推理与直接间接证明数学归纳法章节综合检测提升试卷(六)带答案新高考高中数学

高中数学专题复习
《推理与直接间接证明数学归纳法》单元过关检
测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分
一、选择题
1．已知()f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若
()2f k k ≥成立，则()()2
11f k k +≥+成立，下列命题成立的是
A ．若()39f ≥成立，则对于任意1k ≥，均有()2
f k k ≥成立；
B ．若()416f ≥成立，则对于任意的4k ≥，均有()2
f k k <成立；
C ．若()749f ≥成立，则对于任意的7k <，均有()2
f k k <成立；
D ．若()425f =成立，则对于任意的4k ≥，均有()2
f k k ≥成立。

（汇编上海文
理15）
2．观察如图中各正方形图案，每条边上有(2)n n ≥个圆点，第n 个图案中圆点的总数是n S ．
n=2 n=3 n =4
按此规律推断出n S 与n 的关系式为---------------------------------------------------------------------------（ ）
(A) n S =2n (B) n S =4n (C) n S =2n (D) n S =44n
第II 卷（非选择题）
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得分
二、填空题
3． 若将推理“四边形的内角和为360，所以平行四边形的内角和为360”改为三段论的形式，
则它的小前提是 ▲ . 4．观察下列等式：
12×3
＝(12－13)×1
1，
12×4
＝(12－14)×1
2，
12×5
＝(12－15)×1
3，
12×6
＝(12－16)×1
4， ………………
可推测当n ≥3，n ∈N *时，
1
2×n
＝ ▲ ． 5．在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的
1
3
”.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 .
6．观察下表 ：
.......
(2711978531)
1=++=+= 你可以猜出的结论是________
7．观察x x 2)(2='，344)(x x ='，x x sin )(cos -='，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，记()g x 为)(x f 的导函数，则)(x g -与()g x 的关系是 ▲ ．
8．“已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数
(),m n m n
≠，使得m n S S =，则0m n S +=。

”，类比前面结论，若正项数列{}n b 为等比数列，
9．已知数列{}n a 满足11a =，11
()2
n n n a a -+=(2)n ≥，212222n n n S a a a =⋅+⋅+
+⋅，
类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得132n n n S a +-⋅= ▲ .
10．在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++”时，某同学学到了如下一种方法：
先改写第k 项：1
(1)[(1)(2)(1)(1)],
3
k k k k k k k k +=
++--+由此得 1
12(123012),3
⨯=⨯⨯-⨯⨯
1
23(234123),3
⨯=⨯⨯-⨯⨯
…
1
(1)[(1)(2)(1)(1)].3
n n n n n n n n +=++--+
相加，得1
1223(1)(1)(2).3
n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=
++ 类比上述方法，请你计算“123234(1)(2
n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++”，其结果为 ▲ . 评卷人
得分
三、解答题
11．已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，n S 是它的前n 项和.求证：
131
n n S n S n
++≤.(江苏省南京市汇编届高三第一次模拟考试)
12．设()1
n f n n
+=，()()*
1,n
g n n n N =+∈．
⑴当1,2,3,4n =时，比较()f n 与()g n 的大小． ⑵根据⑴的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．
13．对于给定首项()3
00x a a >
>，由递推式112n n n a x x x +⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
()n +∈N 得到数列{}n x ，且对于任意的n +∈N ,都有3n x a >，用数列{}n x 可以计算3
a 的近似
值．
(1) 取05x =，100a =，计算123,,x x x 的值（精确到0.01），归纳出n x ，1n x +的大小关系；
(2) 当1n ≥时，证明()111
2
n n n n x x x x +--<
-； (3) 当[]05,10x ∈时，用数列{}n x 计算3100的近似值，要求4110n n x x -+-<，请你估计n ，并说明理由．
14．已知函数()2ln ,(1)0.b
f x ax x f x
=-
-= 若函数()f x 的图象在1=x 处的切线的斜率为0，且11
()11
n n n a f na a +'=-++，若13,:2n a a n +≥求证≥
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．D
【解析】 对A ，当k=1或2时，不一定有()2
f k k ≥成立；对B ，应有
()2f k k ≥成立；
对C ，只能得出：对于任意的7k ≥，均有()2
f k k ≥成立，不能得出：任意的
7k <，均有()2f k k <成立；对D ，()42516,f =≥∴对于任意的4k ≥，均有
()2f k k ≥成立。

故选D 。

2．B 解析：(B)
第II 卷（非选择题）
请点击修改第I I 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
3．平行四边形是四边形 4．(－)×． 5． 6． 7．+=0；
8．它的前项乘积为，若，则 9．1n + 10．
1
(1)(2)(3)4
n n n n +++ 评卷人
得分
三、解答题
11．本题主要考查用数学归纳法证明数列问题，体现不等式放缩的数学思想，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力.
证明：由已知，得31n
n S =-，[来源:学*科*网]
131n n S n S n ++≤等价于1313131n n n n
+-+≤-，即32 1.()n
n ≥+*
……………………………2分
（方法一）用数学归纳法证明． ①
当
1n =时，左边3=，右边3=，所以（*）成
立…………………………………4分
②假设当n k =时，（*）成立，即321k
k ≥+
那么当1n k =+时，3333(2
1)63232(1)k k
k k k k =⨯≥+=+≥+=++ 所
以
当
1
n k =+时，（
*
）
成
立…………………………………………………………8分 综合①②，得321n
n ≥+成立 所以131
n n S n S n
++≤.…………………………………………………………………… 10分
（方法二）当1n =时，左边3=，右边3=，所以（*）成立……………………4分
当2n ≥时，20122
3(12)222n n n n n n n C C C C =+=+⨯+⨯+
+⨯
1212n n =++>+
所以131
n n S n S n
++≤.…………………………………………………………………… 10分
12．【解析】（1）()()()()()()()()11,22,33,44.f g f g f g f g <<>>
(2)猜想：当*
3,n n N ≥∈时，有()1
1n
n n n +>+.
证明：①当3n =时，猜想成立. ②假设当(
)*
3,n k k k N
=≥∈时猜想成立，即()1
1k
k k
k +>+,
()
1
1.1k k
k k +>+
因为()()2
12k k k +>+，
121
k k
k k +>
++， 所以()()
()()
2
2
11
111 1.22121k k k
k k k
k k k k k k k k k k k ++++++⎛⎫⎛⎫
=⋅>⋅=> ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭++ 由①②知，对一切*
3,n n N ≥∈时，()1
1n
n n
n +>+都成立.
13．(1) 1234.74, 4.67, 4.65x x x ===，猜想1n n x x +<； (2) ()111
2
n n n n x x x x +---
-
1111222
n n n n n a x x x x x -⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭ 111
22
n n n a x x x -=-
-
111111222
n n n n a a x x x x ---⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝
⎭
11122n n
a a
x x -=
-
112
n n n n
x x a x x ---=
， ①
因为3n x a >，
所以3
11110222n n n n n n n n n x a
a a x x x x x x x x +⎛⎫
⎛⎫--=-+=-=⋅> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭， 所以1n n x x +>．
由①式，()11111022
n n n n n n n n
x x a
x x x x x x -+------=
<，
所以()111
2
n n n n x x x x +--<-． (3) 由(2)
()()()()1121120
12111
11
022
22
n n n n n n n n x x x x x x x x x x +----<-<
-<-<<
-<-, 所以只要
()4
011102
n
x x --<即可, 于是()4
01210
n
x x >-，
因为01001102x x x x ⎛⎫
-=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以4
21010log 1015.12n ⎛⎫
->⋅≈ ⎪ ⎪⎝
⎭
． 所以16n =．
14．D ．解题探究：本题主要考查数学归纳法。

先利用导数的几何意义求出数列的递推公式，再证之。

解析：0
>x 22
(1),,()a f a b a b f x a x x
'=-∴==+-， 函数
()f x 的图象在
1x =处的切线为斜率为
0，
(1)0,20,1f a a a '∴=+-==即解得，22
11()(1),1n n n f x a a na x
+'∴=-∴=-+　
用数学归纳法证明：（Ⅰ）当1n =时，1312a ≥=+，不等式成立； (Ⅱ）假设当时n k =时，不等式成立，即2,k a k ≥+那么，
120,()12(2)1(3)23
k k k k a k a a a k k k k k +-≥>∴=-+≥++=+++>+
也就是说，当1n k =+时，1(1)2k a k +≥++， 根据（Ⅰ）（Ⅱ）对于所有1n ≥有2n a n ≥+。