北师大版必修5第二章解三角形综合测试题

北师大版必修5第二章解三角形综合测试题
一、单选题
1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，b =45A =︒，60B =︒，则a =（ ）
A
B ．
C ．4
D ．6
2．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin a b A =，则ABC 的形状一定为（ ） A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
3．在ABC 中，已知3
A π
=，a =
1b =，则c 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C 1
D
4．周长为9的三角形三边长a ，b ，c 长度依次相差1，最大内角和最小内角分别记为
α，β，则()cos αβ+=（ ）
A ．
5
16
B C ．1116
-
D ．
1116
5．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2
2
2
10
13
a b c bc =+-，则cos A =（ ） A ．
726
B ．
513
C ．
1726
D ．
1213
6．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．若向量(),cos m a A =-，
()
cos n C c =-，且0m n ⋅=，则角A 的大小为（）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 7．在△ABC 中，已知3sin A =5sin B ，sin B +sin C =2sin A ，则C =（ ） A ．
2
π B ．2
3
π C ．3 4
π
D ．5 6
π
8．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果2b c +=+45A =︒，
ABC 的面积为2a 的值为（ ）．
A B ．C
D ．2
9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3
A π
=，2a =，若满足
条件的三角形有且只有两个，则边b 的取值范围为（ ） A ．24b <<
B ．32b <<
C ．43
23
b <<
D ．2b >
10．如图，在ABC 中，点D 是边BC 上的一点，1DC =，3AC =，3BD =，120ADC =∠︒，则AB 的长为（ ）
A 2
B 14
C 7
D 3
11．“三斜求积”法是由我国著名数学家秦九韶提出的求三角形面积的方法，公式为S
222222142a c b a c ⎡⎤⎛⎫
+--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
a ，
b ，
c 是ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的
边，S 为ABC 的面积，若c 2sin A ＝4sin(A ＋B )，(a －c )2＝b 2－4，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（ ） A 3B 3C ．
12
D ．2
12．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且2a =，3b =，4c =，下面说法正确的个数是（ ）
①sin :sin :sin 2:3:4A B C =；②ABC 是锐角三角形；③ABC 的最大内角是最小内角的2倍；④ABC 内切圆半径为12
. A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知2b =
1c =，
()sin cos 0b a C C +-=，则a =__________．
14．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan A ＝
3
4
，sin C ＝1213，
a ＝3，则
b ＝__________.
15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点D 为AC 的中点，若
2
2sin 3sin 12
A B
C +-=，3a =，7c =，则BC
D ∆外接圆的面积为______. 16．如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB .位于该市的某大学M 与市中心O 的距离313km OM =，且AOM β∠=.现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在A ，B 间部分为直线段，且经过大学M .若tan 2α=，cos 13
β=，15km AO =，则铁路AB 段的长为______km .
三、解答题
17．已知在ABC 中，6cos 3
A =，,,a b c 分别是角,,A
B
C 所对的边. （1）求tan 2A ； （2）若22
sin 23B π⎛⎫+=
⎪⎝⎭
，22c =ABC 的面积. 18． 已知0ϕπ≤<，函数23
())sin f x x x ϕ=++． （Ⅰ）若6
π
=
ϕ，求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若()f x 的最大值是3
2
，求ϕ的值．
19．已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b =，
3c =，三角形ABC 33
（1）求BC 边上的高；
（2）求()sin A C -
20．已知函数()()
221
sin 2cos sin 122
f x x x x =
--- （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；
（2）设ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，且()0c f C ＝，若向量()1,sin m A =与向量()3,sin n B =共线，求a b ，的值．
21．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，满
足)22
2S b c a =
+-. （1）求角A 的大小；
（2）若2a =，求b c +的取值范围.
22．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足已知
cos cos 2cos +=
a
c B b C A
.
（1）求角A 的大小；
（2）若cos B =
，求sin(2)B A +的值；
（3）若ABC 的面积为
3
，3a =，求ABC 的周长.
参考答案
1．C 【分析】
根据题中条件，由正弦定理，直接计算，即可得出结果. 【详解】
因为b =45A =︒，60B =︒，
由正弦定理可得，
sin sin a b
A B
=
，则sin 4sin b A a B ===.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型. 2．B 【分析】
先由正弦定理化简得到sin 1B =，再求出π
2
B =，最后判断三角形形状. 【详解】
解：因为sin a b A =，所以由正弦定理有sin sin sin (sin 0)A A B A =>， 整理得sin 1B =，又因为0B π<<，所以π2
B =， 故AB
C 为直角三角形. 故选：B 【点睛】
本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，是基础题. 3．B 【分析】
利用余弦定理直接求解即可 【详解】
解：因为在ABC 中，已知3
A π
=
，a =1b =，
所以由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即2
1
3122
c c =+-⨯， 得220c c --=，解得2c =或1c =-（舍去）， 故选：B 【点睛】
此题考查余弦定理的应用，属于基础题 4．C 【分析】
计算出a ，b ，c 长度，找到最大角和最小角，利用余弦定理解决. 【详解】
由题意得：9a b c ++=，
∴ 129a a a ++++=，即2a =，3b =，4c =， ∴C α=，A β=，
∴()()222416911
cos cos cos 21616
a c
b A C B a
c αβ+-+-+=+=-=-=-=-，
故选：C. 【点睛】
此题考余弦定理的应用，属于简单题. 5．B 【分析】
根据题中条件，由余弦定理，可直接得出结果. 【详解】
因为2
2
2
10
13
a b c bc =+-
， 由余弦定理可得，2
2
2
cos 221051313
A bc b b c bc
c a ==+=
-. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查由余弦定理进行边角互化，属于基础题型. 6．B
利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角A 的方程，得解． 【详解】 由0m n =得，
0(,cos )(cos ,2)cos )cos a A C c a C c A =--=--，
由正弦定理得，sin cos cos sin cos 0A C B A C A +=，
化为sin()cos 0A C B A +=，
即sin cos 0B B A =， 由于sin 0B ≠，
∴cos 2
A =()0,A π∈
∴4
A π
=
，
故选B ． 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积和正弦定理，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．B 【分析】
由3sin 5sin A B =，可得35a b =，又2b c a +=，不妨取3b =，则5a =，7c =，再利用余弦定理求出C ． 【详解】 解：
3sin 5sin A B =，由正弦定理可得35a b =，53
b
a ∴=
， 又sin sin 2sin B C A +=，
∴由正弦定理可得2b c a +=，可得723
b c a b =-=
， 不妨取3b =，则5a =，7c =．
2222225371
cos 22532
a b c C ab +-+-∴===-⨯⨯，
(0,)C π∈，23
C π
∴=
．
8．C 【分析】
根据三角形面积公式得出bc 、然后利用余弦定理求解a . 【详解】
12sin 2224
bc A bc ==+，
442bc ∴=+． 又())
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
23224422 2
cos 2222442
a b c bc a b c a A bc bc +-⨯+-+--+-====⨯+，
6a ∴=．
故选：C . 【点睛】
本题考查解三角形，考查三角形面积公式、余弦定理的运用.计算时，注意整体代入，利用余弦定理直接代入b c +与bc 的值求解. 9．C 【分析】
作出图形（如图），计算出C 到A 角另一边的距离3CD b =，由3
2b b <<可得结论．
【详解】
如图，作CD AD ⊥于D ，,3
AC b CAD π
=∠=
，
3sin
3
2CD b b π
=⋅=
．若有两解，则3223
243
b b b <<⇒<<
， 故选：C ．
关键点点睛：本题考查正弦定理解三角形，只有在已知两边和一边对角解三角形时才可能出现两解情形，而这种情形可能通过作图判断，由图也可得出有两解的条件． 10．C 【分析】
根据题意，在ADC 中根据余弦定理，可求1AD =，再在ABD △中利用余弦定理，即可求AB . 【详解】
ADC 中根据余弦定理2222cos120AC AD DC AD DC =+-⋅⋅，
即213122AD AD ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭
，整理为220AD AD +-=，解得1AD =，
在ABD △中利用余弦定理2222cos60AB AD BD AD BD =+-⋅⋅，
21192137
2AB ⎛⎫
=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
，所以AB =故选：C. 11．B 【分析】
由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得4ac =，由已知进而可求
2224a c b +-=，从而根据所给公式即可计算得解ABC 的面积的值．
【详解】
因为2
sin 4sin()c A A B =+，所以2sin 4sin c A C =，由正弦定理得：
24,4c a c ac ==，因为22
()4a c b -=-，所以222244a c b ac +-=-=，从而ABC 的
= 故选：B ． 12．A 【分析】
利用正弦定理可判断①的正误；求出最大角的余弦值，可判断②的正误；利用二倍角的正弦
公式以及余弦定理可判断③的正误；求出ABC 的面积，进而可计算出该三角形的内切圆半径，由此可判断④的正误. 【详解】 对于①，
sin sin sin a b c
A B C
==，2a =，3b =，4c =，sin :sin :sin 2:3:4A B C ∴=，故①正确；
对于②，由于a b c <<，则ABC 中最大角为角C ，
222222
234cos 02223
a b c C ab +-+-==<⨯⨯，2C π∴>，ABC ∴是钝角三角形，故②错；
对于③，假设ABC 的最大内角是最小内角的2倍，则2C A =，
即sin sin 22sin cos C A A A ==，又sin :sin 1:2A C =，即()sin 2sin cos 1:2A A A =:，
cos 1A =，不符合题意，故③错；
对于④，22222224311cos 222416a c b B ac +-+-===⨯⨯，sin 16B ∴==
，
11sin 2422ABC S ac B ∴=
=⨯⨯=
△，
设ABC 的内切圆半径为r ，则()()1123422ABC S a b c r r =
++=⨯++=
△，
r ∴=
故选：A. 【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
13【分析】
利用正弦定理和三角形内角和定理化简()sin cos 0b a C C +-=，由此求得
sin 04A π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，进而求得34A π=，由余弦定理求得a 的值.
【详解】
由正弦定理与()sin cos 0b a C C +-=，得()sin sin sin cos 0B A C C +-=，又
A B C π++=，所以()()sin sin sin cos 0A C A C C ++-=，所以
sin cos cos sin A C A C +sin sin sin cos 0A C A C +-=，即
()
sin sin cos C A A +=sin 04C A π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，由于sin 0C >所以sin 04A π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，
3
4
A π=.由余弦定理得2
2
23121cos
54
a π
=+-⨯=，a ∴=
【点睛】
本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理，考查两角和的正弦公式，属于中档题. 14．
6313
【分析】
由同角三角函数的基本关系求出3sin 5A =
，4cos 5
A =，5
cos 13C =，再由两角和的正弦
公式求出sin B ，最后由正弦定理求出b . 【详解】 由3
tan 4A =
得：3sin 5A =，4cos 5
A =
因为ABC 为锐角三角形，所以由12sin 13
C =
得5
cos 13C =
所以63
sin sin()sin cos cos sin 65
B A
C A C A C =+=+=
所以sin 63
sin 13
a B
b A =
=.
故答案为：6313
15．π. 【分析】
由2
2sin
12A B C +=
cos C C =，求得6
C π
=，在ABC ∆中，由余弦定理解得b ，进而求得BD ，然后利用正弦定理
2sin BD
r C
=求得r 即可. 【详解】
因为2
2sin
12
A B
C +=，
22sin
1cos()cos 2
A B C A B C +=-=-+=，
所以tan 3
C =
， 因为()0,C π∈， 所以6
C π
=
，
在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，
即2732
b =+-⨯， 解得4b =，
所以243212
BD =+-⨯=， 所以1BD =，
令BCD ∆外接圆的半径为r ，
则1
22
1sin 2
BD r C ===， 所以1r =，
所以BCD ∆外接圆的面积为π， 故答案为：π 16
．【分析】
先利用余弦定理求出AM =,αβ的正弦余弦值，再求出sin
AOB ∠=，再利用正弦定理求出铁路AB 段的长. 【详解】
在AOM 中，15AO =，AOM β∠=且cos
β=OM = 由余弦定理得，
(2
2222
2cos 1521572
AM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯=
∴AM =∵cos
β=
，∴β为锐角， ∴sin
β=
在AOM 中，由正弦定理得
sin sin AM OM
MAO
β=∠，
即2sin
MAO
=∠，∴sin MAO ∠=π4MAO ∠=， ∴π4
ABO α∠=-. ∵tan 2α=， ∴sin
α=
，cos α=， ∴πsin sin
4ABO α⎛
⎫∠=-= ⎪⎝
⎭ 又πAOB α∠=-，
∴()sin sin π
AOB α∠=-=
.
在AOB 中，15AO =，由正弦定理得
sin sin AB AO
AOB ABO
=∠∠，
即15
21AB =
，∴AB =∴铁路AB
段的长为.
故答案为： 【点睛】
方法点睛：解三角形时，要知道三个元素，至少一个是边，要首先理清解三角形的顺序，对于未知的三角形元素再放到其它三角形中解答.这样解答起来，才条理清晰. 17．（1
）（2
. 【分析】 （1
）因为cos A =
且(0,),sin 3
A A π∈==
，可得：sin tan cos 2
A A A =
=
，代入正切的倍角公式即可得解； （2）
由题意可得：cos 3B =
，
所以1sin 3B ==
，sin sin()C A B =+=
，由正弦定理，得sin 2sin c A
a C
==，代入面积公式即可得解. 【详解】 （1
）因为cos A =
且(0,),sin 3
A A π∈==，
∴sin tan cos 2
A A A =
=
∴2
2tan tan 21tan A
A A
=
=-（2
）由sin 23B π⎛⎫+=
⎪⎝⎭
，得cos 3B =，
由(0,)B π∈，所以1sin 3
B ==
，
则sin sin()sin cos cos sin 3
C A B A B A B =+=+=
， 由正弦定理，得sin 2sin c A
a C
=
=，
∴ABC 的面积为1sin 23
S ac B ==
. 【点睛】
本题考查了三角恒等变换和解三角形，考查了正弦定理和面积公式，是对三角形基本量的计算，该类题型只需正确应用公式即可得解，属于常规考查，是基础题. 18．（Ⅰ）2[,]36k k ππ
ππ--,k Z ∈;（Ⅱ）2
ϕπ=. 【解析】 （Ⅰ）由6
π
=
ϕ，可先由两角和差正弦公式、二倍角公式将函数解析式化简为()11cos 2232f x x π⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭，再根据余弦函数cos y x =的单调递增区间[]()2,2k k k π-ππ∈Z ，求出函数()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）利用两角和余弦公式、二
倍角公式整理得()11cos2sin222f x x x ϕϕ⎫=-+⎪⎪⎝⎭
，由函数最大值为3
2，
且对于sin cos y a x b x =+，又0ϕπ≤<，从而问题可得解.
试题解析：（Ⅰ）由题意()11
cos242
f x x x =-+ 11cos 2232x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
由2223
k x k π
πππ-≤+
≤，得236k x k ππ
ππ-
≤≤-． 所以单调()f x 的单调递增区间为2,36k k ππππ⎡
⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈.
（Ⅱ）由题意()11
cos cos2sin22222f x x x ϕϕ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
，由于函数()f x 的最大
值为32
，即22
112ϕϕ⎫⎫-+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， 从而cos 0ϕ=，又0ϕπ≤<， 故2
π
ϕ=
．
19．（1
）
7
（2
）
【分析】
(1)利用三角形的面积公式可求sin A 的值，可得3
A π
=，由余弦定理可得a 的值，根据三角
形的面积公式即可求解BC 边上的高；
(2）由余弦定理可求cos C 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，根据两角差的正弦公式即可求解sin (A -C )的值． 【详解】
(1)在A BC 中，因为S =
1
2
bc sin A ，2b =，3c =
所以
1
23sin 22
A =⨯⨯， 解得sin A
0<A <2π
所以A =
3
π
由余弦定理得：2a =22+23-2x 2x 3x cos 3
π
=7，a
设BC 边上的高为h ， 因为S =
1
2
a h ，
所以
2
=12
，解得7
h = （2）由（1）知a
，A =3
π
， 因为
c sinc =a sinA
， 所以sin C
=3csinA
a
=
=，
因为0<C <
2
π，
所以cos C ，
所以1sin()sin cos cos sin 2A C A C A C -=-=-= 20．（1）最小值2﹣， T π＝；（2）13a b ＝，＝. 【分析】
（1）根据二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质求最值;
（2）先解三角方程得角C ，再根据向量共线得sin 3sin 0B A -=，利用正弦定理化边，最后结合余弦定理解得结果. 【详解】
解：（1）函数()2212(cos sin )1sin 226f x x x x x π⎛
⎫=
---=- ⎪⎝
⎭ ∴当22,6
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈时，函数取得最小值：2-，
最小正周期T π＝；
（2）因为向量()1,sin m A =与向量()3,sin n B =共线，所以sin 3sin B A ＝，3b a ∴＝，
()0sin 216f C C π⎛
⎫==-- ⎪⎝
⎭，
0C π<<，∴1126
6
6
C π
π
π
-
<-
<
， 26
2
C π
π
∴-
=
，即3
C π
=
.
由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，解得13a b ==，. 21．（1）
3
π
；（2）(2,4]. 【分析】
（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理即可求解.
（2）利用正弦定理可得2333b c B B π⎛⎫
+=+- ⎪⎝⎭
，再根据两角差的正弦公式以及辅助角公式即可求解. 【详解】
（1）由三角形面积公式得：
)
222sin
1
cos sin
22
tan
3
S b c a bc A
A bc A
A
A
π
=+-
=
∴=
∴=
1
=
2
（2）在ABC中，由正弦定理得sin sin
sin
3
a b c
B C
π
==
，又2
a=，
所以b B
，
2
sin
333
c C B
π
⎛⎫
==-
⎪
⎝⎭
，
故
2
sin
333
b c B B
π
⎛⎫
+=+-
⎪
⎝
⎭
3
sin4sin
26
B B B
π
⎫⎛⎫
=+=+
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，因为
2
3
B
π
<<故
5
666
B
πππ
<+<，所以
1
sin1
26
B
π
⎛⎫
<+≤
⎪
⎝⎭
，(2,4]
b c
+∈，
故b c
+的取值范围是(2,4].
22．（1）
3
π
；（2
；（3）8.
【分析】
(1)根据正弦定理，将题中条件进行转化，得到
sin
sin cos sin cos
2cos
+=
A
C B B C
A
，再
根据三角形内角和为π以及诱导公式，即可求得角A的大小；
(2)利用同角三角函数关系式即可得到sin B，再利用正弦和角公式以及余弦倍角公式即可求得结果；
(3)利用三角函数面积公式即可得到bc的值，再利用余弦定理即可求得b c
+的值，进而得到ABC的周长.
【详解】
解：（1）cos cos
2cos
a
c B b C
A
+=，
由正弦定理得：
sin
sin cos sin cos
2cos
+=
A
C B B C
A
，
即()
sin
sin
2cos
A
B C
A
+=，
又
sin()sin B C A += ，
sin sin 2cos A
A A
=
，
sin 0A ≠，1cos 2
A ∴=
， 又0A π<<，
3
A π
∴=
；
（2）由题意知：sin 3
B ==
，
sin 22sin cos 3
B B B ∴==
， 又
21
cos 22cos 13
B B =-=-，
sin(2)sin 2sin 2cos cos 2sin 3336B A B B B πππ⎛
⎫∴+=+=+=
⎪⎝
⎭；
（3）11sin 22S bc A bc ===
， 163
bc ∴=
， 由余弦定理得：2
2
2
2
2cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A ， 即2
169()33
b c =+-⨯
， 解得：5b c +=，
ABC ∴的周长为8a b c ++=.
【点睛】
方法点睛：与面积有关的问题，一般要用到正弦定理和余弦定理进行边和角的互化.。