2019年1月江西省九江第一中学高2020届高2017级高二第一学期第二次月考理科数学试题及参考答案解析

2018-2019学年度江西省九江第一中学高中二年级第一学期
第二次月考理科数学试题试题
一、单选题
1.在△ABC 中,若(a +b +c )(b +c ﹣a )＝3bc ,则∠A 等于( ) A.
3
π B.
6
π C.
23
π D.
3
π或23π
【试题参考答案】A
【试题解析】利用余弦定理即可得出结果.
解：∵(a +b +c )(b +c ﹣a )＝3bc ,∴(b +c )2﹣a 2＝3bc , 化为：b 2+c 2﹣a 2＝bc .
∴cos A 2221
222
b c a bc bc bc +-===.A ∈(0,π).
∴∠A 3
π
=
.
故选：A .
本题考查了余弦定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
2.方程22
14x y m
+=表示椭圆的一个必要不充分条件是( )
A.m ＞0
B.m ＞4
C.m ＞0且m ≠4
D.m ＜0
【试题参考答案】A
【试题解析】结合椭圆的定义和方程,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
若方程22
14x y m
+=表示椭圆,则m ＞0且m ≠4,
∴m ＞0是方程22
14x y m
+=表示椭圆的一个必要不充分条件,
故选：A
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,要求熟练掌握椭圆的定义和方程形式.
3.在等差数列{}n a 中,若7825a a =+,则11S =( ) A.11
B.55
C.10
D.60
【试题参考答案】B
【试题解析】利用等差数列前后项关系可用6a 和d 表示出已知等式,从而求得6a ；利用等差数列性质可知11611S a =,代入求得结果.
设等差数列{}n a 公差为d ,由7825a a =+得：()66225a d a d +=++ 即：65a = ()
1111161111115552
a a S a +∴===⨯=
故选：B
本题考查等差数列通项公式和性质的应用,关键是能够利用已知等式求得中间项,进而利用等差数列性质求得结果. 4.若圆锥曲线：的离心率为2,则
( )
A.
B. C. D.
【试题参考答案】C
【试题解析】
,所以,选C.
5.下列说法中,正确的序号是( )
①“b ＝2”是“1,b ,4成等比数列”的充要条件；
②“双曲线22
13x y -=与椭圆2215
x y +=有共同焦点”是真命题；
③若命题p ∨￢q 为假命题,则q 为真命题；
④命题p ：∀x ∈R ,x 2﹣x +1＞0的否定是：∃x ∈R ,使得x 2﹣x +1≤0. A.①②
B.②③④
C.②③
D.②④
【试题参考答案】B
【试题解析】利用充要条件以及等比数列的性质判断①的正误；双曲线与椭圆的焦点坐标判断②的正误；复合命题的真假判断③的正误；命题的否定形式判断④的正误.
解：①“b ＝2”可知“1,b ,4成等比数列”,反之“1,b ,4成等比数列”,则b ＝2或b ＝-2,所以“b
＝2”是“1,b ,4成等比数列”的充分不必要条件；所以①不正确；
②“双曲线22
13x y -=的焦点坐标(±2,0)；椭圆2215
x y +=的焦点坐标(±
2,0),所以椭圆与双曲线有共同焦点”是真命题；所以②正确；
③若命题p ∨￢q 为假命题,p 与￢q 都是假命题,所以q 为真命题；所以③正确； ④命题p ：∀x ∈R,x 2﹣x +1＞0的否定是：∃x ∈R,使得x 2﹣x +1≤0,满足命题的否定形式,所以④正确； 故选：B .
本题考查命题的真假的判断与应用,充要条件以及复合命题的真假的判断,圆锥曲线的性质的判断,是基本知识的考查.
6.已知正方体1111ABCD A B C D -,M 为11A B 的中点,则异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为( ) A.
105
B.
1010
C.
3 D.
62
【试题参考答案】A
【试题解析】建立空间直角坐标系,求出向量AM u u u u r 与1B C u u u v
的向量坐标,利用数量积求出异
面直线A M 与1B C 所成角的余弦值.
以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示：
设正方体的棱长为1,则(1,0,0)A ,1(1,0,1)A ,(1,1,0)B ,1(1,1,1)B ,(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1
(1,,1)2
M
∴1(0,,1)2AM =u u u u v ,52
AM =u u u u v ；1
(1,0,1)BC =--u u u r
,12B C =u u u v
∴异面直线A M与1B C
所成角的余弦值为
1
1
1
cos,
AM B C
AM B C
AM B C
⋅
===
⋅
u u u u v u u u v
u u u u v u u u v
u u u u v u u u v
故选A.
本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法,找出两异面直线所成的角∠AEM(或其补角),是解题的关键.如果异面直线所成的角不容易找,则可以通过建立空间直角坐标系,利用空间向量来求解.
7.已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
E a b
a b
+=>>的右焦点为()
3,0
F,过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为()
1,1-,则E的方程为( )
A.
22
1
4536
x y
+= B.
22
1
3627
x y
+= C.
22
1
2718
x y
+= D.
22
1
189
x y
+=【试题参考答案】D
【试题解析】设()()
1122
,,,
A x y
B x y,直线AB的斜率
101
132
k
--
==
-
,
22
11
22
22
22
22
1
{
1
x y
a b
x y
a b
+=
+=
,两式相减得
()()()()
12121212
22
x x x x y y y y
a b
+-+-
+=,即
()()
()()
1212
2222
1212
11112
00
22
y y y y
a b x x x x a b
+-
+=⇔+⨯⨯=
+--
,即
22
2
a b
=,2222
9,
c a b c
==+,解得：22
18,9
a b
==,方程是
22
1
189
x y
+=,故选D.
8.已知△ABC
的外接圆直径是
4
,若2
BA BC
⋅=
u u u r u u u r
,3
BA BC
-=
u u u r u u u r
,则S△ABC＝()
A.
B.
D.
【试题参考答案】A
【试题解析】可画出图形,根据条件,由正弦定理即可求出sin B 22
3
=
,从而根据2BA BC ⋅=u u u r u u u r
即可得出6BA BC =u u u r u u u r ,这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC 的面
积.
解：如图,
∵3BA BC CA -==u u u r u u u r u u u r ,△ABC 的外接圆直径是92,
∴由正弦定理得,
392
sinB =
, ∴22
3
sinB =
,且2BA BC ⋅=u u u r u u u r , ∴cos B ＞0,81193
cosB =-
=, ∴1
23
BA BC ⋅=u u u r u u u r ,
∴6BA BC =u u u r u u u r
,
∴1122622223
ABC
S BA BC sinB ==⨯⨯=V u u u r u u u r . 故选：A .
本题考查了三角形外接圆的定义,正弦定理,sin 2α+cos 2α＝1,三角形的面积公式,考查了计算能力,属于中档题.
9.已知过抛物线C ：y 2＝8x 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点,若以AB 为直径的圆过点M (﹣2,2),则k ＝( ) A.
12
B.
22
2
D.2
【试题参考答案】D
【试题解析】写出直线的点斜式方程,与抛物线方程联立得出A ,B 两点的坐标关系,根据k AM •k BM ＝﹣1列方程解出k
解：抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0),设直线AB 的方程为y ＝k (x ﹣2),
联立()
282y x
y k x ⎧=⎪⎨
=-⎪⎩,得k 2x ﹣(4k 2+8)x +4k 2＝0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
则x 1+x 2＝42
8
k +
,x
1x 2＝4. ∴y 1+y 2＝k (x 1+x 2)﹣4k 8
k
=,y 1y 2＝﹣16.
∵以AB 为直径的圆过点M (﹣2,2),∴k AM •k BM ＝﹣1, 即
121222
22
y y x x --⋅=-++ 1. ∴y 1y 2﹣2(y 1+y 2)+4+x 1x 2+2(x 1+x 2)+4＝0. ∴﹣1616k -
+4+4+2(428
k
+)+4＝0, 整理得：k 2﹣4k +4＝0,解得k ＝2. 故选：D .
本题考查了抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,属于中档题.
10.若对满足条件3x +3y +8＝2xy (x ＞0,y ＞0)的任意x 、y ,(x +y )2﹣a (x +y )+16≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.(﹣∞,8]
B.[8,+∞)
C.(﹣∞,10]
D.[10,+∞)
【试题参考答案】C
【试题解析】利用基本不等式把已知的等式变形得到关于x +y 的不等式,求解不等式得到x +y 的范围,换元后由(x +y )2﹣a (x +y )+16≥0恒成立求解a 的取值范围.
解：由3x +3y +8＝2xy ,得3(x +y )+8＝2xy 2
()2
x y +≤
, 即(x +y )2﹣6(x +y )﹣16≥0,解得x +y ≥8. 令t ＝x +y ,则t ≥8.
则问题变成了t 2﹣at +16≥0对t ∈[8,+∞)恒成立, 即16a t t ≤+
,而16y t t =+在[8,+∞)单调递增, ∴16
10y t t
=+
≥, ∴10a ≤ 故选：C .
本题考查了不等式中含参数的范围问题,考查了换元法与参变分离的方法,考查了推理能力与计算能力,是中档题.
11.F 是双曲线22
22x y a b
-=1(a ＞0,b ＞0)的左焦点,过点F 作双曲线的一条渐近线的垂线,
垂足为A ,交另一条渐近线于点B .若3FA FB =u u u r u u u r
,则此双曲线的离心率为( )
A.2
B.3
【试题参考答案】D
【试题解析】由题意得右焦点F (c ,0),设一渐近线OA 的方程为y b
a
=-x ,则另一渐近线OB 的方程为y b
a
=
x ,由垂直的条件可得F A 的方程,代入渐近线方程,可得A ,B 的横坐标,由向量共线的坐标表示,结合离心率公式,解方程可得.
解：由题意得右焦点F (c ,0),
设一渐近线OA 的方程为y b a =-
x , 则另一渐近线OB 的方程为y b
a
=x ,
由F A 的方程为y a
b
=(x +c ),联立方程y b a =-x ,
可得A 的横坐标为2
a c
-,
由F A 的方程为y a b =
(x +c ),联立方程y b a
=x , 可得B 的横坐标为22
2
a c
b a
-. 由3FA FB =u u u r u u u r
,
可得3(2a c -+c )222
a c
b a =+-
c , 即为23a c -+2c 22
2
2a c
c a
=-, 由e c
a
=
,可得21e -+2212e =-,
即有e 4﹣4e 2+3＝0,解得e 2＝3或1(舍去), 即为e 3=. 故选：D .
本题主要考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,同时考查向量的共线的坐标表示,求得点A 、B 的横坐标是解题的关键.
12.将一些数排成倒三角形如图所示,其中第一行各数依次为1,2,3,…,2018,从第二行起,每一个数都等于他“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数M ,则M ＝( )
A.2018⋅22015
B.2019⋅22016
C.2018⋅22016
D.2019⋅22017
【试题参考答案】B
【试题解析】记第n 行的第一个数为n a ,由规律可总结得到2
122n n n a a --=+,构造出
12
3122n n n n a a ---=+,可知22n n a -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列,从而可求得n a ,根据共2018行,知2018M a =,代入可求得结果.
记第n 行的第一个数为n a
则11a =,21321a a ==+,32822a a ==+,432024a a ==+,…,2
122n n n a a --=+
123122n n n n a a ---∴=+,即22n n a -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以11
22a -=为首项,1为公差的等差数列 ()2
21112
n
n a n n -∴
=+-⨯=+ ()212n n a n -∴=+⋅ 又每行比上一行的数字少1个 ∴最后一行为第2018行
2016201820192M a ∴==⨯
故选：B
本题考查由数列中的项求解通项公式的问题,关键是能够通过每一行首个数字所呈现出的规律,总结出递推关系式,利用构造的方式得到等差数列,从而求得数列的通项公式.
二、填空题
13.抛物线28x y =的准线方程是______. 【试题参考答案】2y =-
【试题解析】由题意可得p=4,所以准线方程为2y =-,填2y =-
14.已知点P (x ,y )在双曲线4x 2﹣y 2＝1的渐近线与直线l ：6x ﹣y ﹣8＝0所围成的三角形区域(包含边界)内运动,则x +2y 的最大值为_____. 【试题参考答案】10
【试题解析】由题意可求得双曲线4x 2﹣y 2＝1的两条渐近线为2x ±y ＝0,从而画出平面区域D ,利用线性规划求最大值.
解：双曲线4x 2﹣y 2＝1的两条渐近线为2x ±y ＝0, 故由题意作出平面区域D ,
故当x ,y 都取最大值,即过点A (2,4)时, z ＝x +2y 有最大值10； 故答案为：10.
本题考查了圆锥曲线的定义及学生的作图能力,同时考查了线性规划的解决方法,属于中档题. 15.已知函数,若关于x 的不等式
的解集为空集,则实数a 的
取值范围是 . 【试题参考答案】
.
【试题解析】试题分析：因为,所以当
且仅当
时等式
的解集为空集,因此实数a 的取值范围是
【考点】解不等式
16.在ABC ∆中,设角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 2,,a b c 成等差数列,则
32
sin sin A C
+
的最小值为________. 【试题参考答案】)
2
31
【试题解析】2a ,b ,c 成等差数列求出6262
cos 44
B sinB ≥
≤再2sin sin 1.62A C +≤+再得到32sinA sinC
+322sin sin (
)sin 62
A C
A +≥+最后利用基本不等式求其最小值.
由题得
222
222)
22
2,cos
22
c
a c
a c b
b c B
ac ac
+-+
+-
=+∴==
,
所以
22
13
242
cos
24
a c
B
ac
+-
=≥=
,
所以0
075,0sin
B B
<≤∴<≤
因为
2sin sin,sin 1.
2
B A
C A C
=++≤≤
所以
3
sinA sinC
+
2sin3sin
3
(
sin
A C
A
+
≥=
1).
≥==
故答案为)
21
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查基本不等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力,属于难题.
三、解答题
17.已知命题p：
1
1
x
＜,命题()()
2032
q a x b x x
==-
r
r
：，，，，，的夹角是钝角；若p∨q 为真,p∧q为假,求x的取值范围.
【试题参考答案】{x|﹣4≤x＜0或x＞1}.
【试题解析】先判断两个命题都是真命题时的x的范围,若p∨q为真,p∧q为假,则一个真命题,一个假命题,分别讨论计算出x的范围即可.
解：命题p为真命题时：
1
x
＜1⇒x＞1或x＜0；
命题q 为真命题时满足：cos a r ＜,a b
b a b
⋅⋅r r r r r ＞=,夹角是钝角时,
cos a b r
r
＜，＞＜0,a r •b r
＜0且a r
与b r
不共线,即3x +2(2﹣x )+0＜0且a b λ≠r
r
⇒x ＜﹣4；
若p ∨q 为真,p ∧q 为假,则qp 中一个真命题,一个假命题, 当p 真命题q 假命题时：10
4
x x x ⎧⎨
≥-⎩＞或＜⇒﹣4≤x ＜0或x ＞1；
当q 真命题p 假命题时：01
4x x ≤≤⎧⎨
<-⎩
⇒x ∈∅, 综上可得x 的取值范围：{x |﹣4≤x ＜0或x ＞1}.
本题主要考查复合命题之间的关系,考查分式不等式的解法,向量夹角的应用,属于简单题.
18.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,满足sin sin sin sin a c A B
b A C
+-=-. (1)求角C ； (2)求
a b
c
+的取值范围. 【试题参考答案】(1)3
C π
=(2)(1,2]
【试题解析】试题分析： (1)要求角,只能从
sin sin sin sin a c A B
b A C
+-=-入手,利用正弦定理,将角化为边,得,进而可得三边关系,利用余弦定理即可求角.
(2)从
a b
c
+入手,欲找三边关系,用正弦定理将其化简为,将(1)的结论利用起来,代入,同时将代入,使得
中只含有
,进
而根据,讨论
a b
c
+的范围. 试题解析： (1)根据正弦定理有:
,化简得,
根据余弦定理有, 所以.
(2)根据正弦定理将
a b
c
+化简,同时将(1)代入,化简为
因为,
,
所以.
故,
的取值范围是
【考点】正弦定理的应用(角化边);余弦定理;正弦差角;辅助角公式求范围.
19.已知公差不为0的等差数列{a n },其前n 项和为S n ,若S 10＝100,a 1,a 2,a 5成等比数列. (1)求{a n }的通项公式；
(2)b n ＝a n a n +1+a n +a n +1+1,求数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和T n . 【试题参考答案】(1) a n ＝2n ﹣1；(2) T n ()
41n
n =
+.
【试题解析】(1)设公差d 不为0的等差数列{a n },运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,进而得到所求通项公式；
(2)求得b n ＝4n (n +1),()111414n b n n ==+(111
n n -+),运用数列的裂项相消求和,化简即可得到所求和.
(1)公差d 不为0的等差数列{a n },其前n 项和为S n , 若S 10＝100,a 1,a 2,a 5成等比数列,则10a 1+45d ＝100, a 22＝a 1a 5,
即(a 1+d )2＝a 1(a 1+4d ), 解得a 1＝1,d ＝2, 则a n ＝2n ﹣1； (2)b n ＝a n a n +1+a n +a n +1+1 ＝(2n ﹣1)(2n +1)+2n ﹣1+2n +1+1
＝4n (n +1),
()111414n b n n ==+(111
n n -+), 则前n 项和T n 14=(1111112231n n -+-++-
+L )1
4
=(111n -+)()41n n =+.
本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质,数列的裂项相消求和,考查方程思想和化简运算能力,属于基础题.
20.如图所示,四棱锥P ﹣ABCD 中,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA ＝PD 2=,四边形ABCD
为等腰梯形,BC ∥AD ,BC ＝CD 1
2
=
AD ＝1,E 为PA 的中点.
(1)求证：EB ∥平面PCD ；
(2)求平面PAC 与平面PCD 所成角的余弦值. 【试题参考答案】(1)证明见解析 (2)
105
. 【试题解析】(1)取AD 中点F ,连结EF 、BF ,推导出BF ∥CD ,EF ∥PD ,从而平面BEF ∥平面PCD ,由此能证明EB ∥平面PCD .
(2)连结PF ,则PF ⊥平面ABCD ,四边形BCDF 是边长为1的菱形,△ABF 是边长为1的等边三角形,以F 为原点,在平面ABCD 中过F 作AD 的垂线为x 轴,FD 为y 轴,FP 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面P AC 与平面PCD 所成角的余弦值.
(1)证明：取AD 中点F ,连结EF 、BF , ∵BC ∥AD ,BC ＝CD 1
2
=AD ＝1,E 为P A 的中点, ∴BF ∥CD ,EF ∥PD , ∵BF ∩EF ＝F ,CD ∩PD ＝D , ∴平面BEF ∥平面PCD ,
∵EB ⊂平面BEF ,∴EB ∥平面PCD .
(2)解：连结PF,∵四棱锥P﹣ABCD中,平面P AD⊥平面ABCD,P A＝PD2
=,
四边形ABCD为等腰梯形,BC∥AD,BC＝CD 1 2
=AD＝1,E为P A的中点.
∴PF⊥平面ABCD,四边形BCDF是边长为1的菱形,△ABF是边长为1的等边三角形, 以F为原点,在平面ABCD中过F作AD的垂线为x轴,FD为y轴,FP为z轴,建立空间直角坐标系,
则P(0,0,1),A(0,﹣1,0),C(
3
,
1
2
,0),D(0,1,0),
PA=
u u u r
(0,﹣1,﹣1),PC=
u u u r
(
3
,
1
2
,﹣1),PD=
u u u r
(0,1,﹣1),
设平面P AC的法向量n=
r
(x,y,z),
则
31
2
n PA y z
n PC x y z
⎧⋅=--=
⎪
⎨
⋅=+-=
⎪
⎩
u u u v
r
u u u v
r,取y＝1,得n=
r
(3
-,1,﹣1),
设平面PCD的法向量m=
r
(x,y,z),
则
31
22
m PC x y z
m PD y z
⎧
⋅=+-=
⎪
⎨
⎪⋅=-=
⎩
u u u v
r
u u u v
r
,取y＝1,得m=
r
(
3
3
,1,1),
设平面P AC与平面PCD所成角为θ,
则cosθ
105
5
7
3
m n
m n
⋅
===
⋅
⋅
r r
r r
.
∴平面P AC与平面PCD所成角的余弦值为
105
.
本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
21.已知数列{a n},{b n}满足：a1＝3,当n≥2时,a n﹣1+a n＝4n；对于任意的正整数
n,1
12
22n
n n
b b b na
-
+++=
L.设{b n}的前n项和为S n.
(1)求数列{a n }及{b n }的通项公式； (2)求满足13＜S n ＜14的n 的集合.
【试题参考答案】(1) a n ＝2n +1；b n ＝(4n ﹣1)•(
12
)n ﹣1
；(2) {n |n ＝1,2或n ≥5且n ∈N }. 【试题解析】(1)求得a 2,a 3,将a n ﹣1+a n ＝4n 中的n 换为n ﹣1,相减可得数列{a n }的奇数项以3为首项,2为公差的等差数列,可得a n ,再将n 换为n ﹣1,相减可得b n ；
(2)运用数列的错位相减法求和,结合等比数列的求和公式,可得S n ,解不等式可得所求集合.
(1)a 1＝3,当n ≥2时,a n ﹣1+a n ＝4n ,
可得a 1+a 2＝8,即有a 2＝5,a 2+a 3＝12,即有a 3＝7, 由n ≥3时,a n ﹣2+a n ﹣1＝4n ﹣4,又a n ﹣1+a n ＝4n , 相减可得a n ﹣a n ﹣2＝4,
可得数列{a n }的奇数项以3为首项,4为公差的等差数列,偶数项以5为首项,4为公差的等差数列,
则数列{a n }以3为首项,2为公差的等差数列, 可得a n ＝3+2(n ﹣1)＝2n +1； 当n ＝1时,b 1＝a 1＝3；
n ≥2时,b 1+2b 2+…+2n ﹣2b n ﹣1＝(n ﹣1)a n ﹣1,又1
1222n n n b b b na -+++=L .
相减可得2n ﹣1b n ＝n (2n +1)﹣(n ﹣1)(2n ﹣1)＝4n ﹣1, 则b n ＝(4n ﹣1)•(
12
)n ﹣1； (2)前n 项和为S n ＝3•1+7•
1
2
+11•14++L (4n ﹣1)•(12)n ﹣1,
12S n ＝3•12+7•1
4
+11•18++L (4n ﹣1)•(12)n , 相减可得12S n ＝3+4(1124+++L (12)n ﹣1)﹣(4n ﹣1)•(1
2
)n
＝3+4•
111122112
n -⎛⎫- ⎪⎝⎭--(4n ﹣1)•(12)n , 化简可得S n ＝14﹣(4n +7)•(
12
)n ﹣1. 13＜S n ＜14,即为13＜14﹣(4n +7)•(12
)n ﹣1
＜14, 可得4n ﹣7＜2n ﹣1,
则n ＝1,2,上式成立；n ＝3,4,上式不成立； n ≥5且n ∈N,上式均成立,
则所求n 的集合为{n |n ＝1,2或n ≥5且n ∈N}.
本题考查等差数列的定义和通项公式、等比数列的求和公式,以及数列的错位相减法求和,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题.
22.已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过
()
2,0A -、
()
2,0B 、
31,2C ⎛⎫
⎪⎝⎭
三点. (1)求椭圆E 的方程； (2)若直线l ：
()
1y k x =-(0k ≠)与椭圆E 交于M 、N 两点,证明直线AM 与直线BN
的交点在直线4x =上.
【试题参考答案】(1)13
42
2=+y x ;(2)详见解析. 【试题解析】试题分析：(1)当焦点不确定在哪个轴时,可以分别讨论在x 轴时,2=a ,代入C 点,当在y 轴时2=b ,代入C 点解2b 或2a ,成立的就是椭圆方程;或直接设椭圆的一般式12
2
=+ny mx ,代入三点的坐标解方程组；
(2)直线方程()1-=x k y 与椭圆方程联立,设()11,y x M ,()22,y x N ,由根与系数的关系得到21x x +和21x x 设直线AM 的方程()22
11
++=
x x y y ,直线BN 的方程为()2-2
-22
x x y y =
后有三种方法,法一,当4=x 时计算交点的纵坐标,并根据直线方程与根与系数的关系证明纵坐标相等,法二是联立直线AM 与BN 的方程,消去y 后利用根与系数的关系得到交点的横坐标等于4,法三类似于法二,只是先通过根与系数的关系先
消去2
k ,得到21x x +与21x x 的关系,然后再联立两个方程得到交点横坐标为4.
试题解析：(1)解法一：当椭圆E 的焦点在x 轴上时,设其方程为22
221x y a b
+=(0a b >>),
则2a =,又点31,2C ⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆E 上,得
2219124b
+=.解得23b =.
∴椭圆E 的方程为22
143
x y +=. 当椭圆E 的焦点在y 轴上时,设其方程为22
221x y b a
+=(0a b >>),
则2b =,又点31,2C ⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆E 上,得2219124a
+=. 解得23a =,这与a b >矛盾.
综上可知,椭圆E 的方程为22
143
x y +=. 解法二：设椭圆方程为2
2
1mx ny +=(0,0m n >>),
将
()
2,0A -、
()
2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入椭圆E 的方程,得
41,
9
1.4m m n =⎧⎪
⎨+=⎪⎩解得14m =,13n =. ∴椭圆E 的方程为22
143
x y +=. (2)证法一：将直线l ：
()
1y k x =-代入椭圆E 的方程22
143
x y +=并整理,得()()2
2
22348430k x
k x k +-+-=,
设直线l 与椭圆E 的交点
()11,M x y ,
()
22,N x y ,
由根与系数的关系,得2
122834k x x k +=+,()
2122
4334k x x k
-=+. 直线AM 的方程为：()1
122y y x x =
++,它与直线4x =的交点坐标为1164,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
, 同理可求得直线BN 与直线4x =的交点坐标为2224,2y Q x ⎛⎫
⎪-⎝⎭
.
下面证明P 、Q 两点重合,即证明P 、Q 两点的纵坐标相等： ∵
()111y k x =-,
()
221y k x =-,
∴
()()()()()()
122112
1212612212622222k x x k x x y y x x x x ----+-=
+-+- ()()()()()()
2222
121212128340283434225802222k k k k k k x x x x x x x x ⎡⎤
--+⎢⎥++-++⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦===+-+-.
因此结论成立.
综上可知,直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上. 证法二：将直线l ：
()
1y k x =-,代入椭圆E 的方程22
143
x y +=并整理, 得()()
2222348430k x k x k +-+-=, 设直线l 与椭圆E 的交点
()11,M x y ,
()
22,N x y ,
由根与系数的关系,得2
122834k x x k +=+,()
2122
4334k x x k -=+.
直线AM 的方程为：()1
122y y x x =
++,即()()11122k x y x x -=++.
直线BN 的方程为：()2
222y y x x =
--,即()()22122
k x y x x -=--. 由直线AM 与直线BN 的方程消去y ,得
()()()1212212121212222342233424
x x x x x x x x x x x x x x x -++⎡⎤-+⎣
⎦=
=+-++- ()222
2222222
2222
8324462443434344846
423434k k k x x k k k k k x x k k
⎡⎤-⎛⎫+-+⎢⎥-+ ⎪++⎢⎥+⎣⎦⎝⎭===+-+-+++.
∴直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上. 证法三：将直线l ：
()
1y k x =-,代入椭圆方程22
143
x y +=并整理, 得()()
2222348430k x k x k +-+-=, 设直线l 与椭圆E 的交点
()11,M x y ,
()
22,N x y ,
由根与系数的关系,得2
122834k x x k +=+,()
2122
4334k x x k -=+.
消去2k 得,
()1212258
x x x x =+-.
直线AM 的方程为：()1
122y y x x =
++,即()()11122
k x y x x -=++. 直线BN 的方程为：()2
222y y x x =--,即()()22122
k x y x x -=--.
由直线AM 与直线BN 的方程消去y 得,
()()121212121212258322343434
x x x x x x x x x x x x x +--+⎡⎤-+⎣
⎦=
==+-+-. ∴直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上. 【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.。