国家综合实力的数学模型

国家综合实力的数学模型
2005年美、日、法、德、中国的国家综合实力分析
组员：梅茜茜王佐奉李丹
摘要
一个国家的国际地位及其处理和解决国际事务的能力，主要就是看它的综合国力。

综合国力包括政治力、经济力、科技力、国防力、文教力、外交力、资源力等７个方面.，其中经济力和科技力已经成为决定因素。

本文定量与定性相结合，设定了五个指标，分别为：经济力、科技力、军事力、资源力、社会发展。

通过这五个指标来建立层次分析模型对美国、日本、法国、德国、中国这五国的国家综合实力进行分析。

综合国力的评价和预测，是一个非常复杂的问题。

这是因为国力是一个复杂的系统，它是由许多确定的和不确定的要素决定的，实际上很难全面、准确地考虑到。

该模型可融合通过相互比较确定各指标对于国家综合实力的权重，以及五个国家对于每个指标的权重。

这些权重在人的思维过程中通常是定性的，而层次分析模型能给出得到权重的定量方法。

将这些不易被量测的问题进行定性分析与定量计算结合起来。

该模型将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策。

将通过一致性检验来判断所设定的成对比较矩阵的不一致程度是否在容许范围内，由组合权向量来最终得出国家综合实力排名。

评价结果得五国国家综合实力排名为：美国、日本、法国、德国、中国。

关键词：层次分析法；一致性检验；权向量
1.问题重述
当今世界，国家间的经济摩擦、外交斗争和军事对抗等，归根到底，也都是综合国力的竞争。

综合国力的评价和预测，是一个非常复杂的问题。

问题一：设定合适的指标来衡量国家综合实力。

问题二：根据所提出的指标建立能对美、日、法、德、中这五大国的国家综合实力进行分析判断的数学模型。

2.问题的提出与分析
一个国家的国际地位及其处理和解决国际事务的能力，主要就是看它的综合国力。

当今世界，国家间的经济摩擦、外交斗争和军事对抗等，归根到底，也都是综合国力的竞争。

综合国力的评价和预测，是一个非常复杂的问题。

这是因为国力是一个复杂的系统，它是由许多确定的和不确定的要素决定的，实际上很难全面、准确地考虑到。

综合国力是指一个主权国家生存和发展所拥有的全部实力及国际影响力的合力。

它包括政治力、经济力、科技力、国防力、文教力、外交力、资源力等７个方面. 其中经济力和科技力已经成为决定因素。

综合来说，现在一个国家的国民收入水平、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易水平都能反映一个国家的综合国力。

因此，本论文从经济力、科技力、军事力、资源力、社会发展这五个指标来衡量国家综合实力。

涉及到社会、经济、人文等因素的决策问题时，这些因素通常不易定量地量测，我们试图通过层次分析法将这些不易被量测的问题进行定性分析与定量计算结合起来。

将国家综合实力视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思
维方式进行决策，即系统分析。

本文设计了五个指标，建立国家综合实力分析的层次结构。

根据美国运筹学家T.L.Saaty教授于70年代初期提出的一种简单，灵活而又实用的多准则决策方法，建立层次分析模型。

该模型可融合可通过相互比较确定各指标对于国家综合实力的权重，以及五个国家对于每个指标的权重。

这些权重在人的思维过程中通常是定性的，而层次分析模型能给出得到权重的定量方法。

需要展开的工作如下：
任务一：得出经济力、科技力、军事力、资源力、社会发展对外贸易对国家综合实力的权重。

任务二：得出美、日、法、德、中这五大国分别对经济力、科技力、军事力、资源力、社会发展的权重。

任务三：建立层次分析模型。

任务四：根据所建立的模型，对所得到的数据进行模型求解。

任务五：通过所给的模型求解结果对五个国家的国家综合实力进行分析。

3.模型的建立
3.1模型的假设
假设一：除了经济力、科技力、军事力、资源力、社会发展这五大指标外。

其他因素对国家综合实力的影响不大，可忽略考虑。

3.2符号说明
表3-1 符号说明
3.3层次分析模型
层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称AHP)是对一些较为复杂，较为模糊的问题作出决策的简易方法。

它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。

它是美国运筹学家T.L.Saaty教授于70年代初期提出的一种简单，灵活而又实用的多准则决策方法。

人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个有相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。

层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的
建模方法。

3.3.1建立层次结构模型
我们在深入分析实际问题的基础上，运用AHR 进行系统分析，将有关的各因素按照不同的属性自上而下分解为三个层次，同一层的诸因素对上一层因素有影响，同时又支配下一层因素。

最上层为目标层，即国家综合实力，最层为方案层，有P1,P2,P3,P4,P5五个国家，中间层为准则层，有C1,C2,C3,C4,C5五个准则。

用连线表明上一层因素与下一层因素的联系：
图1 国家综合实力分析的层次结构
这些指标的设计原则：
原则一：指标要符合实际情况，在理论上与逻辑上要严谨、合理。

原则二：指标之间最好界限分明，避免相互之间相关性比较大。

原则三：指标要简要，但要统筹兼备国家综合实力的各个方面，同时使其在层次上相互有联系。

3.3.2构造成对比较矩阵
层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策这的心目中，他们各占有一定的比例。

在确定影响莫因素的诸因子在该因素中所占的比重时，主要困难在于这些因素通常不易
定量的测量，人们凭自己的知识和经验进行判断。

当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因为考虑不周，顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。

Satty 等人的做法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。

每次取两个因素i C j 和C ，以ij a 表示i C j 和C 对国家综合实力的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵：
A ＝()ij n n a ⨯ , 0ij a >, ij a =
1
ij
a i,j=1 (5)
容易看出
，ii
a
=1
用同样的方法构造方案层对准则层的每一个准则的成对比较阵，不妨设它们为：
k B =()
()k ij n n b ⨯ (k=1,2,3,4,5)
()
k ij
b 是方案（美、中等五国）i j k P P C 与对于准则（经济力、科技力等）的优越性的比较尺度。

关于如何确定ij a 的值，Satty 等建议引用数字1~9及其倒数作为尺度。

下表列出了1~9尺度的含义：
表 3-2 1~9尺度的含义
3.3.3成对比较矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法(即求权向量)
众所周知，用定义计算矩阵的特征很和特征向量是相当困难的，另一方面，因为成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它做精确计算是不必要的，所以完全可以用简便的近似方法计算其特征很和特征向量。

本文使用和法来进行计算。

其计算步骤为：
Step1:将A 的每一列向量归一化得1
ij
ij n
ij
i a w a
==
∑
Step2:对ij w 按行求和得1
n
i ij i w w ==∑
Step3:将ij w 归一化5
*1
i
i i
i w w w
==
∑ ，1235(,,,...,)T w w w w w = 即为近似特征向量。

Step4:计算51()15i
i i
Aw w =λ=∑ ，作为最大特征根的近似值。

这个方法实际上是将A 的列向量归一化后去平均值，作为A 的特征向量。

因为当A 为一致阵时它的每一列向量都是特征向量，所以若A 的不一致性不严重，则取A 的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的。

用同样的办法来求得成对比较矩阵k B 的权向量k w 以及最大特征根
k λ(k=1,2,3,4,5)。

3.3.4一致性检验
成对比较矩阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根λ的特征向量作为比较因素的权向量，现求出其不一致程度的容许范围。

当λ比5(5是A 的阶数)大得越多，A 的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大。

因而可以用λ-5数值的大小来衡量A 的不一致程度。

其步骤为：
Step1：计算判断成对比较矩阵一致性指标CI ：
5
51
CI λ-=
- (5是A 的阶数)
Step2：计算一致性率CR ：
CI CR RI
=
当CR<0.1时认为A 的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。

否则就认为成对比较矩阵一致性太差，必须重新进行两两比较判断。

这里RI 是随机一致性指标，上面我们已经指出当比较的因素越多也就是两两比较矩阵维数越大时，判断的一致性就越差，故应放宽对高维两两比较矩阵一致性的要求，于是就引入修正值RI
表3-3 随机一致性指标RI 的数值
用同样的求得k B 的一致性指标k CI ,
k CR (k=1,2,3,4,5) ，并判断其是否一致性检验。

3.3.5计算组合权向量
目标层只有一个因素，准则层和方案层分别有5,5个因素，记准则层对目标层的权向量，方案层对准则层的权向量分别为：
(2)(2)(2)
15(,...,)w w w = (3)(3)(3)15(,...,)k k k w w w =
以(3)
k w 为列向量构成矩阵
(3)(3)(3)
15[,...,]W w w =
则方案层对目标层的组合权向量为
(3)(3)(2)w W w =
3.3.6组合一致性检验
在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较矩阵进行一致性检验之外，还常需要一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据。

组合一致性检验可逐层进行。

若第p 层得一致性指标为()()1n ,...,p p CI CP (n 为第p-1
层因素的数目)，随机一致性指标为()()
1,...,p p n RI RI ，定义
()()()
(1)
1()
()
()(1)
1
[,...,][,...,]p p p p n p p p p n
CI CI CI w RI
RI
RI
w
--==
则第p 层的组合一致性比率为
()
()
()p p P CI CR
RI
=， p=3,4,…,s
方案层对目标层的组合一致性比率为
*
()2
s
p p CR CR ==∑
当*CR <0.1时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验。

4层次分析模型的求解与分析4.1构造成对比较矩阵
表 4-1 2005年各国各指标排名
构造准则层对目标层的成对比较矩阵：
A=
12241 1
1132 2
1
1132 2
1111
1 4333
111
11
223
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
构造方案层对于准则层的成对比较矩阵：
B1=
1.00 1.51
2.05 1.85 2.46 0.66 1.00 1.36 1.22 1.63 0.490.74 1.000.92 1.20 0.540.82 1.09 1.00 1.33 0.410.610.830.75 1.00⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
B2=
1.00 1.55 1.73
2.01
3.36 0.65 1.00 1.12 1.30 2.17 0.580.89 1.00 1.66 1.94 0.500.770.79 1.00 1.67 0.300.460.520.60 1.00⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
B3=
1.00
2.35 2.32
3.04 3.72 0.43 1.000.99 1.29 1.59 0.43 1.01 1.00 1.31 1.60 0.530.780.76 1.00 1.23 0.270.630.630.81 1.00⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
B4=
1.000.81
2.72 2.86 1.13 1.23 1.00 1.12 1.180.47 0.370.89 1.00 1.050.42 0.350.850.95 1.000.40 0.88 2.13 2.38 2.50 1.00⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
B5=
1.00 1.34 1.33 1.33 1.82 0.75 1.000.990.99 1.36 0.75 1.01 1.00 1.00 1.36 0.75 1.01 1.00 1.00 1.36 0.550.740.740.74 1.00⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
4.2计算权向量并作一致性检验
通过MATLAB计算得：
成对比较矩阵A的最大特征根：
A
λ=5.217
准则层对目标层的权向量：
(2)T
(0.316,0.220,0.220,0.068,0.177)
w=
一致性指标：
1
CI（）=0.054
一致性检验：
(1)
CR=0.048 < 0.1
由此可知：成对比较矩阵A的不一致程度在容许范围内，可用其特征向量作为
权向量。

4.3计算组合权向量并作组合一致性检验
由第三层的成对比较矩阵k B 计算出权向量(3)
k w ，最大特征根k λ和一致性指标
k CI ，结果列入下表：
表 4-2
由此表可知：成对比较矩阵k B 的不一致程度在容许范围内，可用其特征向量作为权向量。

方案层对目标层的权向量为：
(3)
0.3230.3310.4070.2800.2630.2140.2140.1740.1820.1960.1580.1940.1750.1240.1980.1740.1620.1340.1180.1980.131
0.0990.1200.2960.146W ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
=⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2)
0.3160.2200.2200.0680.177w ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
得(3)
w =(3)
(3)(2)w
W w ==
（0.330,0.220,0.175,0.163,0.133）
[](3)(3)(3)(2)
150.3160.220[,...,]00.0020.0010.0040.0010.2200.0680.177CI CI CI w ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
=0.001
[](3)(3)(3)
(2)
150.3160.220[,...,] 1.12 1.12 1.12 1.12 1.120.2200.0680.177RI RI RI w ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
=1.12
方案层的组合一致性比率为：
()
()
()p p P CI CR
RI
==0.001
3*
()
2
p p CR CR ==∑=0.049 < 0.1
由此可知，该模型的整个层次的比较判断通过一致性检验。

同时，前面所得到的组合权向量(2)w 可以作为最终决策依据。

4.4模型分析
由(2)
w =(2)
T
(0.316,0.220,0.220,0.068,0.177)w
= 可知2005年美、中、法、德、
日这五大国的国家综合实力排名为：美国、日本、法国、德国、中国。

5模型评价
层次分析模型计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握，能处理传统的优化方法不能解决的问题。

如果时间充分，可以把指标更加细化，找到跟多的数据，这样得出的模型结果更加具有说服力。

6.参考文献
[1] 姜启源谢金星叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2003年
[2] 王莲芬许树柏，层次分析法引论，北京：中国人民大学出版社，1990年
附录
代码：
Mywork.m
clear
clc
A=[1 2 2 4 1; %准则层对目标层的成对比较矩阵1/2 1 1 3 2;
1/2 1 1 3 2;
1/4 1/3 1/3 1 1/3;
1 1/
2 1/2
3 1];
n=size(A,1);
[r1,w1,cr1]=rw(A)
B1=[1.00 1.51 2.05 1.85 2.46; %B1至B5是方案层对准则层的成对
0.66 1.00 1.36 1.22 1.63; 比较矩阵
0.49 0.74 1.00 0.92 1.20;
0.54 0.82 1.09 1.00 1.33;
0.41 0.61 0.83 0.75 1.00];
B2=[1.00 1.55 1.73 2.01 3.36;
0.65 1.00 1.12 1.30 2.17;
0.58 0.89 1.00 1.26 1.94;
0.50 0.77 0.79 1.00 1.67;
0.30 0.46 0.52 0.60 1.00];
B3=[1.00 2.35 2.32 3.04 3.72;
0.43 1.00 0.99 1.29 1.59;
0.43 1.01 1.00 1.31 1.60;
0.33 0.78 0.76 1.00 1.23;
0.27 0.63 0.63 0.81 1.00];
B4=[1.00 0.81 2.72 2.86 1.13;
1.23 1.00 1.12 1.18 0.47;
0.37 0.89 1.00 1.05 0.42;
0.35 0.85 0.95 1.00 0.40
0.88 2.13 2.38 2.50 1.00];
B5=[1.00 1.34 1.33 1.33 1.82;
0.75 1.00 0.99 0.99 1.36;
0.75 1.01 1.00 1.00 1.36;
0.75 1.01 1.00 1.00 1.36;
0.55 0.74 0.74 0.74 1.00];
[r21,w21,cr21]=rw(B1)
[r22,w22,cr22]=rw(B2)
[r23,w23,cr23]=rw(B3)
[r24,w24,cr24]=rw(B4)
[r25,w25,cr25]=rw(B5)
CR=cr21+cr22+cr23+cr24+cr25;
if CR<0.1*n*0.5
disp('OK')
end
W=[w21,w22,w23,w24,w25];
w=W*w1
rw.m
function [r,w,cr]=rw(a)
n=size(a,1);
c=a;
for i=1:n
k=sum(a(:,i));
a(:,i)=a(:,i)/k;
end
b=sum(a,2);
w=b/sum(b);
r=sum(c*w./w)/n;
CI1=(r-n)/(n-1);
RI=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51]; cr=CI1/RI(n);。