奥数-分式恒等变形师

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分式恒等变形
方法一、通分:直接通分;逐步通分;移项通分;分组通分;分母因式分解再通分。

例1. 若22004a m +=,22003b m +=,22002c m +=且24abc =,求
111
a b c bc ca ab a b c
++---的值。

(1/8) 例2. 若0abc ≠,0a b c ++=,求222
a b c bc ac ab
++的值。

(3)
例3. 求证:
2220()()()()()()
a bc
b a
c c ba
a b a c a b b c c b a c ---++=++++++
例4. 设正数x ,y ,z 满足不等式
2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+222
2z x y xz
+->1,求证x ,y ,z 是某个三角形的三边长
【分析与证明】原不等式可变形为z(x^2+y^2-z^2)+x(y^2+z^2-x^2)+y(x^2+z^2-y^2)-2xyz>0 因式分解得(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0
所以三个括号内的数全正或者1正2负,因为x ,y ,z 全正,所以不可能1正2负(证明略)所以三个括号内均为正数,所以x ,y ,z 是某个三角形的三边长
例5. 求分式248161124816
111111a a a a a a +++++
-+++++,当2a =时的值. 【解析】 先化简再求值.直接通分较复杂,注意到平方差公式:()()22a b a b a b -=+-,可将分式分步通分,每一步只通分左边两项.
原式()()()()24816
1124816
111111a a a a a a a a ++-=++++-+++++
224816224816
11111a a a a a =
++++
-++++ ()()()()
22481622
2121481611111a a a a a a a +++=++++++-+
44816448161111a a a a =
+++-+++1616161611a a =+-+3232
3232
112
a ==--
例6. 若实数a ,b ,c 满足
1111
a b c a b c
++=
++,求证: 777777
1111
a b c a b c
++=++.
【证明】:由已知得到()()bc ac ab a b c abc ++++=,有()()()0a b b c a c +++=,则a ,b ,c 中一定有两个数互为相反数。

例7. 化简:
()()()()()()
a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++.
【解析】 原式()()()()()()a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎡⎤
------⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪++++++⎝⎭⎢⎥⎣⎦
()
()()()
()
()()()22b a c b a c c a a b b c a b b c c a -+=+-+++++
()()()()()()
22b a c b a c a b b c a b b c --=-++++ 0= 例8. 计算:2132x x x -++262x x ---2
10
4
x x ---. 【解析】 设2132x x x -=
++1A
x ++()()()()
2212A B x A B B x x x +++=+++. 121A B A B +=⎧⎨+=-⎩解之得23A B =-⎧⎨=⎩
∴21233212x x x x x -=-+++++.同理:2
62x x --22x =--2
1
x +,2104x x -=
-32x +2
2
x --. ∴原式21x =-++32x +22x --+21x +32x -++2
02
x =-.用因式分解再通分法比较好
补充:化简分式:
222
525710
61268
x x x x x x x x x --+-+----+
例9. 化简22
32233223222244
113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--
+++-+--+-. 【解析】 按照分式混合运算法则进行化简:
22
32233223222244
113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--
+++-+--+-
()()()()
()()22222211a b a b a b a b a b a b a b a b =++-+-+++-+()()()22
22
3a b a b a b a b +-+-+ ()()()()()
()()()
2222222
2
3a a b b a b a b a b a b a b a b a
b
-++++---+=
+-+
()()()
22222222
22
3a ab ab b a b a b a b a b a b a b -++++-+--=+-+0=. 例10. 化简:
()
()()
()()
()2
2
2
2222
2
2
2
2
2
a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+
+
+-+-+-
【解析】 原式()()()()()()()()()()
()()
a b c a b c b c a a b c a b c b c a a b c a b c a b c a b c a b c b c a +--++-+--++-=
++++-++++-+++-
a b c b c a a b c
a b c a b c a b c
+-+--+=
++
++++++ 1=
例11. 已知0a b c ++=,求证
222222222
111
0b c a a c b b a c ++=+-+-+-
例12.
已知0a b c ++=,求222
222222a b c a bc b ac c ab
+++++的值
【解答】:由222
2222()()()
a a a a bc a
b a b a b a
c ==++----;可得
222
2
222()()()
a a a a bc a
b a b a b a
c ==++----;答案为1; 例13. 已知1,2xyz x y z =++=,22216x y z ++=,求代数式
111222xy z yz x zx y +++++的值。

(4
13
-)
方法二、约分:分子、分母先因式分解再约分
例14. 已知分式2
22
1(1)()x xy x y -+-+
(1) 在什么条件下此分式有意义?
(2) 在什么条件下分式的值为正、为负(此问要解一元二次不等式,超纲) (3) 分式的值能否为0?
【分析与解答】:(1)x,y 的绝对值都不是1
(2)原式=(1+x)(1-x)/(x+1)(x-1)(y+1)(y-1)=1/(1-y^2)
所以当y 的绝对值小于1且x 的绝对值不等于1时,分式为正 当y 的绝对值大于1且x 的绝对值不等于1时,分式为负。

(3)不能 例15.
化简:()()
4223642
1121111a a a a a a a a a ---⎛
⎫-÷ ⎪-+---++⎝⎭ 【解析】 原式()()()()
223324212111121a a a a a a a a a +-+-⎛⎫
=+÷
⎪+--++⎝⎭ ()()()()
334262111111
1
a a a a a a a a +-+-+++=
⋅-+ ()()
()()22422242
2111111a a a a a a a a -+++=⋅+-++ 2=
例16.
化简:()422423216424
2416844
m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+
【解析】 原式()()()
()()()
2
222
222
2
422224241
4
442
44m m m m m m m m m m m m m
m
++--++-+=

⋅⋅+-+++- ()()()
()()
()()
()
2
222
2
2
242222424
1
4
2
24242m m m m m m m m m m m
m m m m ++--++-+=



++++-+- 1=
例17.
化简:2
222222
2112
22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-⎛⎫+÷+⋅⎢⎥ ⎪++-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦
【解析】 原式()()22
222222
22
2a b a b ab a b ab a b a b ⎡⎤-=+⋅⋅⎢⎥-+++⎢⎥⎣⎦
()()222222
222a b ab a b ab
a b a b ⎡⎤-=+⋅⎢⎥-+++⎢⎥⎣⎦()2222222
2a b ab a b ab a b -+=⋅-++()22a b =+ 补充:化简()()422422
3366422412b a a a b b a ab b
a b a b a a b b ---⎛
⎫-÷ ⎪-+---++⎝⎭. 【解析】 按照分式混合运算法则进行化简:
()()422422
3366422412b a a a b b a ab b
a b a b a a b b ---⎛
⎫-÷ ⎪-+---++⎝⎭ ()()()()()()()22422442242222222212a b a a b b a a b b a b
a a
b b a b a ab b a b a b ⎛⎫-++-++- ⎪=+⨯ ⎪-+-++-+⎝⎭
()()()()
42222
22222222
1112a a b b a b a ab b a ab b a b a b ++--⎛⎫=+ ⎪-+++-+⎝⎭ ()
()()222
2
2
22a b a ab b a ab b +=
-+++()()
()()
4
22222
22212a
a b b a b a
b a b ++---+
()2
2
22
212a b a b --=-
补充:化简:()233323222111
2212211
x x x x x x x x x x +-++-+++-+--
【解析】 原式()()()()()()()()
()222222
11112111111x x x x x x x x x x x x x x -+++-++=+--+++--+ 22112(1)111x x x x x x -++=+-+--2222(1)2(1)
01
x x x +-+==- 例18.
化简:
222111111
()()()111111()()()a b c b c c a a b a b c b c c a a b
-+-+--+-+- . (a+b+c )
方法三、倒数法
例19.
若13x x +=,则33441713x x x x
+
+++=___________. 【解析】 解



221137x x x x
+
=⇒+=,故
23232
42421111772511502131x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++-++
+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫++++ ⎪⎝
⎭. 例20. ⑴ 已知1
5a a
+=,则4221a a a ++=_________.
⑵ 若2
410x x ++=,则42321912192x x x x x ++++=_________.
⑶ 若271
x
x x =-+,则24
21x x x ++=__________. 【解析】 ⑴本小题是一个简单题,也是这类题的一个最基本、最原始的模型!
2
211523a a a a
+=⇒+=,
4222211124a a a a a ++=++=. ⑵本题在例题的基础上,对已知条件稍作变形,待求式也稍作变形.
21
4104x x x x
++=⇒+=-
22
4223211171919133311219211219219
x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++++ ⎪++⎝⎭====++⎛⎫⎛
⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⑶本题在上个例题的已知条件上稍作变形,实质是一样的!
2
22
11813477117491x x x x x x x x x
=⇒=⇒+=⇒+=--++-. 2422211149
13415115
114949
x x x x x ====++++-.
点评:倒数法是指利用已知条件中隐含的倒数关系,或者对已知条件、待求式作倒数变形,以便快速、准确地求解问题的一种方法,对于本题而言,已知条件中存在(或隐含)倒数关系,这类题目比较简单.
补充:⑴已知2
310m m -+=,求分式2421m m m ++的值.
⑵ 如果2
310a a -+=,那么361
a a +的值是_________.
【解析】 ⑴ 221
310133m m m m m m
-+=⇒+=⇒+
=(∵0m ≠) 22
4222111
118111m m m m m m m ===++⎛⎫
+++- ⎪⎝⎭. ⑵ 由22211
31037a a a a a a
-+=⇒+=⇒+=,
故363232111
1111181a a a a a a a a ===+⎛⎫⎛⎫+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

例21. 若2
310x x -+=,则74843231x x x x x ++=++________.
【解析】 由22211
31037x x x x x x
-+=⇒+=⇒+=,
故原式23232
4242111
132
3250115013
1x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭====⎛⎫++++ ⎪⎝
⎭.
例22. 设211
x
x mx =-+,则36
331x x m x -+的值是( ) A. 1 B. 213
m + C. 2132m - D. 21
31m +
【解析】 由211
x
x mx =-+可知,
22221111121x mx x m x m m x x x -+=⇒+=+⇒+=+-. 原式33311x m x =+-2321111x x m x x =⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
()()231122m m m m =++--21
32m =-.
例23. 己知311=-y x ,求y xy x y xy x ---+2232的值。

补充:已知114a b -=,求2227a ab b
a b ab
---+的值
例24.
设4
3
22
3
4
40(0,0)a a b a b ab b a b +-++=≠≠,求
b a
a b
+的值. 【解】:两边同除以22a b ,因式分解得到(3)(2)0a
b a b
b a b a
+++-=;答案为2或-3;
例25. 已知
xy a x y =+,yz b y z =+,zx
c z x
=+,且0abc ≠,求x 的值。

例26.
已知()1x
f x x
=
+,求下列的值 111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112
f f f f f f f f f +++++++++
方法四、等比定理、设k 法
例27.
已知:
234134123
1241234
a a a a a a a a a a a a k a a a a ++++++++====,求k ;
例28. 如果
234
x y z
==,求2
22
xy yz zx x y z ++++的值。

例29.

a b c d b c d a ===,则
a b c d
a b c d
-+-+-+的值是_______或________. 【解答】:0或-2;
例30. 若0abc ≠,且
a b b c c a c a b +++==
,求()()()
a b b c c a abc
+++的值。

(8或-1) 例31.

x y z x y z x y z z y x +--+-++==,且0xyz ≠,求()()()x y y z z x xyz
+++的值; 【分析】等比性质;x=y=z 或x+y+z=0;原式=8或-1
例32.
已知
222p q r
x yz y zx z xy
==---,求证()()px qy rz x y z p q r ++=++++。

补充:已知9p q r ++=,且
222
p q r x yz y zx z xy ==---,求px qy rz
x y z
++++的值。

(9) 例33. 已知
x y z x y z x y z z y x +--+-++==,且()()()1x y y z z x xyz
+++=-,求x y z ++.(0)
例34. 已知0ay ≠,且22222222b bx x b bx x a ay y a ay y ++-+=++-+,求证x b a y =或
x b
y a
=。

例35.
已知
y z x z x y x y z
p x y z y z x z x y
+-+-+-===+++-+-,求23p p p ++的值。

(1)
方法五、巧变“1”
例36.
若1abc =,求证:
1111a b c
a a
b b b
c c ca
++=++++++.
【解析】 解法1:因为1abc =,故0a ≠,0b ≠,0c ≠.
则111a b c
a a
b b b
c c ca ++
++++++ 111a a b ab c
a a
b a b b
c ab c ca
=+⋅+⋅
++++++ 1a ab abc
a a
b a ab ab
c ab abc abca
=++
++++++, 注意到1abc =,故上式1111a ab a ab a ab a ab =++++++++11a ab
a ab
++=
++1=. 解法2:因为1abc =,故0a ≠,0b ≠,0c ≠.
则111a b c a ab b bc c ca
++
++++++ 11a b b c
abc a ab b bc b c ca
=++⋅
++++++ 111b bc
b b
c b bc b bc abc
=++
++++++ 1111b bc
b b
c b bc b bc =++
++++++ 11b bc b bc
++=++1=. 解法3:由1abc =可得1
a bc
=,
则111a b c a ab b bc c ca
++
++++++ 1
111111b c bc b bc b c c bc bc bc =++++++⋅++⋅
1111b bc b bc b bc b bc =++++++++11b bc
b bc
++=
++1=. 点评:使用各种各样的代入方法进行化简,题目赋予的信息要充分利用.三种解法的思想是一样的,但是细微之处需要大家用心揣摩,尤其是“1”在其中的使用,更是值得细细品味.
当然,我们也可以通分后再代入计算,但是存在一个问题——过于烦琐,有兴趣的学生可以尝试一下这种思路.
例37.
已知
1111a b c
a a
b b b
c c ca
++=++++++,求证:1abc =.
【解析】 11b c b bc c ca +++++11a a ab =-++1
1ab a ab +=
++, 即2111b ab ab c ac abc ab b bc c ca
+++++=+++++,
故()()211111c ca abc b ab ab ab b bc c ca +++-+++=+++++, 则211111b ab ab abc ab b bc c ca ++-++=+++++,
故2111b ab ab abc ab b bc c ca
++-+=++++.
等式两边同时除以ab ,可得111111b c a ab b bc c ca
++-
+
=++++, 进而
()11
1111b bc bc c a ab b bc c ca ⎛⎫+++-- ⎪
⎝⎭+=++++, 则11
1111bc c a ab b bc c ca ⎛⎫-- ⎪

⎭++=++++, 故11011bc c a ab b bc c ca ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+=++++,从而1111bc c a ab b bc c ca ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=++++. 故()()1111bc c ca c b bc a ab ⎛⎫⎛⎫
-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, 展开并化简,可得21
c abc c ab
-=-,
即2221abc a b c abc -=-,从而()2
10abc -=.
故1abc =.
点评:本题的证明过程非常复杂,其中有一个步骤很关键,就是拆分部分分式的时候,我们从左边的式子里面提出两个1,从而让整个式子得到简化.
补充:若1
abcd =,求证:11111a b c d
a a
b ab
c b bc bc
d c cd cda d da dab
+++=++++++++++++.
例38.
若1abc =,解关于x 的方程
2012111x x x
a a
b b b
c c ca
++=++++++.
例39. 已知1ax by cz ===,求
444444
111111
111111a b c x y z
+++++++++++的值。

答案:1
例40. 设a 、b 、c 均为正数,且a+b+c=1,求证111
9a b c
++≥。

(结合均值不等
式)
方法六、换元法
例41.
化简分式:2
2
2222113111112123
x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+--+⎢⎥⎛⎫+-+-÷⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥--+--+⎣
⎦ 【解析】 原式中只出现了1x x +和221
x x +的形式,而且2
22112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝
⎭,因此可用换
元法。

令1
x a x
+=,则
2
2
221122x x a x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝
⎭.
原式2
22
21231223a a a a a a a --+⎛⎫=--÷
⎪---+⎝
⎭ 2
222
2
11121a a a a a a a a ⎛⎫-+-+=-÷ ⎪--+⎝⎭
()22
22
2
1111a a a a a a a -⎛⎫-+=-⨯ ⎪--+⎝⎭
()
221a a a =--+
21
x x x
-+=
例42.
计算2222
33223322
23()2n m n m m n m n n m n m n m m n m n m n +++÷---+-
【分析与解答】换元法;(n^2+m^2)/(n^2-m^2)
例43.
化简
)()(2)(2)y x z x x y z x y z ---++-(+()()(2)(2)z y x y x y z y z x --+-+-+()()
(2)(2)
x z y z y z x x y z --+--+
【分析与解答】利用换元,令x-y=a,y-z=b,z-x=c 得原式=1 例44.
设a ,b ,c 是实数,且
222222()()()(2)(2)(2)b c c a a b b c a c a b a b c -+-+-=+-++-++-,求分式
222
(1)(1)(1)
(1)(1)(1)
bc ac ab a b c ++++++的值; 【解答】:令,,b c x c a y a b z -=-=-=,x +y +z =0,由已知得到
222222()()()x y z y z z x x y ++=-+-+-,化简得到 2222220x y z xy yz xz ++---=;
又由2
2
2
2
()2220x y z x y z xy yz xz ++=+++++=;两式相加得到,
2220x y z ++=,则a =b ,b =c ,c =a ;得证。

例45. 关于x 的方程22x c x c +
=+的两根是122
,x c x c
==,求关于x 的方程22
11
x a x a +
=+
--的两个根? 例46.
例47. 若0x y z ++=,1110123
x y z ++=+++,求222(1)(2)(3)x y z +++++的值。

(36)
例48.
已知1,0x y z a b c
a b c x y z ++=++=,求证:2222221x y z a b c
++=.
【证明】:22222222()2()()2()101x y z x y z xy xz yz a b c a b c ab ac bc
x y z xyz a b c a b c abc x y z ++=++-++=++-++=-=;
换元:令x
p a
=
,y q b =,z r c =,则1p q r ++=,
0pq qr rp pqr ++=,故2221p q r ++=
例49. 设x 、y 、z 都是正数,求证
2229
x y y z z x x y z
++≥+++++。

证明:令a x y =+,b y z =+,c z x =+,则1
()2
x y z a b c ++=++,则原不等
式变为例40.
方法七、巧解方程组:消元思想;整体相加(减);整体相乘;两两相加(减);倒数
例50.
已知三个不全为零的数x 、y 、z 满足4360x y z --=,270x y z +-=。


222
222
23657x y z x y z ++++的值。

(1)
例51. 已知11a b +=,11b c +=,求2
c a
+的值。

(2) 例52.
已知111
x y z y z x
+
=+=+,其中x ,y ,z 互不相等,求证:2221x y z =. 【证明】:易得到11y z x y z y zy --=
-=,得到y z
zy x y
-=-;得证; 例53. 已知111
x y z t y z x
+
=+=+=,其中x ,y ,z 互不相等,求t 的值。

(1或-1). 【证明】:易得到11y z x y z y zy --=-=,得到y z
zy x y
-=-;得证; 例54.
已知14x y +
=,11y z +=,17
3
z x +=,求xyz 的值。

(1) 例55.
解方程组:2
22
2
2
2
414414414x y x y z y z x z
⎧=⎪+⎪
⎪=⎨+⎪
⎪=⎪+⎩ (x=y=z=0或者x=y=z=1/2) 例56.
解方程组:1112111
31114
x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪
+⎩ (x=23/10; y=23/6; z=23/2)
先通分,再取倒数,整体相加,然后用这个和分别减以上三式,然后相除,得出x 、y 、z 之比,按比例设未知数,带入原方程即可。

例57.
已知
0a b c
b c c a a b
++=---,求证:
2220()()()a b c b c c a a b ++=--- 【证明】:111
(
)()a b c b c c a a b b c c a a b ++++------; 补充:已知222
0a b c
bc a ac b ab c
++=---,求证:
222222
0()()()
a b c
bc a ac b ab c ++=--- 例58.
已知220a b -≠,且
22abc abc
a b M b c c a
-=-=++,求证: ()()()abc a b b c c a =+++,且2abc
M c a b
=-+.
【证明】略。

方法八、降次思想
例59. 已知2
10x x --=,求25
21
x x x ++的值。

(1)
例60. 已知2
519970x x --=,求42(2)(1)1
(1)(2)
x x x x -+----的值。

(2005)
例61. 已知2
10x x --=,求423223293
21122
x ax x ax -+=-++的值。

(,先倒数,再升次)
方法九、裂项:因式分解再裂相
例62. 计算:
20
181
19171531421311⨯+
⨯++⨯+⨯+⨯
例63.
化简111
...123234(1)(2)
n n n +++⨯⨯⨯⨯++
【分析与解答】拆项法;
(3)
4(1)(2)
n n n n +++
例64. 111
1
(1)(2)(2)(3)(3)(4)
(100)(101)
x x x x x x x x ++
+
++++++++
例65. 化简:
()()()()()d
c b a c b a d
c b a b a c b a a b +++++++++++
例66. 求证:111()()(2)[(1)]()()
n
a a d a d a d a n d a nd a a nd ++⋅⋅⋅+=++++-++
例67.
化简22
()()()()()()b c c a a b a b a c b c b a c a c b b a c a
---+++---------
【分析与解答】拆项法;原式=2/(b-c)
例68.
化简分式:
222111
3256712
x x x x x x ++
++++++ 【解析】 三个分式一齐通分运算量大,可先将每个分式的分母分解因式,然后再化简.
原式()()()()()()111
212334x x x x x x =++
++++++
1
11111122334x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭21131454x x x x =
-=++++.
例69. 化简:222222
b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a ---++---
--+--+--+---. 【解析】 本题涉及因式分解的一些技巧:
()()
2b c b c
a a
b a
c bc a b a c --=
--+-- 我们发现,()a b a c c b ---=-,
故211
b c a ab ac bc a b c a
-=+
--+--. 同理,()()211
c a c a b ab bc ac b a b c b c a b --==+
--+----, ()()211
a b a b c bc ac ab c a c b c a b c
--==+
--+----. 故
222222
0b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a
---++---=--+--+--+---.
点评:本题以及下面两道题目的基本模型都是11
a b ab a b
+=+,三个题由浅入深,层
层深入,对技巧的考查和要求越来越高.也可先因式分解后再通分。

例70. 化简:
222
222a b c b c a c a b
a a
b a
c bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+. 【解析】 ()()221111
a b c a b a c a ab ac bc a b a c a b a c a b c a
---+-==+=-
--+------ 同理,
2
211b c a b ab bc ac b c a b --=---+--,2211
c a b c ac bc ab c a b c --=-
--+-- 故2222220a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab
------++=--+--+--+.
例71.
化简:()()()()()()
222a bc b ac c ab
a b a c b c b a c a c b ---++++++++.
【解析】 ()()()()22a bc a ac ac bc a c
a b a c a b a c a b a c
-+--==-++++++
同理,()()2b ac b a b c b a b c b a -=-++++,()()2c ab c b
c a c b c a c b
-=-++++

()()()()()()
2220a bc b ac c ab
a b a c b c b a c a c b ---++=++++++. 例72.
若()2
12a x b xy -=--,且0ab >,求
()()()()
111...1120072007xy x y x y +++++++的值.
【解析】 由题意可知,1
x =,2y =,故
()()()()11111
...11200720071223xy x y x y +++=+
++++⨯⨯ 1111112008
....1 (20082009223200820092009)
++
=-+-++-=
⨯. 例73. 设正整数m 、n 满足m n <,且
22211
11
(1)23
m m m m
n n ++
+
=++++,则m n +的值是多少? 例74.
方法十、化为真分式:部分分式化,求最值或整数解
例75.

26
9
x -化为部分分式. 【解析】 ∵()()2933x x x -=-+,
故设
2
69x -3A x =+3
B
x +-. ∵()()()()()()()()
3333333333A x B x A B x A B A B
x x x x x x -++++-++==+-+-+-

()()()()
2336933A B x A B x x x ++-+=-+- 比较两边分子对应项的系数,得 0336A B A B +=⎧⎨-+=⎩ 解之得11A B =-⎧⎨=⎩
∴2
611
933
x x x =-+-+-.
【变式】 化()()
21
12x x x ---为部分分式.
【解析】 设
()()
211212x A B
x x x x -=+
----, 通分后比较对应项的系数,得 ∴221A B A B +=⎧⎨+=⎩解得:13A B =-⎧⎨=⎩

()()2113
1212
x x x x x --=+
----.
【变式】 将下列分式写成部分分式的和的形式:234
2
x x x +--
【解析】 因为
()()23434221x x x x x x ++=---+,所以我们假设其具有21
A B
x x =+
-+的形式.两边同时乘()()21x x -+,得:
()()()34122x A x B x A B x A B +=++-=++-.
比较同次幂的系数可得324A B A B +=⎧⎨-=⎩
,.
解得103A =,1
3
B =-,从而()()23410123231x x x x x +=-
---+. 例76.
将下列分式写成部分分式的和的形式:()()
32222361
13x x x x x -++++.
【解析】 因为()()
32324222
236123614313x x x x x x x x x x -++-++=++++,故可假设其具有22
13Ax B Cx D
x x +++++的形式,则有:
()()()()3222236131x x x Ax B x Cx D x -++=+++++
()()()()3233A C x B D x A C x B D =+++++++.
比较3
x 和x 的系数,可得方程组233631A C B D A C B D +=⎧⎪+=-⎪⎨+=⎪⎪+=⎩,,,从而2205
A B C D =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩,
,,
因此()()
322222
2361225
1313x x x x x x x x -+++=-++++. 例77.
将下列分式写成部分分式的和的形式:
()()()
322
41338
121x x x x x x -+++--.
【解析】首先我们要仔细观察分母的结构,根据前面所提及的知识,此处可以设部分分式的和的形式为()()()()3222
413381211211x x x A B C D
x x x x x x x -++=++++--+---. 通分之后,两边的分子应该相等:
3241338x x x -++=
()()()()()()()()()22
211112112A x x B x x C x x x D x x --++-++--++-. 令1x =-,得到1A =;令2x =,得到2B =-;令1x =,得到1D =-;比较3x 的系数,得到
45C A B =--=.于是:
()()()()
3222
413381251
1211211x x x x x x x x x x -++=-+-+--+---. 点评:请注意,除非万不得已,要尽量避免将右边的式子全部展开之后再与左边
的式子比较系数,这种方法会占用大家不少时间,并且可能会造成错误.
【变式】 将下列分式写成部分分式的和的形式:()4322
2
31
1(1)
x x x x
x ++-+-.
【解析】 观察分母的结构,我们可以设()()
()4322
2
22
231
11111x x x A Bx C Dx E
x x x
x x ++-++=
++
-++-+. 通分之后比较分子,可得:
()()()()()()2
43222311111x x x A x Bx C x x Dx E x ++-=+++-+++-.
令1x =,得到44A =,即1A =;
令0x =,得到1A C E --=-,即2C E +=;
令1x =-,得到2221A B C D E +-+-=,即221B C D E -+-=-;
令2x =,得到25105210A B C D E ++++=,即105210B C D E +++=;
令2x =-,得到2530156319A B C D E +-+-=,即3015636B C D E -+-=-; 由此解得0121B C D E ====,,,.
从而
()()
()4322
2
22
231
1121
11111x x x x x x x
x x ++-+=
++
-++-+. 例78.
若0x y z ++≠,0x y +≠,0y z +≠,0z x +≠,x a y z =
+,y b x z
=+,z c x y =
+。

求证:1111
a b c
a b c ++=+++。

例79.
已知x 为整数,且
2
23218
339
x x x x ++++--为整数,则所有符合条件的x 的值的和
为多少? 例80. 例81.
求最大正整数n ,使得3100n +能被10n +整除。

(890)
例82. 求方程
3
01
x y x +-=+的整数解。

(分离变量,化为真分式) 例83. 求方程22320060x xy x y --++=的正整数解。

(分离变量,化为真分式(x ,y )
=(2,2008),(6,412),(402,809),(2006,4013)) 例84.
当x 为何值时,分式22
365
112
x x x x ++++有最小值最小值是多少
例85.
【解答】:当x =-1时,原分式有最小值4。

例86. 当x 为何值时,分式2261210
22
x x x x ++++可取最小值,最小值是多少(
例87. x=-1, 最小为4;部分分式化、配方,或用判别式法)
例88. 已知2x ≥,2222
(1)
x x x x +--是否有最值,最值时多少(
例89. x=2,取最大值2) 例90.
十一、杂题
例91.
已知1a x =,11
1n n
a a +=-
(1,2,3,...n =) (1)求2a ,3a ,4a ,5a ;(2)求2000a
【分析与解答】迭代分式;(1)a2=(x-1)/x,a3=1/(1-x),a4=x,a5=(x-1)/x (2)a2000=a2=(x-1)/x
例92.
已知6ab x a b =
+,求3333x a x b
x a x b
+++--的值. 【解答】:由已知可得22,33x b x a
a a
b b a b
==
++;由比例性质可得 3333,33x a a b x b b a
x a b a x b a b
++++==
----,故原式=2.
补充:已知4pq x p q =
+,求2222x p x q
x p x q
+++--的值.
【解答】:2
例93.
已知3a c
b d
==,求证:222222()()a c b d a b c d a c b d a b c d ++++++=+++++ 【证明】:代入法;
例94. 计算22
2
2
22129911005000220050009999005000
+++-+-+-+。

(首尾相加=2*49+1=99)
例95.
若a ,b ,c ,d 是正实数,且44444a b c d abcd +++=,求证:a b c d ===;
【证明】:已知变形为
422442242222(2)(2)2(4)0a a b b c c d d a b abcd c d -++-++-+=;。

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