用样本推断总体知识讲解

宁远二中
用样本推断总体——知识讲解
【学习目标】
1.学会用样本平均数、样本方差去估计总体平均数、总体方差.
2.了解用样本估计总体的过程 .
3.能用样本的某种“率”估计总体相应的“率”，用样本的频数、频率分布估计总体的频数、
频率分布 .
4.能通过样本来预测总体在未来一段时间内的发展水平或发展趋势.
【要点梳理】
要点一、总体平均数与方差的估计
从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想.用样本平均数、样本方差分别去估计总体平均数、总体方差就是这一思想的一个体现 . 实践和理论都证明：对于简单随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种思想是合理的 .
由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样
本的平均数与方差去估计总体的平均数与方差.
要点二、统计的简单应用
在实践中，我们常常通过简单随机抽样，用样本的“率”去估计总体相应的“率” ，例如：收视率、合格率、达标率等等 .
通过科学调查，在取得真是可靠的数据后，我们可以运用正确的统计方法来推断总体，
除此之外，还可以利用已有的统计数据对事物在未来一段时间内的发展趋势做出判断和预
测，为正确的决策提供服务.
要点诠释：
样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，为了使样本能较好地反映总体情况，
在选取样本时要注意使其具有一定的代表性和广泛性．
要点三、利用样本推断总体
利用样本推断总体的过程如下：
【典型例题】
类型一、总体平均数与方差的估计
1.水资源越来越缺乏，全球提倡节约用水，水厂为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区 10 户家庭的月用水量，有关数据如下表：
月用水量（ m3）1013141718
户数22321
如果该小区有500 户家庭，根据上面的统计结果，估计该小区居民每月需要用水多少立方米？
（写出解答过程）．
【思路点拨】 先根据样本求出
10 户家庭的平均用水量，再乘以该小区的总户数即可．
【答案与解析】
解：根据题意得：
1
（ 10× 2+13× 2+14× 3+17× 2+18× 1）=14（立方米），
10
14× 500=7000（立方米），
答：该小区居民每月需要用水 7000 立方米．
【总结升华】 此题考查了用样本平均数估计总体平均数，进而估计总体
.
举一反三：
【变式】“立定跳远”是我市初中毕业生体育测试项目之一．测试时，记录下学生立定跳远
的成绩，然后按照评分标准转化为相应的分数，满分
10 分．其中男生立定跳远的评分标准
如下：注：成绩栏里的每个范围，含最低值，不含最高值．
成绩（米） , 1.80 —1.86
1.86 — 1.94 1.94 —
2.02 2.02 — 2.18
2.18 — 2.34
2.34 —
得分（分） ,
5
6
7
8
9
10
某校九年级有
480 名男生参加立定跳远测试，现从中随机抽取
10 名男生测试成绩（单位：
分）如下：
1.96
2.38 2.56 2.04 2.34 2.17 2.60 2.26 1.87 2.32 请完成下列问题：
（ 1）求这 10 名男生立定跳远成绩的平均数；
（ 2）如果将 9 分以上定为“优秀” ，请你估计这 480 名男生中得优秀的人数．【答案】
解：（ 1）根据题意得：
x =
1
（1.96+2.38+2.56+2.04+2.34+2.17+2.60+2.26+1.87+2.32
） =2.25 （米）；
10
（2）因为抽查的 10 名男生中得分（ 9 分）（含 9 分）以上有
6 人，
所以有 480×
6
=288（人）；
10
答：该校 480 名男生中得到优秀的人数是 288 人．
2. 从甲、乙两种玉米苗中随机各抽出10 株，分别测得它们的株高如下： （单位： cm ）
甲 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25 乙
27
16
40
41
16
44
40
40
27
44
(1) 根据以上数据分别求出甲、乙两种玉米株高的平均数和方差
.
(2) 估计哪种玉米的苗长得高些；
(3) 哪种玉米的苗长得齐？
【思路点拨】 本题考察平均数、方差的定义 . 利用平均数及方差的计算公式可以求得.
【答案与解析】
解：（ 1）
甲的平均值 :
x 甲
1（ 21 42 39 14
） （ ）
10
19 22 37 41 40 25 30 cm
乙的平均值 :
甲的方差 : S甲2(2130) 2( 4230) 2(2530) 2104.2(cm 2 ) ,
10
乙的方差 : S乙2(2731) 2(1631)2( 4431) 2128.8(cm2 )
10
（2）从随机抽取的样本来看，甲种玉米的平均高度小于乙种玉米的平均高度，所以可以推
断乙种玉米的苗长的高 .
（3）从随机抽取的样本来看, 由于S甲2＜S乙2，所以可以推断甲种玉米的苗长得整齐.
【总结升华】本题既是一道与平均数、方差计算有关的问题，又是利用样本平均数、样本方差估计总体平均数、总体方差的一道题目，关键是理解和掌握平均数、方差的求解公式.举一反三：
【变式】某公司对两名业务主管上半年六个月的工作业绩考核得分如下（每个月满分为10分）：
甲568797
乙3679107
（1）分别求出甲、乙两人的平均得分．
（2）根据所学方差知识，请你比较谁的工作业绩较稳
定．【答案】
解：（ 1）根据平均数的公式知：
X甲1
6 8797)
7 ，(5
6
X乙1
(3679107)7．6
（2）S2甲1
[(57) 2(67) 2(87) 2(77) 2(97) 2(77)2] 5 ，63
S2乙1
[(37) 2(67) 2(77) 2(97) 2(107) 2(77)2] 5 ．6
∵ S2甲S2乙
，
∴甲的工作业绩较稳定．
类型二、统计的简单应用
3.为了解某校七，八年级学生的睡眠情况，随机抽取了该校七，八年级部分学生进行调查，已知抽取七年级与八年级的学生人数相同，利用抽样所得的数据绘制如下统计图表．
睡眠情况分组表（单位：时）
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）求统计图中的 a；
（2）抽取的样本中，八年级学生睡眠时间在C组的有多少人？
（3）如果睡眠时间 x（时）满足： 7.5 ≤ x≤ 9.5 ，称睡眠时间合格，请你估计该校七、八年级
学生睡眠时间的合格率分别是多少？
【思路点拨】
（1）根据扇形统计图，确定出 a 的值即可；
（2）根据图 1 求出抽取的人数，乘以 C 占的百分比即可得到结果；
（3）七年级的合格率要用抽取的合格人数除以总人数，八年级的合格率只需要将B、C两组的百分率加起来即可．
【答案与解析】
解：（ 1）根据题意得：a=1- （35%+25%+25%+10%）=5%；
（2）根据题意得：（ 6+19+17+10+8）× 35%=21（人），
则抽取的样本中，八年级学生睡眠时间在 C 组的有 21 人；
（ 3）七年级的合格率：
19+17
× 100%=60%，6+19+17+10+8
八年级的合格率：25%+35%=60%，
答：该校七、八年级学生中睡眠时间合格率分别是60%、 60%．
【总结升华】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，频数（率）分布表，以及扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．
举一反三：
【变式】为了了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40 名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间，并将调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图
（每小组的时间包含最小值，不包含最大值），若规定学生一周课外阅读时间不少于 4 小时为达标，估计该校学生阅读时间的达标率为（）
A．50%B．55%C．60%D．65%
【答案】 C.
4.某羽毛球商场经理对新进某一品牌几种号码的男式羽毛球鞋的销售情况进行了一
周的统计，得到一组数据后，绘制了频数、频率统计表与频数分布直方图如图所示：
一周销售数量统计表
频数（双）
根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）本次共统计羽毛球鞋多少双？
（2）求出销售 42 号鞋的双数，并补全统计图；
（3）根据市场调查，该商场计划再进 1000 双这种品牌的男式羽毛球鞋，请你帮经理估计一下，需要进多少双41 号的羽毛球鞋？
【思路点拨】
（1）用 39 码的频数除以其频率即可确定羽毛球鞋数量；
（2）用总数减去其他尺码的鞋子的频数即可求得42 码的鞋子的数量，从而补全频数直方图；（3）需要进 41 号旅游鞋的双数 =1000× 41 号鞋的频
率．【答案与解析】
解：（ 1） 10÷ 0.1=100 （双）∴本次共统
计羽毛球鞋 100 双．
（2） 100-10-15-30-15-5=25 双
补全统计图如下：
（ 3） 1000× 30%=300双．
答：根据市场调查，估计需要进300 双 41 号的羽毛球鞋．
【总结升华】本题考查了频数分布直方图和利用统计图获取信息的能力；
利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能做出正确的判断和解决问题．。