关于伴随矩阵的几个结论

k
n- 1
② ( A T ) 3 = A T ( A T ) - 1 ( T 表示转置 , 且可 逆矩阵转置的逆等于矩阵逆的转置) , 则 ( A T) 3 = A T ( A T) - 1 = A T ( A - 1) T = (A 3) T 1 故 ( A 3 ) T = ( A T) 3 . α,α为非零向量 ,λ 为矩阵 A 的特征 ③Aα = λ 值 ,α是属于特 征 值 λ 的 特 征 向 量 , 则 A 3 Aα = 3 3 α, A α = λ A λ A α, 由 A 可逆知λ ≠0 , 故
3
d - c =
- b a a b c d
, = A = A
n- 2
(A 3)
A.
结论 4 ( A 3 ) 3 = A n - 2 A . ( 3) 关于一个矩阵 k 倍的伴随矩阵的求法 1 结论 5 ( kA ) 3 = k n - 1 A 3 . 证明 当矩阵 A 可逆时 , 有 ( kA )
=
A
3
…
②若 A ≠0 , 即 A 可逆时 , A
- 1
=
1
A
A 可
3
变型为 A 3 = A A - 1 , 即一个矩阵的伴随矩阵等于这个矩阵的行列式乘以 它的逆矩阵 。
2 重要结论
一般地 , 要计算一个矩阵的伴随矩阵的秩 、 行列 式、 逆、 转置 、 特征值 , 首先求其伴随矩阵 , 其次求其 伴随矩阵的秩 、 行列式 、 逆、 转置 、 特征值 。 而遇到一 些结构复杂且计算过程繁琐的矩阵 , 就应该考虑运 用以下结论 。 下面通过例子探讨一些简单易行的方 法. ( 1) 关于伴随矩阵的秩和伴随矩阵的行列式的 求法 . 结论 1 设 A 为 n 阶矩阵 , 则有 : n , r( A) = n , 3 r ( A ) = 1 , r ( A ) = n - 1 , 0 , r ( A ) < n - 11 分析 :矩阵 A 的秩 r ( A ) 定义中分两层含义 :第 一 , A 中至少有一个非零子式的阶数为 r ; 第二 , 任 意 r + 1 ( 如果有的话) 阶子式为零 。 证明 ①若 r ( A ) = n 时 , 矩阵 A 可逆 , 利用
2003 年增刊 曾京玲 : 关于伴随矩阵的几个结论 29
如 6 阶矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵的秩不是 6 就是 01 我们再做以下讨论 : 设 A 为 n 阶矩阵 , ①若 A 可逆时 , ( A 3 ) 3 = A 3 ( A 3 ) - 1 = A n- 1 ( A A - 1)
A. A ,
- 1
A A 3 α = λ α
证明 ①( A 3 )
(A
- 1
- 1
=( A A
(A
- 1
- 1
)
- 1
=
- 1
1
A
A ,
)
3
=
A
- 1
Байду номын сангаас
)
- 1
=
A
A =
1
A
=
A
n- 2
故 ( A - 1) 3 = ( A 3 ) - 1 . 例如 求 矩 阵 A 的 伴 随 矩 阵 的 逆 , 我 们 可 用
为零矩阵又此时倍的伴随矩阵的求法1结论5证明当矩阵也显然成立1为非零常数的伴随矩阵关于伴随矩阵的逆伴随矩阵的转置伴随矩阵的特征值等的求法1结论6的伴随矩阵的逆我们可用kaa为非零向量k为矩阵a的特征a是属于特征值k的特征向量北京
2003 年增刊 ( 增总第 10 期) 渭南师范学院学报 Vol. 18 S2
1 引言
a 11
公式 A … a1 n … … 的伴随矩阵为 : … a nn … A n1 …
a n1 A 11
3
=
A A
- 1
(
A
≠0) 和等式 r ( A - 1 ) =
3 r ( A ) = n , 即有 r ( A ) = n .
( 1) 矩阵 A =
… … , A 1 n … A nn 其中 A ij 为元素 a ij 的代数余子式 . ( 2) 基本公式 : ①AA 3 = A 3 A = A E ;
A α λ 1 ( 5 ) 把伴随矩阵的求法推广到分块矩阵 1 若 A、 B 都是可逆矩阵 , 则 A 3 α=
3
=
kA ( KA )
-1
=
k
n
A
1
K
A
-1
=
A
3
A
0
B
3
,
0
=
B A B A
A
0
B
A
0
B
- 1
0
- 1
0 0
- 1
当矩阵 A 不可逆时 , ( kA ) 3 = k n - 1 A 3 也显然 成立 1 如 4 阶矩阵的 k 倍 ( k 为非零常数) 的伴随矩阵 为 k A . ( 4) 关于伴随矩阵的逆 、 伴随矩阵的转置 、 伴随 矩阵的特征值等的求法 1 结论 6 若 A 可逆 , 则 -1 3 ( A ) = ( A 3 ) - 1 . ( A ) 参考文献 :
= A = =
A
0
- 1
B
0
A B B ,
- 1
3
3
0
B A
3
0
A B
3
0
A
结论 7 若 A 、 B 都是可逆矩阵 , 则
0
B
3
= (A )
T
3
.
0
=
B A
3
0
A B
3
0
1
[ 1 ] 张禾瑞 . 高等代数 ( 第 4 版) [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 ,1999. [ 2 ] 王萼芳 . 高等代数教程 [ M ] . 北京 : 清华大学出版社 ,1997. [ 3 ] 王品超 . 高等代数新方法 [ M ] . 济南 : 山东教育出版社 ,1989.
3
T
关于伴随矩阵的几个结论
曾京玲
( 陕西北人印刷机械有限责任公司 子校 ,陕西 渭南 714000)
摘 要 : 通过对几类典型问题的研究分析 ,得出了有关伴随矩阵 、 伴随矩阵的秩 、 伴随矩阵的逆 、 伴随矩阵的转置 、 伴 随矩阵的特征值等的重要结论 。 利用这些重要结论 ,我们可使一些相关伴随矩阵的计算和证明过程由繁琐变得相对简短 。 关键词 : 伴随矩阵 ; 矩阵的秩 ; 矩阵的逆 ; 矩阵的转置 ; 矩阵的特征值 中图分类号 :O151. 21 文献标识码 :A 文章编号 :1009 - 5128 ( 2003) S2 — 0028 — 02
(A
- 1
②若 A 不可逆且 n ≥3 时 , 由结论 3 知 ( A 3 ) 3 为零矩阵 , 又此时 A = 0 , 所以 ( A 3 ) 3 = A n - 2
A 成立 1 a c b d
)
3
= (A 3)
- 1
3 . , 还可用 ( A )
- 1
=
1
A
A 1
③ 对于二阶矩阵 A =
A
3
,则
=
② 若 r ( A ) = n - 1 时 , 也就是 A 中有 n - 1 阶 非零子式 , A 3 中有非零元素 , 从而得知 r ( A 3 ) ≥ 1 , 又由于公式 A A 3 = A E , 且由于 r ( A ) = n 1 得知 A = 0 , 即得 A A 3 = A E = 0 ( 0 表示零 矩阵) 。 故 r ( A ) + r ( A 3 ) ≤ n , 再由 r ( A ) = n 1 得 r ( A 3 ) ≤1 , 因此 r ( A 3 ) = 1 . ③ r ( A ) < n - 1 , 则 A 中所有 n - 1 阶子式均 为 0 , 即 A 3 为零矩阵 , 故 r ( A 3 ) = 0 . 现在 , 我们进一步探讨一下 A 3 , 得 结论 2 A 3 = A n - 1 1 证明 ①若 r ( A ) = n ( 即 A 可逆 , A ≠ 0 ) , 由公式 A 3 = A A - 1 得 3 - 1 A = A A = A n A - 1 = A n- 1 1 ② r( A) < n(即 A = 0 ) , 由结论 1 得 3 3 r ( A ) ≤1 , 也就是 A = 0 . 注意到 A 3 = 0 n- 1 = A , 即结论 2 成立 . ( 2 ) 关于伴随矩阵的伴随矩阵的秩的求法 . 伴随矩阵的伴随矩阵用常规方法计算 , 计算过 程相当繁琐 。 下面通过例子探讨一种计算伴随矩阵 的伴随矩阵的秩的简单方法 . 结论 3 设 A 为 n ( n ≥2) 阶矩阵 , 则 n , 当 r( A) = n 时, r( ( A 3 ) 3 ) = 0 , 当 r( A) < n 时 1 证明 由结论 1 知 , 若 A 为 n 阶矩阵 , r ( A 3 ) 可能取的值是 n , 1 , 01 设 B = A 3 , 则 r ( B ) = n 或 r ( B ) = 1 或 r ( B ) = 0. 当 r ( B ) = n 时 , r ( B 3 ) = n ;当 r ( B ) = 1 时 或 r ( B ) = 0 时 , r ( B 3 ) = 01 从而 n , 当 r( A) = n 时, r ( ( A 3 ) 3 ) = 1 0 , 当 r( A) < n 时 1