∴f (x )=x 2-8x+17.
答案:③ x 2-8x+17
6.★函数f (x )=2x 和g (x )=x 3的部分图象如图所示.设两函数的图象交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),且x 1<x 2.
(1)请指出示意图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;
(2)结合函数图象示意图,判断f(6),g(6),f(2 017),g(2 017)的大小.
解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)∵f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),
∴1<x1<2,9<x2<10.
∴x1<6<x2,2017>x2.
从题图可以看出,
当x1<x<x2时,f(x)<g(x),
∴f(6)<g(6).
当x>x2时,f(x)>g(x),
∴f(2017)>g(2017).
又g(2017)>g(6),
∴f(2017)>g(2017)>g(6)>f(6).
7.★某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x万元,甲、乙两种商品可分别获得y1,y2万元的利润,利润曲线P1:y1=ax n,P2:y2=bx+c如图所示.
(1)求函数y1,y2的解析式;
(2)为使投资获得最大利润,应怎样分配投资额,才能获得最大利润.
解:(1)P1:y1=ax n过点(1,1.25),(4,2.5),
∴{1.25=
5
4
=a·1n,
2.5=
5
2
=a·4n.
∴{
a=
5
4
,
n=
1
2
,
∴y1=5
4
x12,x∈[0,+∞).
P2:y2=bx+c过点(0,0),(4,1),
∴{c=0,
b=1
4
,
∴y2=1
4
x,x∈[0,+∞).
(2)设用x万元投资甲商品,则投资乙商品为(10-x)万元,总利润为y万元.
根据题意得y=5
4x12+1
4
(10−x)
=−1
4(√x)2+5
4
√x+10
4
=−1
4(√x-5
2
)
2
+65
16
(0≤x≤10),
当且仅当√x=5
2
,
即x=25
4=6.25时,y max=65
16
,
投资乙商品为10-6.25=3.75(万元).
所以用6.25万元投资甲商品,3.75万元投资乙商品,才能获得最大利润.。