复合材料学之二

2.1.6 单向连续纤维增强复合材料的强度
• 1 单向连续纤维增强复合材料的纵向拉伸强度 • 复合材料在纵向受拉时，由力平衡可知复合材料纵向平均应力为
σ 0 L = σ f V f + σ mVm
= σ f V f + σ m (1 − V f )
复合材料变形第一阶段，纤维和基体都是弹性变形，则有 ε = ε f = ε m 因此：
τ0 =
G (1 − v cos 2 α ) 2π (1 − v)
α = 90 α =0
τ0 =
G 2π (1 − v) G τ0 = 2π
R Gb 2 E (90) = ln 2 4π (1 − v) R1 Gb 2 R2 E ( 0) = ln 4π R1
Gb 2 R E= ln 4πk r0
纤维受应力为：
σ fT = E fT ε fT = E fT
基体应力为：
∆l fT = σ fT l fT / E fT
σ mT = EmT ε mT = EmT
∆lmT lmT
∆lmT = σ mT lmT / EmT
• 代入得：
σ 0T lT
ET 1
• 式中：
=
σ fT l fT
E fT
l fT lT
设L向拉力P，且纤维与基体界面牢固，变形时无相对滑动， 即基体与纤维应变相同，基体将力通过界面完全传递给纤 维，根据力平衡关系，有：
P = A f σ f + Amσ m
A = A f + Am
Vf = Af A
P－载荷 A－复合材料截面积 Vm －基体体积分数
Am Vm = A
• 因此复合材料流动应力为： σ 0L
当体积分数较小时，根据模型1，在横向载荷P作用下，复合材料的 ∆ 横向伸长量 lT 等于纤维横向伸长量与基体横向伸长量之和
∆lT = ∆l fT + ∆lmT
在弹性变形范围内，复合材料的横向流动应力为：
σ 0T
∆lT = ET 1ε T = ET 1 lT
∆l fT l fT
即
∆lT = σ 0T lT / ET 1
因此：质点尺寸越小，体积分数越高，强化效果越好，一般Vp=10~15%，d ＝0.1~0.01um
• 2.1.2 颗粒增强原理
• 颗粒增强复合材料是由尺寸较大（>1微米）的坚硬颗粒与金属基 体复合而成。 • 载荷主要由基体承受，但颗粒也承受载荷并约束基体的变形。颗 粒阻止基体位错运动的能力越大，增强效果越好。 • 在外力作用下，基体内位错的滑移在基体－颗粒界面上受到阻止， 并在颗粒上产生应力集中，
复合材料学之二 复合理论
2.1 复合强度理论 2.2 复合材料的相容性 2.3 基体与增强材料的润湿性
2.1 复合强度理论
• 2.1.1分散强化原理（Vp=10~15%） • 分散强化复合材料是由细微硬质点与金属基体复合而成。作为增强剂 的硬质点主要是金属氧化物、碳化物和硼化物等。 • 分散强化原理：与析出强化机理相似，可用Orowan位错绕过机制说明。 载荷主要由基体负担，分散硬质点阻碍基体中的位错运动，质点阻止 位错运动能力越大，强化效果越好。
Ec = k1 E f V f + Em (1 − V f )
[
]
σ c = k 2 [σ f V f + σ m (1 − V f )]
•强度增强率：复合材料强度与基体强度之比，它表示复合材料的增强 效果。 •分散强化的强度增强率： Fs =
Gmb(3V p ) τy = τm 2d (1 − V p )τ m
ET 2 = E fT V f + EmT Vm = E fT V f + EmT (1 − V f )
推导模型2得横向弹性模量
• •
2.1.5 单向连续纤维增强复合材料得泊松比 定义：纵向泊松比是单向连续纤维增强复合材料沿纤维方向弹性拉 伸或压缩时，其横向应变与纵向应变之比的绝对值。
εT µL = εL
+
σ mT lmT
EmT
Vf =
Vm =
lmT lT
σ 0T
ET 1
=
σ fTV f
E fT
+
σ mTVm
EmT
• 根据假设： σ = σ = σ 0T fT mT • 代入得：
Vf V 1 = + m ET 1 E fT EmT
当纤维含量较大时，纤维和基体之间发生胶联、摩擦等作用，纤维 之间连通，增加了载荷传递部位，影响或阻止了横向变形，简化成 模型2。 结果：
随着纤维体积分数增加，单向增强复合材料的纵向弹性模量增加。
颗粒增强效果模拟计算
应力分布
应变分布
• 2）横向弹性模量：当纤维条件分数较小时，纤维和基体成串联， 简化成模型1。当纤维含量较高时，纤维紧密接触，其间有基体但 极薄，可认为这部分基体变形与纤维一致，就是说可以看成沿横 向互相接触而连通，简化成并联模型2：
颗粒增强分析
应力分布
应变分布
• 2.1.3 纤维增强原理
• 纤维增强复合材料是由连续纤维或不连续（短）纤维与金属基体 复合而成。复合材料受力时，高强度、高模量的增强纤维承受大 部分载荷，而基体主要作为媒介，传递和分散载荷。 • 通常纤维增强复合材料的弹性模量和断裂强度与各组分性能关系 如下：
纤维强化时的强度增强率：
σ f σc Ff = = k V f + (1 − V f ) σm σ m
1) Al-C 2) Al-SiO2 3) Al-Al2O3 4) Ag-Al2O3 5) Cu-W 6) Al-不锈钢
2.1.4连续纤维增强复合材料得复合准则
• 复合材料的弹性模量是由组成材料的特征、增强材料的取向和体 积分数决定的。 • 1） 纵向弹性模量：假设增强纤维连续、均匀、平行排列于基体 中，形成单向增强复合材料，纤维轴向为纵向（L），垂直于纤 维轴向为横向（T）。 • 在L方向受拉时，计算模型如下图所示。
所以，位错的线张力即增加单位长度位错所需的功
Gb 2 R T= ln 4πk r0
Gb 2 一般R＝100r0，所以 T ≈ 2
• 当位错受切应力作用下，设曲率半径为R，位错受力平衡时，有：
R
dθ F1
T
F0
F1 = F0
F1 = 2T sin
dθ ds ≈ Tθ ≈ T 2 R
• 所以，有：
dθ F0 = 2 Rτb sin ≈ τbRθ ≈ τbds 2 ds T = τbds R
σ 0 L = E f ε f V f + Emε m (1 − V f )
τ=
T 1 1 2 Gb Gb = Gb = = Rb Rb 2 2R D
•
当质点间距离为Dp时，基体剪切模量为Gm，时 τ y =
Gm b Dp
如果质点直径为d，体积分数为Vp，质点弥散且均匀分布，则：
1 2 2 D p = ( d / V p ) 2 (1 − V p ) 3
可得：
1 2 2 2 τ y = Gmb / ( d / V p ) (1 − V p ) 3
τ ma = Gmγ m
G2γ = G f γ f V f + Gmγ mVm
• 由假设知： γ = γ f = γ m
• 得： G2 = G f V f + GmVm = G f V f + Gm (1 − V f ) • 在实际工程中常用：G = (1 − C )G1 + CG2 • 式中C为分配系数，C = 0.4V f − 0.025
µ Lε L b = µ mε mL bm + µ f ε fL b f
∆bm = ε mT bm = µ mε mL bm
• 假设纵向应变协调，纤维和基体应变相等，且等于复合材料纵向应变， 即：
ε L = ε mL = ε fL
• 所以有 • 即：
µ Lb = µ mbm + µ f b f
µ L = µ mVm + µ f V f = µ m (1 − V f ) + µ f V f
= σ f V f + σ mVm
• 当纤维与基体都在弹性变形时，由虎克定律：
σ 0 L = E Lε σ f = Efε f
σ m = Emε m
• 可以得到：ELε = E f ε f V f + Emε mVm • 因为： ε = ε f = ε m • 所以：EL = E f V f + EmVm = E f V f + Em (1 − V f )
a
M = τ a AR
式中：A为复合材料截面积，R为复合材料半径 同理：纤维受扭矩： f = τ fa A f R f M 基体受扭矩：M m = τ ma Am Rm
• 假设模型2视为薄壁筒，R ≈ R m ≈ R f 而 A = A f + Am • 用虎克定律
τ a = G2γ
• 因此：
τ fa = G f γ f
σ y = GmG p b /( D pV p ) (1 − V p ) 3
把质点直径、体积分数和质点间距的关系式代入得：
3GmG p bV
1 2 p
1 2
σy =
2d (1 − V p )C
因此：质点尺寸越小，体积分数越高，强度越高，颗 粒对复合材料的增强效果越好。 在实际用的颗粒增强复合材料中，增强颗粒直径为 1～50微米，体积分数为5～50％。
γl = γ f l f + γ mlm
• τf • 在弹性变形时，由虎克定律： γ f =
Gf
γm =
τm
Gm
得：
τ
G1
l=
τf
Gf
lf +
τm
Gm
lm
τ
G1
=
τf
Gf
Vf +
τm
Gm
Vm
由假设可知
τ =τ f =τm
因此：
1 V f Vm = + G1 G f Gm
模型2是纤维与基体轴向并联，纤维被基包围，且假设纤维与基体 结合良好，在扭矩的作用下，纤维与基体产生相同剪应变，但剪 应力不同，所以模型2为等应变假设。 在扭矩得作用下，纤维与基体受力不等，在横截面上 M = M f + M m 总扭矩用截面上平均切应力τ 表示：
τ y = Gmb / D p
τ y = Gmb / D p
• 位错的产生：当作是一空心圆筒沿滑移面切开，然后沿滑移方向 推进b的距离，作用力由零逐渐增加到 ，因此平均的作用力为 • 0.5 。这样，单位长度位错的弹性能为：
τ
τ
τ=
τ 0b
r
1 R2 E ( R1 , R2 ) = b ∫ τ dr 2 R1 1 R2 τ 0 b = b∫ dr R1 2 r τ 0 b 2 R2 = ln 2 R1
σ
σi
•
其值：
σ = nσ i
•
由位错理论，应力集中因子为：
n = σD p /(Gmb)
• 得到：
σ i = σ 2 D p /(Gmb)
• 当应力集中达到颗粒断裂强度时，颗粒开始破坏，产生裂纹，引起复合 材料变形，有：
σ i = σ p = σ D p /(Gmb) =
2
Gp C
•
因此颗粒增强复合材料的屈服强度为：
•
在切应力τ 的作用下，位错滑移，遇到硬质点位错线弯曲，位错弯曲部 τ = G b/D 分曲率半径R为：
y m p
R = Gm b / 2τ
• • 式中：Gm－基体剪切模量 b－柏氏矢量 若质点间距为Dp，在剪应力的作用下，位错线曲率半径R＝Dp/2时，复 合材料产生塑性变形，此时剪应力为复合材料的屈服强度：
2.1.5单向纤维增强复合材料的剪切模量
• • • • • • • • • • 模型1是纤维和基体轴向串联模型， 在扭矩的作用下，圆筒受纯剪应力， 纤维和基体剪应力相同，但因剪切 模量不同，剪应变不同，所以模型1 为等应力假设。（在纤维含量较低时） 假设圆筒在扭矩M的作用下产生剪应变γ 变形前圆筒的母线为oa，变形后为oa‘， a点周向位移为纤维和基体段位移之 和，即：
• •
b 设b为复合材料总宽度，b f 为纤维总宽度， m 为基体总宽度。当沿纤维 纵向受力时，纵向产生应变 ε L ，横向应变 ε T ， 因此有：
ε T = µ Lε L
• 两边乘以b得：
bε T = bµ Lε L
ε T b = ∆b = ∆bm + ∆b f
∆b f = ε fT b f = µ f ε fL b f
1 2
•颗粒增强复合材料强度增强率：
σy Fp = = σm
3GmG p bV p
1 2
2d (1 − V p )C
/σ m
•在分散强化和颗粒增强复合材料中，强度增强率与质点或颗粒体积分 数、直径及其分布有关，一般说，质点越细，增强率F越大。 •分散强化时，质点尺寸在0.1~0.01微米时，F＝4～15。质点再细就容 易形成固溶体 •如质点较大，在0.1~1微米时，F＝1～3，增强效果不明显。因为质点 尺寸在此范围内易产生应力集中，强度下降。