微专题 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题(六大题型)(解析版)

妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题
【题型归纳目录】
题型一：x +y 问题(系数为1)题型二：mx +ny 问题(系数不为1)题型三：mx -ny 问题题型四：m x +n
y 问题
题型五：y
x 问题
题型六：x 2+y 2问题【方法技巧与总结】
(1)平面向量共线定理
已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然。

(2)等和线
平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB (λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。

①当等和线恰为直线AB 时，k =1；
②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；
⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；
【典型例题】
题型一：x +y 问题(系数为1)
1(2024·山东滨州·统考一模)在△ABC 中，
M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN
=λAB +μAC (λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13 B.13,12
C.[0,1]
D.[1,2]
【答案】C
【解析】由题意，设AN =tAM
，0≤t ≤1 ，
当t =0时，AN =0 ，所以λAB +μAC =0 ，
所以λ=μ=0，从而有λ+μ=0；
当0<t ≤1时，因为AN =λAB +μAC
(λ，μ∈R )，
所以tAM =λAB +μAC ，即AM =λt AB +μt AC ，
因为M 、B 、C 三点共线，所以λ
t +μt
=1，即λ+μ=t ∈0,1 .
综上，λ+μ的取值范围是[0,1].故选：C .
2(2024·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)在ΔABC 中，
M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足AN =13
NM ，若AN =λAB +μAC
(λ,μ∈R )，则λ+μ的值为()
A.14
B.13
C.1
D.4
【答案】A
【解析】设BM =tBC ，将AN 用AB 、AC 表示出来，即可找到λ和μ的关系，从而求出λ+μ的值．设BM
=tBC (0≤t ≤1)，AN =13
NM ，
所以AN =14AM =14
(AB +BM )
=14AB +1
4tBC =14AB
+14
t (AC -AB )=14-14t AB
+14tAC ，
又AN =λAB +μAC ，
所以λ+μ=14-14t +14t =1
4
．
故选：A ．
3(2024·重庆铜梁·高一统考期末)在△ABC 中，
点D 是线段BC 上任意一点，点P 满足AD =3AP
，若存在实数m 和n ，使得BP =mAB +nAC
，则m +n =()A.
2
3
B.
13
C.-13
D.-23
【答案】D
【解析】由题意，AD =λAB +1-λ AC ，且0<λ<1，
而AD =3AP =3AB +BP ，
所以3AB +3BP =λAB +1-λ AC ，
即BP =λ-33AB +1-λ3
AC ，
由已知，m =λ-33
,n =1-λ3,
则m +n =-23，选项D 正确.故选：D
题型二：mx +ny 问题(系数不为1)
1(2024·山东潍坊·高一统考期末)已知O 是ΔABC 内一点，
且OA +OB +OC =0
，点M 在ΔOBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC
，则λ+2μ的取值范围是()A.1,
5
2
B.1,2
C.
23,1
D.
12,1
【答案】B
【解析】根据OA +OB +OC =0 可知O 为ΔABC 的重心；根据点M 在ΔOBC 内，判断出当M 与O 重合时，λ+2μ最小；当M 与C 重合时，λ+2μ的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．因为O 是ΔABC 内
一点，且OA +OB +OC =0
所以O 为ΔABC 的重心
M 在ΔOBC 内(不含边界)，且当M 与O 重合时，λ+2μ最小，此时AM =λAB +μAC =23×12AB +AC =13AB +13
AC 所以λ=13,μ=1
3
，即λ+2μ=1
当M 与C 重合时，λ+2μ最大，此时AM =AC
所以λ=0,μ=1，即λ+2μ=2因为M 在ΔOBC 内且不含边界所以取开区间，即λ+2μ∈1,2 所以选B
2(2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末)在扇形OAB 中，∠AOB =60o
，OA
=1，
C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB
．则x +4y 的取值范围为()
A.[1,4)
B.[1,4]
C.[2,3)
D.[2,3]
【答案】B
【解析】以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，
令∠COB =θ，则θ∈0°,60° ，
因为OA =1，则B 1,0 ，A 12,32
,C cos θ,sin θ ，
又OC =xOA +yOB ，则
cos θ=x 2
+y sin θ=
3
2
x ，
则
y =cos θ-13
sin θ
x =
2
3
sin θ ，
则x +3y =-23
3
sin θ+4cos θ，又θ∈0°,60° ，
易知f θ =-23
3
sin θ+4cos θ为减函数，由单调性易得其值域为1,4 .故选：B .
3(2024·辽宁沈阳·高三统考期末)如图，
在扇形OAB 中，∠AOB =30°，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB
，若μ=x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围是()
A.
34,3
3
B.
33,3
2
C.
34,3
2
D.
32,23
3
【答案】D 【解析】
设射线OB 上存在为B ，使OB =1λ
OB
，AB 交OC 于C ，
由于OC =xOA +yOB =xOA +λy 1λ
OB
=xOA +λyOB ，
设OC =tOC ，OC =x OA
+λy OB ，由A ,B ,C 三点共线可知x +λy =1，
所以u =x +λy =tx +t ∙λy =1，
则μ=OC OC
存在最大值1，即在弧AB (不包括端点)上存在与AB
平行的切线，所以λ∈32,233
．故答案为32,
23
3
题型三：mx -ny 问题
1(2024·上海徐汇·高二位育中学校考阶段练习)如图，
OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，当x =-1
2
时，y 的取值范围是
【答案】12,32
【解析】如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，
且OP =xOA +yOB ，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB 和OA 的反向延长线为两邻边，
∴x 的取值范围是(-∞,0)；
当x =-12时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在DE 上，CD =12OB ，CE =3
2
OB ，
∴y 的取值范围是12，3
2 ．
故答案为：12，3
2
2(2024·河南平顶山·高一统考期末)如图所示，点P 在由线段AB ，AC 的延长线及线段BC 围成的阴影区域内(不含边界)，则下列说法中正确的是
．(填写所有正确说法的序号)
①存在点P ，使得AP =12AB +2AC ；
②存在点P ，使得AP =-12
AB
+2AC ；
③存在点P ，使得AP =12AB -2AC
；
④存在点P ，使得AP =12AB +32
AC
．
【答案】①④
【解析】设AP =λAB +μAC
,λ,μ∈R ，由图可知：
λ>0,μ>0,且λ+μ>1，∴①④正确，故答案为：①④
3(2024·高一课时练习)已知△ABC 中，
CD =-35BC
,EC =12AC ,AF =13
AB ，若点P 为四边形AEDF 内一点(不含边界)且DP =-13
DC
+xDE ，则实数x 的取值范围为.
【答案】12,4
3
【解析】如图所示，在线段BD 上取一点G ，使得DG =-13
DC
，
设DC =3a ，则DG =a ，BC =5a ，BG =a ；过点G 作GH ∥DE ，分别交DF ､AE 于K ､H ，连接FH ，则点K ､H 为临界点；
GH ∥DE ，所以HE =13EC ，AH =23EC ，HG =4
3
DE ，
AH HC
=12=AF
FB ，所以FH ∥BC ；
所以FH =1
3BC ，
所以FH DG =KH KG
，
所以KG =3
5HK ，
KG =38HG =1
2
DE .
所以实数x 的取值范围是12，4
3
.
故答案为：12，4
3 .
题型四：
m x +n
y
问题1(2024·江苏·高三专题练习)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，OC =2OB
，
过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于点E ,F ，且AB =mAE ，AC =nAF (m >0,n >0)，若1m +t n 的最小值为8
3
，则正数t
的值为【答案】2【解析】
因为点O 是BC 的三等分点，OC =2OB
则AO =AB +BO =AB +13BC =AB +13AC -13
AB
=23AB +13AC =2m 3AE +n 3
AF ，又由点E ,O ,F 三点共线，所以AO =AE +EO =AE +λEF =AE +λAF -AE =1-λ AE +λAF
，所以2m
3=1-λn
3
=λ
，可得
2m 3+n
3
=1，所以
1m +t n =2m 3+n 3 1m +t n =23+t 3 +2mt 3n +n 3m ≥23+t
3 +22mt 3n ×n 3m
=
23+t 3 +22t 9
，当且仅当2tm 2=n 2时，等号成立，
即1m +t n 的最小值为23+t 3 +22t 9，则有23+t 3 +22t 9=83
，
即t +22t -6=0，所以t +32 t -2 =0，因为t >0，所以t =2，故答案为：2.
2(2024·江苏盐城·高一统考期末)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，OC =2OB
，
过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于点E ，F ，且AB =mAE ，AC =nAF (m >0，n >0)，若1m +t 2
n
t >0 的最小值
为3，则正数t 的值为.【答案】3-2
【解析】∵在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，|OC |=2|OB |，∴AO =AB +BO =AB +13BC =AB +13(AC -AB )=23AB
+13
AC ，
∵AB =mAE ，AC =nAF ，∴AO =23mAE +13
nAF ，
∵O ，E ，F 三点共线，∴23m +1
3
n =1，
∴1m +t 2n =1m +t 2n 23m +13n =23+n 3m +2mt 23n +t 23≥22t 2
9+t 23+23=t 23+232t +23
，
当且仅当n 3m =2mt 23n ，即2m 2t 2=n 2时取等号，∴1m +t 2n 的最小值为t 2
3+232t +2
3，
即t 23+232t +23=3，∵t >0，∴t =3-2．故答案为：3-2．
3(2024·山东菏泽·高一统考期末)在△ABC 中，
点O 是线段BC 上的点，且满足OC =3OB
，过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于点E ,F ，且AB =mAE ，AC =nAF ，其中m >0且n >0，若1m +2
n
的最小
值为.
【答案】
5+26
4
【解析】依题意，作出图形如下，
因为OC =3OB ，AB =mAE ，AC =nAF ，则BO =14
BC ，
所以AO =AB +BO =AB +14BC =AB +14AC -AB =34AB +14AC =3m 4AE +n 4AF ，
因为E ,O ,F 三点共线，所以3m 4+n
4
=1，
因为m >0，n >0，
所以1m +2n =1m +2n 3m 4+n 4 =54+n 4m +6m 4n ≥54+2
n 4m ⋅6m 4n =54+264
，当且仅当n 4m =6m
4n ，即n =6m =46-2 时取等号，
所以1m +2n 的最小值为5+264
.
故答案为：5+26
4.
题型五：y
x
问题
1(2024·山西·高一统考期末)已知在△ABC 中，
点D 满足BD =34
BC
，点E 在线段AD (不含端点A ，D )上移动，若AE =λAB +μAC ，则μ
λ
=.
【答案】3
【解析】如图，由题意得存在实数m ，使得AE =mAD
0<m <1 .
又AD =AB +BD =AB +34BC =AB +34AC -AB =14AB
+34
AC ，
所以AE =m 14AB +34AC =m 4AB +3m 4
AC ，
又∵AE =λAB +μAC ，且AB ,AC 不共线，故由平面向量的分解的唯一性得λ=m 4
,μ=3m
4.
所以
μ
λ
=3.故答案为：3.
2(2024·山东潍坊·高三开学考试)在△ABC 中，
点D 满足BD =34
BC
，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE =λAB +μAC ，则λ+1
μ
的最小值为．
【答案】233/2
33
【解析】由BD =34BC ，得AD -AB =34(AC -AB )，即AD =14AB +34
AC
，
因为点E 在射线AD (不含点A )上移动，所以AE =tAD =t 4AB
+3t 4
AC ，
又因为AE =λAB +μAC ，所以λ=t 4,μ=3t
4
(t >0)，
则λ+1μ=t 4+43t ≥213=233(当且仅当t 4=43t ，即t =43
3
时取等号)，
所以λ+1μ的最小值为23
3.
故答案为：23
3
．
3(2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末)在ΔABC 中，
点D 满足BD =34
BC
，当E 点在线段AD (不包含端点)上移动时，若AE =λAB +μAC ，则λ+3
μ的取值范围是
A.233,+∞
B.[2,+∞)
C.
17
4,+∞
D.(2,+∞)
【答案】C
【解析】如图所示，
△ABC 中，BD =34
BC
，
∴AD =AB +BD =AB +34BC =AB +3
4(AC -AB )=14AB
+34
AC ，
又点E 在线段AD (不含端点)上移动，设AE =kAD ，0<k <1，∴AE =k 4AB +3k 4AC ，
又AE =λAB +μAC ，∴
λ=k
4
μ=3k 4
，∴λ+
3μ=k 4+4k ．∵k 4+4
k
在(0，1)上单调递减，∴λ+3μ的取值范围为174，+∞ ，
故选C ．题型六：x 2
+y 2
问题
1(2024·江苏泰州·高一泰州中学阶段练习)在ΔABC 中，
点D 满足BD =34
BC
，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE =λAB +μAC
，则(λ+1)2+μ2的取值范围为．
【答案】(1,+∞)
【解析】因为点E 在射线AD (不含点A )上，设AE =kAD , 0<k ，又BD =34
BC ，
所以AE =k (AB +AD )=k AB +34(AC -AB ) =k 4AB
+3k 4AC ，所以
λ=k
4
μ=3k
4 ，t =(λ+1)2+μ2=k 4+1
2+916k 2=58k +2
5
2
+9
10>1，
故(λ+1)2
+μ2
的取值范围1,+∞ .
2(2024·天津·高三校联考阶段练习)如图，
在△ABC 中，BD =13
BC
，点E 在线段AD 上移动(不含端点)，若AE =λAB +μAC ，则λ
μ
=，λ2-μ的最小值为.
【答案】 2-
1
16
【解析】因为在△ABC 中，BD =13
BC
，
所以AD =AB +BD =AB +13BC =AB +13(AC -AB )=23AB
+13
AC ,
即AD =23AB +13
AC .
因为点E 在线段AD 上移动(不含端点)，所以设AE =xAD
(0<x <1).
所以AE =2x 3AB +x 3AC ，对比AE =λAB +μAC 可得λ=2x 3,μ=x 3.
代入λ=2x 3,μ=x 3，得λμ
=2x
3
x 3=2；
代入λ=
2x 3,μ=x 3可得λ2-μ=2x 3 2
-x 3=4x 2
9-x 3(0<x <1)，根据二次函数性质知当x =--1
3
2×
49
=38时，λ2
-μ min =49×38
2
-13×38=-1
16.
故答案为：2;-1
16
3(2024·全国·高三专题练习)在△ABC 中，
点D 满足BD =DC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE
=λAB +μAC ，则t =(λ-1)2+μ2的最小值为.
【答案】
1
2【解析】BD =DC
；
∴D 为边BC 的中点，如图，
则：AD =12
(AB +AC )；
∵E 在线段AD 上；
∴设AE =kAD =k 2AB +k 2
AC ，0≤k ≤1；
又AE =λAB +μAC ；∴
λ=k
2
μ=k
2
；即λ=μ，且0≤μ≤12
；∴t =(μ-1)2+μ2
=μ2-2μ+1+μ2
=2μ-12 2+1
2；
∴μ=12时，t 取最小值12
．
故答案为：1
2
．
4(2024·山东德州·高三统考期末)在△ABC 中，
M 为边BC 上任意一点，N 为
AM 的中点，且满足AN
=λAB +μAC ，则λ2+μ2的最小值为.
【答案】1
8
/0.125
【解析】由M 为边BC 上任意一点，则BM =γBC
,0≤γ≤1 ，AN =12AM =12AB +BM =12AB +γBC =12AB
+γ2AC -AB =1-γ2AB +γ2AC ，
可得λ=1-γ
2μ=γ2
，则λ+μ=12，即λ=12-μ，由0≤γ≤1，可得0≤γ2≤12，则μ∈0,12 ，故λ2+μ2=12-μ
2+μ2=2μ2-μ+14=2μ-1
4 2
+1
8，
当μ=14时，λ2+μ2取得最小值为1
8
.
故答案为：1
8
.
【过关测试】一、单选题
1(2024·高三课时练习)在△ABC 中，
M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN =λAB +μAC
，则λ+μ的值为()
A.
12
B.
1
3
C.
14
D.1
【答案】A
【解析】由题可设BM =tBC ，
则AM =AB +BM =AB +tBC =AB +t AC -AB =1-t AB +tAC ，
∵N 为AM 中点，∴AN =12AM =121-t AB +12
tAC
,
又AN =λAB +μAC ，∴λ=121-t ,μ=12t ，∴λ+μ=12
.
故选：A .
2(2024·安徽六安·高一六安一中校考期末)如图所示，
在△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM =λAB +μAC
，则λ+μ=()
A.-1
B.-
1
2
C.-2
D.-
32
【答案】B
【解析】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t ∈R ，使得BD =tBC =t AC -AB
，因为M 是线段AD 的中点，所以：BM =12BA +BD =12-AB +tAC -tAB =-1
2t +1 AB +12tAC ，
又BM =λAB +μAC ，所以λ=-12t +1 ，μ=12
t ，
所以λ+μ=-1
2
.
故选：B .
3(2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习)已知点O 为ΔABC 所在平面内一点，
满足OA +OB
+OC =0 ，M 为AB 中点，点P 在ΔAOC 内(不含边界)，若BP =xBM +yBC ，则x +y 的取值范围是(
)
A.1,2
B.
2
3,2
C.
1
2,1
D.
13,3
2
【答案】A 【解析】如图：
∵OA +OB +OC =0 ，
∴点O 是ΔABC 的重心，点N 是BC 的中点，BO =BC +CO =BC +23CM =BC +23BM -BC =13BC
+23
BM ，
BN =12
BC ，BA =2BM
当点P 在ΔAOC 内(不含边界)，BP =BO +OP =BO +λOQ =BO +λOA +AQ ，0<λ<1=BO +λ23NA +μAC =BO +λ23BA -BN +μBC -BA ，0<μ<1=BO +λ232BM -12
BC +μBC -2BM =13BC
+23BM +43λBM -13
λBC +λμBC -2λμBM =13-13λ+λμ BC +23+4
3
λ-2λμ BM
∴x +y =13-13λ+λμ+23+4
3
λ-2λμ
=1+λ-λμ=1+λ1-μ ，∵0<λ<1，0<μ<1，
∴0<1-μ<1，0<λ1-μ <1，∴1<1+λ1-μ <2.故选：A
4(2024·广东惠州·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，
点O 是线段BC 上的点，且满足|OC |=3|OB
|，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，且AB =mAE ，AC =nAF ，其中m >0且n >0，若1
m
+
t
n
的最小值为3，则正数t 的值为()
A.2
B.3
C.
83
D.
113
【答案】B
【解析】AO =AB +BO =AB +14BC =AB +14AC -AB =34AB
+14AC =3m 4AE +n 4
AF ，
∵E 、O 、F 三点共线，∴3m 4+n
4
=1，
∵m >0，n >0，t >0，∴1m +t n =1m +t n 3m 4+n 4 =34+n 4m +3mt 4n +t 4≥3+t 4
+2n 4m ⋅3mt 4n =3+t 4+23t 4
，
当且仅当n 4m =3mt
4n
时取等号，
∴3+t 4+23t 4=3⇒t +33 t -3 =0⇒t =3⇒t =3．
故选：B ．
5(2024·江西南昌·高三阶段练习)在△ABC 中，
点O 是BC 的三等分点(靠近点B )，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同两点M ，N ，若AB =mAM ,AC =nAN ，m ,n 均为正数，则1m +1
n
的最小值为
()A.2 B.1+
2
3
C.1+
223
D.1+
233
【答案】C
【解析】由题意知AO =AB +13BC =AB +13AC -AB =23AB
+13AC =2m 3AM +n 3AN ，
由于M 、O 、N 三点共线，可知2m 3+n
3
=1，
由于m ,n 均为正数，
所以1m +1n =1m +1n 2m 3+n 3 =1+n 3m +2m 3n ≥1+229=1+223
，
当且仅当n 3m =2m
3n ，即m =3(2-2)2
,n =3(2-1)时取得等号，
故选：C 二、多选题
6(2024·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期末)在△ABC 中，
点D 是线段BC 上任意一点，点M 是线段AD 的中点，若存在λ,μ∈R 使BM =λAB +μAC
，则λ,μ的取值可能是()A.λ=-35,μ=
110
B.λ=1,μ=-3
2
C.λ=-910,μ=25
D.λ=-710,μ=3
5
【答案】AC
【解析】令BD =mBC 且m ∈[0,1]，而BM =12(BA +BD )=12
(BA
+mBC )，
又BC =BA +AC ，则BM =12[BA +m (BA +AC )]=-1+m 2AB
+m 2
AC ，
所以
λ=-1+
m
2
μ=m
2
，则λ∈-1,-12
，μ∈0,12 且λ+μ=-12
，故A 、C 满足，B 、D 不满足.故选：AC
7(2024·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期末)已知O 是△ABC 内一点，
且OA +OB +OC =0
，点M 在△OBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC
，则λ+2μ的值可能为()A.
9
7
B.
117
C.
137
D.
157
【答案】ABC
【解析】因为O 是△ABC 内一点，且OA +OB +OC =0 所以O 为△ABC 的重心
M 在△OBC 内(不含边界)，且当M 与O 重合时，λ+2μ最小，此时AM =λAB +μAC =23×12AB +AC =13AB +13
AC 所以λ=13,μ=1
3
，即λ+2μ=1
当M 与C 重合时，λ+2μ最大，此时AM =AC
所以λ=0,μ=1，即λ+2μ=2因为M 在△OBC 内且不含边界所以取开区间，即λ+2μ∈1,2 ，结合选项可知ABC 符合，D 不符合故选：ABC
8(2024·重庆·高一校联考阶段练习)在ΔABC 中，
点D 满足BD =DC
，当点E 在线段AD 上(不含A 点)移动时，记AE =λAB +μAC
，则()A.λ=2μ
B.λ=μ
C.14λ
+μ的最小值为1
D.4
λ
+μ的最小值为4
【答案】BC
【解析】∵BD =DC ，∴D 是BC 中点,则AD =12
AB +AC
,又点E 在线段AD 上,即A ,E ,D 三点共线,
设AE =mAD 0<m ≤1 ,故AE =mAD =12m AB +AC ,λ=μ=1
2
m .故B 对A 错.
14λ+μ=14λ+λ≥214λ⋅λ=1,当且仅当14λ
=λ时,即λ=12,故C 对.
4λ+μ=4λ
+λ在λ∈0,12
上单调递减，当λ=12取最小值172，故D 错.故答案为：BC
9(2024·湖北武汉·高三校联考期末)在△ABC 中，
点D 满足BD =DC
，当点E 在线段AD 上移动时，记AE =λAB +μAC ，则()A.λ=2μ
B.λ=μ
C.λ-2 2+μ2的最小值为2
D.λ-2 2+μ2的最小值为
5
2
【答案】BD 【解析】
由BD =DC 得AD =12AB +AC ，又点E 在线段AD 上移动，AE =kAD =12k AB +AC =12
kAB
+12kAC ,0≤k ≤1，∴λ=12k ,μ=12k ，故A 错误，B 正确；λ-2 2+μ2
=12k -2 2+12k 2=12k 2-2k +4=12k -2 2+2，当k =1时，有最小值52，故C 错误，D 正确.
故选：BD .三、填空题
10(2024·全国·高三专题练习)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC ，则2x +2y 的最大值为
【答案】
8
3
【解析】作BC 的平行线与圆相交于点P ，与直线AB 相交于点E ，与直线AC 相交于点F ，设AP =λAE +μAF ，则λ+μ=1，
等边三角形边长为2，则外接圆半径为
233，当点P 为切点时, AE =AF =8
3
，∵BC ⎳EF ，∴设AE AB =AF AC =k ，则k ∈0,43 ，当点P 为切点时, k 有最大值4
3,AE =kAB ，AF =kAC ，AP =λAE +μAF =λkAB +μkAC
∴x =λk ，y =μk ，∴2x +2y =2λ+μ k =2k ≤8
3.
即2x +2y 的最大值为83
.故答案为：
8
3
11(2024·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，
在扇形
OAB 中，∠AOB =π
3
，C 为弧AB 上的一个动点，若OC
=xOA +yOB
，则x +4y 的取值范围是.
【答案】1,4
【解析】如图所示，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，
则根据题意可知B (1,0)，A 12，3
2
，设C (cos θ,sin θ)，0°≤θ≤60°．由OC =xOA +yOB ，得cos θ=y +12x sin θ=3
2x ，∴x =23
sin θy =cos θ-sin θ3
，∴x +4y =4cos θ-
23
3
sin θ，点C 在弧AB 上由B →A 运动，θ在0，π
3 上逐渐变大，cos θ变小，sin θ逐渐变大，∴当θ=0°时x +4y 取得最大值4，当θ=60°时x +4y 取得最小值1．∴x +4y 的取值范围是[1，4]．故答案为：1,
4 ．
12(2024·
四川绵阳·高一统考期末)在扇形OAB 中，
∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC
=xOA +yOB ，则3x +y 的取值范围是．【答案】1,3
【解析】以O 为原点，OA ,OB 分别为x ，y 轴正方向建立平面直角坐标系.
则OA =1,0 ,OB =12,32 .不妨设OC =cos θ,sin θ ,0≤θ≤π3
.因为OC =xOA +yOB
，所以cos θ=x +1
2y sin θ=32y ，解得：x =cos θ-33sin θy =233sin θ
，所以3x +y =3cos θ-3
3sin θ.因为y =cos θ在θ∈0,π3 上单调递减，y =-sin θ在θ∈0,π3
上单调递减，所以3x +y =3cos θ-33
sin θ在θ∈0,π3 上单调递减.所以当θ=0时3x +y =3最大；当θ=π3时3x +y =3cos π3-33sin π3=32-33⋅3
2
=1最小.
所以3x +y 的取值范围是1,3 .故答案为：1,3 .
13(2024·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，
OA =1，∠AOB =π
3
，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.
【答案】[1,3]
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A
(1,0)，B 12,3
2
，
设∠AOC =θ，则C (cos θ,sin θ)0≤θ≤π
3 ，由OC =xOA +yOB 得
cos θ=x +1
2y ,
sin θ=
3
2
y , 从而
x =cos θ-13
sin θ,
y =
2
3
sin θ, 则x +3y =cos θ+533sin θ=283sin (θ+φ)，易知0<φ<π6
，
故y =f (θ)=cos θ+533sin θ=283sin (θ+φ)在0,π
3
上单调递增，∴y min =f (0)=1，y max =f π3 =cos π3+533sin π3=12+5
2
=3.
故x +3y ∈[1,3].故答案为：[1,3]
14(2024·全国·高三专题练习)扇形OAB 中，
∠AOB =120°，C 为AB 上的一个动点，且OC =xOA
+
yOB ，其中x ,y ∈R .(1)x +y 的取值范围为；(2)2x +y 的取值范围为.
【答案】
1,2
1,2213
【解析】(1)解法一：(等和线)设OC 与AB 相交于点D ，OD =λOC =λxOA +λyOB
，λx +λy =1，
x +y =1
λ=OC OD ∈[1,2].
解法二：(坐标法)C (cos α,sin α)，α∈0,2π3
，cos α=x -12y ，sin α=32y ，x =cos α+33sin α，y =23
3
sin α，
x +y =cos α+3sin α=2sin α+π
6
∈[1,2].
解法三：设∠AOC =α∈0,2π3
，OC ⋅OA =xOA ⋅OA +yOB ⋅OA ,
OC ⋅OB =xOA ⋅OB +yOB ⋅OB , ，即cos α=x -1
2y cos (1200-α)=-12x +y
∴x +y =2[cos α+cos (1200-α)]=cos α+3sin α=2sin α+π
6
∈[1,2].(2)解法一：(等和线)解法二：2x +y =2cos α+
433sin α=2213sin (α+θ)∈1,2213
，其中sin (α+θ)先增后减.15(2024·吉林·高一阶段练习)如图，
在ΔABC 中，D ,E ,F 分别为BC ,CA ,AB 上的点，且CD =3
5
BC ，EC =12AC ，AF =13AB .设P 为四边形AEDF 内一点(P 点不在边界上)，若DP =-13DC
+λDE ，则实
数λ的取值范围为
【答案】12,43
【解析】取BD 中点M ,过M 作MH ⎳DE 交DF ,AC 分别为G ,H ,如图：则由DP =-13
DC
+λDE =DM +λDE 可知,P 点在线段GH 上运动(不包括端点)
当P 与G 重合时，根据DP =tDF =-89tDC +43tDE =-13DC +λDE ,可知λ=1
2
，当P 与H 重合时,由
P ,C ,E 共线可知-13+λ=1，即λ=43，结合图形可知λ∈12,4
3
.
16(2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期末)如图，
在△ABC 中，BD =13
BC
，点E 在线段AD 上移动(不含端点)，若AE =λAB +μAC ，则λ2+1
μ
的取值范围是．
【答案】10
3
,+∞
【解析】由题可知，BD =13
BC ，设AE =mAD
0<m <1 ，
则AE =m AB +13BC =m AB +13BA +AC
，所以AE =23mAB +13
mAC ，
而AE =λAB +μAC ，
可得：λ=23m ,μ=1
3m ，
所以λ2+1μ=m 3+3m
0<m <1 ，
设f m =m 3+3
m
0<m <1 ，
由双钩函数性质可知，f x 在0,1 上单调递减，
则f x >f 1 =13+3=10
3
，
所以λ2+1μ的取值范围是10
3
,+∞ .
故答案为：10
3,+∞ .四、解答题
17(2024·高一课时练习)在学习向量三点共线定理时，
我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP =xOA +yOB 时，x +y =1(如图1)，小明同学提出了如下两个问题，请同学们帮助小明解答．
(1)当x +y >1或x +y <1时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说
明理由；
(2)如图2，射线OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，求实数x 的取值范围，并求当x =12
时，实数y 的取值范围．【解析】(1)若x +y >1，则O ，P 在直线AB 异侧；若x +y <1，则O ，P 在直线AB 同侧．
理由如下：设x +y =t ，则由OP =xOA +yOB ，得：OP =xOA +(t -x )OB =xOA +1-x OB +t -1 OB ，则在直线AB 上有一点Q ，使得OQ =xOA +1-x OB ，如下图所示：
则OP =OQ +t -1 OB ，即QP =t -1 OB ，∴当t >1时，则OB =t -1 OB 与OB 同向，且QP =OB ，
由平面共线定理可得，O ，P 在直线AB 异侧；当t <1时，OB =t -1 OB 与OB 反向，如下图所示，且QP =OB ，
由平面共线定理可得，O ，P 在直线AB 同侧．
(2)射线OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动如图所示，阴影部分为点P 的运动区域(不含边界)，
由(1)可知，O ，P 在直线AB 同侧，由于OP =xOA +yOB ，则x +y <1．
过点P 作PE ⎳OB 交射线OA 于E ，过点P 作PF ⎳OB 交射线BO 的延长线OB 于F ,由平行四边形法则可得OP =OE +OF ，又OE 与OA 方向相同，则OE =mOA ，且m >0，OF 与OB 方向相反，则OF =nOB ，且n <0，则OP =mOA +nOB =xOA +yOB ，故x =m >0,y =n <0，即实数x 的取值范围是(0,+∞)，
当x =12
时，此时E 为OA 中点，过E 作直线平行与OB 交AB 于M ，交射线OM 于M ，则点P 运动轨迹为线段EM (不含端点E ,M )，如下图：
当点P 运动到E 时，OP =OE =12OA +0⋅OB ，此时y =0；当点P 运动到M 时，OP =OE +EM =12OA +M E =12OA +12BO =12OA -12OB ，此时y =-12；且由平面向量加法的平行四边形法则得y ∈-12
,0 .18(2024·高一课时练习)如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ．
(1)求x 的取值范围；
(2)当x =-12时，求y 的取值范围．【解析】(1)如图，作PE ⎳BA 交OB 于E ，则OP =OE +EP =mOB +nAB =-nOA +(m +n )OB ．
由P 点的位置容易知道0<m <1，n >0．
因此，x =-n <0，即x 的取值范围是(-∞,0)．
(2)当x =-12时，y =m +n =m +12，所以此时y 的取值范围是12,32
．19(2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习)小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP =xOA +yOB 时，x +y =1(如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.
(1)当x +y >1或x +y <1时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由
(2)如图2，射线OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，求实数x 的取值范围，并求当x =12时，实数y 的取值范围.(3)过O 作AB 的平行线，延长AO 、BO ，将平面分成如图3所示的六个区域，且OP =xOA +yOB ，请分别写出点P 在每个区域内运动(不含边界)时，实数x ，y 应满足的条件.(不必证明)
【解析】(1)若x +y >1，则O 、P 异侧，若x +y <1，则O 、P 同侧；理由如下：设x +y =t ，则由OP =xOA +yOB 得，OP =xOA +t -x OB =xOA -xOB +tOB =xBA +tOB ，当t >1时，tOB 与OB 同向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O 、P 异侧；当t <1时，tOB 与OB 反向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O 、P 同侧；
(2)由图及平面向量基本定理可知，x >0，即实数x 的取值范围是0,+∞ ，
当x =12时，由平面向量加法的平行四边形法则可知，y ∈-12
,0 ；(3)Ⅰ：y <0x +y >0 ；Ⅱ：x >0y >0 ；Ⅲ：x <0x +y >0 ；Ⅳ：y >0x +y <0 ；Ⅴ：x <0y <0 ；Ⅵ：x >0x +y <0 ．。