2015年高考数学总复习新课标课件：专题讲座三(共19张PPT)

第八页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
分离变量法 已知定义在R上的函数f(x)为奇函数，且在[0，＋∞)上是 增函数，对于任意x∈R，求实数m的取值范围，使f(cos 2θ－3)＋ f(4m－2mcos θ)>0恒成立．
第九页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
【解】 ∵f(x)在 R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，
立．
【证明】 要证原不等式成立，只要证 x2＋(y－3)x＋y2－ 3y＋3≥0 对任意 x，y∈R 均成立． 只要证Δ＝(y－3)2－4(y2－3y＋3)≤0 对任意 y∈R 均成立． 由 于 Δ＝ (y－ 3)2－ 4(y2 － 3y＋ 3)＝－ 3y2＋ 6y－ 3＝ － 3(y－ 1)2≤ 0， 所以要证的不等式成立．
∴ f(x)在 (－ ∞，＋ ∞)上为增函数．
又∵f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>0，
∴f(cos 2θ－3)>－f(4m－2mcos θ)＝f(2mcos θ－4m)，
∴cos 2θ－3>2mcos θ－4m，
即 2m(2－cos θ)>3－cos 2θ，
∵2－cos θ∈[1，3]，
第三页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
对于有关二次不等式 ax2＋bx＋c>0(或<0)的问题，可设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，由 a 的符号确定其抛物线的开口方向， 再根据图象与 x 轴的交点问题，由判别式进行解决．(1)f(x)>0 在 x∈R 上恒成立⇔a>0 且Δ<0；(2)f(x)<0 在 x∈R 上恒成 立⇔a<0 且Δ<0.
第十一页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端
，从而问题化为求主元函数的最值范围．这种方法本质还是求 最值，但它思路更清晰，操作性更强．
第十二页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
数形结合法
若不等式
x2<logax
对任意
x∈(0，1)恒成立，求实 2
考查了综合、灵活运用知识的能力．所以，高考将其作为考查学 生分析、解决问题的能力和创新意识的重要题型，往往出现在压
轴题中，会让很多学生望而却步.“含参数不等式的恒成立”的问题
，是最近几年高考的热点，含参数不等式恒成立问题常运用等价转化
的数学思想，根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为 含参数的函数的最值讨论.
∴
2m
3－cos > 2－cos
2θθ＝42－－2ccooss2θθ，∴m
2－ cos2 > 2－ cos
θ . θ
第十页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
令 2－cos θ＝t，t∈[1，3]，∴m>4－t＋2t ，
即 4－m<t＋2t 在 t∈[1，3]上恒成立． 即求 g(t)＝t＋2t 在 t∈[1，3]上的最小值． ∵g(t)＝t＋2t ≥2 2等号成立条件 t＝2t ， 即 t＝ 2∈[1，3]成立． ∴g(t)min＝2 2，∴4－m<2 2，即 m>4－2 2. ∴m 的取值范围为(4－2 2，＋∞)．
数 a 的取值范围．
第十三页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
【解】
设
y1＝
x2(0<x<1)， 2来自y2＝logax.
如图，在同一坐标系内分别作出它们的图象，
由图可得
0<a<1
loga12≥14＝
1， logaa4
解得 1 ≤a<1，∴实数 a 的取值范围为[ 1 ，1)．
16
16
第十四页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
第四页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
最值法 已知两个函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋4x,其 中k为实数， (1)若对任意的x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范 围； (2)若对任意的x1、x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范 围．
第二页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
判别式法
若不等式(m－1)x2＋(m－1)x＋2>0的解集是R，求m
的取值范围．
【解】 (1)当 m－1＝0 时，一元不等式化为 2>0 恒成立， 满足题意；
(2)m－
1≠
0
时，只需m－ 1>0 Δ＝（m－
1）
2－
8（m－
1）
， <0
解得， 1<m <9， 综上，m 的取值范围是[1，9)．
数形结合法是解不等式恒成立问题的一种非常直观的方法，其 解题原理是：f(x)<g(x)恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象下方，此 方法特别适用于解不等式两边是不同类型的不等式恒成立题型．
第十五页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
分析法
求证：对任意x，y∈R，不等式x2＋xy＋y2≥3(x＋y－1)总成
第六页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
(2)由题意可知当 x∈[－3，3]时，都有[f(x)]max≤[g(x)]min. 由 f′(x)＝16x＋16＝0，得 x＝－1. ∵f(－3)＝24－k，f(－1)＝－8－k，f(3)＝120－k， ∴ [f(x)]max＝－ k＋ 120. 由 g′(x)＝6x2＋10x＋4＝0，得 x＝－1 或 x＝－2.
3 ∵g(－3)＝－21，g(3)＝111，g(－1)＝－1，
g－23＝－2287，
∴ [g(x)]min＝－ 21. 则 120－k≤－21，解得 k≥141. ∴实数 k 的取值范围是[141，＋∞)．
第七页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
将恒成立问题转化为求函数的最值问题来处理，一般有下 面两种类型： (1)若所给函数能直接求出最值，则有： ①f(x)>0 恒成立⇔[f(x)]min>0；②f(x)≤0 恒成立⇔[f(x)]max≤0. (2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不 等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出 参数范围，则有(下面的 a 为参数)： ① f(x)<g(a)恒成 立⇔ g(a)>[f(x)]max； ② f(x)>g(a)恒成 立⇔ g(a)<[f(x)]min.
第五页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
【解】 (1)令 F(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－12x＋k. 问题转化为 F(x)≥0 在 x∈[－3，3]时恒成立， 故解[F(x)]min≥0 即可． ∵ F′ (x)＝ 6x2－ 6x－ 12＝ 6(x2－ x－ 2)， 故由 F′(x)＝0，得 x＝2 或 x＝－1. ∵F(－3)＝k－45，F(3)＝k－9，F(－1)＝k＋7， F(2)＝k－20， ∴ [F(x)]min＝ k－ 45， 由 k－45≥0，解得 k≥45， 故实数 k 的取值范围是[45，＋∞)．
专题讲座三 不等式恒成立问题
第一页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
不等式恒成立问题常常在知识网络交汇点处设置，它可以与 主干知识如函数、导数、数列、三角函数、解析几何等整合 在一起，里面又可以涉及到不等式证明问题和参数取值范围 问题，渗透着化归、数形结合等重要数学思想，有效地检测 中学生对中学数学知识中蕴涵的数学思想和方法的掌握程度,
第十六页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
用学过的综合法难以下手，我们就可转化一个角度，即寻 找使这个不等式成立的充分条件，即用分析法证明．
第十七页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
第十八页，编辑于星期五：十一点 二十二分。
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
第十九页，编辑于星期五：十一点 二十二分。