2018-2019学年河南省商开九校联考高二(上)期中数学试卷(文科)(PDF版 含答案)

2018-2019学年河南省商开九校联考高二（上）
期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2009•虹口区校级模拟）对于实数a ，b ，c ，下列命题正确的是()
A ．若a b >，则22ac bc >
B ．若0a b <<，则22a ab b >>
C ．若0a b <<，则
11
a b
<D ．若0a b <<，则
b a a b
>2．（2015•铜川模拟）ABC ∆中，1a =，b =，30A =︒，则B 等于()
A ．60︒
B ．60︒或120︒
C ．30︒或150︒
D ．120︒
3．（2015春•南平期末）已知等比数列{}n a 满足124a a +=，2312a a +=，则5(a =)
A ．64
B ．81
C ．128
D ．243
4．（2016•海南校级模拟）在ABC ∆中，60A =︒，16b =，面积S =则
a 等于()
A ．
B ．75
C ．49
D ．51
5．（2014•惠农区校级四模）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若5a 、9a 、15a 成等比数列，那么公比为()
A ．
3
4
B ．
23
C ．
32
D ．
43
6．（2014•武鸣县校级模拟）在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于(
)
A ．30︒
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒
7．设a ，b ，c 都是正数，那么三个数1a b +，1b c +，1
(c a
+)
A ．都不大于2
B ．都不小于2
C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个不小于2
8．（2009•安徽）已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是()
A ．21
B ．20
C ．19
D ．18
9．数列{}n a 中，122n
n n
a a a +=+对所有正整数n 都成立且12a =，则(n a =)A ．1
n +B ．
1n
C ．2n
D ．
2n
10．（2018秋•河南期中）已知在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，60A ∠=︒
，b =，若此三角形有且只有一个，则a 的取值范围是(
)
A
．0a <<B ．6a =C
．a 6a =D
．0a < 11．已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =++，则下列描述正确的是()
A ．数列{}n a 去掉首项后剩下的各项成等差数列
B ．数列{}n a 为等差数列
C ．数列{}n a 去掉首项后剩下的各项成等比数列
D ．数列{}n a 为等比数列
12．（2012•南宁校级模拟）若11234(1)n n S n -=-+-+⋯+- ，173350S S S ++等于()
A ．1
B ．1
-C ．O
D ．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．不等式20x ax b -+<的解集是(2,3)，则不等式210bx ax -->的解集是．14．（2008•重庆）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，128a =-，99S =-，则16S =
．
15．（2014•兴庆区校级一模）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为
．
16．（2005•山东）设x ，y 满足约束条件5
32120304
x y x y x y +⎧⎪+⎪
⎨⎪⎪⎩ 则使得目标函数65z x y =+的值最大
的点(,)x y 是．
三、解答题（本小题共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
17．（10分）（2005•湖南）已知在ABC ∆中，sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos 20B C +=，求角A 、B 、C 的大小．
18．（12分）（2009•辽宁）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，3S ，2S 成等差数列．（1）求{}n a 的公比q ；（2）若133a a -=，求n S ．
19．（12分）（2017春•太仆寺旗校级期末）解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<．
20．（12分）（2017秋•洛南县期末）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1
cos cos sin sin 2
B C B C -=．（1）求角A ；
（2
）若a =，4b c +=，求ABC ∆的面积．
21．设数列{}n a 前n 的项和为n S ，且*(3)23()n n m S ma m n N -+=+∈．其中m 为常数，3m ≠-且0
m ≠（1）求证：{}n a 是等比数列；
（2）若数列{}n a 的公比满足()q f m =且*1113
1,()(2n n b a b f b n N -===∈，2)n ，求证1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列，并求n b ．
22．（12分）（2007•山东）设数列{}n a 满足21*123333()3
n n n
a a a a n N -+++⋯+=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n
n
b a =
，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
2018-2019学年河南省商开九校联考高二（上）期中数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2009•虹口区校级模拟）对于实数a ，b ，c ，下列命题正确的是()
A ．若a b >，则22ac bc >
B ．若0a b <<，则22a ab b >>
C ．若0a b <<，则
11
a b
<D ．若0a b <<，则b a a b
>【解答】解：A ，当0c =时，有22ac bc =故错．
B
若0a b <<，则2()0a ab a a b -=->，2a ab >；2()0ab b b a b -=->，2ab b >，22
a a
b b ∴>>故对
C 若0a b <<，取2a =-，1b =-，可知11
a b
>，故错．D
若0a b <<，取2a =-，1b =-，可知
b a
a b
>，故错故选：B ．
2．（2015•铜川模拟）ABC ∆中，1a =
，b =，30A =︒，则B 等于()
A ．60︒
B ．60︒或120︒
C ．30︒或150︒
D ．120︒
【解答】解：由正弦定理可得
sin sin a b
A B
=
，
∴11sin 2
B =
，sin B ∴=．又
0B π<<，3B π∴=
或23
π，故选：B ．
3．（2015春•南平期末）已知等比数列{}n a 满足124a a +=，2312a a +=，则5(a =)
A ．64
B ．81
C ．128
D ．243
【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由124a a +=，2312a a +=，得112
11
412a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩，解得11
3a q =⎧⎨=⎩．
所以4451381a a q ===．故选：B ．
4．（2016•海南校级模拟）在ABC ∆中，60A =︒，16b =，
面积S =则a 等于()
A
．B ．75
C ．49
D ．51
【解答】
解：1sin 82
S bc A c ==⨯55c =，
∴由余弦定理可知49a ==故选：C ．
5．（2014•惠农区校级四模）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若5a 、9a 、15a 成等比数列，那么公比为()
A ．
3
4
B ．
23
C ．
32
D ．
43
【解答】解：依题意可知2111(8)(4)(14)a d a d a d +=++，整理得2128a d d =，解得14d a =，91518342
a a d q a a d +∴=
==+；故选：C ．
6．（2014•武鸣县校级模拟）在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于(
)
A ．30︒
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒
【解答】解：由()()3a b c b c a bc +++-=，变形得：22()3b c a bc +-=，整理得：222b c a bc +-=，
∴由余弦定理得：2221
cos 22
b c a A bc +-=
=，又A 为三角形的内角，则60A =︒．故选：B ．
7．（2011•青羊区校级模拟）设a ，b ，c 都是正数，那么三个数1a b +
，1b c +，1
(c a
+)
A ．都不大于2
B ．都不小于2
C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个不小于2
【解答】解：a ，b ，c 都是正数，
故这三个数的和111()()(a b c b c a +++++111
)2226a b c a b c
=+++++++= ．
当且仅当1a b c ===时，等号成立．故三个数1a b +，1b c +，1
c a
+中，至少有一个不小于2（否则这三个数的和小于6)．故选：D ．
8．（2009•安徽）已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是()
A ．21
B ．20
C ．19
D ．18
【解答】解：设{}n a 的公差为d ，由题意得
135********a a a a a d a d ++=++++=，即1235a d +=，①2461113599a a a a d a d a d ++=+++++=，即1333a d +=，②
由①②联立得139a =，2d =-，22(1)
39(2)40(20)4002
n n n S n n n n -∴=+
⨯-=-+=--+，故当20n =时，n S 达到最大值400．故选：B ．
9．（2018秋•河南期中）数列{}n a 中，122n
n n
a a a +=+对所有正整数n 都成立且12a =，则(n a =)
A ．1n +
B ．
1n
C ．2n
D ．
2n
【解答】解：由于数列{}n a 中，122n
n n
a a a +=+，所以11112
n n a a +=+，即
1111
2
n n a a +-=（常数）
，所以数列1
{
}n
a 是以1112a =为首项，12为公差的等差数列．
所以
111(1)222n n
n a =+-=（首项符合通项）
，故2
n a n
=
．故选：D ．
10．（2018秋•河南期中）已知在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，60A ∠=︒
，b =，若此三角形有且只有一个，则a 的取值范围是(
)
A
．0a <<B ．6a =C
．a 6a =D
．0a < 【解答】解： 在ABC ∆中，60A ∠=︒
，b =∴
由正弦定理可得sin 6b A =
； 这样的三角形有且只有一个，6a ∴=
或a 故选：C ．
11．（2018秋•河南期中）已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =++，则下列描述正确的是()
A ．数列{}n a 去掉首项后剩下的各项成等差数列
B ．数列{}n a 为等差数列
C ．数列{}n a 去掉首项后剩下的各项成等比数列
D ．数列{}n a 为等比数列
【解答】解：数列{}n a 的前n 项和231n S n n =++，1n =时，115a S ==．
2n 时，22131[(1)3(1)1]22n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=+，
上式对于1n =时不成立，舍去．
因此数列{}n a 去掉首项后剩下的各项成等差数列．故选：A ．
12．（2012•南宁校级模拟）若11234(1)n n S n -=-+-+⋯+- ，173350S S S ++等于()
A ．1
B ．1
-C ．O
D ．2
【解答】解： 11234(1)n n S n -=-+-+⋯+- ，171234179S ∴=-+-+⋯+=，3312343317S =-+-+⋯+=，5012345025S =-+-+⋯-=-，173350917251S S S ∴++=+-=．
故选：A ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2018秋•河南期中）不等式20x ax b -+<的解集是(2,3)，则不等式210bx ax -->的解集是
1
(,)(1,)
6
-∞-+∞ ．
【解答】解： 不等式20x ax b -+<的解集是(2,3)，2∴和3为方程20x ax b -+=的两个根，则有2323a b +=⎧⎨⨯=⎩，解得56a b =⎧⎨=⎩
，
∴不等式210bx ax -->即为不等式26510x x -->，∴因式分解即可得(61)(1)0x x +->，
解得1
6
x <-或1x >，
∴不等式210bx ax -->的解集是1
(,(1,)6-∞-+∞ ．
故答案为：1
(,(1,)6
-∞-+∞ ．
14．（2008•重庆）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，128a =-，99S =-，则16S =
72-．
【解答】解：9191
()992
S a a =+⨯=-，又有1952a a a +=，
可得，51a =-，
由等差数列的性质可得，116512a a a a +=+，则1611651211
()16()167222
S a a a a =
+⨯=+⨯=-．15．（2014•兴庆区校级一模）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为
120︒
．
【解答】解：由2n S n =得221413a s s =-=-=，同理得35a =，47a =，3 ，5，7作为三角形的三边能构成三角形，
∴可设该三角形三边为3，5，7，令该三角形最大角为θ，
2223579254912352352
cos θ+-+-===-⨯⨯⨯⨯则，
又0180θ︒<<︒120θ∴=︒．
故答案为：120︒．
16．（2005•山东）设x ，y 满足约束条件5
32120304
x y x y x y +⎧⎪+⎪
⎨⎪⎪⎩ 则使得目标函数65z x y =+的值最大
的点(,)x y 是(2,3)．
【解答】解：约束条件5
32120304
x y x y x y +⎧⎪+⎪
⎨⎪⎪⎩ 对应的平面区域如下图示：
由图可知，当目标函数65z x y =+对应的直线经过点(2,3)时，目标函数65z x y =+有最大值，故答案为：(2,3)．
三、解答题（本小题共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
17．（10分）（2005•湖南）已知在ABC ∆中，sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos 20B C +=，求角A 、B 、C 的大小．
【解答】解： 由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=sin sin sin cos sin()0A B A B A B ∴+-+=．
sin sin sin cos sin cos cos sin 0A B A B A B A B ∴+--=．sin (sin cos )0B A A ∴-=．
因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，从而cos sin A A =．由(0,)A π∈，知4A π=
从而3
4
B C π+=．由sin cos 20B C +=得3
sin cos 2()04
B B π+-=．
即sin sin 20B B -=．亦即sin 2sin cos 0B B B -=．由此得1cos 2
B =，3B π∴=
，512
C π=．18．（12分）（2009•辽宁）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，3S ，2S 成等差数列．（1）求{}n a 的公比q ；（2）若133a a -=，求n S ．
【解答】解：（1）1S ，3S ，2S 成等差数列，可得3122S S S =+，
可得123122()2a a a a a ++=+，
即有2320a a +=，
3212
a q a ==-；（2）133a a -=，可得11134
a a -=，解得14a =，则1(1)1n n a q S q
-=-14(1())812[1()]1321()2
n n --==----．19．（12分）（2017春•太仆寺旗校级期末）解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<．
【解答】解：当0a =时，不等式的解为{|1}x x >；
当0a ≠时，分解因式1()(1)0a x x a
--<当0a <时，原不等式整理得：2110a x x a a +-
+>，即1(1)0x x a
-->，不等式的解为{|1x x >或1}x a <；当0a >时，原不等式整理得：2110a x x a a +-
+<，即1(1)0x x a --<，当01a <<时，11a <，不等式的解为1{|1}x x a <<；当1a >时，11a <，不等式的解为1{|1}x x a
<<；当1a =时，不等式的解为∅．
20．（12分）（2017秋•洛南县期末）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2
B C B C -=
．（1）求角A ；
（2
）若a =，4b c +=，求ABC ∆的面积．
【解答】解：（1）在ABC ∆中，1cos cos sin sin 2
B C B C -= ，1cos()2B C ∴+=，又0B C π<+< ，
3
B C π∴+=，A B C π++= ，
23
A π∴=；（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+- ，
得222()22cos
3b c bc bc π=+-- ，把4b c +=代入得：12162bc bc =-+，
整理得：4bc =，
则ABC ∆
的面积11sin 422S bc A ==⨯⨯．21．（12分）（2013•越秀区校级模拟）设数列{}n a 前n 的项和为n S ，且*(3)23()n n m S ma m n N -+=+∈．其中m 为常数，3m ≠-且0
m ≠（1）求证：{}n a 是等比数列；
（2）若数列{}n a 的公比满足()q f m =且*11131,()(2n n b a b f b n N -===∈，2)n ，求证1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求n b ．
【解答】解：（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23n n m S ma m ++-+=+，两式相减，得1(3)2n n m a ma ++=，(3)
m ≠-∴123
n n a m a m +=+，{}n a ∴是等比数列．
（2）由111b a ==，2()3
m q f m m ==+，n N ∈且2n 时，111233()223
n n n n b b f b b ---==+ 得1133n n n n b b b b --+=⇒
11113
n n b b --=．
∴1{}n
b 是1为首项13为公差的等差数列，∴112133
n n n b -+=+=，故有32n b n =+．22．（12分）（2007•山东）设数列{}n a 满足21*123333()3n n n a a a a n N -+++⋯+=
∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n n
n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】解：（1）211233333n n n a a a a -+++⋯+=
，①∴当2n 时，22123113333n n n a a a a ---+++⋯+=．②①-②，得1133n n a -=，所以1(2)3n n
a n = ，在①中，令1n =，得113a =
也满足上式．∴13
n n a =．（2） n n n b a =
，3n n b n ∴= ．23323333n n S n ∴=+⨯+⨯+⋯+ ．③23413323333n n S n +∴=+⨯+⨯+⋯+ ．④④-③，得12323(3333)n n n S n +=-+++⋯+ ，即13(13)2313
n n n S n +-=-- ．∴1(21)3344
n n n S +-=+．。