有理数的乘除知识讲解

有理数的乘除
【要点梳理】
要点一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
3. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
要点诠释：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
要点二、有理数的除法
1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．
要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是
1
2
-，-2和
1
2
-是互相
依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2. 有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即
1
(0)
a b a b
b
÷=≠.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 【典型例题】
类型一、有理数的乘法运算
1．计算：
(1)(-5)×(-4) (2)113135⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ (3)5506⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭
【思路点拨】(1)、(2)、(3)均为两数相乘，直接运用乘法法则即可． 【答案与解析】
解：(1)(-5)×(-4) (两负数相乘)
＝+(5×4) (同号得正，并把绝对值相乘) ＝20
(2)113135⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
（异号两数相乘）
113135⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭
（异号得负，并把绝对值相乘）
10635⎛⎫
=-⨯
⎪⎝⎭
（化带分数为假分数便可约分） 4=-
(3)55006⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭
(任何数同0相乘，都得0)
【总结升华】第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号，如(-4)×(-0．25)可以写成-4×(-0.25)，但不能写成-4×-0.25．
2． (1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭
；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)； (3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．
【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．
(1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭
5919
36548
=-⨯⨯⨯
=-；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)19-(1)(1)(1)(1)1=-⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-=-个（1）相乘
；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．
【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．
3.运用简便方法计算： (1) 10.250.5345⎛
⎫-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭ ；（2）245112718839271717⎛⎫
-+⨯-⨯+⨯
⎪⎝⎭
【答案与解析】根据题目特点，(1)可以先用乘法交换律把0.25-与4相乘，再运用乘法结合律将0.5与13
5-相乘．(2)．计算245273927⎛⎫
-+⨯ ⎪⎝⎭
的值可运用分配律，计算11
1
881717
-⨯+⨯的值则可逆用分配律． 解：(1) 原式161168
0.250.54(0.254)5255=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯
=； （2）245112718839271717⎛⎫
-+⨯-⨯+⨯
⎪⎝⎭
245112727+2718839271717⎛⎫
=⨯+-⨯⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭ 11
18125(1
+)831717
=-++-⨯= 【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合． 举一反三：
【变式1】计算：2357
8×
(-)+(-8)×-24×(-)551215；
【变式2】542(1)()( 2.5)(4)12253-⨯
⨯-⨯-； 4
(2)(0.125)()16(7)7
-⨯-⨯⨯-
类型二、有理数的除法运算
4．计算：(1)(-32)÷(-8) （2）112(1)36
÷-
【答案与解析】 (1)(-32)÷(-8)＝+(32÷8)= 4 ……用法则二进行计算．
(2)117776212363637⎛⎫⎛⎫⎛⎫
÷-=
÷-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
……用法则一进行计算． 【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的，两数相乘除，同号得正，异号得负；(2)除法的两个法则是一致的，应学会灵活选择．
5．计算： 17
(49)2(3)33
⎛⎫-÷-÷
÷- ⎪⎝⎭
【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律． 【答案与解析】 解：17(49)2(3)33⎛⎫-÷-÷
÷- ⎪⎝⎭ 331(49)773⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭331493773⎛
⎫=-⨯⨯⨯=- ⎪⎝
⎭
【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出
结果．
举一反三： 【变式】
计算：（1） 1.25(0.375)-÷- (2)111
(3)(2)(1)335
-÷-÷-
类型三：有理数的乘除混合运算
5.计算：94
81(16)49
-÷
⨯÷- 【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.
9444181(16)811499916⎛⎫-÷⨯÷-=-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
【总结升华】在有理数的乘除运算中，可将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，应按从左到右的顺序进行． 举一反三
【变式1】计算：(1)14410
(2)893-÷⨯÷- (2)341731755⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
类型四、有理数的加减乘除混合运算
6. 计算（1）113512641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）111351226412⎛⎫⎛⎫
-÷-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案与解析】（1）113512641212⎛⎫⎛⎫-
+-+÷- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭1135(12)26412⎛⎫
=-+-+⨯- ⎪⎝⎭ 1135(12)(12)(12)(12)26412⎛⎫
=-⨯-+⨯--⨯-+⨯- ⎪⎝⎭
=6-2+9-5=8
（2）法1：原式=16295181121()()121212121288-+-+⎛⎫⎛⎫-
÷=-÷-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
法2：由（1）知：1135182641212⎛⎫⎛⎫-
+-+÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以162951
12128
-+-+⎛⎫⎛⎫-÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算
括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决． 举一反三： 【变式】 (1)75318 1.456 3.9569618⎛⎫-+⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭ (2)211213106530⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
类型五：利用有理数的加减乘除，解决实际问题
7.气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低6℃．如果现在地面的气温是27℃，那么8000米的高空的气温大约是多少?
【思路点拨】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系．由于“高度每增加1000米，气温就降低6℃”，8000米的高空比地面高度增加8000米，因此气温降低6×8＝48℃，由此便可求出高空的气温． 【答案与解析】 解：8000
2762748211000
-⨯
=-=-(℃) 因此8000米的高空的气温大约是-21℃．
【总结升华】本题是生活实际中的问题，关键是读懂题意，弄清各数量之间的关系，再列出正确的算式．
举一反三：
【变式】
某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负，•小组的出发地记为
0，某天检修完毕时，行走记录（单位：千米）如下： +10，-2，+3，-1，+9，-3，-2，+11，+3，-4，+6．
（1）问收工时，检修小组距出发地有多远？在东侧还是西侧？
（2）若检修车每千米耗油2.8升，求从出发到收工共耗油多少升？
类型六、含绝对值的化简
8 已知a 、b 、c 为不等于零的有理数，你能求出
||||||
a b c a b c
++的值吗? 【思路点拨】先分别确定a 、b 、c 的取值，再代入求值．
【答案与解析】 解：分四种情况：
(1)当a 、b 、c 三个数都为正数时，
||||||1113a b c a b c
a b c a b c
++=++=++=； (2)当a 、b 、c 三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a 为负数，b 、c 为正数，
||||||1111a b c a b c
a b c a b c
-++=++=-++=； (3)当a 、b 、c 三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a 为正数，b 、c 为负数，
||||||1111a b c a b c a b c a b c
--++=++=--=-； (4)当a 、b 、c 三个数都为负数时，||||||(1)(1)(1)3a b c a b c
a b c a b c
---+
+=++=-+-+-=-
||||
b c b c
+的值为：3,3,1,1-- 【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论. 举一反三： 【变式】计算
a b
a
b
+
的取值.。