居余马线性代数课后详细答案

1、2
22
2
0a
ab a b ab ab ab
b
=⋅-⋅=
2、22
cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos ααααααααα
α
-=⋅--⋅=+=
3、222
()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b a
a bi
+=+--=+-=--
4、324
2
123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*54
2
3
--=-+-+--------- 920321224205=---+++=-
5、1
23
4
561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*77
8
9
=++--- 45849648721050=++---=
6、2
21
4
1
12*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101
-=+-+----
20240479639880820218=-++--=-
7、2
22
2
3
4
32
2
22
2
2
1
1101(1)(1)(1)01
1w w
w
w
w w
w w w w w w w w w w
w
w
+⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()
8、3
3
2
2
2
3
2
1
21*2*3322663
x x
x
x x x x x x x x x
x
=++---=-+
9、
14
3
0004004
00431(1)
0434********
3
2
4
3
2
1
+-=-=-按第行展开
10、公式： 111112111222222122112212000000000000n n nn nn nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==
=
11111,11(1)
2,12,2,1212,12
12,111
,1
1
1
00000000(1)
0n n n n n n n n n n n n n n n n nn
n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------===-⋅
解：
1010
0001000010
02000
02010(1)
10080000800900009
10
+-⋅
按第行展开 9(19)
2
10(1)128910!+=⋅-⋅⋅⋅=
11、
3
1
11111112111110200311*(2)811110020411
1
1
1
2
----=-=------第行第行第行第行第行第行
12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即 1234123412342111323411341011310
3110102
223412*********
1
1
414
1
2
31
1
2
3
1
1
1
---=-=-----------第行第行第行第行 第行第行
10*16160==
13、
504211111111210112111210210143
2474120412003241
5
3
1
1
1
1
5
4
20
1
5
3
-----
=-
=----=----------第，行交换
14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变） 365641111111111111112545325453032750327536342254650328700012254653634203075002001
1
1
1
1
3
6
5
6
4
3
2
9
7
2
2
------===---
根据课本20页公式（1.21），原式012
112003*4120
3
2
2
=
-=-=-（）
15、
1
200340012132*1600133
45
1
5
1-==---（）（）=32
16、12345123451236
78910
6
7891021356
7810*2200
0013010114
3
1
000024000240
1
1
1
1
3
-=-=-=-第，行对换
17、根据课本20页公式（1.22） 23
001121120030212(1)
30212*(5)60002403
1
2
4
124013
1
2
5
8
⨯--=-=-=--
18、1
00
1
201*2*33!1
2
3
A ===，
5(51)
2
0000100020(1)
(1)(2)(3)(4)(5)5!0
0300040005
B ---==------=----
所以 3*5
*(1)|
|||
3
!5!0
A A
B B
=-=-
19、证：
2
1111111112
22222222223333
33333
1111
1
11
2
2
2222222333
3
3
3
3
(1)2*1(1)(1)(1)1*2(1)a b x a x b c a b x b x c a b x
a x
b
c x a b x
b x
c a b x
a x
b
c a b x
b x
c a b x
b c a b c x a b x
b c x x a b c a b x
b c a b c +++-=++-+-+++-+=-+--=+左第列第列第列第列右
20、111111112111110031111100411
1
1
10
x
x x x x y x y y
x
y
++----=-+-----第行第行左第行第行第行第行
14
44
01114(1)
10(1)()00
x
x x
x
y y x
x x
x
y
++--+-⋅⋅-+-⋅-⋅----按第列展开 22
22222(1)()x y y x xy xy x x y y x y x x y ⎡⎤=---++-=----==⎣⎦
右
21、3
3
33
3
3
3
3
3
3
3
1
11
1
11010
b a
c a
a
b c b a c a
b a
c a
a
b
c
b a
c a
--==--=⋅
----左
()()()()()()()()()()()()()()()()2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b a
c a c ac a c a b a b ab a b a c a c ac a
b ab a b a
c a c ac b
ab b a c a c b a b c =--++---++=--++---=--+--=---++=右
22、解法1：()()()()232322332
2
3
3
2
2
3
3
2
3
2
2
3
3
11001
11
1
a a
b b b a b a b a
c
a
c
a
b
a
c
c
c a
c a
=--=-------
整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---
又根据范德蒙行列式有：()()()222
1
1
1
a a
b a
c a c b b b c
c
---=
故原式得证。

解法2：分析：观察到右端的行列式是一个3阶范德蒙行列式 解答：构建新的4阶范德蒙行列式：
2323232
3
1
1()11
a a a
b b b f x
c c c x
x
x
=
()f x 按第4行展开得：23
41424344()f x M M x M x M x =-+⋅-⋅+⋅ (1)
其中，2323422
3
1
1
1
a a M
b b c
c
=，22442
11
1
a a M
b b c
c
=
按范德蒙行列式结论得：
()()()()()()()f x x a x b x c c a c b b a =------
32
()()()()()x a b c x ab bc ca x abc c a c b b a ⎡⎤=-+++++----⎣⎦ (2)
式子(1)和(2)对比，可得
42()()()()M ab bc ca c a c b b a =++---
44()()()M c a c b b a =---
可以看出，4244()M ab bc ca M =++，即2322322
3
2
11
1
()1
1
1
a a a a
b b ab b
c ca b b c
c
c
c
=++，得证.
23、
1
02021
0212001400223543023455430025
a a a
b b
c a b ac b
d abcd c c b c d
d
d
d -==⋅=第，列第，行对换对换
24、
21
10010100
1101
1(1)(1)0
10110
1
1
1
a b b a c c c d
d
d
+-=-+------()1a bcd d b cd ++++ 1abcd ad ab cd =++++(1)1(1)(1)ab cd ad cd ab cd ad =++++=+++
25、
2222222222222
2
2
2
(1)(2)(3)21(1)(2)(3)31(1)(2)(3)41(1)
(2)(3)a
a a a
b b b b
c c c c d
d d d +++-+++-+++-+++第列第列第列第列第列第列2222
21446921446921446921
44
69
a a a a
b b b b
c c c c d
d d d ++++++++++++
2
222
212632*22126043*2212621
2
6a
a b b c
b d
b +-+=-++第列第列第列第列
26、
1
111421201
114320
01
2
2
2
a b c a b c b
c a b c a c a b c a b b c c a a b -=-+++第行*第行第行*第行
27、1
1
11112222443333334
4
4
4
2
2
0000
000000000000000
a b a b a b a b b a b a b a a b a b b a b a b a -第2,4列第2,4行对换对换
1133141423234
42
2
()()a b a b a a b b a a b b b a b a =
=--
28、
12222
1
2222212
2222100002232210100312221210030n 12
2
2
2
1
2
n n n
n ------
第行第行第行第行第行第行
2222121000000100320
0030n 20
2
n n -----
第行第行第行第行第行第行
21
2
2220
1001(1)
12(2)!00300
2
n n n +-⋅⋅=-⋅---
按第列展开
29、1n +阶范德蒙行列式的计算和n 阶范德蒙行列式的计算是类似的，只需将n 阶范德蒙行列式的n 换成1n +。

本题中1,1,2,1i x a i i n =-+=+ ，根据范德蒙行列式的计算公式知， 原式()11
i
j j i n x
x ≤<≤+=
-∏
()()()()()()()()213141113242121n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x +++=--------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()()()()()()()()()12312311n n =--------+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()()()()12
1!11!12!1n n n n n n --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=------⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()
()
()()()1
111!1!2!2!n
n n n n -=-----
()
()
()()12
1!1!2!2!n n n n n +=---
()
(1)2
1
1!n
n n k k +==-⋅∏
30、观察发现，第i 行可提出公因子n
i a ，1,2,,,1i n n =+ 。

所以
原式2
1111112
2221212222
1111
111
1()1
n
n
n
n n
n n n n n n b b b a a a b b b a a a a a a b b b a a a +++++++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
为(1)n +阶范德蒙行列式，
由公式得
原式1211211111()()j j i i j
n
n i
n n j i n j i n i
j i j b a b a b b a a a a a a a a a a ++≤<≤+≤<≤+⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭∏∏ 又
111211111
()()()()i j n n n n n n j i n a a a a a a a a a a +++-+≤<≤+=∏
121()()()n n n n a a a a a a -⋅
3132()()a a a a ⋅ 21()a a ⋅ 121()n
n a a a +=
所以，原式()12111
()n
n j
i i j j i n a a a a
b a b +≤<≤+=-∏
31、系数行列式
504211111111210112114112102103
2474120412003245
1
3
111150420513D ----=
-=-
=----=----------，行对换 1304211201120201112113112102013
2271120304203221
1
1
01110111
0111
D ----=
-=-=---=---，行对换 2534210111011110112114112101101
2474120412001243
1
3
1
1
1
5
3
4
2
03
1
3
D =
-
=-
=---=------，行对换
3503211011101210111114111102103
1474110411003145
3
3
110150320533D ----=
-=-
=---=------，行对换 4504311101110211112114112102113
2174121412103215
1
3
1
1
1
5
4
30
5
1
3
D ----=
-=-=---=-------，行对换 所以，11717
D x D
-==
=-，22717
D x D =
=
=--，33717
D x D ==
=--，44717
D x D
-=
==-
32、系数行列式
0111110111101111011101111
11111,21
101111011011001110111101010101
11101
1
1
1
1
1
D =-=----行对换
10111211011111012140
02110
11
1
2
001210011
2
---=-=----=------------ 1111111111154201111
1
000433
101111100324110110110215
111
010
1
1
D ---=-----第行第行第行第行第行第行第行第行
21120413001
10001
10001512*41
1100111001011010110100111
0011--++------第行第行第行第行
740001100001
1000
1
100013*314*2111
110
01110010110101101001
1
1
001
1
--++=------第行第行第行第行
21
20111101111541
11112111110004311001(1)
1
301101
1
0011103214101011101
1
1
211
5
1
1
1
1
1D +---=--------第行第行第行第行按第列展开
第行第行第行第行
1+4
4
4
1
101
11
4(1)(1)
111(1)(1)(1)
1107
1
11
11+--⋅--+-⋅-⋅--=-
按第列展开 21
30111101
11
1541
1111
0211111004311001(1)
1
13110110001103211401001
1
00
1
1
1
211
1
5
1
11
1
D +---=-------第行第行第行第行按第列展开
第行第行第行第行
11
2
1
1
001
111(1)1(
1)110(1)1(
1)
110
3
1
1
11
11++-⋅⋅--+-⋅⋅--=--按第列展开
21
40111101111541
1
1
11
0121110
1
04311101(1)
1
10310111001103211141001100
1
1
211
1
1
5
1
1
D +----=------第行第行第行第行按第列展开
第行第行第行第行
11
2
1
1
101111(1)1(
1)1
10(1)1(
1)110
1
110
11
++--⋅⋅-+-
⋅⋅-=---按第列展开 21
50111101111541
1111
01121100143110
1
1(1)
1
10130110
1
01113211114001110
1
1
211
1
1
5
1
1
D +----=------第行第行第行第行按第列展开
第行第行第行第行
11
2
1
1
011
111(1)1(
1)111(1)1(
1)
111
5
1
1
1
1
++--⋅⋅--
+-⋅⋅--=-按第列展开
所以，11114
D x D
=
=
，2274
D x D
=
=，3334
D x D ==，4414
D x D
-=
=，5554
D x D
-=
=
33、因为齐次线性方程组有非零解，所以其系数行列式0D =，即
1111112112110101114131113100410
11
411
1
1
a a a a D a a
b a
a
b
a b a
----=
-=--------第行第行第行第行第行第行
2
(1)40a b =+-=
所以，2(1)4a b +=
34、设直线方程0ax by c ++=，由于直线过点()()1122,,,x y x y ，所以110ax by c ++=，220ax by c ++=。

问题转化为求齐次线性方程组1122
000ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩中不同时为零的,,a b c
满足的条件。

因此根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件：系数行列式等于0，可得112
2
1101
x y x y x y =
35、由已知条件，得
0123012301230123(1)0(1)4(2)2483(3)382716
f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-=⎧⎪=+++=⎪⎨=+++=⎪⎪=+++=⎩
其系数行列式
1111111121202
1
0111110202313392*3*4113124803394
8
28
1
2
7
411
3
9
27
4
8
28
D -----=
-==-第行第行第行第行第行第行
24*248==
1011111011101211341111141024234*1324842380631249*116
3
9
27
9
3
6
27
12
16
36
D -------=
-
---第行第行，列第行第行对换第行第行
242121
63122*3*421424*1433612
16
36
3
4
9
====
2101110112140214110402313391348033916
8
28
411
16
9
27
16
8
28
D ---=
-=-第行第行第行第行第行第行
4
0242*13
3908
8
24
-=第行第行 31101110121114102423112380339411
3
16
27
4
16
28
D -----=
--第行第行第行第行第行第行
242121
3392*3*411324*(10)240416281
4
7===-=- 4111011102120410211140204313332*3*4111124303334
8
16
1
2
4
411
3
9
16
4
8
16
D ---=
-==-第行第行第行第行第行第行
24*496==
所以，107D a D
==，210D a D
=
=，325D a D
==-，432D a D
=
=
所以，2
3
()752f x x x =-+
补充题： 36、
(1) 证：记1
2
1111111
1
1n n
a a D a ++=
+
.
当1n =时，左11a =+，右111
1(1)1a a a =+=+，左=右，等式成立。

设1n k =-时等式成立，即
1
1
1
2
11
1
1
111111111
1
1k k k i i i i k a a D a a a ---==-++⎛⎫=
=+⋅ ⎪⎝
⎭+∑
∏
当n k =时，
1
1
2
2
1
1
1
111111111
1111111k 1111111111
1
1
10
k k k k
k
a a a a D a a a a a --++++=
-+++-
第行第行
21
111
1
1111111k ()(1)
(1)
1
1
11
k k k
k k k a a a D a ++--+--+⋅-+
按第行展开
21
112131k-111
111000(1)0
00
k
k k k a a a D a ------+ 第行第行第行第行第行第行
2
31*(2)
111
0000(1)(1)
10
k k k k k a a a a D a ---=-⋅-⋅⋅
+
22
12311(1)
k k k k a a a a a D ---=-⋅+
1
1
1231
1
1
11k k k k i i i i a a a a a a a ---==⎛⎫=+⋅+
⋅ ⎪⎝
⎭∑
∏
1123111111
1111k k
k k
k k i i i i i i k i i a a a a a a a a a a --====⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭∑∑∏∏
所以，结论成立。

(2) 略.
(3) 由(1)中过程可得11231n n n n D a D a a a a --=+ ，所以
11231n n n n D a D a a a a --=+
()12123212311n n n n n n n
a a D a a a a a a a a a a ----=++⋅
12
12311
11n n n n n n n a a D a a a a a a a ----⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
()12312331231111n n n n n n n n n a a a D a a a a a a a a a a a ------⎛⎫
=+++ ⎪⎝⎭
123
123212
1111n n n n n n n n n n a a a D a a a a a a a a a -------⎛⎫
=+++ ⎪⎝⎭
1211232123111n n n n n n a a a D a a a a a a a a a ---⎛⎫
==++++ ⎪⎝⎭
()12112321231111n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ---⎛⎫
=+++++ ⎪⎝⎭
1232112311111n n n n a a a a a a a a a a --⎛⎫=+++++ ⎪⎝
⎭ 1
1
11n
n
i i i i a a ==⎛
⎫=+
⋅ ⎪⎝⎭∑
∏
(4) 一般解法：
1
12
1212131n 111111111101
1
10n
n
a a a a a a a a ---+++-+-
第行第行第行第行第行第行
111122111
000
i
n
n
a a a a a a a a a ⨯
++
++
第1列+第i 列(i=2,3,,n)
11122111121
2
(1)()n
n
n
n
a a a a a a a a a a a a a a a a =++++
=+
+
++
121
2
111(1)n n
a a a a a a =+
+
++
37、解法1：证明由性质3，得
左边=11
2
2
1
100010
000
100
100
000100010
n
n
n n x x x x x D x x a a a a a x
------+=+--
， 将1D 的第1列乘以1x
加到第2列，再将第2列乘以
1x
加到第3列，….，将第1n -列乘以
1x
加到第n 列，得
1113121
2
2
1
2
2
3
1
2
1
12112
2
1211
000000000000
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n k
n n k
k x x D x
a a a a a a a a a a a a a a x x
x x
x
x x
x
x
a a a x
a x x x a xa x
a a a
x
----------------==
++++++++
++
+⎛⎫
=⋅++++ ⎪⎝⎭
=++++=
∑
所以左边=1
n
n
n k
k
k x a
x
-=+
∑=右边。

解法2：注意到11D x a =+，n D 按第一列展开，得
()()
1
1
11
2
1
1000
10
110001n n n n n n
n n x x D xD a a a a x a +------=
=+---+
()2
12121n n n n n n n n xD a x xD a a x D a x a -----=+=++=++
()2
32
321321n n n n
n n n n x
xD a a x a x D a x a x a ------=+++=+++
依此类推
()1
1
112
2
1
n
n
n
n n k
n n k
n
n k
n k
k k
k k k D x
D a
x
x
x a a x
x a
x
-----=====+
=++=+
∑∑∑
38、解法1：
123110000100001000010
0n n
a a x a x a x a x -----
1321
1
2
2
132
2
3
13
3
4
11
11
211
1200000000000000000
n n n n n n n n n n n n n n n
n n x n n x
x
a a a a a x
x
x
x
a a a a x x
x
x
a a a x x
x
a a x x a x
-----------+
⨯-+
⨯-+
⨯+++
+++
++
++
+++
第行第行
第行第行第行第行
1
1321122
3
2
1
13211
n n n n n n n n n n n
n k
k
k a a a a x
a x x x x a a x a x
a x
a x
a
x
---------=⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭
=+++++=
∑
解法2：按最后一行展开（思路类似于37题解法2）
()2
11212n n n n n n n n n D a xD a x a xD a a x x D -----=+=++=++
()2
23123123n n n n n n n n a a x x
a xD a a x a x x D ------=+++=+++
2
2
1
1221n n n n n a a x a x a x
x
D ----=+++++
22
1
12211
n
n n n k
n n n k
k a a x a x a x
x
a a
x
-----==+++++=
∑
39、记cos 11
2cos 11
2cos 11
2cos n D θθθθ
=
，按第n 列展开，则 ()()()
11211cos 11
2cos 12cos 12cos 1
2cos 10
1n n n n n n D D D D θθθθθ----⨯-=-⋅
=⋅-
证法1（归纳法）：
当1n =时，1cos D θ==右，等式成立；
假设当n k ≤时，等式成立，则1cos ,cos(1)k k D k D k θθ-==-； 当1n k =+时，112cos 2cos cos cos(1)k k k D D D k k θθθθ+-=-=⋅--
[]12cos(1)cos(1)cos(1)cos(1)2
k k k k θθθθ=⋅
++---=+
得证。

证法2（递推公式法）：
122cos n n n D D D θ--=⋅-()()12cos sin cos sin n n i i D D θθθθ--=++--⎡⎤⎣⎦ ①
根据式①有
()()112cos sin cos sin n n n n D i D i D D θθθθ----+=--
即 ()()()112c o s s i n c o s s i n c o s
s i n n n n n D i D i
D i D θθθθθθ
----+=--
+⎡⎤⎣
⎦
② 根据式①有
()()112cos sin cos sin n n n n D i D i D D θθθθ-----=+-
即 ()(
)()112c o s s i n c o s s i n c o s
s i n n n n n D i D i
D i D θθθθθθ
-----=+-
-⎡⎤⎣
⎦
③ 令()1cos sin n n n X D i D θθ-=-+，则②式化为
()()()
2
2
122cos sin cos sin cos sin n n n n X i X i X i X θθθθθθ---=-=-==-
()()()()()()
()
()()
[]
2
212
22
2
2
1
cos sin cos sin cos sin 2cos 1cos sin cos cos sin sin
sin cos cos sin sin sin cos sin cos sin sin cos(1)sin(1)n n n n n i D i D i i i i i i i i i i n i n θθθθθθθθθθθθθθθ
θθ
θθθθθθ
θθθ-----=--+⎡⎤⎣⎦
⎡⎤=---+⎣⎦
=---=--⎡⎤⎣⎦
=--=----
令()1cos sin n n n Y D i D θθ-=--，则③式化为
()()()
2
2
122cos sin cos sin cos sin n n n n Y i Y i Y i Y θθθθθθ---=+=+==+
()()()()()()
()
()()
[]
2
212
22
2
2
1
cos sin cos sin cos sin 2cos 1cos sin cos cos sin sin
sin cos cos sin sin sin cos sin cos sin sin cos(1)sin(1)n n n n n i D i D i i i i i i i i i i n i n θθθθθθθθθθθθθθθ
θθ
θθθθθθ
θθθ-----=+--⎡⎤⎣⎦
⎡⎤=+---⎣⎦
=+-+=++⎡⎤⎣⎦
=+=---
所以，12sin sin 2cos(1)n n n Y X i D i n θθθ--=⋅=⋅- 所以，1cos(1)n D n θ-=- 所以，cos n D n θ=.
40、4152332
52
10
751245213
121552072513115294520135247530530732
521
2
1
3
12137
7
7
7D ----=
=⨯⨯⨯------
41
12
10
55275552755
1002401
1(1)
(1)100
24020
95241353530035300
95
4
135
100
055275
4535453511245035(1)
215
15
15
1
1
3530035300
35300
15
15
2151(4535)35300
35
++---=
=
----⨯⨯------=-=-⋅=
⨯--⨯⨯⨯--⨯=-+=
⨯
41、1223n-1n 11100111
11001011111001
1
1
1
11n n n n n n n n n
n ----+------+----
第行第行第行第行第行第行
(1)
(1)1
1
2
2
-12-1120
001001001001
1
2
1
(1)
(1)(1)(1)(1)
n n n n n n n n n n n n n n n n -+--+++--------=----=-+
第列第列第-列第列第列第列
42、 解法1：将第1行乘以-1加到其余各行，得
原式=
112
31
2131
0000
n n a a a a λλλλλλλ+---
再将第2列乘以
12
λλ，第3列乘以
13
λλ，…，第n 列乘以
1n
λλ均加到第1列，得
原式3
2
11111232
3
2
3
00
00000
n
n n
n
a a a a a a a λλλλλλλλλλ++
+
++
=
1212121
111n n n n
n
i j i j i a a a
a λλλλλλλλ==⎛⎫=++++ ⎪
⎝⎭⎛⎫⎛
⎫
=⋅+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭∑
∏
解法2：记311231
22331
231
2
n n n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a λλλλ++=++
331212331222233331
2233
12
2
000
n n n n n n n n
n n
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλ++=+++++
312
322
233231
3
2
00
00000
n n n n n
n
a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλ++=++
12311n n a D λλλλ-=+
所以，12311n n n D a D λλλλ-=+ []123123422n n n a a D λλλλλλλλ-=++
1231234122n n n a a D λλλλλλλλλ-=++
1231234111n n n a a D λλλλλλλλλ-==+++ 123123411()n n n n n a a a λλλλλλλλλλ-=++++
12312341231123n n n n n a a a λλλλλλλλλλλλλλλ-=++++
111n n n
j k k j k k k j a λλ===≠⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭
∑∏∏
43、
解法1：各行元素之和均为(1)1232
n n n +++++=
，把各列元素加到第1列，得
1(1)231211231(1)34121
341114512(1)45121(1)
2
2
11321(1)1321
1
2
2
1
21(1)
1
2
2
1
2
n n n n n n n n n n n n n D n n n n n n n n n n n n n n n n +--++==
+--+----+--
从最后一行起，依次减前一行，得
12310
1111011111(1)
2011110
11
1
1
n n n
n n n n D n n n n
⨯---=
+--
(1)(1)
1
11111111(1)
2111111
1
1
n n n n n n n n
-⨯---=+--
第一行乘以-1加到其它行，得
(1)(1)
1
111001(1)
2000
n n n n n n D n n n n n
n
-⨯---=
+--
再将各列加到最后一列，得
(1)(1)
1
1110001(1)
20000
n n n n D n n n n
-⨯---=
+--
(1)(2)(1)
(2)
1
2
2
11(1)(1)
(1)()
(1)
2
2
n n n n n n n n n n n
-----+=
+⋅---=-⋅
44、将该行列式添一行，并加一列，使之成为n+1阶范德蒙行列式，即
1
231222111111222123133211111n n n n n n n n n n n
n
n
n
n n n n
n
n
y x x x y x x x x V x
x
x
x
x x x y
x y
x +----------=
（1）
()()()
()121n i
j j i n
y x y x y x x
x ≤≤≤=----∏ （2）
由（1）式可见，将（1）式按最后一列展开，其1n y -的系数就是原行列式n D 的值乘以-1；又由（2）式可见，1n y -的系数为()
()121n i
j j i n
x x x x
x ≤≤≤-----∏ . 所以原行列式n D 的值
为()
()
()12111n n n i
j i i j i j i n
j i n
D x x x x
x x x x =≤≤≤≤≤≤⎛⎫
=+++-=- ⎪⎝⎭∑∏∏
45、证明（用数学归纳法）导数关系式
()()()()()()()
()
()
111212122212n n n n nn a t a t a t a t a t a t d dt
a t a t a t
()
()()()()()()
()
()
111121221
1j n n
j n j n nj nn d a t a t a t dt d a t a t a t dt d a t a t a t dt
==
∑
⑴
证明：将()ij a t 记作ij a ；
()ij d a t dt
记作ij
a '. 对行列式的阶数n 作数学归纳法证明。

当1n =时，有
()()1111da t d a t dt
dt
=
，
()()1111da t d a t dt
dt
=
，所以等式显然成立；
假设(1)式对1n -阶行列式成立，下面证明(1)式对n 阶也成立时，记
()()()
()
()
()
()
()
()
1
1
12
1
2122212n n n n nn a t a t a t a t a
t a
t D a t a t a t =
，导数
d D dt
记作D '，
则有 111121211
n n D a A a A a A =++ ， 故 11112121
1111
11
21
21n n n n
D a A a A a
A a A a A a A
'''''''=+++
++ ⑵ 其中 11
12
1
21222
11112121
11
12
n n n n n
n nn
a a a a a a a A a A a A a a a ''
'''++='
⑶
又归纳假设得
1111
212111n n a A a A a A '''++ 22
223233112
2
j n n
j n j n nj
nn
a a a a a a a a a a =''='∑
12
113233212
2
j n n
j n j n nj nn a a a a a a a a a a =''-+'∑
()
12
111
222212
12
1,1,1j n n
n j n n j n n
j n n
a a a a a a a a a a +=---''+-'∑
12
11112222212
2
1j n n
j n j n nj
nn
n a a a a a a a a a a a a =''=
'∑
⑷
综上得，⑵式右端= ⑶式+⑷式=⑴式右端。

所以对任意的n 阶行列式求导数都等于(1)式中
的n 个行列式之和。

46、分析：圆的标准方程为222
00()()x x y y r -+-=
22222
0000()220x y x x y y x y r ⇒+--++-=，
则可设圆的一般方程为22
()0a x y bx cy d ++++=，其中0a ≠。

点111222333(,)(,)(,)(,)P x y P x y P x y P x y 、、、的坐标满足该方程，则有
2222
111122
2222223333()0()0
()0()0
a x y bx cy d a x y bx cy d a x y bx cy d a x y bx cy d ⎧++++=⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩
又因为0a ≠，则上方程组中的未知量,,,a b c d 有非零解，其充分必要条件为系数行列式等于零，即
2
22211112222
2222
33
3
3
11011x y
x y x y x y x y x y x y x y ++=++
这就是圆上动点(,)P x y 所满足的方程。

47、设平面直角坐标系中直线的一般方程为
0ax by c ++= (1)
三个点位于该直线上时，其点的坐标满足方程，即
11223
3000
ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ (2) 方程(1)中的,,a b c 不全为零，因此关于,,a b c 的齐次线性方程组(2)有非零解。

所以3个点位于同一直线上（即3点共线）等价于方程组(2)有非零解。

由克莱姆法则知，由n 个方程构成的n 元齐次线性方程组的系数行列式不等于零时，齐次方程组只有全为零的解，这等价于齐次线性方程组有非零解时其系数行列式必须等于零，
这里就是1
12
23
3
1101
x y x y x y =
48、设平面方程为0ax by cz d +++=，将已知三点代入平面方程，得
023023303a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d +++=++=-⎧⎧⎪⎪
+-+=⇒+-=-⎨⎨⎪⎪--+=--=-⎩⎩
系数行列式111
2
311603
1
1
D =-=-≠--， 11
3181
1
a d D d
d d
-=--=---，1
1
2123
1
b d D d d d
-=--=--，1
12363
1
c d D d d d
-=-=-- 由克莱姆法则，得
816
2
d d a =
=-
-，2168
d d b =
=--，6316
8
d d c =
=-
-
代入平面方程0ax by cz d +++=中，得302
8
8
d d d x y z d --
-
+=
即4380x y z ++-=
49、空间直角坐标系中球面的一般方程为
222
0x y z ax by cz d ++++++=
球面上的点的坐标应满足该方程，于是由题设即得
11101110
111010a b c d a b c d a b c d a d ++++++=⎧⎪
++++-+=⎪⎨
+++-++=⎪⎪-+=⎩
即
33
31a b c d a b c d a b c d a d +++=-⎧⎪
+-+=-⎪⎨
-++=-⎪⎪-=⎩
(1) 方程组(1)的系数行列式为
11111111020
1111002020080111102001
1
2
1
1
1
1
2
D ---=
==-=≠--------- 所以方程组(1)有惟一解3124,,,D D D D a b c d D
D D
D
=
=
=
=
，其中 131111
1
1
3
11311141
11(1)31183111
1
1
1
3
1
1
1
1
D ----=
--+---=-------按第行展开
213111311013111101D ---=
=--（第1，3行相同）
311311131011311011D --=
=---（第1，2行相同）
4111311130201113002020016111302001
1
4
1
10
1
1
4
D ------=
==-=-------- 于是即得，8161,0,28
8
a b c d --==-===
=-
所以该球面的一般方程为22220x y z x ++--= 化为标准方程2
2
221322x y z ⎛⎫⎛⎫
-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以球面半径32
R =，球心坐标1,0,
02
⎛⎫
⎪⎝⎭
50、这里不仅22
a b ≠，而且0,0a b ≠≠，如果0,0b a =≠，则方程组显然有惟一解，且
()11,2,,2i x i n a
=
= .
该方程组的系数行列式
a
b
a
b
a b D b
a
b a
b
a
=
()()
()
()2
2
2
2
2
2
22
222n 12n 12n 1000
0n
n
n b a b a
b a
a
b
a
b
a
b a b a
a b a
a b a
a b a a b a +⨯-
+⨯-
+⨯-
---⎛⎫-==-≠ ⎪
⎝⎭
第行第行第行第行第行第行
所以方程组有惟一解。

由第1个方程和第2n 个方程，有121211
n n ax bx bx ax +=⎧⎨+=⎩，得12
2
1
1
1b a a b x a b a b
a b
b a -=
=
=
-+，
22
2
111n a
b a b x a b a b
a b
b
a
-=
=
=
-+，即121n x x a b
==
+；
同理，由第2个方程和第2n-1个方程可得2211n x x a b
-==+；……；由第n 个方程和
第n+1个方程可得11n n x x a b
+==
+. 所以该方程组的惟一解为
1
j x a b
=
+，1,2,,,1,2j n n n =+
112312413423411202
2
1123
221123
221120
2
2
x x x x x x x x x x x x ⎧-
-
=⎪⎪⎪-+-=⎪⎨⎪-+-=⎪⎪⎪--
+=⎩
()112002
2
11203
2
2,1102322
1102
02
2
A b ⎛⎫-- ⎪
⎪ ⎪-- ⎪=
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪
--⎪⎝
⎭
20020022001102322
1102
02
2
-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪
⎪-- ⎪⎝⎭
20020200200220002200
02130021333001
2
0000
22-⎛⎫
-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪- ⎪→→
⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-
⎪⎝⎭⎝
⎭
3111112
12,21012
310
1A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
43423
143
322
23
220
220
x x x x x x x ⎧=⎪⎪⎪-=∴⎨⎪-=⎪-=⎪⎩解得1234
1221x x x x =⎧⎪
=⎪⎨
=⎪⎪=⎩. 2 12342341
242342344
3331733
x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪
-+=-⎪⎨+-=⎪⎪-++=-⎩
()12344123441
23440
11130111301113,130310537300212120
7
3
1
30
7
3
1
30
16
0A b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪------
⎪
⎪
⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
434234123416021212
32344
x x x x x x x x x x -=⎧⎪-=⎪∴⎨-+=-⎪⎪-++=⎩解得432
10638
x x x x =⎧⎪
=⎪⎨=⎪⎪=-⎩
3 123412341
23412342353
342322887980
x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪
+++=-⎪⎨++-=⎪⎪+++=⎩
(),A b =23513128181
28183
4232342320222626
12818235130111313791
807918
005
55
15
56--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-----
⎪
⎪
⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪
---- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12818128
1801113130
111313
0222626000000
5
55
15
560
9--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪------ ⎪
⎪→→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
此含矛盾方程，故原方程无解！ 4 1234123412341234101111024570333205250
x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪
+-+=⎪⎨-+-=⎪⎪+-+=⎩ ()11011111
1011111
101111245702427290
242729
,333202730310332512
50
5157
600
515760A b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪--- ⎪
⎪
⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11011111
1011111
101111003130
03130
33203320332003130
6
2600
00
0------⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪--- ⎪
⎪
⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪
--- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
342341
2343130
33201011110
x x x x x x x x x -+=⎧⎪
∴-+=⎨⎪-+-=⎩取4x k =，则3133x k =
，211,3x k =10.x = 解为1113
0,
,
,3
3k k k ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，k 为任意常数.
512312321231px x x x px x p x x px p ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩ ()2
2
222
3
1111111,1
1110
1111
1
110111p p p p p
A b p p p p p p p p p
p p p
p
p ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
()()()()
2
2
2
1101100
1211p p
p p
p p
p p p p ⎛⎫
⎪→--- ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝
⎭
分情况讨论：
1) 无解 ()()120p p -+=但是()()2
110p p -+≠时无解，即2p =-.
2) 唯一解 0A ≠即()()()11120p p p ⋅--+≠，解得1p ≠且2p ≠-.此时的解为
()2
111
,,.222p p p p p ⎛⎫++-
⎪ ⎪+++⎝
⎭
3) 无穷解 0,A =解之有1p =或者2p =-(舍).故1p =，所以解为()12121,,k k k k --, 其中12,k k 为任意常数. 6123412341
23412343621230510341
x x x x x x x x x x x x q x x px x --+=-⎧⎪
--+=⎪⎨++-=⎪⎪+++=⎩ ()136********
123002431,15101081631314
10
101824A b q q p p ------⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪--
⎪
⎪=→ ⎪ ⎪
--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ 136211
3621024110
2411
00073002710
2
7
10
7
3q p p q ------⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪→→ ⎪ ⎪
----- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭
讨论：
1) 唯一解：0A ≠解得 2.p ≠此时解为213223,14,,227227q q q q q p p ⎛⎫
⎛⎫------- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。