第四章 多自由度体系(振型叠加法)

2. 有阻尼体系的振型叠加法
1、满足阻尼阵正交条件
N
∑ {u(t)} = {φ}n qn (t) n=1
多自由度体系有阻尼运动的方程为：
[M ]{u}+ [C]{u}+ [K]{u}= {p(t)}
28B − 5mλ −6B
6B
[K ] − λ[M ] = −6B 7B − mλ 3B = 0
6B
3B 7B − mλ
λ3 −19.6λ 2D + 104λD2 − 80D3 = 0
式中
B = 3EI 10L3
D = 3EI 10mL3
λ =ω2
解法一：
λ3 −19.6λ 2D + 104λD2 − 80D3 = 0
其中：
M n = {φ}nT [M ]{φ}n Kn = {φ}nT [K ]{φ}n pn (t) = {φ}nT {p(t)}
分别为n阶振型的广义(振型)质量、广义(振型)刚度和 广义(振型)荷载。
从上面的正交性证明中已给出 Mn和Kn的关系：
Kn = ωn2M n
ωn—体系第n阶自振频率。
1. 无阻尼体系的振型叠加法
因此结构的质量矩阵
u2
u1
u3
⎡5 0 0⎤ [M ] = m ⎢⎢0 1 0⎥⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
解法一： 结构的柔度矩阵
⎡2 3 −3⎤
[δ
]
=
L3 6EI
⎢ ⎢ ⎢⎣
8
对称
−6⎥⎥ 8 ⎥⎦
结构的刚度矩阵
⎡28 −6 6⎤
[K ] = 3EI 10L3
⎢ ⎢ ⎢⎣
对称
7
3⎥⎥ 7⎥⎦
求固有频率和振型
设体系的振型和自振频率已预先求得，将位移向量用振
型展开：
N
∑ {u(t)}= {φ}n qn (t) n =1
N
∑ 而， {u(t)}= {φ}n qn (t) n =1
1. 无阻尼体系的振型叠加法
N
N
∑ ∑ {u(t)}= {φ}n qn (t) {u(t)}= {φ}n qn (t)
若用Duhamel积分，可得：
∫ qn (t)
=
1
M nωn
t
0 pn (τ ) sin[ωn (t −τ )]dτ ,
n = 1, 2," N
1. 无阻尼体系的振型叠加法
求得qn(t)后，利用式
N
∑ {u(t)} = {φ}n qn (t) n=1
将N个振型反应叠加可以得到多自由度体系在任一时刻 的位移{u(t)}。
q2
(t)
=
0.7736
ω2
sin
ω2t
q3(t) = 0
结构的动力反应
⎧⎪− ⎪
0.3968
ω1
sin
ω1t
−
0.6032
ω2
sin
ω2t
⎫ ⎪ ⎪
∑ {u(t)}
=
3
{φ} n n=1
qn (t)
=
⎪ ⎨− ⎪
0.7736
ω1
sin ω1t
+
0.7736
ω2
⎪
sin ω2t ⎬
⎪
⎪ ⎪ ⎪⎩
0.7736
1 无阻尼体系的振型叠加法
体系的运动方程：
[M ]{u}+ [K ]{u}= {p(t)}
其中位移向量和外荷载向量分别为：
⎧ u1(t) ⎫
{u(t)}
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
u2 (t #
)
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎪⎩uN (t)⎪⎭
⎧ p1(t) ⎫
{p(t
)}
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
p2 (t #
)
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎪⎩ pN (t)⎪⎭
{ } { } ∑N
ut (t) = u 0 (t) + {u(t)} = {φ}n[qn0 (t) + qn (t)]
n=1
从上式也可以看到，当用振型叠加法求有初始条件影响 的结构动力反应问题时，也可以先求出考虑初始条件 的振型反应，即上式中的qn0(t)+qn(t)，再用振型叠加 公式求得体系有初始条件影响的总体反应。
M1 = 1.6579m M 2 = 2.5198m
∫ 由Duhamel积分公式
qn (t)
=
1
M nωn
t 0
pn
(τΒιβλιοθήκη )sin[ωn(t
−τ
)]dτ
q1 (t )
=
−0.7736
ω1
sin ω1t
q2
(t)
=
0.7736
ω2
sin
ω2t
∑ 结构的动力反应 2 {u(t)} = {φ} n n=1
利用对称性
δ(t)，求结构动力反应。
m EI
3m
m
EI
L
EI
L
L
解法一：整体分析
确定体系的自由度，由于忽略构件的轴向变形，所以体 系 为 3 个 自 由 度 系 统 ， 体 系 位 移 向 量 为 {u}={u1, u2, u3}T，其中u1为中间质量块的水平自由度(向右为正)， u2和u3分别为左侧和右侧质量块的竖向自由度(向上为 正)。
第四章 多自由度体系
振型叠加法
主要内容
1 无阻尼体系的振型叠加法—振型位移法 2 有阻尼体系的振型叠加法(Mode Superposition Method) 3 结构中的阻尼和阻尼矩阵的构造 4 静力修正方法（Static Correction Procedure） 5 振型加速度法（Mode Acceleration Method）
左乘{φ}nT，并利用振型正交性得：
{φ}nT
[M
]{φ}n
qn
(t
)
+
{φ}nT
[K
]{φ}n
qn
(t
)
=
{φ
}T n
{p(t
)}
1. 无阻尼体系的振型叠加法
{φ}nT
[M
]{φ}n
qn
(t
)
+
{φ}nT
[K
]{φ}n
qn
(t
)
=
{φ
}T n
{p(t
)}
Mnqn(t) + Knqn(t) = pn(t), n =1, 2,", N
Kn = ωn2M n
M nqn (t) + Knqn (t) = pn (t), n = 1, 2,", N
振型坐标表示的运动方程两边同除Mn得：
qn (t) + ωn2qn (t) =
1 Mn
pn (t),
n = 1, 2," N
这是N个单自由度体系的强迫振动方程，可以用单自由 度受任意荷载时的分析方法求解。例如用Duhamel积 分、Fourier变换等。
N
∑ {u(t)} = {φ}n qn (t) n=1
得到用振型坐标表示的初始位移条件，
N
∑ {u(0)}= {φ}n qn (0) n =1
和初始速度条件，
N
∑ {u(0)}= {φ}n qn (0) n =1
1. 无阻尼体系的振型叠加法
左乘{φ}nT[M] ，n=1,2,…N，并利用振型的正交性，得
n =1
n =1
[M ]{u}+ [K ]{u}= {p(t)}
位移和加速度代入运动方程式得，
[M ]{φ}1q1(t) + [M ]{φ}2 q2 (t) + " + [M ]{φ}N qN (t) + [K ]{φ}1q1(t) + [K ]{φ}2 q2 (t) + " + [K ]{φ}N qN (t) = {p(t)}
如果外力是简谐荷载和周期性荷载，则可以用前面讲的 有关公式得到解（包括动力放大系数Rd等）。
以上分析方法叫振型叠加法，有时也称为振型分解法。
1. 无阻尼体系的振型叠加法
用Duhamel积分得到的解是满足零初始条件时的特解， 当有非零初始条件时，需计算初始条件引起的通解， 即体系的自由振动。此时可以把初始条件也用振型展 开，即直接利用公式：
λ1 = 0.9219D,λ2 = 8.6781D,λ3 = 10D
固有频率为
D = 3EI 10mL3
ω1 = 0.5259
EI mL3
,ω2
= 1.6135
EI mL3
,ω3
= 1.7321
EI mL3
特征方程 ([K ] − λ[M ]){φ} = 0
振型
⎧0.5130⎫
{φ} 1
=
⎪ ⎨ ⎪⎩
p1(t) = −2.565mδ (t) p2 (t) = 3.8985mδ (t)
M1 = 3.3158m M 2 = 5.0396m
p3(t) = 0
∫ 由Duhamel积分公式
qn (t)
=
1
M nωn
t 0
pn
(τ
) sin[ωn
(t
−τ
)]dτ
q1 (t )
=
−0.7736
ω1
sin ω1t
⎪⎩u3 ⎪⎭
⎧1⎫
⎧1⎫
[m]{u} + [K ]{u} = −[m]⎪⎨0⎪⎬ug (t) = − ⎪⎨0⎪⎬5mug (t)
⎪⎩0⎪⎭
⎪⎩0⎪⎭
即等效地震荷载为
⎧1⎫
{ } peff (t) = − ⎪⎨0⎪⎬5mug (t)
⎪⎩0⎪⎭
解法一：
{ } 采用振型叠加法：pn (t) = {φn}T peff (t)
N
∑ {u(0)}= {φ}n qn (0) n =1 N
∑ {u(0)}= {φ}n qn (0) n =1
⎧
⎪q ⎪
n
⎨
⎪⎪⎩qn
(0) (0)
= =
{φ}nT {φ}nT
[M ]{u(0)}
Mn
[M ]{u(0)}
Mn
得到以振型坐标表示的初始条件后，可直接根据单自由
度体系自由振动的解式，得到由初始条件引起的各广
EI mL3
m EI
3m/2
EI/2
（2）反对称振动
特征方程 ([K ] − λ[M ]){φ} = 0
反对称振型
{φ}u 1
=
⎧0.5130⎫
⎨ ⎩
1
⎬ ⎭
扩展后
⎧0.5130⎫
{φ}u 1
=
⎪ ⎨
1
⎪ ⎬
⎪⎩ −1 ⎪⎭
{φ}u 2
=
⎧−0.7797⎫
⎨ ⎩
1
⎬ ⎭
⎧−0.7797⎫
{φ}u 2
2.5mug
(t
)
等效地震荷载为
{ } peff (t)
=
−
⎧1⎫ ⎨⎩0⎬⎭
2.5mug
(t
)
m EI
3m/2
EI/2
（2）反对称振动：
{ } 采用振型叠加法：pn (t) = {φn}T peff (t)
p1(t) = −1.2825mδ (t) p2 (t) = 1.94925mδ (t)
[δ
]
=
L3 3EI
⎡2 ⎢⎣3
3⎤ 7⎥⎦
[K
]
=
3EI 5L3
⎡7 ⎢⎣−3
−3⎤
2
⎥ ⎦
质量矩阵
[M
]
=
m
⎡2.5 ⎢⎣ 0
0⎤ 1⎥⎦
频率方程 [K ] − λ[M ] = 0
λ1
=
0.2766
EI mL3
, λ2
=
2.6034
EI mL3
ω1u = 0.5259
EI mL3
,ω2u
= 1.6135
4.8(p131) 如图所示由一根柱和二根梁构件组成的结构， 柱的下端固接于地面，梁和柱截面抗弯刚度均为EI， 长度为L。采用集中质量法近似，将各构件的质量分别 集中于相应构件的两端，分别为m、3m和m，忽略构
件的轴向变形，建立结构的刚度矩阵和质量矩阵，如 果地面发生一水平向单位加速度脉冲的作用，即üg＝
1 −1
⎪ ⎬ ⎪⎭
⎧−0.7797⎫
{φ} 2
=
⎪ ⎨ ⎪⎩
1 −1
⎪ ⎬ ⎭⎪
⎧0⎫
{φ} 3
=
⎪⎨1⎪⎬
⎩⎪1⎭⎪
解法一：
地面发生一水平向单位加速度脉冲的作用，即üg＝δ(t)，
下的运动方程为：
[
m]
⎧⎪u1 ⎨
+ ug u2
⎫ ⎪ ⎬
+
[
K
]
⎧⎪⎨uu12
⎫ ⎪ ⎬
=
{0}
⎪⎩ u3 ⎪⎭
=
⎪ ⎨
1
⎪ ⎬
⎪⎩ −1 ⎪⎭
（2）反对称振动
地面发生一水平向单位加速度脉冲的作用，即üg＝δ(t)，
下的运动方程为：
[
m]
⎧⎨u1 ⎩
+ ug u2
⎫ ⎬ ⎭
+
[
K
]
⎧⎨u1 ⎩u2
⎫ ⎬ ⎭
=
{0}
[
m]{u}
+
[
K
]{u}
=
−
[
m]
⎧1⎫ ⎨⎩0⎬⎭
ug
(t
)
=
−
⎧1⎫ ⎨⎩0⎬⎭
ω1
sin
ω1t
−
0.7736
ω2
sin
ω2t
⎪ ⎪ ⎭⎪
解法二：利用对称性
m EI
3m
m
EI
L
EI
L
L
反对称振动
m EI
3m/2
EI/2
（1）对称振动
对称振动
ωs = 3EI = 1.7321 EI
mL3
mL3
m EI
正对称振型（扩展后）
{φ}s = {0 1 1}T
（2）反对称振动
柔度矩阵
刚度矩阵
qn
(t)
=
⎧⎪⎪− ⎨ ⎪⎪⎩−
0.3968
ω1
0.7736
ω1
sin sin
ω1t ω1t
− +
0.6032
ω2
0.7736
ω2
sin sin
ω2t ω2t
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎭⎪
u3 (t)
=
−u2 (t)
=
0.7736
ω1
sin
ω1t
−
0.7736
ω2
sin ω2t
2. 有阻尼体系的振型叠加法
当采用振型叠加法分析有阻尼结构的动力反应问题时， 能否将联立的运动方程化为解耦的（非耦合的）一系 列单自由度运动方程，将取决于阻尼矩阵的性质，即 结构的振型是否关于阻尼阵满足正交条件。
如果满足阻尼阵的正交条件，即：
{φ}nT[C]{φ}m=0，m≠n
则采用振型叠加法分析时，就可以把多自由度体系的动 力反应问题化为一系列单自由度问题求解；如果不满 足阻尼阵的正交条件，则对位移向量用振型展开后， 关于振型坐标的运动方程成为耦联的，必须联立求 解，与解耦方程相比，增加了难度和计算量。下面分 别针对满足和不满足阻尼正交条件分别讨论多自由度 体系的振型叠加法。