信息与计算科学专业计算方法习题参考解答（教师用）

信息与计算科学专业计算方法习题参考解答（教师用）
第一章绪论
姓名学号班级
习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1. 若误差限为0.5×10－5
，那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2. 14159.3=π，具有4，5位有效数字的近似值分别是多少？（有效数字的计算）3. 已知1.2031,0.978a b ==是经过四舍五入后得到的近似值，问,a b a b +?有几位有效
数字？（有效数字的计算）
4. 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）
5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知
cm h h 2.0|*|≤-，cm r r 1.0|*|≤-，求圆柱体体积h r V
2π=的绝对误差限与相对误差
限。

（误差限的计算）
5. 设n
y x =，求y 的相对误差与x 的相对误差的关系。

设x 的相对误差为%a ,求n
x 的相
对误差.（函数误差的计算）
6. 计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r 时允许的相对误差限为
多大何？（函数误差的计算）
7. 设1
10
n x n I e x e dx -=?
求证：
（1）1
1(0,1,2,)n n I nI n -=-=
（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。

（计算方法的比较选择）
第二章插值法
姓名学号班级
习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。

1.
求一个次数小于等于三次多项式
，满足如下插值条件：
，
，
，
（插值多项式的构造）
2. 已知：
，
，
，求
的Lagrange 插值多项式。

（拉格朗
日插值）
3. 已知y=x ，0x =4，1x =9，用线性插值求7的近似值。

（拉格朗日线性插值）
4. 若(0,1,,)j x j n = 为互异节点，且有
01110111()()()()()()()()()()()
j j n j j j j j j j j n x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x -+-+---
--=
-----
5. 证明
(),0,1,,
n
k k
j j
j x l x x
k n =≡=∑ （拉格朗日插值基函数的性质）
6. 已知sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274，用抛物线插值计算
sin0.3367的值并估计截断误差。

（拉格朗日二次插值）
7. 用余弦函数x cos 在
22410,,0ππ===x x x 三个节点处的值写出二次Lagrange 插值多项式函数, 并近似计算6cos π
及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。

（拉
格朗日二次插值）
8. 已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差
f[0,1,3,4,6]和二阶均差f[4，1，3]。

（均差的计算）
9. 设
：
求
之值
，.这
里
互异。

（均差的计算）
10. 依据如下函数值表
建立不超过三次的牛顿插值多项式。

（牛顿插值多项式的构造）
11. 作一个三次多项式)(x H 使满足1)1(,1)2(,0)1(,1)0(='===H H
H H （埃尔米特插
值）。

12. 设
(1)试求在上的三次Hermite 插值多项式H （x ）使满足H （x ）以升幂形式给出。

(2)
写出余项
的表达式。

（埃尔米特插值及其余项的计算）。

13. 证明若],[)(2
b a
c x f ∈，f(a)=f(b)=0,则：()|
)( |max 81
|)( |max 2x f a b x f b x a b
x a ''-≤
≤≤≤≤（插
值余项的应用）
14. 给出函数表：
15. 且已知F(x)在[0，2]上4阶连续可导，求F(x)的3次Hermite 插值多项式。

（埃尔米
特插值）。

16. 设2)2(,1)0(,1)2(==-=-f f f ，求 )(x p 使 )2,1,0()()(==i x f x p i i ；
又设 M
x f ≤''')( ，则估计余项 )()()(x p x f x r -= 的大小。

（插值余项的计算）
第三章函数逼近
姓名学号班级
习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。

1. 设，求于上的线性最佳平方逼近多项式。

（最佳平方逼近）
2. 令
，
，且设
，求
使得
为
于
上的最佳平方逼近多项式。

（最佳平方逼近） 3. 定义内积?
=
1
)()(),(dx x g x f g f 试在{}x Span
H ,11=中寻求对于()x x f =的最佳平方逼近多项式()x p . （最佳平方逼近）
4. 证明：切比雪夫多项式}1||),arccos cos()({≤=x x k x T k 在区间[]1,1-上
带权21/1)(x x -=ρ正交。

（正交多项式的证明）
5. 求矛盾方程组：
=-=+=+2
423
21
2121x x x x x x 的最小二乘解。

（最小二乘法）
6. 已知一组试验数据
试用直线拟合这组数据. (计算过程保留
3位小数)。

（最小二乘线性逼近）
7. 用最小二乘原理求一个形如2
y a bx =+的经验公式,使与下列数据相拟合.
（最小二乘二次逼近）
第四章数值积分
姓名学号班级
习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，Simpson 公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。

1. 求积公式，试确定系数
及
，使该求积
公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。

（代数精度的应用和计算）
2. 已知高斯求积公式
1
1
()(0.57735)(0.57735)
f x dx f f -≈+-?
将区间[0,1]二等
分，用复化高斯求积法求定积分
1
的近似值。

（高斯公式）
3. 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有
尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）
4. 数值积分公式，是否为插值型求积公式，为什么？又该公
式的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征）5. 给定求积公式
-++-≈h
h
h cf bf h af dx x f )
()0()()(试确定,,a b c 使它的代数精度尽可
能高。

（代数精度的应用和计算） 6. 如果()0f x ''>，证明用梯形公式计算积分
()b
a
f x dx
所得到的结果比准确值大，并说明
其几何意义。

（梯形求积）
7. 用4=n 的复化梯形公式计算积分
2
1
1
dx
x ，并估计误差。

（复化梯形求积）
8. 设2)1(,9)5.0(,6)0(,4)5.0(,1)1(====-=-f f f f f ，则用复化Simpson 公式
计算
-11
)(dx
x f ，若有常数M 使
M
f
≤)
4(，则估计复化Simpson 公式的整体截断误
差限。

（复化Simpson 公式）
9. 验证当5
()f x x =时，4n =的牛顿-科茨公式是准确的。

（牛顿-科茨公式）10. 1）设
{})(x P n 是[0,1]区间上带权x x =)(ρ的最高次项系数为
1的正交多项式系，求
)(2x P
2）构造如下的Gauss 型求积公式)
()()(1100
1
x f A x f A
dx x xf +=?（高斯求积）
第五章常微分方程数值解
姓名学号班级
习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。

1. 对于初值问题，??
=-='1)0(10y y y 证明当2.0<="">
（欧拉法稳定性的讨
论）
2. 证明：隐式的梯形公式
无条件稳定。

（稳定
性讨论）
3. 用龙格－库塔方法对方程'
2(0)1x y y y y ?=-?
=?取0.2h =在区间[]0,1上计算。

（龙格－库塔方
法的应用）
4. 用四阶龙格－库塔法求解初值问题??
==+'0)0(1
y y y 取h=0.2, 求x=0.2,
0.4时的数值解. 要
求写出由h,x k ,y k 直接计算y k+1的迭代公式，计算过程保留3位小数。

（龙格－库塔方法的应用）
5. 设有常微分方程的初值问
题试用Taylor 展开原理构造形
如
的方法，使具有二阶精度，并推导其局部截断
误差主项。

（积分余项的计算）
6. 已知
====≤≤=1
.0,01.0)1.0(,0)0(1000,21'h y y y x x y 试求出Adams 公式
)
3(21''1-+-+
=n n n n y y h y y 的局部截断误差的首项,并由此公式计算5y 。

（Adams 公式的应用）
7. 用Adams 方法对方程'2
(0)2y xy y ?=-?
=?取0.2h =在区间[]0,1上计算。

（Adams 公式的应用）
第六章非线性方程求根
姓名学号班级
习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和稳定性讨论。

1．用二分法求方程012
=--x x 的正根，要求误差小于0.05。

（二分法）
2．说明方程04ln 2=-+x x 在区间[1，2]内有惟一根*x ，并选用适当的迭代法求*
x
（精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。

（迭代法）
3．设方程01042
3=-+x x 在 [2,1]
内
α
，试写出迭代公式
,,2,1,0)(1 ==+k x x k k ?使{}α→k x 。

（迭代法构造）
4．设有解方程
的迭代法
(1)证明均有
（
为方程的根）；(2) 取
用此迭代法求方程根的近似值，误差
不超过
，列出各次迭代值；(3)此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。

（迭代
法和收敛性讨论）
5．设1)(max ),(<'==**x x x φρφ证明由 ,1,0)(1==+n x x n n φ ，得到的序列
{}n x 收敛于*x 。

（收敛性证明）
6．设有解方程0s i n 233=-x x -在[0,1]内的根为*
x ，若采用如下迭代公式
n n x x sin 3
2
11-=+证明R x ∈?0均有**(lim x x x n n =∞→为方程的根)；取00=x ，要迭
代多少次能保证误差6
*10-<-x x k ？此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。

（迭
代法和收敛性讨论）
7．方程32
10x x --=在0 1.5x =附近有根，把方程写成3种不同的等价形式：（1）211x x =+，对应迭代格式：1211n n x x +=+
（2）321x x =+，对应迭代格式：1n x +=
（3）
2
11x x =-，对应迭代格式：1n x +=判断迭代格式在0 1.5x =的收敛性，并估计收敛速度，选一种收敛格式计算出
0 1.5x =附近的根到4位有效数字，从0 1.5x =出发，计算时保留5位有效数字。

（收
敛速度的计算和比较）
8．设
（1）写出解
的Newton 迭代格式；（2）证明此迭代格
式是线性收敛的。

（牛顿迭代的构造） 9．试述解非线性方程
的Newton 迭代法的计算格式，并设计一个计算
的
Newton 迭代法，且不用除法（其中
）。

（牛顿迭代法）
10．用牛顿法求115的近似值，取x =10或11为初始值，计算过程保留4位小数。

（牛
顿迭代的构造）
11．设*
x 是非线性方程0)(=x f 的m 重根，证明：用迭代法)
(')
(1k k k k x f x f m x x -=+具
有2阶收敛速度。

（收敛速度证明） 12．设(),()a a x ??=在
a 附近有直到p 阶的连续导数，且
(1)()()0p a a ??-'=== ，()()0p a ?≠，试证迭代法1()n n x x ?+=在a 附近是p
阶收敛的。

（收敛速度证明）
13．设*
x 是非线性方程0)(=x f 的m 重根，证明：用牛顿迭代法求*
x 只是线性收敛。

（收敛速度证明）
14．用弦截法求方程x －sin x －0.5=0在[1.4，1.6]之间的一个近似根，满足
01.01≤-+k k x x ，计算过程保留4位小数。

（弦截法）
第七章线性方程组的直接解法
姓名学号班级
习题主要考察点：高斯消去法，LU 分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。

1. 用高斯消去法解方程组123234011921261x x x
=-??????。

（（高斯消去法的应用）
2.
证明：（1）两个下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵。

（2）下三角矩阵的逆仍为下三角矩阵。

（L,U 矩阵的性质）
3.
用LU 分解法求解线性方程组:
=++=++=++1
230
2321
321321x x x x x x x x x 。

（LU 分解法的应用）
4.
设211412223A -=--??
，求A 的LU 分解。

（LU 分解法的应用） 5. 用平方根法求解线性方程组
=????? ??????? ??--111211*********x x x 。

（平方根法的应用）
6. 试用“追赶法”解方程组，其中：，
（追
赶法的应用）
7. 设121111A ??
=-
，求2().cond A （条件数的计算） 8. 求证：
11
1,I A A -≥≥
（
（范数的性质）
9. 求证：
22
1A A A ∞≤（范数的性质）
10. 对矩阵
210
0121001210012A -??
-?
=??-?
-??求A ∞，2A ，1A 和2()Cond A 。

（范
数，条件数的计算） 11. 方程组
，其中
，A 是对称的且非奇异。

设A 有误差
，则原方
程组变化
为
，其
中
为解的误差向量，试证
明
其中
和
分别为A 的按模最大和最小的特征值。

（范数的性质，误差的分析）
12. 证明：如果n n ij a A ?=)(是严格对角占优矩阵，则A 为非奇异阵。

（严格对角
占优矩阵的性质）
13. 设A 是任意n n ?阶矩阵，由A 的各次幂所组成的矩阵序列
2,,,,,k
I A A A 收敛于零矩阵，即0
lim =∞
→k k A 的充分必要条件是()1A ρ<
（谱半径的性质）
第八章线性方程组的迭代解法
姓名学号班级
习题主要考察点：Jacobi,Gauss-Seidel 迭代法解线性方程组，及其收敛性讨论。

1. 用Jacobi,Gauss-Seidel 迭代法解下列方程组
=+=+4
23322121x x x x 是否收敛?为什么?若将
方程组变为
=+=+3
24232121x x x x 再用上述两种迭代法求解是否收敛?为什么?
（Jacobi,Gauss-Seidel 迭代法的计算和比较）
2.
证明：迭代格式
收敛，其中。

（迭代法
收敛性判断）
3. 证明解线性方程组AX=b 的Jacobi 迭代收敛，其中A=
110121014。

（Jacobi 迭代收敛判断）
4. 已知方程组，其中
(1)试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性。

(2) 若有迭代公式
，试确定一个的取值范围，在这个范
围内任取一个值均能使该迭代公式收敛。

（Jacobi,Gauss-Seidel 迭代法的计算和比较）
5. 给出矩阵，（为实数）.试分别求出的取值范围：
1）使得用Jacobi 迭代法解方程组时收敛；
2）使得用Gauss-Seidel 迭代法解方程组
时收敛。

（Jacobi,Gauss-Seidel
迭代法的计算和比较）
6. 设
=???? ??=21 ,2112b A 求 1）设)
(k x 是由 Jacobi 迭代求解方程组Ax=b 所产生的迭代向量，T x )1,1()
0(=写出)(k x 的
精确表达式。

2）设*x 是Ax=b 的精确解，写出误差∞
-*)
(x x
k 的精确表达式。

3）如构造如下的迭代公式
)()()()1(b Ax x x k k k -+=+ω解方程组Ax=b ，试确定ω的范围，使迭代收敛。

（Jacobi 迭代及其收敛判断）
7. 设给定线性方程组：
=++=++=-+3
222122321
321321x x x x x x x x x
（1）讨论Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法的收敛性。

（2）对收敛的方法，取初值()
()T
x 0,0,10=，迭代两次，求出()()21,x x 。

（Jacobi,Gauss-Seidel 迭代法的计算和比较）
8. 设有系数矩阵1
31
232A α
αα??
=-?? α取什么值时，Gauss-Seidel 迭代法收敛？3α=时
又怎样？并比较谱半径。

（Gauss-Seidel 迭代法的收敛性）
9. 若用Jacobi 迭代法求解方程组1111221
1122211
2222
(0)
a x a x
b a a a x a x b +=?≠?
+=?迭代收敛的充要条
件是
1221
1122
1a a a a <。

（Jacobi 迭代法的收敛性）
10. 证明对称矩阵
111a a A a a a a ??
=??
当112a -
<<为正定矩阵，且只有当11
22
a -<<时，用Jacobi 迭代法求解方程组Ax=
b 才收敛。

（特殊迭代矩阵Jacobi 迭代法的收敛性）。