高中数学论文集导数在三次函数中的应用

导数在三次函数中的应用
新课程的高考增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考察的要求逐渐加强，导数已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。

三次函数是中学数学研究导数的一个重要载体，三次函数的问题涉及高中数学中较多的知识点和数学思想方法，近几年多个省高考数学试卷中都出现了以三次函数为载体，通过研究其图象性质，从而来考察学生的创新能力和探究能力的试题。

本人结合教学实践，就导数在三次函数中的应用及应用中的误区作初步的探讨。

一、 关于三次函数的切线问题
函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率。

也就是说，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率是)(0'x f ，相应的，切线的方程为))((00'0x x x f y y -=-
例1：已知曲线13:23--=x x y S ，过原点作S 的切线，求切线方程。

误解：x x y 63'2-=，根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率0/'0===x y k ，
所以所求的切线方程为0=y
分析：此种解法错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率应该是在切点处的
导数，而原点（0，0）不在曲线S 上，所以本题应该先设切点，再求斜率，最后求出切线方程。

正解：设切点为)13,(20300--x x x ，则切线的斜率02063x x k -=
所以切线方程为：))(63()13(00202030x x x x x x y --=---
因为原点在切线上，得到0)12()1(020=+-x x
所以10=x 或2
10-=x 所以所求的切线方程为x y 3-=或x y 4
15= 例2：已知曲线233:x x y S -=，求过原点O （0，0）的切线方程。

误解：x x y 63'2-=，根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率0/'0===x y k ，
所以所求的切线方程为0=y
分析：此种解法少了一条切线，错误的原因在于混淆了两个不同的概念：“点O
处的切线”与“过点O 的切线”。

“点O 处切线的斜率”等于该点的导数值，而“过点O 的切线”则仅表明，切线是经过点O 的，但直线未必在点O 处与曲线相切，“过点O 的切线的斜率不一定是该点的导数值，所以本题也应该先设切点，在求斜率，最后求出切线方程。

正解：设切点为)3,(20300x x x -，则切线的斜率02063x x k -=
所以切线方程为：))(63()3(00202030x x x x x x y --=--
因为原点在切线上，得到0)32(020=-x x
所以00=x 或2
30=x 所以所求的切线方程为0=y 或x y 4
9-= 二、 关于三次函数的单调性问题
设三次函数)(x f 的导函数c b a a c bx ax x f ,,,0()('2≠++=为常数），ac b 42-=∆。

①若0=∆，则当0>a 时，0)('≥x f ，)(x f 在R 上为单调递增函数；当0<a 时，0)('≤x f ，)(x f 在R 上为单调递减函数。

②若0<∆，则当0>a 时，0)('>x f ，)(x f 在R 上为单调递增函数；当0<a 时，0)('<x f ，)(x f 在R 上为单调递减函数。

③若0>∆，设0)('=x f 的两根分别为1x 和2x ，21x x <，则当0>a 时，)('x f 在),(1x -∞，),(2+∞x 上为正，在),(21x x 上为负，所以)(x f 在),(1x -∞，),(2+∞x 上为单调递增函数，在),(21x x 上为单调递减函数。

当0<a 时，)('x f 在),(21x x 上为正，在),(1x -∞，),(2+∞x 上为负，所以在),(21x x 上为单调递增函数，在),(1x -∞，),(2+∞x 上为单调递减函数。

例3：已知函数x mx mx x f 3)(23++=在R 上是增函数，求实数m 的取值范围。

解：323)('2++=mx mx x f
1）当m=0时，03)('>=x f ，)(x f 在R 上是增函数。

2）当0≠m 时，0)('=x f 的)9(43642-=-=∆m m m m
① 当m<0时，)('x f 开口向下且0>∆，说明存在区间使0)('<x f ，所
以m<0时，)(x f 在R 上不是增函数；
② 当90<<m 时，)('x f 开口向上且0<∆，则0)('>x f ，所以9
0<<m 时)(x f 在R 上是增函数；
③ 当m=9时，)('x f 开口向上且0=∆，则0)('≥x f ，所以m=9时，)
(x f 在R 上是增函数；
④ 当m>9时，)('x f 开口向上且0>∆，说明存在区间使0)('<x f ，所
以m>9时，)(x f 在R 上不是增函数。

综上可得，所求的实数m 的取值范围为[]9,0
例4：已知1)(+=
x ax x f 在（-1，∞+）内单调递减，求实数a 的取值范围。

误解：2
)1()('+=x a x f 由已知，0)1()('2≤+=
x a x f 在（-1，∞+）上恒成立，所以0≤a 分析：错误的原因在于未验证)('x f 是否恒为0。

)(x f 在区间D 上单调递增
（或递减）的充要条件是0)('≥x f （或)0)('≤x f 且在任一子区间上不 恒为0。

而当a=0时，)('x f =0在（-1，∞+）上恒成立，此时)(x f =0不是单调递减函数，所以实数a <0。

三、关于三次函数的极值和最值问题
设三次函数)(x f 的导函数c b a c bx ax x f ,,()('2++=为常数），ac b 42-=∆，
讨论当0>a 时三次函数在闭区间[]T S ,上的最值问题（0≤a 请读者自行证明）
（1）当0≤∆时，0)('≥x f ，)(x f 在R 上为单调递增函数，所以)(x f 没有极值
点，在区间端点S 处达到最小，T 处达到最大。

（2）当0>∆时，设0)('=x f 的两根分别为1x 和2x ，21x x <，则1x 是)(x f 的极
大值点，2x 是)(x f 的极小值点。

最值讨论如下：
①当T 1x ≤或2x S ≥时，)(x f 在[S ，T]上单调递增，在区间端点S 处达到
最小，T 处达到最大。

②当S 21x T x ≤<<时，)(x f 在1x 处达到最大，最小值通过比较)(S f 和)
(T f 加以确定。

③当21x T S x ≤<≤时，)(x f 在[S ，T]上单调递减，在区间端点T 处达到
最小，S 处达到最大。

④当T x S x <<<21时，)(x f 在2x 处达到最小，最大值通过比较)(S f 和
)(T f 加以确定。

⑤当T x x S <<<21时，通过比较)(1x f 和)(T f 可以确定最大值，通过比较
)(2x f 和)(S f 可以确定最小值。

例5：设函数),)()(()(R b a b x a x x x f y ∈--==
（1） 若0,≠≠ab b a ，过两点（0，0）、（)0,a 的中点作与x 轴垂直的直线，
此直线与函数)(x f y =的图象交于点))(,(00x f x P ，求证：函数
)(x f y =在点P 处的切线过点（b,0）；
（2） 若)0(≠=a b a ，且当]1,0[+∈a x 时22)(a x f <恒成立，求实数a 的
取值范围。

解：（1）由已知))2
(4,2(2a b a a P - ab x b a x y ++-=)22(3'2
所以，所求的切线斜率为4
2)22()2(32
2a ab a b a a -=+⋅+- 切线方程为)2
(4)2(422a x a a b a y --=-- 令0=y ，解得b x =
所以函数)(x f y =在点P 处的切线过点（b,0）
（2）因为b a = 所以2)()(a x x x f y -== )3
)((343'22a x a x a ax x y --=+-= ①当0>a 时，函数)(x f y =在)3,(a -∞上单调递增，在),3
(a a 上 单调递减，在),(+∞a 上单调递增
此时，]1,0[+∈a x 即]1,0[+∈a x
所以，由题意有⎪⎩⎪⎨⎧<+<222)1(2)3(a a f a a f 即⎪⎩⎪⎨⎧<+<22
3212274a
a a a 解得2271<
<a 或2
1-<a 结合0>a ，所以2271<<a ②当0<a 时，函数)(x f y =在),3
(+∞a 上单调递增 此时，]1,0[+∈a x 即]1,0[+-∈a x
所以，由题意有22)1(a a f <-
即222)1)(1(a a a a <---
整理得：0156423>-+-a a a
因为0<a ，所以上述方程无解
综上可得，所求实数a 的取值范围为)2
27,1( 例6：已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值为10，求b a ,的值。

误解：023)('2=++=b ax x x f
由题意⎩⎨⎧==10)1(0)1('f f 即⎩⎨⎧=+++=++10
10232a b a b a 解得⎩
⎨⎧-==114b a 或⎩⎨⎧=-=33b a 分析：可导函数的某点是其极值点的必要条件是这点的导数为零，其充要
条件是这点两侧的导数异号。

因此，此题在求出b a ,的值后，还需
要检验两侧导数的符号。

当⎩⎨⎧-==11
4b a 时，)1)(113(1183)('2-+=-+=x x x x x f ，当1113<<-x 时，0)('<x f ；当1>x 时，0)('>x f ，这时1=x 是极值点，符合题意。

当⎩
⎨⎧=-=33b a 时，0)1(3)('2≥-=x x f ，这时)(x f 在1=x 处无极值，不合题意，应舍去。

所以，所求的11,4-==b a
总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时应用非常的方便，尤其是可以利用导数方便的解决函数的单调性、极值、最值以及切线问题，在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，注意应用过程中的误区，以避免出现一些不必要的错误。