无穷级数

定理2 定理2 如果
a n +1 lim = ρ, n→∞ a n
n n +1 其中 an , an+1 是幂级数 ∑ an x n中 x , x 项的系数 且一切 项的系数,且一切
∞
an ≠ 0, 则
n =1
,
(1)当0 < ρ < +∞ 时, 该幂级数的收敛半径为 R = 当
1
(2)当 (2)当 ρ = 0 时, 该幂级数的收敛半径为 R = +∞; (3)当 (3)当 ρ = +∞ 时, 该幂级数的收敛半径为 R = 0.
∞
n
= C ∑ un
n =1 n
∞
(2)设级数 (2)设级数
∑ u ,∑v
n =1 n n =1
分别收敛到 s , σ ,则 ∑ ( un ± vn )
n =1
∞
收敛到 s ± σ . 在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性. (3) 在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性. 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. (4) 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 级数收敛的必要条件
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
发散. 发散
2. 比较审敛法的极限形式 设
∑u
n =1
∞
n
与 ∑ vn 都是正项级数,如果 都是正项级数,
n =1
∞
则
∑ u ,∑v
n =1 n n =1
∞
un lim = l (0 < l < +∞ ), n→∞ v n
∞ n
的敛散性相同. 的敛散性相同
比值审敛法(达朗贝尔审敛法) 3. 比值审敛法(达朗贝尔审敛法)
(二)幂级数的收敛半径与收敛域 定理1 阿贝尔定理) 定理1 (阿贝尔定理) an x n 在 x = x0 ( x0 ≠ 0) 处收敛,则对于适合 处收敛, 如果级数 ∑
n= 0 ∞
处绝对收敛; 不等式 x < x0 的一切 x 处绝对收敛; 如果级数
an x n ∑
n= 0
∞
在 x = x0 ( x0 ≠ 0) 处发散,则对于一切适合不等式 处发散,
∞
为何值,该级数发散 为何值 该级数发散. 该级数发散 测试点 (1) p − 级数的敛散性 级数的敛散性; (2)绝对收敛和条件收敛; (2)绝对收敛和条件收敛; 绝对收敛和条件收敛 (3)交错级数的莱布尼茨判别法. (3)交错级数的莱布尼茨判别法. 交错级数的莱布尼茨判别法 1 单调递减趋于零, 解 因为 p > 0 时, n p 单调递减趋于零 故交错级数 ∞ ∞ ( −1)n 1 p − 级数 ∑ p 当 p > 1 时收敛 p ≤ 1 收敛, ∑ n p 收敛 而 时收敛, n n =1 n =1 级数收敛; 时发散.所以, 时发散.所以,对任意 p > 0 级数收敛 p > 1 级数绝对收 级数条件收敛. 敛; 0 < p ≤ 1 时,级数条件收敛.
n =1 ∞
.
(四)函数的幂级数展开式 1.函数的泰勒(马克劳林) 1.函数的泰勒(马克劳林)展开式的概念 函数的泰勒
2. 几个常用的幂级数展开式
xn ex = ∑ n=0 n!
∞
x ∈(−∞, +∞)
1 3 1 5 x2n+1 sin x = x − x + x −⋯+ (−1)n +⋯ 3! 5! (2n + 1)!
( − 1 < x < 1) ( −1 < x < 1)
四、傅里叶级数
(一) 定义 一 为周期的函数, 设 f ( x )是以 2π 为周期的函数 定义 1 π an = ∫ f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,⋯ )
π
−π
bn =
∫ π f ( x)sinnxdx, π
−
1
π
(n = 1,2,⋯ )
的傅里叶系数,称上述公式为欧拉-傅里叶公式. 为 f ( x )的傅里叶系数 称上述公式为欧拉-傅里叶公式. 称由上述系数构成的级数
a0 ∞ + ∑ (a n cos nx 里叶级数. 为 f ( x ) 的傅里叶级数
狄利克雷收敛准则(收敛定理) (二） 狄利克雷收敛准则(收敛定理) 设 f ( x )是以 2π 为周期的周期函数.如果它满足: 为周期的周期函数.如果它满足: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点. 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点.并且 至多只有有限个极值点, 至多只有有限个极值点, 则 f ( x ) 的傅里叶级级数收 敛,并且 的连续点时, (1)当 x 是 f ( x ) 的连续点时,级数收敛于 f ( x ); f ( x − 0) + f ( x + 0) 的间断点时, ; (2)当 x 是 f ( x ) 的间断点时,级数收敛于 2 特别,当 特别 当 x = ±π 时,级数收敛于 1 [ f ( −π + 0) + f (π − 0)]. 2
B
收敛,且 例2 若级数 ∑ un 收敛 且 un ≠ 0( n = 1, 2,⋯), 其和为 s ,
∞
1 则级数 ∑ n =1 un
∞
n =1
【 B.收敛 但其和不一定为 s 收敛,但其和不一定为 收敛 D.可能收敛,可能发散 D.可能收敛, 可能收敛
】
1 收敛,且其和为 A. 收敛 且其和为 s C.发散 发散
x > x0 的 x 级数发散. 级数发散.
幂级数的收敛半径 an x n 仅在 x = 0 一点收敛,定义它的收 一点收敛, 如果幂级数 ∑
n =1 ∞
当幂级数在整个数轴上都收敛时, 敛半径 R = 0; 当幂级数在整个数轴上都收敛时 定义它 除了以上两种情况外,必存在 的收敛半径 R = +∞ .除了以上两种情况外 必存在 R > 0, 使得, 当 x < R 时, 幂级数绝对收敛; 使得 幂级数绝对收敛; 当 x > R 时, 幂级数发散; 幂级数发散; 幂级数可能收敛也可能发散. 当 x = R 或 x = − R 时 , 幂级数可能收敛也可能发散. 这时称数 R为该幂数的收敛半径 为该幂数的收敛半径. 为该幂级数的收敛区间. 称 ( − R, R )为该幂级数的收敛区间
内可积, 且对 ∀x ∈ ( − R, R ), 可逐项积分,即 可逐项积分, 内可积, a n n+1 ∫ s(t )dt = ∑ n + 1 x . n= 0 0 an x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间( − R, R ) 3.幂级数 3.幂级数 ∑
n =1 ∞ x ∞
内可导,并可逐项求导, 内可导,并可逐项求导,即 s′( x ) = ∑ an nx n−1 .
n=0
∞
∞
称为该幂级数的系数. an x n , 其中 an 称为该幂级数的系数 为 当 x0 = 0 时,为 ∑ n= 0 则称这个点为该 如果对某个给定的 x ,上述幂级数收敛 ,则称这个点为该 幂级数的收敛点,否则称为发散点. 幂级数的收敛点,否则称为发散点. 称使幂级数收敛的点的全体组成的集合为该幂级 数的收敛域. 数的收敛域.
∞
测试点: 级数收敛的必要条件. 测试点 级数收敛的必要条件
1 收敛, 解 因为 ∑ un 收敛 故 un → 0, 于是 → ∞ , 所以 un n =1 ∞ 1 发散. ∑ u 发散 n =1 n
答案
C
1 的和. 例3 求级数 ∑ n( n + 1) 的和 n =1
∞
解
n 1 1 1 sn = ∑ ) = ∑( − i +1 i =1 i ( i + 1) i =1 i
第六章 无穷级数
第一部分 主要内容 第二部分 典型例题
第一部分 主要内容
一、数项级数的概念和性质 二、数项级数的审敛法 三、幂级数 四、傅里叶级数
一、数项级数的概念和性质
(一)概念 定义 为无穷级数. 称形式和 ∑ un = u1 + u2 + ⋯ + un + ⋯ 为无穷级数
n =1 n ∞
级数的部分和 sn = u1 + u2 + ⋯ + un = ∑ ui
x ∈(−∞,+∞)
1 2 1 4 n x cos x = 1 − x + x − ⋯ + ( −1) +⋯ 2! 4! ( 2n)!
( −∞ < x < +∞ )
2n
ln(1 + x ) = ∑ ( −1)n−1
n =1
∞
xn n
( −1 < x ≤ 1)
∞ 1 = ∑ x n ( −1 < x < 1) 1 − x n= 0 ∞ 1 = ∑ ( −1)n x n 1 + x n= 0 ∞ 1 = ∑ ( −1)n x 2 n 1 + x 2 n= 0
n =1
n→∞
∞
n
un = ρ , 则
级数发散; 级数收敛; 当 ρ < 1 时,级数收敛; 当 ρ > 1 时,级数发散 当 ρ = 1 时,此审敛法失效. 此审敛法失效.
(二)交错级数及莱布尼茨审敛法 ( −1)n−1 un 设对一切自然数 n, 都有 un ≥ 0, 则称级数 ∑
n =1 ∞
n
1 1 1 1 1 ) = (1 − ) + ( − ) + ⋯ + ( − 2 2 3 n n+1 1 = 1− n+1
1 lim sn = lim(1 − ) = 1. n→∞ n→∞ n+1
所以, 所以, 级数的和为 1. 测试点:级数的和的概念 测试点 级数的和的概念. 级数的和的概念
( −1)n 收敛性, 例4 讨论级数 ∑ p ( p > 0) 收敛性 说明 p 为何值 n =1 n 该级数条件收敛 该级数绝对收敛, 时,该级数绝对收敛 p 为何值时,该级数条件收敛 p 该级数绝对收敛 为何值时 该级数条件收敛,
ρ
;
和函数的分析性质: (三) 和函数的分析性质:
n 1.幂级 1.幂级 ∑ an x 的和函数 s( x ) 在收敛区 ( − R, R ) n =1 间 数 , 内连续,若在端点收敛, 则在端点单侧连续. 内连续,若在端点收敛, 则在端点单侧连续. n 2.幂级数 ∑ an x 的和函数 s( x ) 在收敛区间( − R, R ) 2.幂级数 n =1 ∞ ∞
n( n + 1) n x 的收敛区间是 【 例5 幂级数 ∑ n 2 n =1
∞
】
A. ( −2, 2] C. [−2, 2] 测试点: 幂级数的收敛域. 测试点 幂级数的收敛域
un+1 un 是正项级数 ,如果 lim = ρ, 则 设 n→∞ u n n =1
级数发散; 级数收敛; 当 ρ < 1 时,级数收敛; 当 ρ > 1 时,级数发散 当 ρ = 1 时,此审敛法失效. 此审敛法失效. 根值审敛法(柯西审敛法) 4. 根值审敛法(柯西审敛法
设
∑
∞
∑ un 是正项级数 ,如果 lim
第二部分
n→∞
典型例题 ∑u
n =1 ∞ n
例1 lim un = 0 是级数 A.充分条件； A.充分条件 充分条件； C.充要条件； C. 充要条件 充要条件；
收敛的
【
】
B. 必要条件； 必要条件； D.既非充分又非必要条件 D. 既非充分又非必要条件
级数收敛的必要条件. 测试点 级数收敛的必要条件 答案
为交错级数. 为交错级数 莱布尼茨定理 如果交错级数满足: 如果交错级数满足:
(1) un ≥ un+1 ( n = 1, 2,⋯); (2) lim un = 0,
n→∞
则级数收敛, 则级数收敛,且其和 s ≤ u1 .
(三)绝对收敛与条件收敛
定义
若级数 若级数
∑u
n =1 ∞
∞
n
收敛 ,则称级数 ∑ un 绝对收敛.
n =1
∞
∑u
n=1 =
n
收敛 ,
∑u
n=1 =
∞
n
发散, 发散 则称级数
条件收敛. 条件收敛. 定理 若 绝对收敛, ∑ u 绝对收敛,则级数 ∑ u
n =1 n n =1 ∞ ∞ n
必收敛. 必收敛.
三、幂级数
(一)定义 形如 为幂级数. 为 为幂级数 − x0 ) n 的级数称为幂级数. ∑ an ( x
i =1
级数的收敛与发散 级数收敛(发散) 存在(不存在). 级数收敛(发散) ⇔ lim sn 存在(不存在). n→∞
(二)收敛级数的基本性质 ∞ 收敛, 为任意数,则 (1)设级数 (1)设级数 ∑ un 收敛 C 为任意数 则
n =1
也收敛,且 ∑ Cu 也收敛 且
n =1 n
∞
∑ Cu
n =1 ∞ ∞
lim un = 0.
n→∞
二、数项级数审敛法
(一)正项级数审敛法
1. 比较审敛法
设 ∑ un , ∑ v n 都是正项级数 且 un ≤ vn ( n = 1, 2,⋯). 若级 都是正项级数,且
n =1 ∞ n =1 ∞ ∞
数
∑v
n =1
n
必收敛;若级数 发散,则 收敛, 收敛,则 ∑ un 必收敛 若级数 ∑ un 发散 则 ∑ v n 必