2019-2020学年江苏省苏州市昆山市、太仓市九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年江苏省苏州市昆山市、太仓市九年级（上）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上）
1．（3分）方程2x2＝1的解是（ ）
A．x=±1
2
B．x=±2
2
C．x=
1
2
D．x=2
2．（3分）数据1，3，3，4，5的众数和中位数分别为（ ）
A．3和3B．3和3.5C．4和4D．5和3.5
3．（3分）已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，若OP＝8，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不确定
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则其外接圆的半径为（ ）A．15B．7.5C．6D．3
5．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣9与坐标轴交点个数（ ）A．3个B．2个C．1个D．0个
6．（3分）下列说法：①三点确定一个圆；②任何三角形有且只有一个内切圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④正多边形一定是中心对称图形，其中真命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（3分）将抛物线y＝2（x+1）2﹣3先向上平移3个单位长度，再向右平移一个单位长度（ ）
A．y＝2x2B．y＝2（x+2）2
C．y＝2x2﹣6D．y＝2（x+2）2﹣6
8．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ）A．12B．13C．14D．15
9．（3分）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC 交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）
A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°
10．（3分）如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣5＜t＜3B．t＞﹣5C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）已知∠A为锐角，且cos A=3
2
，则∠A度数等于 度．
12．（3分）抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是 ．
13．（3分）数据8，9，10，11，12的方差S2为 ．
14．（3分）圆锥的母线长为4cm，底面半径为3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是 度．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值列表如下：x…﹣3﹣2﹣10…
y…0﹣3﹣4﹣3…
则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是 ．
16．（3分）如图示，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆上的三等分点，点E是OA的中点，则阴影部分面积等于
17．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝ ．
18．（3分）如图示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC=3，点P在Rt△ABC 内部，且∠PAB＝∠PBC，连接CP，则CP的最小值等于 ．
三、解答题（本大题共10小题，共76分.应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）19．（8分）计算
（1）9―(1
2
)―1―|
1
2
―1|
（2）sin30°―2tan45°cos30°―1
20．（5分）解方程：（2x+1）2＝3（2x+1）．
21．（5分）如图示，在△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝45°，求△ABC的面积．
22．（6分）快乐的寒假即将来临小明、小丽和小芳三名同学打算各自随机选择到A，B两个书店做志愿者服务活动．
（1）求小明、小丽2名同学选择不同书店服务的概率；（请用列表法或树状图求解）
（2）求三名同学在同一书店参加志愿服务活动的概率．（请用列表法或树状图求解）23．（6分）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元．你能确定参加这次旅游的人数吗？
24．（8分）已知函数y＝ax2﹣2x﹣3（a是常数）
（1）当a＝1时，该函数图象与直线y＝x﹣1有几个公共点？请说明理由；
（2）若函数图象与x轴只有一公共点，求a的值．
25．（8分）如图，利用135°的墙角修建一个梯形ABCD的储料场，其中BC∥AD，并使∠C＝90°，新建墙BC上预留一长为1米的门EF．如果新建墙BE﹣FC﹣CD总长为15米，那么怎样修建才能使储料场的面积最大？最大面积多少平方米？
26．（8分）（1）如图①，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O外，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；
（2）如图②，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；
（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：
在平面直角坐标系中，如图③，已知点M（1，0），N（4，0），点P在y轴上，试求当∠MPN度数最大时点P的坐标．
27．（10分）如图示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点AF．
（1）求证：DE与⊙O相切：
（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长；
（3）若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF•EF 的最大值．
28．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A （﹣4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．
①求△ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；
②若tan∠AED=1
3
，求此时点D坐标；
（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于 （直接写出答案）
2019-2020学年江苏省苏州市昆山市、太仓市九年级（上）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上）
1．（3分）方程2x2＝1的解是（ ）
A．x=±1
2
B．x=±2
2
C．x=
1
2
D．x=2
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【答案】B
【分析】根据解一元二次方程的方法﹣直接开平方法解方程即可．【解答】解：2x2＝1，
∴x2=1 2，
∴x=±2 2
，
故选：B．
2．（3分）数据1，3，3，4，5的众数和中位数分别为（ ）
A．3和3B．3和3.5C．4和4D．5和3.5
【考点】中位数；众数．
【答案】A
【分析】先把数据按大小排列，然后根据中位数和众数的定义可得到答案．
【解答】解：数据按从小到大排列：1，3，3，4，5．中位数是3；数据3出现2次，次数最多，所以众数是3．
故选：A．
3．（3分）已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，若OP＝8，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不确定
【考点】点与圆的位置关系．
【答案】A
【分析】知道OP的长，点A是OP的中点，得到OA的长与半径的关系，即可确定A与
圆的位置关系．
【解答】解：∵OP＝8，A是线段OP的中点，
∴OA＝4，小于圆的半径5，
∴点A在圆内．
故选：A．
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则其外接圆的半径为（ ）A．15B．7.5C．6D．3
【考点】三角形的外接圆与外心．
【答案】B
【分析】直角三角形的斜边是它的外接圆的直径，通过勾股定理求出AB即可．
【解答】解：如图，
∵∠C＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，而AC＝9，BC＝12，
∴AB=92+122=15．
又∵AB是Rt△ABC的外接圆的直径，
∴其外接圆的半径为7.5．
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣9与坐标轴交点个数（ ）A．3个B．2个C．1个D．0个
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【答案】B
【分析】分别将x＝0、y＝0代入二次函数解析式中求出与之对应的y、x值，由此即可找出抛物线与坐标轴的交点坐标，此题得解．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+6x﹣9＝﹣9，
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣9与y轴交于点（0，﹣9）；
当y＝﹣x2+6x﹣9＝0时，x1＝x2＝3，
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣9与x轴交于点（3，0）．
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣9与坐标轴有2个交点．
故选：B．
6．（3分）下列说法：①三点确定一个圆；②任何三角形有且只有一个内切圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④正多边形一定是中心对称图形，其中真命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】命题与定理．
【答案】A
【分析】根据确定圆的条件、三角形的内切圆、圆心角化和弧的关系、中心对称图形的概念判断．
【解答】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，①是假命题；
②任何三角形有且只有一个内切圆，②是真命题；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，③是假命题；
④边数是偶数的正多边形一定是中心对称图形，④是假命题；
故选：A．
7．（3分）将抛物线y＝2（x+1）2﹣3先向上平移3个单位长度，再向右平移一个单位长度（ ）
A．y＝2x2B．y＝2（x+2）2
C．y＝2x2﹣6D．y＝2（x+2）2﹣6
【考点】二次函数图象与几何变换．
【答案】A
【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向上平移纵坐标加，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
∵先向上平移3个单位长度，再向右平移一个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点横坐标为﹣1+1＝0，
纵坐标为﹣3+3＝0，
∴平移后的抛物线解析式为y＝2x2．
故选：A．
8．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【考点】三角形的内切圆与内心．
【答案】A
【分析】作出图形，设内切圆⊙O与△ABC三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF 可得四边形OECF是正方形，根据正方形的四条边都相等求出CE、CF，根据切线长定理可得AD＝AF，BD＝BE，从而得到AF+BE＝AB，再根据三角形的周长的定义解答即可．
【解答】解：如图，设内切圆⊙O与△ABC三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF，∵∠C＝90°，
∴四边形OECF是正方形，
∴CE＝CF＝1，
由切线长定理得，AD＝AF，BD＝BE，
∴AF+BE＝AD+BD＝AB＝5，
∴三角形的周长＝5+5+1+1＝12．
故选：A．
9．（3分）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC 交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）
A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°
【考点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆周角定理．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF＝∠AOF＝30°，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC＝AB，又OA＝OB＝OC，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF＝∠AOF＝30°，
由圆周角定理得∠BAF=1
2
∠BOF＝15°，
故选：B．
10．（3分）如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣5＜t＜3B．t＞﹣5C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4
【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
【答案】D
【分析】先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x
＜5时有公共点时t的范围即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=―
m
2×(―1)=2，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝5时，y＝﹣x2+4x＝﹣25+20＝﹣5，
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜5时有公共点时，﹣5＜t＜4，如图．
所以关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，t的取值范围为﹣5＜t≤4．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）已知∠A为锐角，且cos A=3
2
，则∠A度数等于　30　度．
【考点】特殊角的三角函数值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据特殊角的三角函数值解决问题即可．
【解答】解：∵cos A=3 2
，
∴∠A＝30°，
故答案为30．
12．（3分）抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是　（0，﹣1）　．
【考点】二次函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】形如y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．故答案是：（0，﹣1）．
13．（3分）数据8，9，10，11，12的方差S2为　2　．【考点】方差．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平均数和方差的公式计算．
【解答】解：数据8，9，10，11，12的平均数=1
5
（8+9+10+11+12）＝10；
则其方差S2=1
5
（4+1+1+4）＝2．
故答案为：2．
14．（3分）圆锥的母线长为4cm，底面半径为3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是　270　度．
【考点】圆锥的计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】由底面半径易得圆锥的底面周长，即为圆锥的侧面弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角．
【解答】解：圆锥的底面周长为2π×3＝6πcm，
设圆锥侧面展开图的圆心角是n，则：nπ×4
180
=6π，
解得n＝270°，
故答案为：270．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值列表如下：x…﹣3﹣2﹣10…
y…0﹣3﹣4﹣3…
则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是　x1＝﹣3，x2＝1　．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据表格确定对称轴，然后确定点（﹣3，0）关于对称轴的对称点，从而确定方程的答案即可．
【解答】解：根据表格发现：抛物线经过点（﹣2，﹣3）和点（0，﹣3），
所以抛物线的对称轴为x=―2+0
2
=―1，
设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），∵抛物线经过点（﹣3，0），
∴―3+x
2
=―1，
解得：x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（1，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
16．（3分）如图示，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆上的三等分点，点E是OA的中点，
则阴影部分面积等于　200
3
π　
【考点】扇形面积的计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OC、OD、CD，如图，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，再证明CD∥AB得到S△ECD＝S△OCD，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分面积＝S扇形COD进行计算．
【解答】解：连接OC、OD、CD，如图，
∵C，D是半圆上的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∵∠OCD＝∠AOC，
∴CD∥AB，
∴S△ECD＝S△OCD，
∴阴影部分面积＝S扇形COD=60⋅π⋅202
360
=
200
3
π．
故答案为200
3
π．
17．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝　2　．
【考点】勾股定理；解直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO＝1：3，即可得OF：CF＝OF：BF＝1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF＝CF=1
2
CK，BF=
1
2
BE，CK＝BE，BE⊥CK，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO＝BK：AC＝1：3，∴KO：KF＝1：2，
∴KO＝OF=1
2
CF=
1
2
BF，
在Rt△OBF中，tan∠BOF=BF
OF
=2，
∴tan∠AOD＝2．
故答案为：2
18．（3分）如图示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC=3，点P在Rt△ABC 内部，且∠PAB＝∠PBC，连接CP，则CP的最小值等于　7―2　．
【考点】勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】构造点P在以AB为弦的圆上，首先求得∠APB＝120°，然后求得半径和OC 的长，当点O、P、C在一条直线上时，CP有最小值．
【解答】解：如图所示，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC=3，
∴tan∠BAC=BC
AC
=
3
3
，
∴∠BAC＝30°，
∴∠CBA＝60°，即∠1+∠2＝60°，∵∠PAB＝∠1，
∴∠APB＝120°，
∴点P在以AB为弦的圆O上，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠3＝∠4＝30°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，即∠CBO＝90°，
∠DAO＝∠BAC+∠4＝60°，∠AOD＝30°，过点O作OD⊥AC于点D，
∴∠DOB＝90°，
∵∠DCB＝90°，
∴四边形DCBO是矩形，
∴DC＝OB，OD＝BC=3，
∴在Rt△ADO中，AD＝OD•tan30°=3×3
3
=1，
∴DC＝AC﹣DC＝3﹣1＝2，
∴OB＝OP＝2，
∴OC=OB2+BC2=4+3=7，
当点O、P、C在一条直线上时，CP有最小值，
∴CP的最小值为OC﹣OP=7―2．
故答案为7―2．
三、解答题（本大题共10小题，共76分.应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）19．（8分）计算
（1）9―(1
2
)―1―|
1
2
―1|
（2）sin30°―2tan45°cos30°―1
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）本题涉及绝对值、负整数指数幂、二次根式化简3个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）把特殊角的三角函数值代入计算即可求解．
【解答】解：（1）9―(1
2
)―1―|
1
2
―1|
＝3﹣2﹣1+2 2
=2 2
；
（2）sin30°―2tan45°cos30°―1
=1
2
―2×1
3
2
―1
=
―3 3―2
＝6+33．
20．（5分）解方程：（2x+1）2＝3（2x+1）．【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式x=―b±b2―4ac
2a
进行计算即可．
【解答】解：方法一：化简方程得：2x2﹣x﹣1＝0，∵b2﹣4ac＝9，
∴x=―b±b2―4ac
2a
=
1±3
4
，
∴方程的解为x1=―1
2
，x2=1．
方法二：（2x+1）2＝3（2x+1）．
（2x+1）2﹣3（2x+1）＝0
（2x+1）（2x+1﹣3）＝0
2x+1＝0或2x﹣2＝0
∴方程的解为x1＝﹣0.5，x2＝1．
21．（5分）如图示，在△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝45°，求△ABC的面积．
【考点】三角形的面积；解直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】先作CD⊥AB于点D，再根据勾股定理和三角形的面积公式即可求解．【解答】解：如图，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ACD中，AC＝8，∠A＝30°，
∴CD＝4，AD＝43．
在Rt△BCD中，CD＝4，∠B＝45°，
∴BD＝CD＝4，
∴AB＝4+43，
∴S△ABC=1
2 AB•CD
=1
2
×4×（4+43）
＝8+83．
答：△ABC的面积为8+83．
22．（6分）快乐的寒假即将来临小明、小丽和小芳三名同学打算各自随机选择到A，B两个书店做志愿者服务活动．
（1）求小明、小丽2名同学选择不同书店服务的概率；（请用列表法或树状图求解）（2）求三名同学在同一书店参加志愿服务活动的概率．（请用列表法或树状图求解）【考点】列表法与树状图法．
【答案】（1）1 2；
（2）1 4．
【分析】（1）利用树状图或列表法列出所有可能出现的情况，再从中得到符合题意的结果数，从而求出答案；
（2）利用树状图或列表法列出所有可能出现的情况，再从中得到符合题意的结果数，从而求出答案；
【解答】解：（1）小明、小丽2名同学选择的所有可能的情况有：
∴P选不同书店=2
4
=
1
2
；
（2）三名同学参加志愿服务的所有可能的情况有：
∴P三名同学在同一书店=2
8
=
1
4
．
23．（6分）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元．你能确定参加这次旅游的人数吗？
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设有x人参加这次旅游，求出当人数为30时所需总费用及人均费用为500元时的人数，当30＜x＜60时，由总费用＝人均费用×人数，即可得出关于x的一元二次方
程，解之取其较小值即可得出结论；当x≥60时，由参加人数＝总费用÷人均费用可求出参加人数，由该值小于60舍去．综上此题得解．
【解答】解：设有x人参加这次旅游，
∵30×800＝24000（元），24000＜28000，
∴x＞30．
（800﹣500）÷10+30＝60（人）．
当30＜x＜60时，x[800﹣10（x﹣30）]＝28000，
整理，得：x2﹣110x+2800＝0，
解得：x1＝40，x2＝70（不合题意，舍去）．
当x≥60时，28000÷500＝56（人），不合题意，舍去．
答：参加这次旅游的人数为40人．
24．（8分）已知函数y＝ax2﹣2x﹣3（a是常数）
（1）当a＝1时，该函数图象与直线y＝x﹣1有几个公共点？请说明理由；
（2）若函数图象与x轴只有一公共点，求a的值．
【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；抛物线与x 轴的交点．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）转化为求方程组，然后通过消元化为一元二次方程，通过判断一元二次方程的根的判别式，即可判断抛物线与直线的交点情况；
（2）分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；
②当函数为二次函数时，利用判别式△＝0，转化为方程即可解决问题．
【解答】解：（1）a＝1时，y＝x2﹣2x﹣3，
∴{y=x―1
y=x2―2x―3，
∴x2﹣3x﹣2＝0，
∵△＝9﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴函数图象与直线有两个不同的公共点．
（2）①当a＝0时，函数y＝﹣2x﹣3的图象与x轴只有一个交点（―3
2
，0）；
②当a≠0时，若函数y＝ax2﹣2x﹣3的图象与x轴只有一个交点，则方程ax2﹣2x﹣3＝0有两个相等的实数根，
所以△＝（﹣2）2﹣4a•（﹣3）＝0，
解得a=―1 3．
综上，若函数y＝ax2﹣2x﹣3的图象与x轴只有一个交点，则a的值为0或―1 3．
25．（8分）如图，利用135°的墙角修建一个梯形ABCD的储料场，其中BC∥AD，并使∠C＝90°，新建墙BC上预留一长为1米的门EF．如果新建墙BE﹣FC﹣CD总长为15米，那么怎样修建才能使储料场的面积最大？最大面积多少平方米？
【考点】二次函数的应用；直角梯形．
【答案】见试题解答内容
【分析】设CD的长为xcm，则BC的长为（16﹣x）cm，过A作AG⊥BC于G，推出四边形ADCG是矩形，得到AG＝CD＝x，AD＝CG，根据梯形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：设CD的长为xcm，则BC的长为（16﹣x）cm，
过A作AG⊥BC于G，
∵AD∥BC，∠C＝90°，∠BAD＝135°，
∴∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，
∴四边形ADCG是矩形，
∴AG＝CD＝x，AD＝CG，
∴BG＝AG＝x，
AD＝CG＝16﹣2x，
∴S梯形ABCD=1
2
x（16﹣2x+16﹣x）=―
3
2
x2+16x=―
3
2
（x―
16
3
）2+
128
3
，
∴当x=16
3
时，储料场的面积最大，最大面积是
128
3
平方米．
26．（8分）（1）如图①，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O外，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；
（2）如图②，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；
（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：
在平面直角坐标系中，如图③，已知点M（1，0），N（4，0），点P在y轴上，试求当∠MPN度数最大时点P的坐标．
【考点】圆的综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设CD交⊙O于E，连接BE，由三角形外角性质得出∠BEC＝∠BDC+∠DBE，得出∠BEC＞∠BDC，由圆周角定理得出∠A＝∠BEC，即可得出∠A＞∠BDC；
（2）延长CD交⊙O于点F，连接BF，由三角形外角性质得出∠BDC＝∠BFC+∠FBD，得出∠BDC＞∠BFC，由圆周角定理得出∠A＝∠BFC，即可得出∠A＜∠BDC；
（3）由（1）、（2）可得当点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点时，∠MPN度数最大，
①当点P在y轴的正半轴上时，设⊙O′为点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切
点的圆，连接O′P、O′M、O′N，作O′H⊥MN于H，则四边形OPO′H是矩形，MH
＝HN，得出OP＝O′H，O′P＝OH＝O′M，易求OM＝1，MN＝3，则MH＝HN=1
2 MN
=3
2
，设O′P＝OH＝O′M＝x，MH＝OH﹣OM＝x﹣1，求出x=
5
2
，由勾股定理得出
O′H=O′M2―MH2=2，即可得出点P的坐标为（0，2）；
②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得O′H＝OP＝2，即可得出点P的坐标为（0，﹣2）．
【解答】解：（1）∠A＞∠BDC，理由如下：
设CD交⊙O于E，连接BE，如图1所示：
∠BEC＝∠BDC+∠DBE，
∴∠BEC＞∠BDC，
∵∠A＝∠BEC，
∴∠A＞∠BDC；
（2）∠A＜∠BDC，理由如下：
延长CD交⊙O于点F，连接BF，如图2所示：
∵∠BDC＝∠BFC+∠FBD，
∴∠BDC＞∠BFC，
又∵∠A＝∠BFC，
∴∠A＜∠BDC；
（3）由（1）、（2）可得：当点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点时，∠MPN 度数最大，
①当点P在y轴的正半轴上时，如图3所示：
设⊙O′为点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点的圆，
连接O′P、O′M、O′N，作O′H⊥MN于H，则四边形OPO′H是矩形，MH＝HN，∴OP＝O′H，O′P＝OH＝O′M，
∵M（1，0），N（4，0），
∴OM＝1，MN＝3，
∴MH＝HN=1
2
MN=
3
2
，
设O′P＝OH＝O′M＝x，MH＝OH﹣OM＝x﹣1，
∴x﹣1=3 2，
∴x=5 2，
∴O′H=O′M2―MH2=(5
2
)2―(3
2
)2=2，
∴OP＝2，
∴点P的坐标为（0，2）；
②当点P在y轴的负半轴上时，如图4所示：
同理可得O′H＝OP＝2，
∴点P的坐标为（0，﹣2）；
综上所述，当∠MPN度数最大时点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．
27．（10分）如图示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点AF．
（1）求证：DE与⊙O相切：
（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长；
（3）若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF•EF 的最大值．
【考点】圆的综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD，则∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠BAF，得出∠OAD＝∠FAD，推出∠ODA＝∠FAD，则OD∥AF，由DE⊥AF，得出DE⊥OD，即可得出结论：
（2）连接BD，易证∠AED＝90°＝∠ADB，又∠EAD＝∠DAB，得出△AED∽△ADB，
则AD：AB＝AE：AD，求出AD2＝AB×AE＝80，在Rt△AED中，由勾股定理得出DE= AD2―AE2=4；
（3）连接DF，过点D作DG⊥AB于G，易证△AED≌△AGD（AAS），得出AE＝AG，DE＝DG，由∠FAD＝∠DAB，得出DF=DB，则DF＝DB，证得Rt△DEF≌Rt△DGB
（HL），得出EF＝BG，则AB＝AF+2EF，即x+2y＝10，得出y=―1
2
x+5，AF•EF=―
1
2
x2+5x=―1
2
（x﹣5）+
25
2
，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAF，
∴∠OAD＝∠FAD，
∴∠ODA＝∠FAD，
∴OD∥AF，
∵DE⊥AF，
∴DE⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切：
（2）解：连接BD，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠AED＝90°＝∠ADB，
又∵∠EAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴AD：AB＝AE：AD，
∴AD2＝AB×AE＝10×8＝80，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=AD2―AE2=80―82=4；（3）连接DF，过点D作DG⊥AB于G，如图3所示：
在△AED 和△AGD 中，{∠AED =∠AGD =90°
∠DAE =∠DAG AD =AD
， ∴△AED ≌△AGD （AAS ），
∴AE ＝AG ，DE ＝DG ，
∵∠FAD ＝∠DAB ， ∴DF =DB ，
∴DF ＝DB ，
在Rt △DEF 和Rt △DGB 中，{
DE =DG DF =DB ，
∴Rt △DEF ≌Rt △DGB （HL ），
∴EF ＝BG ，
∴AB ＝AG +BG ＝AF +EF ＝AF +EF +EF ＝AF +2EF ，
即：x +2y ＝10，
∴y =―12
x +5， ∴AF •EF =―12x 2+5x =―12（x ﹣5）2+252， ∴AF •EF 有最大值，当x ＝5时，AF •EF 的最大值为252
．
28．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A （﹣4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．
①求△ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；
②若tan∠AED=1
3
，求此时点D坐标；
（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于　226　（直接写出答案）
【考点】二次函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+6（a≠0），求得y=―3
4
x2―
3
2
x+6；
（2）①由已知可求：AE＝25，AE的直线解析式y=―1
2
x﹣2，设D（m，―
3
4
m2―
3
2
m+6），过点D作DK⊥y轴交于点K；K（0，―3
4
m2―
3
2
m+6），S△ADE＝S梯形DKOA+S△AOE﹣
S△KED=―3
2
（m+
2
3
）2+
50
3
；
②过点A作AN⊥DE，DE与x中交于点F，由tan∠AED=1
3
，可求AN=2，NE＝
32，因为Rt△AFN∽Rt△EFO，AN
OE
=
NF
OF
，则有
2
2
=
32―4+OF2
OF
，所以F（﹣2，
0），得到EF直线解析式为y＝﹣x﹣2，直线与抛物线的交点为D点；
（3）由于Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，所以Q点的运动轨迹是线段，当P点在A点时，Q（﹣4，﹣4），当P点在C点时，Q（﹣6，6），Q点的轨迹长为226．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+6（a≠0），
可得a=―3
4
，b=―
3
2
，
∴y=―3
4
x2―
3
2
x+6；
（2）①∵A（﹣4，0），E（0，﹣2），
设D（m，―3
4
m2―
3
2
m+6），
过点D作DK⊥y轴交于点K；
K（0，―3
4
m2―
3
2
m+6），
S△ADE＝S梯形DKOA+S△AOE﹣S△KED
=1
2
×（KD+AO）×OK+
1
2
×AO×OE―
1
2
×KD×KE
=1
2
（﹣m+4）×（―
3
4
m2―
3
2
m+6）+
1
2
×4×2―
1
2
×（﹣m）×（2―
3
4
m2―
3
2
m+6）
=―3
2
（m+
2
3
）2+
50
3
，
当m=―2
3
时，S△ADE的面积最大，最大值为
50
3
，此时D点坐标为（―
2
3
，
20
3
）；
②过点A作AN⊥DE，DE与x轴交于点F，
∵tan∠AED=1 3，
∴AN=2，NE＝32，Rt△AFN∽Rt△EFO，
∴AN
OE
=
NF
OF
，
∵EF2＝OF2+4，∴NF＝32―EF，
∴2
2
=
32―4+OF2
OF
，
∴OF＝2，
∴F（﹣2，0），
∴EF直线解析式为y＝﹣x﹣2，
∴﹣x﹣2=―3
4
x2―
3
2
x+6时，x=
―1―97
3
，
∴D（―1―97
3
，
―5+97
3
）；
（3）∵Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，∴Q点的运动轨迹是线段，
当P点在A点时，Q（﹣4，﹣4），
当P点在C点时，Q（﹣6，6），
∴Q点的轨迹长为226，
故答案为226．。