考前定心卷02(解析版)-备战2022年新高考数学必考点提分精练(新高考地区专用)

考前定心卷02
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设集合{}723,12A x x B x x ⎧
⎫=-≤≤=-≤≤⎨⎬⎩
⎭，则A B =（ ）
A ．[1,3]-
B ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞
C ．72,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
D ．[2,3]-
【答案】A 【解析】 【分析】
利用交集的概念运算即可得答案. 【详解】
因为集合{}723,12A x x B x x ⎧
⎫=-≤≤=-≤≤⎨⎬⎩
⎭，
所以{}13A B x x ⋂=-≤≤，即A B =[]1,3- 故选：A.
2．已知复数z 满足()43i 34i z -=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．i B ．1
C ．i -
D ．1-
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据复数的除法运算求出复数z ，即可求解z 的虚部． 【详解】
解：解法一：由()43i 34i z -=+得()()()()34i 43i 34i 25i i 43i 43i 43i 25
z +++====--+， ∴复数z 的虚部是1．
解法二：设()i ,z a b a b =+∈R ，
由()43i 34i z -=+得()()i 43i 34i a b +-=+，即()4343i 34i a b b a ++-=+，
所以433434a b b a +=⎧⎨-=⎩，解得01
a b =⎧⎨=⎩，
∴复数z 的虚部是1． 故选：B ．
3．已知向量()1,2a =-，()1,b λ=，则“1
2
λ<
”是“a 与b 的夹角为锐角”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
根据a 与b 的夹角为锐角求出λ的取值范围，再结合必要不充分条件的概念可得答案. 【详解】
当a 与b 的夹角为锐角时，0a b ⋅>且a 与b 不共线，
即12020
λλ->⎧⎨+≠⎩，∴12λ<且2λ≠-，
∴“1
2
λ<
”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B.
4．已知抛物线()2
20y px p =>的准线与x 轴交于点M ，点M 到直线1y x =+2，
则p 的值为（ ） A 2 B 2 C ．2 D ．6
【答案】D 【解析】 【分析】
易得M 坐标为,02p ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，再根据点到线的距离求解p 的值即可
【详解】
由已知抛物线的准线与x 轴的交点M 坐标为,02p ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，其到直线10x y -+=的距离
0122
11
p
d --+=+=
6p
（2p =-舍去）.
故选：D.
5．如图，已知某圆锥形容器的轴截面是面积为3在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的1
2，则圆柱的体积为（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．43π
D ．83π
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，作出轴截面图，进而根据轴截面的面积得正三角形边长为8，再结合题意得圆柱的底面半径为2，高为3. 【详解】
解：如图，作出轴截面，则根据题意，ABC 为正三角形，且面积为163 所以，设正三角形的边长为2a ，则2,3AB AC BC a OC a ====， 所以，1
163232
a a ⨯，解得4a =，
因为圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的1
2，， 所以1232DE OC ==1
22
OD OA ==，即圆柱的底面半径为2，高为23
所以，圆柱的体积为4383V ππ=⨯= 故选：D
6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距
()0180θθ︒≤≤︒的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可
知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.对同一“表高”两次测
量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且
()1
tan 2
αβ-=
，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）倍. A ．1 B ．23
C ．
52
D ．
72
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意可得tan 3α=，1
tan()2
αβ-=，再根据[]tan tan ()βααβ=--结合两角差的正切公式即可得解. 【详解】
解：由题意可得tan 3α=，1tan()2
αβ-=
， 所以[]1
3tan tan()2tan tan ()11
1tan tan()132
ααββααβααβ-
--=--=
==+-+⨯， 即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍. 故选：A. 7．在
ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos 3sin cos a B b A b A =-，则(
)2
a b ab
+的取值范围是（ ） A ．[]3,5 B ．[]4,6
C ．4,213⎡⎤⎣⎦
D ．4,215⎡⎣
【答案】C 【解析】 【分析】
根据正弦定理可得，sin 3sin sin C A B =，由基本不等式可求出
()2
a b ab
+的最小值，再根据余
弦定理以及正弦定理可将
()2
a b ab
+化成关于角C 的函数，利用三角函数的性质即可求出最大
值，从而得到取值范围． 【详解】
因为cos 3sin cos a B b A b A =-，由正弦定理得sin cos 3sin sin sin cos A B B A B A =-，即sin 3sin sin C A B =．
()
2
22244a b a b ab ab ab
ab ab
+++=≥=，当且仅当a b =时取等号．
因为2
2
2
2cos c a b
ab C =+-，所以
()2
222222cos 222cos a b a b ab c ab C c C ab
ab ab ab
++++==+=++
()2sin 22cos 3sin 2cos 2132sin sin C
C C C C φA B
=++=++=++，其中2πtan ,0,32ϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，
而0πC <<，所以当π2C ϕ+=时，()2a b ab +取最大值213()2
a b ab
+的取值范围是4,213⎡⎣．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查正余弦定理的应用，以及利用三角函数的性质求范围，解题关键是通过消元思想将所求式子转化成关于角C 的函数，再结合辅助角公式求出其最大值．
8．已知函数()2,0,0
x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若方程()e x f x a =有两个不相等的实数根，则实数a 的取
值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．1,e ⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
D ．1,0e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
等价转化之后数形结合，转化为两函数图象交点个数来处理 【详解】
()e x f x a =2,0e
,0e x x x
x a x x ⎧≥⎪⎪⇔=⎨-⎪<⎪⎩
设()2
,0e ,0e x
x x
x g x x x ⎧≥⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩ 当0x ≥时，()1e x
x
g x =
'- 所以当01x ≤<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减
1x =时，()g x 取得极大值1e
当x 趋向于+∞，()g x 趋向于0 当0x <时，()()
20e x
x x g x -'=
>，()g x 单调递增 依题意可知，直线x a =与()g x 的图象有两个不同的交点
如图所示，a 的取值范围为10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知曲线C 的方程为22
1(0,6,)6x y n n n R n n
+=≠≠∈-，则下列说法正确的是（ ）
A ．当6n >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线
B ．当06n <<时，曲线
C 是椭圆
C ．若实数n 的值为2，则曲线C 2
D ．存在实数n ，使得曲线C 表示渐近线方程为y x =±的双曲线 【答案】AC 【解析】 【分析】
对A ，根据双曲线方程的性质求解即可； 对B ，举反例判断即可；
对C ，根据离心率的公式求解即可；
对D ，根据渐近线的方程与双曲线方程关系求解判断即可 【详解】
对A ，当6n >时，60n ->，曲线C 的方程为22
16
x y n n -
=-，表示焦点在x 轴上的双曲线，故A 正确；
对B ，当3n =时，曲线C 为223x y +=，曲线C 表示圆，故B 不正确； 对C ，2n =，曲线C 表示椭圆，焦点在y 轴上，可得622
6c n e a n
-=
=-，故选项C 正确； 对D ，假设存在实数n ，使得曲线C 表示渐近线方程为y x =±的双曲线，此时有()60n n ⋅-<，得0n <或6n >，当0n <时，6n n -=-，无解；当6n >时，()6n n =--，无解，所以满足题意的实数n 不存在，故D 不正确. 故选：AC.
10．为了解某贫困地区实施精准扶贫后的成果，现随机抽取了该地区三个县市在2021年建档立卡人员年人均收人提升状况.经统计，A 县建档立卡人员年人均收人提升状况用饼状图表示，B 县建档立卡人员年人均收人提升状况用条形图表示，C 县建档立卡人员年人均收入提升的均值为122（百元），方差为4，A ，B ，C 三县建档立卡人数比例为3∶4∶5，则下列说法正确的有（ ）
A ．A 县建档立卡人员年人均收入提升的均值为122
B ．B 县建档立卡人员年人均收入提升的方差为5.6
C ．估计该地区建档立卡人员的年人均收入提升120.75百元
D ．C 县精准扶贫的效果最好 【答案】BCD 【解析】 【分析】
A.利用均值公式求解；
B.先求得平均数，再利用方差公式求解；
C. 利用均值公式求解；
D.利用平均数和方差判断. 【详解】
A. A 县建档立卡人员年人均收入提升的均值为7111231141211211264
⨯+⨯+⨯=，故错误；
B. B 县建档立卡人员年人均收入提升的平均数为
11510117201195012320119⨯%+⨯%+⨯%+⨯%=，
B 县建档立卡人员年人均收入提升的方差为
()
()()()2
222
1151190.11171190.21191190.51231190.2 5.6-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，
故正确；
C. 该地区建档立卡人员的年人均收入提升：()1
121311*********.7512
⨯⨯+⨯+⨯=百元，故正确；
D. A 县建档立卡人员年人均收入提升的均值为
()()()222
112312111412112112117.73⎡⎤-+-+-=⎣
⎦， 所以222
,C A A C B A X X X S S S >><<，故C 县精准扶贫的效果最好，故正确；
故选：BCD
11．已知()()22e 2e e 2e a a b b
m m a m m +--=+-，则（ ）
A ．当()1,0m ∈-，a ，(),0b ∈-∞时，a b >
B ．当()1,0m ∈-，a ，(),0b ∈-∞时，a b <
C ．当()1,2m ∈，a ，()0,b ∈+∞时，a b >
D ．当()1,2m ∈，a ，()0,b ∈+∞时，a b < 【答案】AC 【解析】 【分析】
根据等号两边式子的结构特征构造函数()f x ,利用导数分类讨论函数()f x 的单调性进行求解. 【详解】
设()()2e 2e x x
f x m m x =+--，
因为()()22e 2e e 2e a a b b
m m a m m +--=+-，
所以()()f a f b b =+，当a ，(),0b ∈-∞时，
()()0f a f b b -=<，即()()f a f b <.
易知()()()e 12e 1x x
f x m '=-+，
当()1,0m ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，
所以a b >，故选项A 正确，选项B 错误.
当a ，()0,b ∈+∞时，()()0f a f b b -=>，即()()f a f b >. 当()1,2m ∈时，令()0f x '=，解得ln x m =-，
所以()f x 在(),ln m -∞-上单调递减，在()ln ,m -+∞上单调递增， 所以a b >，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：AC.
12．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，1160A AB A AC ∠=∠=︒，M 是棱BC 上一点(与端点不重合)，则( )
A ．1BC AA ⊥
B ．平面1AA M ⊥平面11BB
C C C ．三棱锥111B A C M -的体积为定值
D ．当11AA =时，1A M 3
【答案】ACD 【解析】 【分析】
A ：取BC 的中点N ，连接AN 、1A N 、1A
B 、1A
C ，证明BC ⊥平面1AA N 即可；B ：当M 为BC 中点时，易知平面1AA M ⊥平面11BB C C ，不为中点时，平面1AA M ⊥平面11BB C C 不成立；C ：根据111111B A C M M A B C V V --=即可判断；
D ：过点1A 作1A O ⊥平面ABC ，垂足为O ，易知O 在AN 上．在1A AB 中，作1A D AB ⊥，垂足为D ，连接OD ．设MN =x ，根据几何关系表示出1A M 即可求其最小值． 【详解】
对于A ，取BC 的中点N ，连接AN 、1A N 、1A B 、1A C ，易知AN BC ⊥，11A AB A AC △△≌，∴11A B A C =，∴1A N BC ⊥， 又1AN
A N N =，∴BC ⊥平面1AA N ，∴1BC AA ⊥，故A 正确．
对于B ，由选项A 知，当M 为BC 的中点时，BC ⊥平面1AA M ， ∵BC ⊂平面11BB C C ，∴平面1AA M ⊥平面11BB C C ，
∴当M 不为BC 的中点时，平面1AA M ⊥平面11BB C C 不成立，故B 错误；
对于C ，易知BC ∥平面111A B C ，则点M 到平面111A B C 的距离为定值，又111A B C △的面积为定值，∴111111B A C M M A B C V V --=为定值，故C 正确．
对于D ，取BC 的中点N ，连接AN 、1A B ，过点1A 作1A O ⊥平面ABC ，垂足为O ，易知O 在AN 上．在1A AB 中，作1A D AB ⊥，垂足为D ，连接OD ． ∵11AA =，160A AD ∠=︒，∴12
AD =， 易知1A O ⊥AB ，AB ⊥1A D ，111D
A A O A =，故A
B ⊥平面1A OD ，故AB ⊥DO ，
在Rt AOD 中，30OAD ∠=︒，∴3
cos30AD OA ==
︒， ∴22116OA AA OA =-=3ON AN OA =-= 设MN x =，则1
02
x ≤<
，连接OM ， 则2211A M OA OM =+=22221334OA ON MN x +++， 当且仅当0x =，即M 为BC 的中点时等号成立， ∴1A M 3
D 正确． 故选：ACD.
【点睛】
本题以三棱柱为载体，设置不同的选项，多维度考查立体几何的有关知识，设题方式灵活，对考生的空间想象能力和逻辑思维能力要求较高，重视对数学本质的考查． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若()9
221901219(12)1x x x a a x a x a x +-+=+++
+，则1218a a a ++⋅⋅⋅+=______．
【答案】0 【解析】 【分析】
根据题意，令1x =得012193a a a a =++++，0x =得01a =，再求解192a =即可得答案.
【详解】
解：因为()9
221901219(12)1x x x a a x a x a x +-+=+++
+，
所以，令1x =得()9
2012193(12)111a a a a +-+=+=+++，
令0x =得()9
20(10)1001a +-+==，
另一方面，()9
199
9919122C 2x x x x a =⋅=，即19
2a =， 所以()0121901819213120a a a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+=--=--+=.
故答案为：0
14．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，()()1f x f x -=-，若11
55f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则
165f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
___________. 【答案】1
5
-##－0.2
【解析】 【分析】
由已知得出函数的周期，然后利用周期性及已知式求值． 【详解】
由()()1f x f x -=-，得()()1f x f x +=--，又()()f x f x -=，所以()()1f x f x +=-，得
()()()()()21f x f x f x f x +=-+=--=，
所以166611121555555f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+==+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
故答案为：1
5
-．
15．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，数列{}n b 满足11b a =，123n n n b a b +=+，*n N ∈，则
{}n b 的通项公式为______．
【答案】32n n n b =-##23n n
n b =-+
【解析】 【分析】
利用n a 和n S 关系可求出{}n a 通项公式，再利用递推关系可得{}2n
n b +是以3为首项，3为公
比的等比数列，即可求出. 【详解】
当1n =时，1
11211a S ==-=，所以11a =．
当2n ≥时，11
1222n n n n n n a S S ---=-=-=，当1n =时，也符合上式，故12n n
a ．
因为11b =，123n
n n b b +=+，所以()111223232n n n n n n n b b b ++++=++=+，
即数列{}2n n b +是以3为首项，3为公比的等比数列，所以23n n n b +=，即32n n
n b =-． 故答案为：32n n
n b =-.
16．把sin y x =的图象向右平移π02ϕϕ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原
来的1
2倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数()f x 的图象，若
()π3f x f ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
对x ∀∈R 成立．
①()f x 的一个单调递减区间为π5π,36⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；
②()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位得到的函数是一个偶函数，则m 的最小值为π3
； ③()f x 的对称中心为()ππ,0212k k ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
Z ；
④若关于x 的方程22[()]()10f x nf x ++=在区间π7π,212⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个不相等的实根，则n 的取
值范围为[3,22)--．
其中，判断正确的序号是_________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】
根据平移得()()2sin 2ϕ=-f x x ，由()π3f x f ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
和ϕ的范围解得ϕ，再根据x 的范围和
2sin y t =的单调性可判断①；求出()f x 向右平移(0)m m >个单位的解析式，利用诱导公式和
m 的范围可判断②；求出()f x 的对称中心可判断③；令π
26
t x =-
，转化为2210++=s ns 在[]0,1上有两个不相等的实根，根据二次函数根的分布可判断④.
【详解】
根据题意得，函数经过平移伸缩变换后的解析式为：()()2sin 2ϕ=-f x x ， ()πππ,2π,332f x f k k ϕ⎛⎫
=∴⨯-=+∈ ⎪⎝⎭
Z 最值，解得ππ6k ϕ=-+，k ∈Z ，
()πππ0,,2sin 2266f x x ϕϕ⎛
⎫<<
∴==- ⎪⎝
⎭， 当π5ππ,,2366x t x ⎡⎤∈=-⎢⎥⎣⎦π3π,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2sin y t =在π3π,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，①正确；
()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位得到的函数是
()ππ2sin 22sin 2266y x m x m ⎛⎫⎛⎫
=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
是一个偶函数，
则min πππππ
2,,0,62236
k m k m k m m π--=+⇒=--∈>∴=Z ，②错误；
令πππ2π,6212k x k x k -
=⇒=+∈Z ，所以()f x 的对称中心为()ππ,0212k k ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
Z ， 故③正确；
π7ππ5π,,2,π21266x t x ⎡⎤
⎡⎤∈=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦，2sin y t =，所以[]0,1∈y ，
令[](),0,1=∈s f x s ，则关于x 的方程[]2
2()()10++=f x nf x 在区间π7π,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个不相等
的实根等价于2210++=s ns 在[]0,1上有两个不相等的实根，
设()2
21=++s s ns g ，则函数与x 轴有两个交点，函数对称轴为6
n s =-，实数n 满足
()()2
014010
13080⎧<-<⎪⎪⎪=>⎨
⎪=+≥⎪
⎪∆=->⎩n g g n n ，解得：322-≤<-n ，所以④正确. 故答案为：①③④.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，122n n a S +=+. (1)求{}n a 的通项公式； (2)若2
3
n n a b n =
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)1
23n n a -=⨯
(2)323
443n n
n T +=-⨯ 【解析】 【分析】
（1）根据122n n a S +=+以及1n n n a S S -=-，即可求解数列{}n a 的通项公式； （2）将数列{}n a 的通项公式带入数列{}n b ，进行化简，利用错位相减法进行求解. (1)
122n n a S +=+，①
当2n ≥时，122n n a S -=+，②
①-②得()1122n n n n n a a S S a +--=-=，∴13(2)n n a a n +=≥，∴1
3n n
a a +=， ∵12a =，∴21226a S =+=，∴
216
32
a a ==也满足上式， ∴{}n a 为等比数列且首项为2，公比为3，∴11
1323n n n a a --=⋅=⋅. 即{}n a 的通项公式为1
23n n a -=⨯.
(2)
由（1）知1
23n n a -=⨯，所以233
n n n n n
b a =
=， 令2112133
33n n n
n n
T --=++
+
+，① 得2311121333
33
n n n n n
T +-=+++
+，② ①-②得2312111
13333
33n n n n T +=+++
+-11
111113311323313
n n n n n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-=-- ⎪⎝⎭-， 所以323
4
43n n
n T +=-
⨯. 18．（12分）
在①5AB =135ADB ∠=︒，③BAD C ∠=∠这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，使得问题成立，并求BD 的长和ABC 的面积．如图，在ABC 中，D 为BC 边上一点，25
,1,sin ⊥=∠
=
AD AC AD BAC _______，求BD 的长和ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案见解析 【解析】 【分析】
选条件①：根据()sin sin 90BAC BAD ∠=︒+∠求得sin BAD ∠，再在ABD △中用正余弦定理分别求得BD 和sin ADB ∠，进而求得AC 与ABC 的面积；
选条件②：根据()sin sin 90BAC BAD ∠=︒+∠求得sin BAD ∠，再求sin B ，再在ABD △中，由正弦定理得5AB =2BD
选条件③：根据()sin sin 90BAC BAD ∠=︒+∠求得sin BAD ∠，即sin C ，再根据
sin sin()B BAD ADB =∠+∠计算sin B ，再在ABD △中，由正弦定理得,AB BD ，进而求得面
积 【详解】
选条件①，()25
sin sin 90cos ∠=︒+∠=∠=
BAC BAD BAD 所以2
2555
sin 1BAD ⎛⎫∠- ⎪ ⎪⎝⎭
在ABD △中，由余弦定理，得25
2012251135
=+-⨯⨯⨯
=BD 在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AB BD ADB BAD
=∠∠2513
5=
所以213
sin ∠=ADB ． 所以213313
sin 13
∠=
∠=
ADC ADC 2tan 3ADC ∠=，所以23AC =． 所以ABC 的面积为12254
5233
⨯=．
选条件②，()25
sin sin 90cos ∠=︒+∠=∠=
BAC BAD BAD 所以2
2555
sin 1BAD ⎛⎫∠- ⎪ ⎪⎝⎭
所以()5225210
sin sin 135⎛=∠+︒=
+= ⎝⎭B BAD 在ABD △中，由正弦定理，得
sin135sin sin ==∠︒AB AD BD
B BAD
，得5AB =2BD =．
因为135ADB ∠=︒，所以45ADC ∠=︒，所以1AC =， 所以ABC 的面积为125
5112=．
选条件③，()25
sin sin 90cos ∠=︒+∠=∠=
BAC BAD BAD 所以2
2555
sin 1BAD ⎛⎫∠- ⎪ ⎪⎝⎭
因为BAD C ∠=∠，所以5
sin C =
在Rt ACD △中，可得5cos ∠=ADC 525cos ∠=∠=ADB ADB ． 所以5525253sin sin()5
⎛=∠+∠=
+= ⎝⎭B BAD ADB ． 在ABD △中，由正弦定理，得sin sin sin ==∠∠AB AD BD ADB B BAD ，得255
==
AB BD 因为5
sin C 25cos C =1tan 2C =，所以2AC =．
所以ABC 的面积为125254
223
=．
19．（12分）
为了发展中国经济的持续发展制定了从2021年2025年发展纲要，简称“十四五”规划，为了普及“十四五”的知识，某党政机关举行“十四五”的知识问答考试，从参加考试的机关人员中，随机抽取100名人员的考试成绩的部分频率分布直方图，其中考试成绩在[)70,80上的人数没有统计出来．
(1)估算这次考试成绩的平均分数；
(2)把上述的频率看作概率，把考试成绩的分数在[]80,100的学员选为“十四五”优秀宣传员，若从党政机关所有工作人员中，任选3名工作人员，其中可以作为优秀宣传员的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望． 【答案】(1)70.5
(2)分布列见解析，数学期望为0.9 【解析】
【分析】
（1）设出分数在[)70,80内的频率为x ，根据频率分布直方图可得矩形的面积和为1，求出x 的值，再根据平均数的定义，即可求解；
（2）根据频率分布直方图和二项分布的性质，即可求解． (1)
设分数在[)70,80内的频率为x ，根据频率分布直方图得，
()0.010.0150.020.0250.005101x ++++⨯+=，解得0.25x =，
可知分数在[)70,80内的频率为0.25，则考试成绩的平均分数为
450.10550.15650.2750.25850.25950.0570.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
(2)
根据频率分布直方图可知考试成绩在[]80,100的频率为()0.0250.005100.3+⨯=， 则0,1,2,3ξ=．
()003334300.30.71000P C ξ==⨯=，()12
344110.30.71000
P C ξ==⨯=
()22318920.30.71000P C ξ==⨯=
，()33
32730.31000
P C ξ===， 故随机变量ξ的分布列为
ξ
0 1 2 3
P 343
1000 4411000 1891000 271000
因为该分布为二项分布，所以该随机变量的数学期望为()30.30.9E ξ=⨯=． 20．（12分）
如图，已知平面DBEF ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，AD DC ⊥，1
12
AB AD CD ===．
(1)求证：BC DF ⊥；
(2)若DB DF ⊥，点P 在线段DF 上，且三棱锥P ACD -的体积为1
3
，求二面角P AC D --的
余弦值．
【答案】(1)证明见解析 (2)23
【解析】 【分析】
（1）由题，根据直角梯形的结构特征，结合勾股定理逆定理可得BC BD ⊥，再根据面面垂直的性质可得BC ⊥平面DBEF ，进而得到BC DF ⊥
（2）先证明DF ⊥平面ABCD ，再以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，结合三棱锥
P ACD -的体积为13
得到相关点的坐标，进而得到相关向量的坐标，再根据向量的夹角公式
可得二面角的余弦值 (1)
∵AB CD ∥，DA DC ⊥，∴四边形ABCD 为直角梯形， 又1AB AD ==，2CD =，易得2BD =，2BC = ∴222BC BD CD +=，∴BC BD ⊥，
∵平面DBEF ⊥平面ABCD ，平面DBEF ⋂平面ABCD BD =，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面DBEF ，又DF ⊂平面DBEF ，∴BC DF ⊥． (2)
∵⊥DF DB ，平面DBEF ⊥平面ABCD ，平面DBEF ⋂平面ABCD BD =，∴DF ⊥平面
ABCD ，故可以D 为坐标原点，DA ，DC ，DF 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立
如图所示的空间直角坐标系D xyz -，
∵三棱锥P ACD -的体积为1
3，∴111323
P ACD V DA DC DP -=⨯⨯⨯⨯=，
即111
12323
DP ⨯⨯⨯⨯=，解得1DP =．∴()0,0,0D ，()0,0,1P ，()1,0,0A ，()0,2,0C ， ∴()0,0,1DP =，()1,0,1PA =-，()0,2,1=-PC ，设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，
则00PA n PC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得020x z y z -=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2x z ==，∴()2,1,2n =，
易知平面ACD 的一个法向量为()0,0,1DP =， ∴2
cos ,3
414n DP n DP n DP
⋅=
=
=++⋅，
故二面角P AC D --的余弦值为23
． 21．（12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()22
122:10x y C a b b a +=>>经过点6⎫⎪⎪⎝⎭，椭圆22222:133x y C a b +=6
(1)求椭圆1C 与椭圆2C 的标准方程；
(2)设过原点且斜率存在的直线l 与椭圆1C 相交于A ，C 两点，点P 为椭圆2C 的上顶点，直线PA 与椭圆2C 相交于点B ，直线PC 与椭圆2C 相交于点D ，设POA ，POB ，POC △，POD 的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，试问
3
124
S S S S +是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)1C ：2
213y x +=，2C ：22193
x y +
= (2)是定值，定值为109
【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法，求椭圆方程；
（2）首先设(),A m n ，0m ≠，直线PA ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，直线PA 分别和椭圆12
,C C 联立方程组，求得点,A B 的横坐标，并表示()1
2211211
2
1233
31
336331
k PA
PB
k k k k k -++==+-+，并求PC PD 的值，将
面积比值表示为
3124PA PC S S S S PB PD
+=+，即可求解.
(1)
因为椭圆1C 经过点6⎫⎪⎪⎝⎭
，所以2261
19b a +=，① 因为椭圆2C 6
22
3363a b e a
-==
即3a
b ，②由①②可得3
1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
故椭圆1C 的标准方程为2
2
13y
x +=，椭圆2C 的标准方程为22193
x y +
=． (2)
设(),A m n ，0m ≠，则(),C m n --，2
213
n m +
=，即2233n m -=． 由题意知(3P ，设直线PA ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，
则(2212222
3333333n n n n n m k k m m m
-----=====-． （点拨：得到1k ，2k 的关系式，为下面消元做准备）
直线PA 的方程为13y k x =1223
13y k x y x ⎧=+⎪
⎨+=⎪
⎩
，
消去y 得()22
113230k x k x ++=，
解得0x =或1123k x =1123k
m =． 由1223
193y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()221131630k x k x ++=，
解得0x =或1163k x =，所以点B 的横坐标1
163B
k x = 所以()12211211
21233
31336331
k PA
PB
k k k k k -
++=+-+． （点拨：因为点P 在y 轴上，所以可以将线段之比转化为点的横坐标的绝对值之比）
同理()()()22221211222221113313127273333993333PC k k k k PD k k k k ⎛⎫⨯-+ ⎪+++⎝⎭====⎡⎤+++⎛⎫⎢⎥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
． 因为POA ，POB 的高均为原点到直线PA 的距离，
所以12PA S S PB
=．（将面积比转化为线段长之比） 因为POC △，POD 的高均为原点到直线PC 的距离，所以
34PC S S PD =， 所以()()
22311122241131273393PA PC S S k k S S PB PD k k +++=+=+++ ()()
()()()()
2
222111122211193271031030109939393k k k k k k k +++++====+++． 故3124S S S S +为定值109
． 【点睛】 将三角形的面积比转化为PA
PB
，PC PD ，联立直线与椭圆方程， 由根与系数的关系求出
PA PB ，PC PD ，转化为判断关于1k 的式子是否为定值是解题的关键
22．（12分） 已知函数()ln e x f x m x x x =-+．
(1)若1m =，求()f x 的最大值；
(2)若()()1211220,0e e x x f x x m f x x m ++=++=，其中12x x ≠，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)1-
(2)(,1)-∞-
【解析】
【分析】
（1）方法一，求导之后，导函数零点存在但不可求，虚设导函数零点，用极值点处的导数为零化简极值的表达式即可求解；方法二，对()f x 恒等变形之后，换元再求其最值（2）方法一，构造()()ln ,0,g x m x x m x =++∈+∞，由题意知m 的取值应满足函数()g x 有两个零点．从函数的单调性，极值（或最值）的符号以及趋向于端点时函数的变化趋势来列式，即可求解；方法二，分离参数，数形结合即可求解
(1)
当1m =时，()ln e x f x x x x =-+，则()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫'=+-+=+- ⎪⎝⎭
． 令()()1e 0x x x x ϕ=->，则21()e 0x x x
ϕ'=--<， ()x ϕ∴在()0,∞+上单调递减．
又()0e 120,11e 2ϕϕ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭
， ∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
使得001()e 0x x x ϕ=-=， ∴当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；
当()0,x x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，
()f x ∴有最大值()()000000000e e e ln ln ln111x x x f x x x x x x =+-=-=-=-．
另法：当1m =时，()()ln e ln e e x x x f x x x x x x =-+=-，令0x t xe =>，
则()ln h t t t =-，其中0t >，()1t h t t
-'=， ∴当(0,1)t ∈时，()()0,h t h t '>单调递增；当()1,t ∈+∞时，()()0,h t h t '<单调递减，故()()max 11h t h ==-，即()f x 的最大值为1-．
(2)
令()()ln ,0,g x m x x m x =++∈+∞，
由题意知m 的取值应满足函数()g x 有两个零点．
易得()1m x m g x x x
+'=+=， 若0m ≥，则()0g x '>，()g x 在()0,∞+上单调递增，
()g x ∴至多有一个零点，不符合题意，舍去；
若0m <，则当()0,x m ∈-时，()()0,g x g x '<单调递减；
当(),x m ∈-+∞时，()()0,g x g x '>单调递增．
要使函数()g x 有两个零点，则()()()min ln 0,1g x g m m m m =-=-<∴<-
易知()()22222110,ln e e 2e 1e e e
m m m m g g m m m m m ----⎛⎫=>=++=-++<- ⎪⎝⎭． 令()22e 2,1x p x x x x -=-+<-，则()22e 41,1x p x x x -'=--+<-，
令()22e 41,1x
q x x x -=--+<-，则()24e 40,1x q x x -'=-><-， ()p x '∴在(),1-∞-上单调递增，()()212e 50p x p ''∴<-=-+<
()p x ∴在(),1-∞-上单调递减，
()()()221e 210,0e m p x p g -∴>-=-->∴>， 由21e
e m m -<-<知()g x 在()0,m -和(),m -+∞上各有一个零点， 则实数m 的取值范围为(),1-∞-．
另法：令()()ln ,0,g x m x x m x =++∈+∞，
由题意知m 的取值应满足函数()g x 有两个零点，
若0m ≥，易知()g x 单调递增，不符合题意，舍去； 若0m <，由()()ln 0,0,g x m x x m x =++=∈+∞知，1ln 1x x m +-=， 令()()1ln ,0,x h x x x +=-∈+∞，则()()2ln ,0,x h x x x
'=∈+∞， ()h x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 又()11h =-，且()1,x ∈+∞时，()10,1h x m <∴
>-，解得1m <-， 故实数m 的取值范围为(),1-∞-．。