微积分练习册[第七章]向量代数与空间解析几何

习题7-1 空间直角坐标系
1.填空题
（1）下列各点所在象限分别是：
a .（1，-2，3）在________________；
b .（2，3，-4）在________________；
c .（2，-3，-4）在________________；
d .（-2，-3，1）在________________。

（2）点P(-3,2,-1)关于平面XOY 的对称点是_______，关于平面YOZ 的对称点是_________，关于平面ZOX 的对称点是__________，关于X 轴的对称点是__________，关于Y 轴的对称点是____________，关于Z 轴的对称点是____________。

（3）点A(-4,3,5)在XOY 平面上的射影点是_________，在YOZ 平面上的射影点是_________，在ZOX 面上的射影点是__________，在X 轴上的射影点是_________，在Y 轴上的射影点是__________，在Z 轴上的射影点是__________。

（4）已知空间直角坐标系下，立方体的4个顶点为A(,,a a a ---)，B(,,a a a --)，C(,,a a a --)和D （,,a a a ），则其余顶点分别为___________，_____________，___________， ___________。

2.已知三角形的三个顶点A（2，-1，4)，B(3，2，-6)，C(-5，0，2)，求过A、B、C 三点的中线的长度。

3.已知平行四边形ABCD的两个顶点A（2，-3，-5），B（-1，3，2）及它的对角线的交点E（4，-1，7），求顶点C、D的坐标。

4.已知某直线线段AB被点C（2，0，2）及点D(5，-2，0)内分为3等分，求端点A、B的坐标。

5.求点M（-4，3，-5）到各坐标轴的距离。

6.在YOZ面上，求与三个已知点A(3，1，2)，B（4，-2，-2）和C(0，5，1)等距离的点。

习题7-2 向量及其线性运算
1. 填空题
（1） 已知某向量b 与a 平行，方向相反，且a b 2=，则b 由a 表示为________。

（2） 已知梯形OABC ，CB //OA 且/1=，若b OC a OA ==,，则
_________
=AB 。

（3） 一向量的终点在点B(2，1，-7)，它在X 轴，Y 轴和Z 轴上的投影依次为4，
-4和7，则这向量的起点A 的坐标为___________。

（4） 设向量的模是4，它与轴的夹角是3
π，则它在轴上的投影为_________。

（5） 已知A(4，0，5)，B （7，1，3），则=→-0AB ____ _____。

2. 一向量的起点为A （1，4，-2），终点为B （-1，5，0），求在X 轴、Y 轴、Z 轴。

3. 已知两点)2,0,3(),1,2,4(21M M ，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角。

4. 已知{}{}{}4,3,0,2,1,6,4,5,3--=-==c b a ，求c b a 432+-及其单位向量。

5.一向量与x 轴，y 轴的夹角相等，而与Z 轴的夹有是前者的两倍，求该向量的方向角
6.已知向量a 与三坐标轴成相等的锐角，求它的方向余弦，若2 a
，求向量的坐标
7.设k j i c k j i b k j i a 45,742,853-+=--=++=，求向量43l a b c =+- 在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量
8.已知两向量{}{},5,1,3,1,a b λμ=-= 平行，求μλ,的值
习题7-3 数量积 向量和 混合积
1.填空题
（1）已知c b a ,,为单位向量，且满足0 =++c b a ，则______
=⋅+⋅+⋅a c c b b a . （2）若向量b 与向量)2,1,2(-=a 共线，且18-=⋅b a ，则b =__________.
（3）已知5,3==b a ，问________=λ时，b a λ+与b a λ-相互垂直。

（4）已知7,3,2=-==b a b a ，则.________),(=∧b a
（5）已知a 与b 垂直，且,12,5==b a 则._____________,=-=+b a b a
（6）向量c b a ,,两两垂直，且3,2,1===c b a ，则c b a s ++=的长度为______.
2.已知，试求：
（1）a 与b 的夹角； （2）a 在b
上的投影.
3.已知72,36,3=⨯==b a b a ，求b a ⋅
4.判断向量c b a ⋅⋅是否共面：
{}{}{}16,7,9,2,1,1,5,2,3)1(-===c b a ;
{}{}{}5,7,1,1,3,3,3,2,1)2(-==-=c b a
5.已知A(1,-1,2)，B(5,-6,2)，C(1,3,-1)，求：（1）同时与AB及AC垂直的单位向量；
（2） ABC的面积；
（3）从顶点A到边BC的高的长度
6.一个四面体的顶点为A(0,0,0)，B(3，4，-1)，C（2，3，5）和D（6，0，3），求
它的体积。

习题7-4 平面与直线（一）
1.填空题
（1）过点（3，0，-1）且与平面0573=+-z y x 平行的平面方程为___________.
（2）过两点（4，0，-2）和（5，1，7）且平行于ax 轴的平面方程为___________.
（3）若平面01111=+++D z C y B x A 与平面02222=+++D z C y B x A 互相垂直，则充要条件是_________________若上两平面互相平行，则充要条件是__________.
（4）设平面092:=--+z ky x π，若π过点，则=k _______;又若π与平面03342=-++z y x 垂直，则=k ________.
（5）一平面过点（6，-10，1），它在ax 轴上的截距为，在oz 轴上的截距为2，则该平面方程是__________
（6）一平面与02:1=++z y x π及1:2=-y x π都垂直，则该平面法向量为_________.
2.求过点)6,9,2(0-M 且与连接坐标原点及点0M 的线段0OM 垂直的平面方程.
3.分别按下列条件求平面方程：
（1）平行于XOZ平面且通过点（2，-5，3）；（2）平行于x轴且经过点（4，0，-2），（5，1，7）；（3）过点（-3，1，-2）和Z轴.
4.求过点（1，1，1）和点（0，1，-1）且与平面0=++z y x 相垂直的平面方程。

5.求通过点A(3,0,0)和B （0，0，1）且与xoy 平面成3/π的平面方程。

6.求点（1，-4，5）到平面0142=-+-z y x 的距离。

7.已知平面02122:1=++-∏z y x 与平面05247:2=-+∏z x ，求平分1∏和2∏夹角的平面方程。

习题7-4 平面与直线（二）
1.填空题
（1）过点（4，-1，3）且平行于直线5
123-==-z y x 的直线方程为____________ （2）过两点（3，-2，1）和（-1，0，2）的直线方程为___________
（3）过点（2，0，-3）与直线⎩⎨
⎧-=-+=+-1253742x y x z y x 垂直的平面方程为_______________ （4）直线211232:
+=-=+z y x L 和平面08332:=-++z y x π的交点是____________
（5）直线⎩⎨⎧=--=++0
03z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角为 _____________
2.写出直线⎩
⎨⎧=++=+-421:z y x z y x L 的对称式方程及参数方程
3.求满足下列条件的直线方程：
（1）过点（4，-1，3）且平行于直线5
1123-==-z y x . (2)过点（0，2，4）且同时平行于平面12=+z x 和23=-z y .
（3）过点且垂直于平面2310x y z +++=.
4.求点（3，-1，2）到直线24010x y z x y z -+-=⎧⎨
+-+=⎩的距离.
5.求直线⎩
⎨
⎧=+-+=+-025134z y x z y x 在平面0352=-+-z y x 上的投影方程.
6.已知两直线⎩⎨⎧=-+=--+0
3201:z x z y x L 和1:2-==z y x L （1）求过1L 且平行于2L 的平面方程；（2）求1L 与2L 间的最短距离.
7.求两直线⎩⎨
⎧=--=++042052z y y x 与⎩⎨⎧=++=0420z x y 的公垂线的方程.
微积分练习册[第七章]向量代数与空间解析几何
习题7-5 曲面及其方程
1.填空题：
（1）以点（1，2，3）为球心，且过点（0，0，1）的球面方程是__________
（2）将xoz 坐标面上的抛物线x z 52=绕ox 轴旋转而成的曲面方程是____________
（3）将xoy 坐标面上的圆2)1(22=-+y x 绕oy 轴旋转一周所生成的球面方程是___________，且球心坐标是_____________，半径为___________
（4）方程222
0223
x y z +-=表示旋转曲面。

，它的旋转轴是_____________ （5）方程z y =2在平面解析几何中表示__________，在空间解析几何中表示___________。

2.画出下列各图
（1）yoz 坐标面上y z =2绕oy 轴旋转而成的曲面
班级： 姓名： 学号：
（2）由1,122=+=+y x z x 和0=z 所围立体的表面.
（3）1942
2=+-y x
微积分练习册[第七章]向量代数与空间解析几何
3.作出下列不等式所确定的空间区域：
（1）;0),(4,12222≥+-≤≤+z y x z y x
(2);2,2422≤≤+z z y x
班级： 姓名： 学号：
(3);0,0,0,1632222≥≥≥≤++z y x z y x
(4)2,44222≤≥+--z z y x
微积分练习册[第七章]向量代数与空间解析几何
习题7-6 空间曲线及其方程
1.填空题：
(1)在空间直角坐标系中方程⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-021492
2x z x 表示_____________ (2)用平面h x =去截双叶双曲面122
2222-=+-c
z b y a x ，所得截痕是__________；若用平面)(22b k k y >=截上述曲面所得截痕是_________________
(3)二次曲面22
22b
y a x z +=与平面h y =相截，其截妆是空间中的_____________ (4)曲面z y x =-22在xoz 坐标面上的截痕是____________
(5)双曲抛物面z y x 232
2
=-与xoy 坐标面的交线是_____________ (6)由曲面22y x z +=与222y x R z --=所围成的有界区域用不等式组可表示
为____________ 2.指出下列方程所表示的曲线
(1)⎩
⎨⎧==++13694222y z y x ；
(2)⎩⎨⎧==+-+4
08422y x z y
班级： 姓名： 学号：
3.画出下列曲线在第一卦限的图形：
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧=---=22222222)2( ;0
4)1(a z x a y x y x y x z
4.将曲线⎩⎨⎧==++x
y z y x 9222化为参数方程
微积分练习册[第七章]向量代数与空间解析几何
5.求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影曲线方程
6.求旋转抛物面)40(22≤≤+=z y x z 在三坐标面上的投影.
班级： 姓名： 学号：
7.求螺旋线⎪⎩
⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.
7. 求由上半球面222y x a z --=，柱面022=-+ax y x 及平面0=z 所围成的立体在xoy 面上和zox 面上的投影.
微积分练习册[第八章]多元函数微分学
习题8-1 多元函数的基本概念
1.填空题：
（1）若y
x xy y x y x f tan ),(22-+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy
y x y x f 2),(2
2+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x -== （3）若)0()(22 y y
y x x y f +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x x y
y x f -=+，则____________),(=y x f
（5）函数)1ln(4222
y x y x z ---=的定义域是_______________
（6）函数y x z -=的定义域是_______________
(7)函数x y z arcsin
=的定义域是________________ （8）函数x
y x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2.求下列极限：
（1）xy xy y x 42lim
0+-→→
班级： 姓名： 学号：
(2) x
xy
y x sin lim 00→→
(3) 22222
200)()
cos(1lim y x y x y x y x ++-→→
微积分练习册[第八章] 多元函数微分学
3.证明
0lim 22)0,0(),(=+→y x xy y x
4.证明：极限0lim 2
42)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在
班级： 姓名： 学号：
5.函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(2
2y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么？
微积分练习册[第八章] 多元函数微分学
习题 8-2偏导数及其在经济分析中的应用
1.填空题
（1）设y x
z tan ln =，则__________________,=∂∂=∂∂y z
x z
;
（2）设)(y x e z xy +=，则__________________,=∂∂=∂∂y z
x z ;
（3）设z y
x u =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u
y u x u
;
（4）设x y a x c z t a n =，则________
_________,_________,222
22=∂∂∂=∂∂=∂∂y x z
y z x z
（5）设z y x u )(=，则________2=∂∂∂y x u
;
（6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________
)
,(),(lim 0=--+→x b x a f b x a f x 2.求下列函数的偏导数
y xy z )1()1(+=
班级：姓名：学号：
z
)2(-
=
a r c s i n(
u)
x
y
z=，求函数在（1，1）点的二阶偏导数
3.设x y
微积分练习册[第八章] 多元函数微分学
4.设)ln(xy x z =，求y x z ∂∂∂23和23y
x z ∂∂∂
5. )11(y x e
z +-=，试化简y
z y x z x ∂∂+∂∂22
班级： 姓名： 学号：
6.试证函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),( ,0)0,0(),(,3),(22y x y x y x xy y x f 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续.
微积分练习册[第八章] 多元函数微分学
习题8-3 全微分及其应用
1.X 公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：QY PY Qx Px 41600;51000-=-=
公司X 、Y 现在的销售量分别是100个单位和250个单位。

（1） X 和Y 当前的价格弹性是多少？
（2） 假定Y 降价后，使QY 增加到300个单位，同时导致X 的销量Qx 下降到75
个单位，试问X 公司产品的交叉价格弹性是多少？
(利用弧交叉弹性公式：)/1
2121212Py Py Py Py Qx Qx Qx Qx Erx +-+-=
班级： 姓名： 学号：
2.假设市场由A 、B 两个人组成，他们对商品X 的需求函数分别为： Px I K D Px I K D B B B A A A /;/)(Pr =+=
（1）商品X 的市场需求函数；
（2）计算对商品X 的市场需求价格弹性；若Y 是另外一种商品，Pr 是其价格，求商品X 对Y 的需求交叉弹性
微积分练习册[第八章] 多元函数微分学
3.求下列函数的全微分
（1）t s t s u -+=
（2）设z y
x z y x f 1)(),,(=，求)1,1,1(df
班级： 姓名： 学号：
（3）)1ln(22y x z ++=，求当2.0,1.0,2,1=∆=∆==y x y x 的全增量z ∆和全微分dz
4.计算33)97.1()02.1(+的近似值
习题8-4 多元复合函数的求导法则
1.填空题
（1）设v u z ln 2=而y x v y x u 23,-==，则____________________,=∂∂=∂∂y
z x z （2）设)sin(y x ar z -=而t x 3=，则
_________=dt dz （3）设1
)(2+-=a z y e u ax ,而x z x a y cos ,sin ==，则________=dx du （4）设)arctan(xy z =,而x e y =，则
________=dx dz （5）设),(22xy e y x f u -=，则___________________,=∂∂=∂∂y
u x u （6）),,(xyz xy x f u =，则
________=∂∂x u
2.设f y x yf xy f x z ),()(1++=具有二阶连续导数，求y
x z ∂∂∂2
3.设f y
x x f z ),,(=具有二阶连续偏导数，求22x z ∂∂
4.设f x y x xf z ),,2(2=，具有二阶连续偏导数，求y
x z ∂∂∂2.
5.设f e
y x f z y x ),,cos ,(sin +=，具有二阶连续偏导数，求22x
z ∂∂
7.设f 与g 有二阶连续导数，且)()(at x g at x f z -++=，证明：22222
z z a t x ∂∂=∂∂
习题8-5 隐函数的求导公式
1.填空题：
（1）设arctan y x
=，则________=dx dy （2）设022=-++xyz z y x ，则______________,=∂∂=∂∂y
z x z （3）设y
z z x ln =，则___________________,=∂∂=∂∂y z x z （4）设z x y z =，则
_________________,=∂∂=∂∂y z x z 2.设xyz e z
=，求y x z ∂∂∂2
3.设3
33a xyz z =-，求y x z ∂∂∂2
4.设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，求
y
z x z ∂∂+∂∂
5.设⎪⎩⎪⎨⎧=+++=20
3222222z y x y x z ，求dx dz dx dy ,
6.设),(t x f y =，而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,的函数，求dx
dy
7.设由方程0),(=++x
z y y z x F 确定),(y x z z =，F 具有一阶连续偏导数，证明： xy z y
z y x z x
-=∂∂+∂∂
8.设),(),,(),,(y x z x z y y z y x x ===，都是由方程0),,(=z y x F 所确定的有连续偏导数的函数，证明：
1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z y y x
习题8-6 多元函数的极值及其应用
1.填空题：
（1）gy x xy y x z +-+-=4222z 驻点为_____________
（2）22)(4),(y x y x y x f ---=的极____ _值为_______________
（3）)2(),(22y y x e y x f x ++=的极______值为_________________
（4）xy z =在适合附加条件1=+y x 下的极大值为____________________
（5）22),(y x x y x f u --==在{}
1,22≤+=y x y x D 上的最大值为______________，最小值为______________
2.从斜边长为L 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.
3.旋转抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圓，求原点到该椭圆的最长与最短距离。