考点16+等差、等比数列的运算和性质-高考数学(理)提分必备30个黄金考点+Word版含解析

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高三数学数列知识点归纳总结

高三数学数列知识点归纳总结数列是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。

高三学习阶段，数列的理解和应用变得尤为重要。

本文将对高三数学数列的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地掌握数列的相关内容。

一、数列的定义和性质数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。

一般表示为{a₁, a₂, a₃, ... , aₙ}，其中a₁, a₂, a₃, ... 分别表示数列的第1项、第2项、第3项、... 第n项。

1. 等差数列等差数列是一种常见的数列，其特点是每一项与前一项之间的差值是一个常数，称为公差，一般表示为d。

常用性质：(1) 第n项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d(2) 前n项和公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 22. 等比数列等比数列是一种常见的数列，其特点是每一项与前一项之间的比值是一个常数，称为公比，一般表示为r。

常用性质：(1) 第n项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)(2) 前n项和公式（当r ≠ 1时）：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)3. 通项公式通项公式可以根据数列的规律，直接给出第n项的表达式。

通过通项公式，可以快速计算数列的任意一项。

二、数列的应用1. 等差数列的应用等差数列在实际问题中的应用非常广泛，常用于描述一些增减规律明显的情况。

(1) 速度、距离和时间的关系：当速度恒定时，可以利用等差数列来描述物体在某段时间内的位置变化。

(2) 等差数列求和：可以利用等差数列的前n项和公式，求解一段时间内某物体的总距离或总位移。

2. 等比数列的应用等比数列在实际问题中也有广泛的应用，常用于描述一些指数型的增长或衰减规律。

(1) 复利问题：利用等比数列可以解决一些复利问题，比如定期存款、投资基金等。

(2) 指数增长和衰减：利用等比数列可以描述一些指数增长或衰减的情况，比如病菌的增殖、放射性物质的衰变等。

三、常见数列的特殊性质1. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项是前两项之和。

高三等比数列知识点

高三等比数列知识点解析数学作为一门重要的学科，在高中阶段占据着至关重要的地位。

而在数学学科中，等比数列与等差数列是高三学生最常接触的数列类型之一，且对学生的数学思维与分析能力有着较大的考验。

在本文中，我们将对高三等比数列的基本概念、性质和解题技巧进行详细论述。

一、等比数列的基本概念等比数列是指一个数列中，从第二个数起，每一个数都是前一个数乘以同一个常数得到的。

例如，数列1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2。

在等比数列中，每个数与它的前一个数之比是相等的，这个比值叫做公比。

并且，公比的绝对值大于1时，数列的绝对值会呈现出递增的趋势；而公比的绝对值在0到1之间时，则数列的绝对值会呈现出递减的趋势。

二、等比数列的性质1. 前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

这个公式可以帮助我们求解等比数列前n项和，其中的（1-q^n）部分是通过公比的n次幂来表示的。

需要注意的是，当公比q等于1时，前n项和公式会退化为等差数列的前n项和公式Sn=n*a1。

2. 通项公式等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

通过通项公式，我们可以方便地求得等比数列中任意一项的值。

如果已知首项和公比，通过代入数值即可计算出对应的项数的数值。

3. 其他重要性质（1）对于任意等比数列，首项与公比的乘积等于第二项与公比的乘积，即a1 * q = a2。

这个性质是由等比数列的定义所确定的。

（2）等比数列任意两项的比值都是相等的。

这个性质在解题过程中有着很大的应用价值，可以帮助我们确定未知量的值。

三、等比数列的解题技巧1. 确定题目所给信息和所求结论在解题过程中，首先要仔细阅读题目，理解题目所给的条件和所要求的结果。

通过明确题目的要求，可以更加有目的地进行解题，在遇到复杂问题时能够有针对性地选择合适的方法。

2. 掌握运用前n项和公式和通项公式在解决关于等比数列的问题时，掌握前n项和公式和通项公式是必不可少的。

（完整版）高考等差等比数列知识点总结

1高考数列知识点等差数列1.等差数列的定义：d aa n n=--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项首项首项::1a ，公差，公差:d :d :d，末项，末项，末项::n a推广： d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d m n --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22dn a d n =+-2An Bn =+（其中（其中A A 、B 是常数，所以当是常数，所以当d d ≠0时，时，S S n 是关于是关于n n 的二次式且常数项为的二次式且常数项为00）特别地()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n=--1或d a an n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．是等差数列．（2）等差中项：数列{}na 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中（其中A A 、B 是常数）6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n=--1或d a an n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列7.等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函的一次函数，数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

数列高三理科知识点归纳

数列高三理科知识点归纳数列是高中数学中的重要内容，也是高三数学考试中常见的知识点。

理解和掌握数列的性质及相关概念对于高考数学的顺利解题至关重要。

本文将对高三数学中与数列相关的知识点进行归纳和概述。

一、数列的基本概念：数列是由一串按特定规律排列的数所组成的有序集合。

数列的一般形式为：an=a1+(n-1)d，其中an表示第n个数，a1为首项，d 为公差。

二、等差数列：等差数列是最基本的数列之一，其特点是每一项与前一项之差都相等。

常见的等差数列有以下几个重要概念：1. 公差：等差数列中相邻两项之间的差值，用d表示。

2. 通项公式：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，通过该公式可以求得任意一项的值。

3. 求和公式：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，通过该公式可以求得前n项的和。

三、等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

常见的等比数列有以下几个重要概念：1. 公比：等比数列中相邻两项之比，用q表示。

2. 通项公式：等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，通过该公式可以求得任意一项的值。

3. 求和公式：等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，通过该公式可以求得前n项的和。

四、数列的性质：数列具有一些重要的性质和特点，这些性质对于解题和理解数列的本质起到了重要的作用。

1. 有界性：数列可以是有界的，即存在上界和下界，也可以是无界的。

2. 单调性：数列可以是递增的，即每一项都比前一项大，也可以是递减的，即每一项都比前一项小。

还可以是常数列，即每一项都相等。

3. 极限：数列可能有极限，即当项数趋近于无穷时，数列的值趋于一个确定的常数。

4. 递推关系：数列的每一项都可以通过前一项或前几项来确定。

五、常见数列：高三数学中常见的数列有以下几种：1. 等差数列：每一项与前一项之差相等。

2. 等比数列：每一项与前一项之比相等。

3. 斐波那契数列：每一项等于前两项之和。

等差数列与等比数列的知识点总结

等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列和等比数列是数学中的两个重要概念，它们在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

以下是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结：
等差数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个数列被称为等差数列。

2. 通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。

3. 求和公式：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]$，其中 $S_n$ 是前$n$ 项的和。

4. 等差中项：任意两项的算术平均值等于第三项。

5. 等差数列的性质：如果两个数列都是等差数列，那么它们的和也是一个等差数列。

等比数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的比是一个常数，这个数列被称为等比数列。

2. 通项公式：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。

3. 求和公式：对于 $q \neq 1$，有 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$；对于 $q = 1$，有 $S_n = na_1$。

4. 等比中项：任意两项的几何平均值等于第三项。

5. 等比数列的性质：如果两个数列都是等比数列，那么它们的乘积是一个等比数列。

以上是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结。

在学习这些内容时，可以通过做练习题来加深理解和巩固知识。

等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6、等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．7、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

等差数列等比数列知识点归纳总结

等差数列等比数列知识点归纳总结等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的概念，它们在解决各种数学问题中都起着重要的作用。

本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。

一、等差数列等差数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的差都相等。

这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用字母d表示。

1. 基本概念一个等差数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，d表示公差。

2. 性质（1）公差：等差数列的公差d是等差数列中相邻两项的差，公差可以是正数、负数或零。

（2）公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1) * d，其中n表示项数。

（3）前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2来计算。

3. 应用等差数列广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的差额、间隔、递推关系等。

（2）物理问题中的匀速直线运动、连续等差分布等。

（3）经济学中的利润、销售额等。

二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的比都相等。

这个相等的比值被称为等比数列的公比，通常用字母r表示。

1. 基本概念一个等比数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，r表示公比。

2. 性质（1）公比：等比数列的公比r是等比数列中相邻两项的比值，公比可以是正数、负数或零。

（2）公式：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n表示项数。

（3）前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算。

3. 应用等比数列也广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的倍数关系、增长衰减等。

（2）物理问题中的连续等比分布、指数增长等。

高三数列知识点理科版总结

高三数列知识点理科版总结数列是数学中非常重要的概念之一，在高三的学习中，数列经常被提及和使用。

下面将对高三数列的知识点进行理科版总结，包括等差数列、等比数列以及基本数列操作等内容。

一、等差数列（Arithmetic Progression）等差数列是指数列中的每一项与前一项之差等于一个常数d，这个常数称为公差。

通常用字母an表示等差数列的第n项，即an = a1 + (n-1)d。

1. 等差数列的通项公式对于等差数列an，其通项公式为an = a1 + (n-1)d。

其中，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。

2. 等差数列的前n项和等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)。

其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。

3. 等差数列的性质- 等差数列的任意三项成等差数列。

- 等差数列的任意n项成等差数列。

二、等比数列（Geometric Progression）等比数列是指数列中的每一项与前一项之比等于一个常数q，这个常数称为公比。

通常用字母an表示等比数列的第n项，即an = a1 * q^(n-1)。

1. 等比数列的通项公式对于等比数列an，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)。

其中，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。

2. 等比数列的前n项和（只有当公比q不等于1时才有意义）等比数列的前n项和公式为Sn = (a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)。

其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。

3. 等比数列的性质- 等比数列的任意三项成等比数列。

- 等比数列中任意两项的比值都相等。

三、基本数列操作1. 数列的加减法- 两个数列加（或减）得到的新数列，其第n项等于原数列的第n项之和（或差）。

2. 数列的乘法- 两个数列的乘积得到的新数列，其第n项等于原数列的第n 项之积。

3. 数列的除法- 两个数列的除法得到的新数列，其第n项等于原数列的第n 项之商。

等比等差知识点

等比等差是数学中常见的两种数列，它们有着重要的应用和特点。

本文将介绍等比数列和等差数列的基本概念、性质以及常见的应用。

一、等差数列1.定义等差数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数与其前面的数之差都相等。

这个相等的差值称为公差，通常用字母d表示。

一个等差数列可以用首项a1和公差d来表示。

2.性质等差数列有以下性质：•公差d是常数。

•第n项an可以通过公式an = a1 + (n-1)d来计算。

•第n项an和第m项am之间的差可以通过公式am - an = (m - n)d 来计算。

•等差数列的前n项和Sn可以通过公式Sn = (n/2)(a1 + an)来计算。

3.应用举例等差数列在实际生活中有着广泛的应用。

例如，考虑一个连续保存每天销售额的数据表格，如果销售额满足等差数列，那么可以使用等差数列的性质来计算某一段时间内的总销售额。

二、等比数列1.定义等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数与其前面的数之比都相等。

这个相等的比值称为公比，通常用字母q表示。

一个等比数列可以用首项a1和公比q来表示。

2.性质等比数列有以下性质：•公比q是常数。

•第n项an可以通过公式an = a1 * q^(n-1)来计算。

•第n项an和第m项am之间的比可以通过公式am / an = q^(m - n)来计算。

•等比数列的前n项和Sn可以通过公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)来计算（当q不等于1时）。

3.应用举例等比数列在实际生活中也有许多应用。

例如，考虑一个存款账户每年按照一定比例产生的利息，如果每年的利息满足等比数列，那么可以使用等比数列的性质来计算多年后账户的总金额。

三、等比数列与等差数列的关系等比数列和等差数列在某些情况下存在一定的关系，并可以相互转化。

如果一个等比数列的公比为q，则将该等比数列取对数，得到的数列就是一个等差数列，公差为ln(q)。

四、总结在数学中，等比数列和等差数列是两个重要的数列概念。

等差等比数列知识点归纳总结

等差等比数列知识点归纳总结数学中的数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。

在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式。

它们具有一些特定的性质和规律，对于理解数学的推理和应用领域都具有重要意义。

本文将对等差数列和等比数列的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用这些概念。

一、等差数列的概念和性质等差数列是指数列中的相邻两项之差保持恒定的数列。

每一项与它的前一项之差称为等差d。

等差数列通常表示为{a，a + d，a + 2d，...}，其中a是首项，d是公差。

等差数列具有以下性质：1. 公差：等差数列的公差是相邻两项之差，常用字母d表示。

2. 通项公式：等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。

通项公式为an = a + (n - 1)d，其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。

3. 首项和末项：等差数列的首项为a，末项为an。

4. 求和公式：等差数列的前n项和可以使用求和公式来表示。

求和公式为Sn = (n/2)(a + an)，其中Sn表示前n项和。

5. 通项之和：对于相等间隔的等差数列，任意两项之和都等于首项和末项的和。

二、等比数列的概念和性质等比数列是指数列中的相邻两项之商保持恒定的数列。

每一项与它的前一项之比称为公比r。

等比数列通常表示为{a，ar，ar^2，...}，其中a是首项，r是公比。

等比数列具有以下性质：1. 公比：等比数列的公比是相邻两项之比，常用字母r表示。

2. 通项公式：等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。

通项公式为an = a * r^(n-1)，其中an表示第n项，a表示首项，r表示公比。

3. 首项和末项：等比数列的首项为a，末项为an。

4. 求和公式：等比数列的前n项和可以使用求和公式来表示。

求和公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。

5. 通项之积：对于相等间隔的等比数列，任意两项之积都等于首项和公比的幂次方之积。

高中数学知识点总结等差数列与等比数列的求和性质

高中数学知识点总结等差数列与等比数列的求和性质等差数列（Arithmetic Progression）和等比数列（Geometric Progression）是高中数学中常见的数列类型，它们在数学和实际问题的解决中起到了重要的作用。

本文将对等差数列和等比数列的求和性质进行总结和讨论。

一、等差数列的求和性质等差数列是指一个数列中每个相邻的两个数之差都相等的数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则该数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d等差数列的前n项和（即等差数列的求和）可以通过以下公式来计算：Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2其中，Sₙ表示前n项和。

例如，若我们有等差数列：2，4，6，8，10，则首项a₁为2，公差d为2。

若我们要计算前5项的和，则利用公式可以得到：S₅ = (2 + 10) × 5/2 = 12 × 5/2 = 30所以，该等差数列的前5项和为30。

二、等比数列的求和性质等比数列是指一个数列中每个相邻的两个数之比都相等的数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则该数列的通项公式为：aₙ = a₁ × r^(n-1)等比数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sₙ = a₁ × (1 - rⁿ)/(1 - r)其中，Sₙ表示前n项和。

例如，若我们有等比数列：3，6，12，24，48，则首项a₁为3，公比r为2。

若我们要计算前4项的和，则利用公式可以得到：S₄ = 3 × (1 - 2⁴)/(1 - 2) = 3 × (1 - 16)/(-1) = 3 × (-15) = -45所以，该等比数列的前4项和为-45。

以上就是等差数列和等比数列的求和性质的总结。

这些性质在解决数学问题时非常有用，可以帮助我们计算数列的和，从而更好地理解和应用这些数列。

通过掌握这些概念和公式，我们能够更加高效地解决与等差数列和等比数列相关的问题。

(完整版)高考等差等比数列知识点总结

高考数列知识点等差数列1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a推广： d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列7.等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

高考数列综合知识点总结

高考数列综合知识点总结在高考中，数列综合是一个非常重要的数学知识点。

掌握好数列综合的相关概念和解题方法，不仅可以提高解题效率，还能够帮助我们更好地理解数列的性质和应用。

本文将对高考数列综合的知识点进行总结和归纳。

一、等差数列的综合等差数列是指数列中相邻的两项之差都相等的数列。

在计算等差数列的综合时，我们常用到的有两个公式：首项加末项乘以项数的一半，以及平均数乘以项数。

其中平均数等于首项与末项之和的一半。

通过使用这些公式，我们可以求解等差数列的综合问题。

例如，已知一个等差数列的首项为a，公差为d，共有n项，我们可以用公式Sn = (a + an) * n / 2来求解数列的综合，其中an表示末项。

二、等比数列的综合等比数列是指数列中相邻的两项之比都相等的数列。

在计算等比数列的综合时，我们可以将数列的每一项都乘以一个公比r，然后再应用等差数列的综合公式来求解。

具体公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a表示首项，r表示公比。

需要注意的是，当公比r在-1到1之间时，等比数列的综合存在一个极限值。

当公比在此区间之外时，等比数列的综合趋近于无穷大或无穷小。

我们需要根据具体的题目条件来判断等比数列的综合是否存在极限。

三、递推数列的综合递推数列是一种特殊的数列，其中每一项的值都由前一项来决定。

在计算递推数列的综合时，我们需要根据递推关系找到数列的通项公式，然后再利用前面所介绍的等差或等比数列的综合公式来求解。

常见的递推数列有斐波那契数列和等差递推数列。

斐波那契数列的通项公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中n大于等于3，F1和F2分别为1和1。

而等差递推数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

四、其他数列的综合除了等差、等比和递推数列，高考中还可能出现其他类型的数列综合题目，例如几何数列、重复数列等。

针对这些题目，我们需要根据具体的数列性质和题目条件来选择合适的解题方法。

等差数列与等比数列的概念与性质

等差数列与等比数列的概念与性质等差数列和等比数列是数学中常见且重要的数列类型。

它们在各个领域中都有广泛的应用，从金融到物理，从自然科学到社会科学。

本文将介绍等差数列和等比数列的概念、性质和应用，以帮助读者更好地理解这两个数列的特点与应用。

一、等差数列的概念和性质1. 概念：等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。

这个差被称为等差数列的公差，常用字母d表示。

2. 性质：- 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ + (n-1)d 。

- 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。

- 等差数列的性质：（1）若首项相同，公差不同的两个等差数列相交，其交点仍为等差数列。

（2）若两个等差数列的公差之比为整数，则其和仍为等差数列。

（3）等差数列的前n项和与项数n成正比，即Sₙ与n成一次函数关系。

二、等比数列的概念和性质1. 概念：等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比相等。

这个比被称为等比数列的公比，常用字母q表示。

2. 性质：- 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ * q^(n-1)。

- 等比数列的前n项和公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和为Sₙ，则Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ)/(1 - q)。

- 等比数列的性质：（1）若首项相同，公比不同的两个等比数列相交，其交点仍为等比数列。

（2）若两个等比数列的公比之比为整数，则其和仍为等比数列。

（3）等比数列的前n项和与项数n成正比，但比值不为常数。

三、等差数列与等比数列的应用1. 等差数列的应用：（1）在金融领域中，等差数列用于计算复利的增长情况。

（2）在物理学中，等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位置和速度变化。

等差数列和等比数列的特点知识点总结

等差数列和等比数列的特点知识点总结等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列，而等比数列则是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。

在数学中，等差数列和等比数列是非常重要且常见的数列类型。

下面将分别介绍等差数列和等比数列的特点与相关知识点。

一、等差数列的特点与知识点等差数列的特点：1. 公差：等差数列中相邻两项之差称为公差，用d表示。

公差可以是正数、负数或零。

2. 通项公式：等差数列的通项公式是指通过已知的首项和公差，求出数列中任意一项的公式。

对于等差数列a1, a2, a3, ..., an，通项公式为an = a1 + (n-1)d。

3. 求和公式：等差数列的求和公式用于计算数列中前n项和的值。

对于等差数列a1, a2, a3, ..., an，求和公式为Sn = (n/2)(a1 + an) =(n/2)(2a1 + (n-1)d)。

等差数列的知识点：1. 判定一组数字是否为等差数列：通过计算任意相邻两项的差是否相等，若相等则为等差数列。

2. 求等差数列的第n项：已知首项和公差，利用通项公式即可计算出第n项的值。

3. 求等差数列的前n项和：已知首项、公差和项数，利用求和公式即可计算出前n项和的值。

4. 求等差数列中项的个数：已知首项、公差和末项，利用末项与首项之间的关系，即(末项-首项)/公差+1，即可计算出项的个数。

5. 应用：等差数列在日常生活中的应用很广泛，例如计算年龄、身高、价格等各类增量或减量的规律。

二、等比数列的特点与知识点等比数列的特点：1. 公比：等比数列中相邻两项之比称为公比，用r表示。

公比可以是正数、负数或零，但不能为1。

2. 通项公式：等比数列的通项公式是指通过已知的首项和公比，求出数列中任意一项的公式。

对于等比数列a1, a2, a3, ..., an，通项公式为an = a1 * r^(n-1)。

3. 求和公式：等比数列的求和公式用于计算数列中前n项和的值。

单招等差等比数列知识点归纳总结

单招等差等比数列知识点归纳总结数列是数学中一种常见的数值序列，而等差数列和等比数列是数列中较为常见和重要的两种类型。

对于学习数学的同学来说，掌握等差数列和等比数列的概念、性质以及求解方法非常重要。

本文将对等差数列和等比数列的基本概念、常见性质和解题方法进行归纳总结。

一、等差数列的概念和性质等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差相等的数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的一般形式为an = a₁ + (n-1)d。

(n≥1)等差数列常见的性质有：1. 通项公式：an = a₁ + (n-1)d2. 首项和末项的求解：a₁ = an - (n-1)d，an = a₁ + (n-1)d3. 前n项和的求解：Sn = (n/2)[2a₁ + (n-1)d]4. 累加求和公式：Sn = (n/2)(a₁ + an)5. 通项之和为定值：an + an-1 = a₁ + ∑(n-1) + d = 2a₁ + (n-1)d6. 通项相等时的和：Sn = n(a₁ + an)/2二、等比数列的概念和性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比相等的数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为r，则等比数列的一般形式为an = a₁ * r^(n-1)。

(n≥1)等比数列常见的性质有：1. 通项公式：an = a₁ * r^(n-1)2. 首项和末项的求解：a₁ = an / r^(n-1)，an = a₁ * r^(n-1)3. 前n项和的求解：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)，当|r|<1时，Sn = (a₁ - an * r) / (1 - r)4. 累乘求积公式：Sn = a₁ * a₂ * a₃ * ... * an = a₁^n * r^(1+2+...+n-1) = a₁^n * r^(n(n-1)/2)5. 通项之和为定值：an * r - an₋₁ = a₁ * (r - 1) * (r^(n-1) - 1) / (r - 1) = a₁ * (r^n - 1) / (r - 1)6. 通项相等时的和：Sn = a₁n三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列是数学中非常重要的概念，它们不仅在数学中有着广泛的应用，而且在实际生活中也随处可见。

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2018届高三数学30个黄金考点精析精训考点16 等差、等比数列的运算和性质【考点剖析】1.最新考试说明：（1）理解等差、等比数列的概念；（2）掌握等差、等比数列的通项公式与前n 项和公式；（3）了解等差数列与一次函数的关系，等比数列与指数函数的关系；（4）能利用等差、等比数列的前n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和；（5）能运用数列的等差、等比关系解决实际问题. 2.命题方向预测：数列是高考必考内容，往往是主、客观题均有.预计2018年高考将重点考查等差、等比数列的通项公式及其性质、求和公式等，主观题以等差、等比数列与其他知识的综合为主. 3.课本结论总结：等差数列的判断方法：(1)定义法：对于2n ≥的任意自然数，验证1n n a a --为同一常数；(2)等差中项法：验证*122(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈都成立；(3)通项公式法：验证n a pn q =+； (4)前n 项和公式法：验证2n S An Bn =+.注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．等比数列的判定方法： (1)定义法：若1n n a q a +=(q 为非零常数)或1n n aq a -=(q 为非零常数且2n ≥)，则{}n a 是等比数列． (2)中项公式法：若数列{}n a 中0n a ≠且2*12()n n n a a a n N ++=⋅∈，则数列{}n a 是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成1n n a c q -=⋅(c ，q 均为不为0的常数，*n N ∈)，则{}n a 是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和n n S k q k =⋅-(k 为常数且0k ≠，0,1q ≠)，则{}n a 是等比数列．4.名师二级结论：以数列与函数、不等式相结合为背景的选择题,主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、比较大小、参数取值范围的探求，此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数()f x 在定义域为D ，则当x D ∈时，有()f x M ≥恒成立()min f x M ⇔≥；()f x M ≤恒成立()max f x M ⇔≤；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得． 5.课本经典习题：(1)新课标A 版必修5第44页，例3 已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它是首项与公差分别是什么？.【经典理由】结合具体实例，给出了数列通项公式的求法与等差数列的判定，并可就此发散，引申出等差数列通项公式与前n 项和n S 的特点.(2)新课标A 版必修5第45页，例4 已知等差数列5，247，437，……的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.【解析】由题意知，等差数列5，247，437，……的公差为57-， ∴2257555151125[25(1)()]()271414256n n n n S n n -=⨯+--==--+，∴当7n =或8时，n S 取最大值.【经典理由】结合具体的例题，给出了利用二次函数的方法求等差数列前n 项和n S 的方法. 6.考点交汇展示： (1)数列与函数相结合1．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】D2.【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三检测】已知{}n a ， {}n b 分别为等差数列和等比数列，11a b ≠， {}n b 的前n 项和为n S .函数()214f x x =的导函数是()'f x ，有()'n a f n =，且11,x a x b ==是函数3265y x x x =-+的零点. （1）求11,a b 的值；（2）若数列{}n a 公差为12，且点(),n n P a b ，当*n N ∈时所有点都在指数函数()xh x a =的图象上. 请你求出()xh x a =解析式，并证明： 1132n S ≤<.【答案】（1）112a =,（2）见解析【解析】试题分析：（1）求出()1'2f x x =，由()'n a f n =，得12n a n =，从而可得112a =，求出函数3265y x x x =-+的零点，进而可得1b 的值；（2）根据（1），可求出等差数列列{}n a 的通项公式，由点(),n n P a b ，当*n N ∈时所有点都在指数函数()xh x a =的图象上可得na nb a =，即1213nn q a -=， n 取特殊值列方程组可求得19a =，从而可得()19xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用等比数列的求和公式及放缩法可证明结论.试题解析：（1）由()214f x x =得()1'2f x x =，又()'n a f n =，所以12n a n = ∴112a =. ∵()()32653121y x x x x x x =-+=--的零点为110,,32x x x ===，而11,x a x b ==是3265y x x x =-+的零点，又1b 是等比数列的首项，所以10b ≠， 11a b ≠，∴113b =.（2）∵()111222n n a n =+-=，令{}n b 的公比为q ，则113n n b q -=.又123,,,,,n P P P P 都在指数函数()xh x a =的图象上，即na nb a =，即1213nn q a -=当*n N ∈时恒成立，解得19{ 13a q ==.所以()19x h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.∵()111113311111123213nnnn b q S q⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-<⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，因为0n b >，所以当1n =时， n S 有最小值为13，所以1132n S ≤<. (2)数列与不等式相结合【2017届河北定州中学高三上周练一】已知数列{}n a 满足(1)21(1)n n n n a a n +-+=-，n S 是其前n 项和，若20171007S b =--，且10a b >，则112a b+的最小值为（） A．3- B ．3 C．．3+ 【答案】B【考点分类】热点1 等差数列基本量的计算1.【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C【解析】由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.2.【2017课标1，理4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C3.【2017重庆二诊】《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（） A. 10日 B. 20日 C. 30日 D. 40日【答案】B【解析】由题意知，每天织布的数量组成等差数列， 15a =， 1n a =， 90n S =，设其公差为d ，则()()15190903022n n a a n n ++=⇒=⇒=，故选C.【解题技巧】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1a ，n a ，d ，n ，n S ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题，此外要注意当0d =时，为常数列，是特殊的等差数列. 【方法规律】数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，例如第3题，将条件中的等式都转化为关于1a 和d 的方程组，通过解方程组求解.热点2 等差数列性质的综合运用1.在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += .【答案】10．【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，所以285210a a a +==，故应填入10．2.【2017福建4月质检】若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81，则9a =（） A. 1 B. 9 C. 17 D. 19 【答案】C【解析】由等差数列求和公式可得： 199559()98192a a S a a +===⇒=，再由等差数列通项公式可知： 549817a d +=+=3.设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=,则55a b +=__________. 【答案】35【解析】因为数列{},{}n n a b 都是等差数列,所以数列{}n n a b +也是等差数列，故由等差中项的性质,得()()()5511332a b a b a b +++=+,即()557221a b ++=⨯,解得5535a b +=.【方法规律】等差数列的性质：（1）通项公式的推广：*()(,)n m a a n m d n m N =+-∈（2）若*(,,,)k l m nklmn N +=+∈，则k l m n a a a a +=+；（3）若{}n a ，{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 和'n S ，则2121'm m m m a S b S --=，熟记等差数列的一些常用性质可提高解题的速度与正确率，例如第6题，利用等差数列的下标性质，可以快速求解问题【解题技巧】等差数列前n 项和的最值问题的方法：①二次函数法：将n S 看作关于n 的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合，使问题有解；②通项公式法：求使0n a ≥（或0n a ≤）成立的最大n 值，即可得nS 的最值；（3）不等式法：借助n S 最大时，有11(2)n n nn S S n S S -+≥≥⎧⎨≥⎩，解此不等式组确定n 的范围，进而确定n的值和对应n S 的值（即n S 的最值）. 热点3 等比数列基本量的计算1.【2017安徽阜阳二模】等比数列{}n a 中， 132410,30a a a a +=+=，则数列{}n a 前5项和5S = （） A. 81 B. 90 C. 100 D. 121【答案】D【解析】由题意可知： 21131110{30a a q a q a q +=+= ，解得： 11{3a q == ，由等比数列的求和公式有： ()51511211a q S q-==- .本题选择D 选项.2.【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为．【答案】64【解析】设等比数列的公比为q ,由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得,2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=,于是当3n =或4时,12n a a a 取得最大值6264=.3.【2017江苏，9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = .【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【解题技巧】（1）对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．（2）在涉及等比数列前n 项和公式时要注意对公式q 是否等于1的判断和讨论．【方法规律】关于等比数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，忽略根的符号的判断，导致出错；二是不能灵活利用等比数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大了运算量，将条件中的等式转化为关于1a 和q 的方程组，解得1a 和q ，从而解决问题. 热点4 等比数列性质的综合运用1{}n a 的各项都是正数,且31116a a =,则216log a =（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【解析】 29311771672161616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔=2.已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 . 【答案】21n-3.已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（1）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）证明：1231112na a a ++<…+.【答案】（1）证明详见解析，n a =312n -；（2）详见解析.【解析】（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n -.（2）由（1）知：n a =312n -，所以1231n n a =-，因为当1n ≥时，13123nn --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是 11a +21a +L 1n a 111133n -≤+++L =31(1)23n -32<，所以11a +21a +L 1n a 32<. 【方法规律】等比数列的性质：（1）通项公式的推广：*(,)n m n m a a q n m N -=⋅∈（2）若*(,,,)k l m n k l m n N +=+∈，则k l m n a a a a ⋅=⋅；（3）等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即232,,n n n n n S S S S S --成等比数列，熟记等差数列的一些常用性质可提高解题的速度与正确率，例如第18题，利用等比数列的下标性质，可以快速求解问题【解题技巧】(1)由1n n a qa +=，0q ≠并不能立即断言{}n a 为等比数列，还要验证10a ≠，(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1q =与1q ≠分类讨论，防止因忽略1q =这一特殊情形导致解题失误．【热点预测】1.【2017课标II ，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B 【解析】2.【2017届广西陆川县中学高三8月月考】设{}n a 是正数组成的等比数列，公比2q =，且30123302a a a a =，则36930a a a a =（）A ．102 B ．152 C ．162 D ．202 【答案】D【解析】根据等差数列的性质，可得147282582936930,,a a a a a a a a a a a a 构成公比为102的等比数列，设36930a a a a =m ，则30123302010222m ma a a a m =⨯⨯=，解得3602m =，所以202m =，故选D. 3. 设等比数列{a n }的前n 项积n n a a a a P ⋅⋅⋅⋅= 321，若12732P P =，则10a 等于( )(A)16 (B)8 (C)4 (D)2 【答案】D【解析】由12732P P =，得891232a a a ⋅⋅⋅=，即51032a =，于是102a =.4.【2016年高考四川理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年【答案】B【解析】设第n 年的研发投资资金为n a ，1130a =，则1130 1.12n n a -=⨯，由题意，需1130 1.12200n n a -=⨯≥，解得5n ≥，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.5.【【百强校】2017届湖南益阳市高三9月调研】在等差数列{}n a 中，已知51012a a +=，则793a a +=（） A ．12 B ．18 C ．24 D ．30 【答案】C【解析】公差为d ，则5101114921312a a a d a d a d +=+++=+=，791133(6)8a a a d a d +=+++114262(213)24a d a d =+=+=．故选C ．6.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C ．【解析】由已知得{}3541134551616,2,lg lg .22125125n a a q a a a a q ⎛⎫==∴==÷=∴= ⎪⎝⎭为等比数列，(){}115lg lg lglg 2,lg 2n n n n n a a a n a a --∴-==≥∴为等差数列，∴所求和为()()168758lglg 84lg 23lg528lg5lg 24lg 24lg5412522⨯+=-+-=+=，故选C ． 7.若在数列{}n a 中，对任意正整数n ，都有221n n a a p ++=（常数），则称数列{}n a 为“等方和数列”，称p为“公方和”，若数列{}n a 为“等方和数列”，其前n 项和为n S ，且“公方和”为1，首项11a =，则2014S 的最大值与最小值之和为（）A.2014B.1007C.1-D.2 【答案】D【解析】由221n n a a p ++=得2212n n a a p +++=，两等式相减得：222n n a a +=.又“公方和”为1，首项11a =，所以2222223520132420141,0a a a a a a ========.所以2014S 的最大值为1007，最小值为1005，其差为2.选D.8.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d>0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由d d a d a S S S =+-+=-+)105(22110211564，可知当0>d ，则02564>-+S S S ，即5642S S S >+，反之，02564>⇒>+d S S S ，所以为充要条件，选C ．9.【2017课标3，理9】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24-B ．3-C ．3D ．8【答案】A 【解析】10.定义：数列{}n a 对一切正整数n 均满足212n n n a a a +++>，称数列{}n a 为“凸数列”，以下关于 “凸数列”的说法：①等差数列{}n a 一定是凸数列；②首项10a >，公比0q >且1q ≠的等比数列{}n a 一定是凸数列； ③若数列{}n a 为凸数列，则数列1{}n n a a +-是单调递增数列；④若数列{}n a 为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列. 其中正确说法的序号是 . 【答案】②③④【解析】①中，由等差数列{}n a 的性质可得212n n n a a a +++=，不满足212n n n a a a +++>，所以数列不是“凸数列”；②中，因为数列{}n a 的首项10a >，公比0q >且1q ≠，所以110n n a a q -=>，所以22211222n n n n n n n a a a a q q a a q a +++++==⋅>=，所以数列{}n a 一定是凸数列；③因为数列{}n a 为凸数列，所以数列{}n a 对一切正整数n 均满足212n n n a a a +++>，所以211n n n n a a a a +++->-，所以数列{}1n n a a +-是单调递增数列是正确的；④中，数列{}n a 为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列是正确的.11.已知各项均为正数的数列{}n a 满足：n S 为数列{}n a 的前n 项和，且 2，n a ，n S 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21()2n b n a =，n n n b c a = 求数列{}n c 的前n 项和.【答案】(1) 2.nn a =；（2）1242n n n T -+=-.【解析】(1) ∵22n n a S =+ ， ∴ 1n =，12a =，2n ≥，1n n n a S S -=- ，∴12(2)n n a a n -=≥，∴ 通项公式为2.nn a =（2）12,2n n n nb nc --=-∴=所以23123412222n n nT --=++++⋅⋅⋅+①23411234222222n n n T -=++++⋅⋅⋅+② ①-②得：234111111112222222n n n nT --=+++++⋅⋅⋅+-所以1242n n n T -+=-.12. 已知等比数列}{n a 的各项均为正数，且24a =，3424a a +=. (1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 设n n a b 2log =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【答案】（1）2n n a =；（2）1(1)222n n n n T ++=+-.【解析】(1) 设等比数列的公比为q ，有12311424a q a q a q =⎧⎨+=⎩，解得12,2a q ==，所以2n n a =；(2) 由(1)知2log 2n n b n ==，有2n n n a b n +=+，从而21(1)(222)(12)222n n n n n T n ++=+++++++=+-. 13.【2017届湖北武汉市部分学校高三上起点】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为2．对任意的*n N ∈，n b 是n a 和1n a +的等比中项．221n n n c b b +=-，*n N ∈．（1）求证：数列{}n c 是等差数列；（2）若116c =，求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）2n a n =．【解析】（1）∵21n n n b a a +=，∴2222111()()n n n n n n c c b b b b -+--=---12111()()n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=---1211()()n n n n n n a a a a a a +++-=---122n n a d a d +=⋅-⋅12()n n d a a +=-228d ==（常数），∴数列{}n c 是等差数列．（2）116c =，则22218b b -=，∴231216a a a a ⋅-=，231()16a a a -=，1()216a d d +⋅=，解得12a =，∴2(2)22n a n n =+-⋅=．14.【2016高考山东理数】已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T .（Ⅱ）由（Ⅰ）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯224(21)3[4(1)2]2132n n n n n ++-=⨯+-+⨯-=-⋅ 所以223+⋅=n n n T .。

数列知识点高三

数列知识点高三数列是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域。

作为高中数学的一部分，数列知识点对高三学生来说非常重要。

本文将对高三数学数列知识点进行详细介绍，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两个数之差都相等的数列。

在等差数列中，我们常用的公式有以下几个：1. 通项公式：对于等差数列 {an}，如果知道首项 a1 和公差 d，可以通过如下公式计算出第 n 项 an：an = a1 + (n-1)d。

2. 求和公式：对于等差数列 {an}，如果知道首项 a1、末项 an和项数 n，可以通过如下公式计算出等差数列的和 Sn：Sn = (a1 + an) * n / 2。

在解题时，我们可以根据已知条件，利用等差数列的性质以及上述公式来求解问题。

需要注意的是，等差数列的公差可以为正、负或零。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻两个数之比都相等的数列。

在等比数列中，我们常用的公式有以下几个：1. 通项公式：对于等比数列 {an}，如果知道首项 a1 和公比 q，可以通过如下公式计算出第 n 项 an：an = a1 * q^(n-1)。

2. 求和公式：对于等比数列 {an}，如果知道首项 a1、末项 an 和项数 n，可以通过如下公式计算出等比数列的和 Sn：Sn = (a1 - anq) / (1 - q)。

在解题时，我们同样可以根据已知条件，利用等比数列的性质以及上述公式来求解问题。

需要注意的是，等比数列的公比不能为零。

三、数列求和除了等差数列和等比数列的求和公式之外，我们在数列求和时还可以利用其他方法来进行计算。

常用的方法包括差分法、夹逼法和Telescoping Method等。

这些方法在一些特殊的数列问题中非常有用，可以帮助我们更快地求得数列的和。

四、数列的应用数列作为一种重要的数学工具，在实际应用中有广泛的用途。

例如，在金融领域中，我们可以利用数列来计算投资的收益，分析利润的增长等；在物理学中，数列可以被用来描述运动的变化规律，求解各种物理量等。