浙江2019年高考数学一轮基础复习讲义1

浙江2019年高考数学一轮复习讲义1
目录
第1讲集合 (3)
第2讲函数及其基本性质 (11)
第3讲基本初等函数 (23)
第4讲函数与方程 (35)
第5讲函数模型及其应用 (43)
第6讲空间几何体 (51)
第7讲空间点、直线、平面之间的位置关系 (62)
第8讲直线、平面平行的判定及性质 (74)
第9讲直线、平面垂直的判定及性质 (86)
第10讲直线与方程 (102)
第11讲圆与方程 (111)
第12讲任意角的三角函数和诱导公式 (122)
第13讲三角函数的图形和性质 (132)
第14讲平面向量基本概念、线性运算及坐标表示 (144)
第15讲平面向量的数量积 (154)
知识点一集合的概念
1．集合
一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．
2．元素
构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．3．空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
知识点二集合与元素的关系
1．属于
如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A.
2．不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.
知识点三集合的特性及分类
1．集合元素的特性
________、________、________.
2．集合的分类
(1)有限集：含有________元素的集合．
(2)无限集：含有________元素的集合．
3．常用数集及符号表示
名称非负整数集(自然数集)整数集实数集
符号N N*或N＋Z Q R
1．列举法
把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系
1．子集与真子集
定义符号语言图形语言(Venn图)
子集如果集合A中的________元素
都是集合B中的元素，我们就
说这两个集合有包含关系，称
集合A为集合B的子集
________(或
________)
真子集如果集合A⊆B，但存在元素
________，且________，我们
称集合A是集合B的真子集
________(或
________)
2.子集的性质
(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________．
(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________．
(3)如果A⊆B，B⊆C，则________．
(4)如果A B，B C，则________．
3．集合相等
定义符号语言图形图言(Venn图)
集合相等如果集合A是集合B的子集
(A⊆B)，且__________
______，此时，集合A与集
合B中的元素是一样的，因
此，集合A与集合B相等
A＝B
4.集合相等的性质
如果A⊆B，B⊆A，则A＝B；反之，________________________.
知识点六集合的运算
1．交集
自然语言符号语言图形语言
由___________________
_____________________
组成的集合，称为A与B
的交集
A∩B＝_________
2．并集
自然语言符号语言图形语言由_________________
_________________组
成的集合，称为A与B
的并集
A∪B＝_______________
3.交集与并集的性质
交集的运算性质并集的运算性质
A∩B＝________A∪B＝________
A∩A＝________A∪A＝________
A∩∅＝________A∪∅＝________
A⊆B⇔A∩B＝________ A⊆B⇔A∪B＝________
4.全集
在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________．
5．补集
文字语言对于一个集合A，由全集U中__________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________
符号语言∁U A＝________________ 图形语言
例1已知集合A＝{3,4,5,6}，B＝{a}，若A∩B＝{6}，则a等于()
A．3 B．4 C．5 D．6
例2已知集合A＝{1,2}，B＝{x|(x－1)(x－a)＝0，a∈R}，若A＝B，则a的值为() A．2 B．1 C．－1 D．－2
例3设全集U＝{2,3,4}，集合A＝{2,3}，则A的补集∁U A＝________.
例4已知集合A＝{1,2}，B＝{1，m,3}，如果A∩B＝A，那么实数m等于()
A．2 B．1 C．0 D．－1
例5已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x2＋2x－8>0}，则A∪B等于() A．(2,3] B．(－∞，4)∪[－2，＋∞)
C．[－2,2) D．(－∞，3]∪(4，＋∞)
例6如图，I为全集，M，P，S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()
A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S
例7若集合A＝{x|1≤3x≤81}，B＝{x|log2(x2－x)>1}，则A∩B等于()
A．(2,4] B．[2,4]
C．(－∞，0)∪(0,4] D．(－∞，－1)∪[0,4]
一、选择题
1．设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()
A．6 B．5 C．4 D．3
2．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－5x＋6≥0}，则下列结论中正确的是() A．A∩B＝B B．A∪B＝A
C．A⊆B D．∁R A＝B
3．已知集合A＝{3，a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于()
A．{2,3} B．{3,4} C．{2，2,3} D．{2,3,4}
4．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，P＝{x∈N|－1<x<3}，则P的补集∁U P等于() A．{4} B．{0,4} C．{3,4} D．{0,3,4}
5．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则A∩(∁U B)等于()
A ．{4,5}
B ．{2,4,5,7}
C ．{1,6}
D ．{3}
6．已知全集U ＝{－1,1,3}，集合A ＝{a ＋2，a 2＋2}，且∁U A ＝{－1}，则a 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．±1
7．已知A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则a 等于( ) A.13 B.15 C.13或15 D.13或15
或0 8．已知集合A ＝{x |x 2≥16}，B ＝{m }，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4) B ．[4，＋∞)
C ．[－4,4]
D ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
二、填空题
9．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0，x ∈N *}，则用列举法表示集合A ＝________.
10．设a ，b ∈R ，集合A ＝{1，a }，B ＝{x |x (x －a )(x －b )＝0}，若A ＝B ，则a ＝________，b ＝________.
11．设全集U ＝{x ∈Z |－2≤x ≤4}，A ＝{－1,0,1,2,3}，若B ⊆∁U A ，则集合B 的个数是________．
12．已知集合A ＝{x |x 2－x <0}，B ＝(0，a )(a >0)，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．
13．已知集合A ＝{x ||x －2|<a }，B ＝{x |x 2－2x －3<0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________．
答案精析
知识条目排查
知识点一
1．确定的不同的全体
2．每个对象
知识点二
1．属于∈
2．不属于∉
知识点三
1．确定性互异性无序性
2．(1)有限个(2)无限个
3．正整数集有理数集
知识点四
1．一一列举出来
2．共同特征
知识点五
1．任意一个A⊆B B⊇A x∈B x∉A
A B B A
2．(1)任何集合∅⊆A(2)A⊆A
(3)A⊆C(4)A C
3．集合B是集合A的子集(B⊆A)
4．如果A＝B, 则A⊆B，且B⊆A
知识点六
1．属于集合A且属于集合B的所有元素{x|x∈A，且x∈B} 2．所有属于集合A或属于集合B的元素{x|x∈A，或x∈B} 3．B∩A B∪A A A∅A A B
4．所有元素U
5．不属于集合A∁U A{x|x∈U，且x∉A}
题型分类示例
例1 D
例2A[∵A＝B，∴2∈B，则a＝2.]
例3{4}
解析 ∵全集U ＝{2,3,4}，集合A ＝{2,3}，∴∁U A ＝{4}． 例4 A [∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B . ∵A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}， ∴m ＝2，故选A.]
例5 B [由B 中不等式变形得 (x －2)(x ＋4)>0， 解得x <－4或x >2，
即B ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)． ∵A ＝[－2,3]，
∴A ∪B ＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)． 故选B.]
例6 C [图中的阴影部分是M ∩P 的子集，
不属于集合S ，属于集合S 的补集，即是∁I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩∁I S ，故选C.]
例7 A [A ＝{x |1≤3x ≤81} ＝{x |0≤x ≤4}，
B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}＝{x |x 2－x >2} ＝{x |x <－1或x >2}， ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤4}＝(2,4]．] 考点专项训练
1．B [∵集合A ＝{x |1≤x ≤5}，Z 为整数集， 则集合A ∩Z ＝{1,2,3,4,5}． ∴集合A ∩Z 中元素的个数是5， 故选B.]
2．C [由x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2. 又集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，∴A ⊆B ， 故选C.] 3．D 4.C
5．A [∁U B ＝{2,4,5,7}，A ∩(∁U B )＝{3,4,5}∩{2,4,5,7}＝{4,5}，故选A .] 6．A [因为全集U ＝{－1,1,3}， 集合A ＝{a ＋2，a 2＋2}，且∁U A ＝{－1}， 所以1,3是集合A 中的元素，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，a 2＋2＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋2＝3，
a 2＋2＝1，
由⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋2＝1，a 2＋2＝3，得a ＝－1. 由⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋2＝3，a 2＋2＝1，得a 无解， 所以a ＝－1，故选A.]
7．D [A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}， ∵B ⊆A ，∴B ＝∅或{3}或{5}， 若B ＝∅时，a ＝0； 若B ＝{3}，则a ＝1
3；
若B ＝{5}，则a ＝1
5.
故a ＝13或1
5
或0，故选D.]
8．D [∵集合A ＝{x |x 2≥16}＝{x |x ≤－4或x ≥4}， B ＝{m }，且A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ∴m ≤－4或m ≥4， ∴实数m 的取值范围是
(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故选D.] 9．{1,2} 10．0 1
解析 A ＝{1，a }，∵x (x －a )(x －b )＝0， 解得x ＝0或a 或b ， 若A ＝B ，则a ＝0，b ＝1. 11．4
解析 全集U ＝{x ∈Z |－2≤x ≤4}＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，A ＝{－1,0,1,2,3}，∁U A ＝{－2,4}， ∵B ⊆∁U A ，则集合B ＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}， 因此满足条件的集合B 的个数是4. 12．[1，＋∞)
解析 由x 2－x <0，解得0<x <1，∴A ＝(0,1)． ∵B ＝(0，a )(a >0)，A ⊆B ，∴a ≥1.
13．[3，＋∞)解析 由|x －2|<a ，可得2－a <x <2＋a (a >0)， ∴A ＝(2－a,2＋a )(a >0)．由x 2－2x －3<0，解得－1<x <3.B ＝(－1,3)．
∵B ⊆A ，则⎩
⎪⎨⎪⎧
2－a ≤－1，2＋a ≥3解得a ≥3.
知识点一函数的有关概念
知识点二两个函数相等的条件
1．定义域________．
2．________完全一致．
知识点三区间的概念及表示
1．一般区间的表示
设a，b∈R，且a<b，规定如下：
定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间
{x|a<x<b}开区间
{x|a≤x<b}半开半闭区间
{x|a<x≤b}半开半闭区间
2.特殊区间的表示
知识点四函数的表示方法
函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．
知识点五分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的________，那么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的________，值域是各段值域的________．
知识点六映射的概念
设A，B是两个________________，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的________________，在集合B中都有________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射．
知识点七函数的单调性
1．增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
2．函数的单调性：若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．
3．单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数；若函
数f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数；若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)>0，则
1
f(x)
为减(增)
函数．
知识点八函数的最大值、最小值
性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值．
知识点九 函数的奇偶性 1．函数奇偶性的概念
偶函数
奇函数
条件
对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 f (－x )＝f (x )
f (－x )＝－f (x ) 结论
函数f (x )是偶函数
函数f (x )是奇函数
2.性质
(1)偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
(2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反．
(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数．
例1 函数f (x )＝ln(x －3)的定义域为( ) A ．{x |x >－3} B ．{x |x >0} C ．{x |x >3}
D ．{x |x ≥3}
例2 下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )图象的是( )
例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 13x ，x >1，
－x 2－2x ＋4，x ≤1，则f (f (3))＝________，f (x )的单调递减区间是
________．
例4 已知函数f (x )＝x ＋a ＋|x －a |
2，g (x )＝ax ＋1，其中a >0，若f (x )与g (x )的图象有两个不同
的交点，则a 的取值范围是________．
例5 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a x (x <0)，
(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意的x 1<x 2都有f (x 1)>f (x 2)，求a 的取值范
围．
例6 已知函数f (x )＝1x －1－1
x －3
.
(1)设g (x )＝f (x ＋2)，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由； (2)求证：函数f (x )在[2,3)上是增函数．
例7 已知函数f (x )＝ax ＋
1x ＋1＋1x －1
，a ∈R . (1)判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当a <2时，证明：函数f (x )在(0,1)上单调递减．
例8设函数f(x)＝1
(|x－1|－a)2
的定义域为D，其中a<1.
(1)当a＝－3时，写出函数f(x)的单调区间(不要求证明)；
(2)若对于任意的x∈[0,2]∩D，均有f(x)≥kx2成立，求实数k的取值范围．
一、选择题
1．函数f(x)＝1－2x＋
1
x＋3
的定义域为()
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
2．下列四组函数中，表示同一个函数的是()
A．y＝－2x3与y＝x－2x
B．y＝(x)2与y＝|x|
C．y＝x＋1·x－1与y＝(x＋1)(x－1)
D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()
4．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)等于()
A．x＋1 B．2x－1
C．－x＋1 D．x＋1或－x－1
5．设集合A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ) A ．f ：x →y ＝1
2x
B ．f ：x →y ＝1
3x
C ．f ：x →y ＝1
4
x
D ．f ：x →y ＝1
6
x
6．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
7．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0
8．偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (4)＝f (1)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式x ·f (x )<0的解集为( ) A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(－1,0) C ．(－4，－1)∪(1,4)
D ．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4) 二、填空题
9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
1－1
2
x ，x ≥0，1
x ，x <0，
若f (a )＝a ，则实数a ＝________.
10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋2是定义在[1＋a,1]上的偶函数，则f (x )>0的解集为________． 11．若关于x 的不等式x 2－4x －a ≥0在[1,3]上恒成立，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题
12．已知函数f (x )＝1＋ax 2
x ＋b 的图象经过点(1,3)，并且g (x )＝xf (x )是偶函数．
(1)求函数中a 、b 的值；
(2)判断函数g (x )在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．
13．已知二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b 在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求f (x )的解析式；
(2)若b >1，g (x )＝f (x )＋mx 在[2,4]上为单调函数，求实数m 的取值范围．
答案精析
知识条目排查 知识点一
非空数集 唯一确定 从集合A 到集合B {f (x )|x ∈A } 知识点二 1．相同 2．对应关系 知识点三
1．[a ，b ] (a ，b ) [a ，b ) (a ，b ] 知识点五
对应关系 并集 并集 知识点六
非空的集合 任意一个元素x 唯一 知识点八
f (x )≤M f (x 0)＝M f (x )≥M f (x 0)＝M 题型分类示例 例1 C
例2 A [当x ＝0时，有两个y 值对应，故A 不可能是函数y ＝f (x )的图象．] 例3 5 [－1，＋∞) 解析 f (3)＝log 1
33＝－1，
∴f (f (3))＝f (－1)＝－1＋2＋4＝5， 当x ≤1时，f (x )＝－x 2－2x ＋4 ＝－(x ＋1)2＋5， 对称轴x ＝－1，
f (x )在[－1，1]上递减，当x >1时，f (x )递减， ∴f (x )在[－1，＋∞)上递减． 例4 (0,1)
解析 由题意得f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ，x >a ，
a ，x ≤a ，在平面直角坐标系内分别画出0<a <1，a ＝1，a >1时，函
数f (x )，g (x )的图象，
由图易得当f (x )，g (x )的图象有两个交点时，
有⎩
⎪⎨⎪⎧
0<a <1，
g (a )>a ，解得0<a <1，
a 的取值范围为0<a <1.
例5 解 由题意知，f (x )为减函数， ∴0<a <1且a －3<0且a 0≥(a －3)×0＋4a ， ∴0<a ≤1
4
.
例6 (1)解 ∵f (x )＝1x －1－1
x －3，
∴g (x )＝f (x ＋2)＝1x ＋1－1
x －1，
∵g (－x )＝1－x ＋1－1
－x －1
＝
1x ＋1－1x －1
＝g (x )， 又∵g (x )的定义域为{x |x ≠－1且x ≠1}， ∴y ＝g (x )是偶函数．
(2)证明 设x 1，x 2∈[2,3)且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝(1x 1－1－1x 1－3)－(1x 2－1－1
x 2－3)
＝
2(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)
(x 1－1)(x 1－3)(x 2－1)(x 2－3)
，
∵x 1，x 2∈[2,3)且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2－4>0，
(x 1－1)(x 1－3)(x 2－1)(x 2－3)>0， 综上得f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，
∴函数f (x )在[2,3)上是增函数． 例7 (1)解 因为f (－x )＝－ax ＋1－x ＋1＋1
－x －1
＝－(ax ＋1x －1＋1
x ＋1)
＝－f (x )，
又因为f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠－1且x ≠1}， 所以函数f (x )为奇函数．
(2)证明 任取x 1，x 2∈(0,1)，设x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a (x 1－x 2)＋
x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)＋x 2－x 1
(x 1＋1)(x 2＋1)
＝(x 1－x 2)[a －1(x 1－1)(x 2－1)－1
(x 1＋1)(x 2＋1)]
＝(x 1－x 2)[a －2(x 1x 2＋1)
(x 21－1)(x 22－1)]．
因为0<x 1<x 2<1，
所以2(x 1x 2＋1)>2,0<(x 21－1)(x 2
2－1)<1，
所以2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)>2>a ，
所以a －2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)
<0.
又因为x 1－x 2<0，所以f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0,1)上单调递减．
例8 解 (1)单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是[1，＋∞)． (2)当x ＝0时，不等式f (x )≥kx 2成立； 当x ≠0时，f (x )≥kx 2等价于 k ≤1
[x (|x －1|－a )]2. 设h (x )＝x (|x －1|－a )
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x [x －(1－a )]，0＜x ≤1，x [x －(1＋a )]，1＜x ≤2. ①当a ≤－1时，h (x )在(0,2]上单调递增， 所以0<h (x )≤h (2)， 即0<h (x )≤2(1－a )．
故k ≤
1
4(1－a )2
.
②当－1<a <0时，h (x )在(0，1－a 2]上单调递增，在[1－a
2，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
因为h (2)＝2－2a ≥(1－a )24＝h (1－a
2)．
即0<h (x )≤2(1－a )． 故k ≤
1
4(1－a )2
.
③当0≤a ＜1时，h (x )在(0，
1－a
2
]上单调递增， 在[1－a 2，1－a )上单调递减，在(1－a,1]上单调递减，
在[1,1＋a )上单调递增，在(1＋a,2]上单调递增， 所以h (1)≤h (x )≤max{h (2)，h (1－a
2)}且h (x )≠0.
因为h (2)＝2－2a >(1－a )24＝h (1－a
2)，
所以－a ≤h (x )≤2－2a 且h (x )≠0. 当0≤a ＜2
3时，因为|2－2a |＞|－a |，
所以k ≤1
4(1－a )2
；
当2
3≤a ＜1时，因为|2－2a |≤|－a |， 所以k ≤1
a
2，
综上所述，当a <23时，k ≤1
4(1－a )2；
当23≤a <1时，k ≤1
a 2. 考点专项训练
1．A [要使函数有意义，
则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ≥0，x ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤0，x >－3.
故－3<x ≤0.
即函数的定义域为(－3,0]，故选A.]
2．D [在A 选项中，前者的y 属于非负数，后者的y ≤0，两个函数的值域不同； 在B 选项中，前者的定义域x ≥0，后者的x ∈R ，定义域不同；
在C 选项中，前者定义域为x >1，后者为x >1或x <－1，定义域不同； 在D 选项中，两个函数是同一个函数，故选D.] 3．B
4．A [f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b ， f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2， 即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，k 2＝1， kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1. 则f (x )＝x ＋1，故选A.] 5．A 6.B 7.C
8．D [求x ·f (x )<0即等价于求函数在第二、四象限图象x 的取值范围．
∵偶函数f (x )(x ∈R )满足f (4)＝f (1)＝0， ∴f (4)＝f (－1) ＝f (－4)＝f (1)＝0，
且f (x )在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减与递增， 如图可知：即x ∈(1,4)时，函数图象位于第四象限， x ∈(－∞，－4)∪(－1,0)时，函数图象位于第二象限， 综上所述，x ·f (x )<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)， 故选D.] 9．－1或23
解析 当a ≥0时，f (a )＝1－1
2a ＝a ，
得a ＝23
；
当a <0时，1
a ＝a ，解得a ＝－1或1(舍去)．
∴a ＝－1或2
3.
10．(－1,1)
解析 ∵f (x )为定义在[1＋a,1]上的偶函数， ∴1＋a ＝－1，∴a ＝－2，
又f (－x )＝f (x )，即ax 2－bx ＋2＝ax 2＋bx ＋2，
∴2bx ＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－2x 2＋2. ∴由f (x )>0得，－2x 2＋2>0，
解得－1<x <1，∴f (x )>0的解集为(－1,1)． 11．(－∞，－4]
解析 若关于x 的不等式x 2－4x －a ≥0在[1,3]上恒成立， 则a ≤x 2－4x 在[1,3]上恒成立， 令f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，x ∈[1,3]， 对称轴x ＝2，开口向上， f (x )在[1,2)递减，在(2,3]递增， ∴f (x )min ＝f (2)＝－4，∴a ≤－4.
12．解 (1)∵函数g (x )＝xf (x )＝x ＋ax 3
x ＋b 是偶函数，
则g (－x )＝g (x )．
∴－x －ax 3－x ＋b ＝x ＋ax 3x ＋b 恒成立， 即x －b ＝x ＋b 恒成立，∴b ＝0. 又函数f (x )的图象经过点(1,3)， ∴f (1)＝3，即1＋a ＝3， ∴a ＝2.
(2)由(1)知g (x )＝xf (x )＝2x 2＋1， g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 设x 2>x 1>1，
则g (x 2)－g (x 1)＝2x 22＋1－2x 21－1
＝2(x 2－x 1)(x 2＋x 1)．
∵x 2>x 1>1，∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1)>0， ∴g (x 2)>g (x 1)，
∴函数g (x )在区间(1，＋∞)上是增函数． 13．解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a >0时，f (x )在[2,3]上单调递增，
故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2，f (3)＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧
2＋b ＝2，3a ＋2＋b ＝5， 所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝0.
②当a <0时，f (x )在[2,3]上单调递减，
故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝5，f (3)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧
2＋b ＝5，3a ＋2＋b ＝2， 所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3.
所以f (x )＝x 2－2x ＋2或f (x )＝－x 2＋2x ＋5. (2)因为b >1，所以f (x )＝－x 2＋2x ＋5，
所以g (x )＝－x 2＋(m ＋2)x ＋5在[2,4]上为单调函数， 故
m ＋22≤2或m ＋22
≥4， 所以m ≤2或m ≥6.
知识点一 根式 1．a 的n 次方根的定义
如果________，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. 2．a 的n 次方根表示
x ＝⎩⎨
⎧
n a ，n 为奇数，±n a ，n 为偶数.
3．根式
4．根式的性质(n >1，且n ∈N *) (1)n 为奇数时，n
a n ＝________. (2)n 为偶数时，
n
a n
＝________＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a (a ≥0)，
－a (a <0).
(3)n
0＝________.
(4)负数没有________方根．知识点二分数指数幂
正数的分数指数幂正数的正分数指数幂
规定：a－
m
n＝________(a>0，m，
n∈N*，且n>1)
正数的负分数指数幂
规定：a
m
n＝________(a>0，m，
n∈N*，且n>1)
规定0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________
知识点三指数幂的运算性质
1．有理数指数幂的运算性质
(1)a r a s＝________(a>0，r，s∈Q)；
(2)(a r)s＝________(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．
2．无理数指数幂的运算
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
知识点四指数函数及其性质
1．指数函数的定义
一般地，函数________(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中________是自变量，函数的定义域是________．
2．指数函数的图象和性质
a>10<a<1
图象
性质定义域R
值域
过定点________，即当x＝0时，y＝________单调性在R上是________ 在R上是________奇偶性非奇非偶函数
知识点五对数的概念
1．定义
一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以________为底________的对数．记作________________，a 叫做对数的________，N 叫做________． 2．特殊对数
⎩
⎪⎨⎪⎧
常用对数：以10为底数，记作lg N .自然对数：以e 为底数，记作ln N ，其中e`＝2.718 28…. 3．对数和指数的关系
当a >0，a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝________. 4．对数的性质
(1)负数和0没有对数．(2)log a 1＝0.(3)log a a ＝1. 知识点六 对数的运算 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0. (1)log a (M ·N )＝________________. (2)log a M
N ＝________________.
(3)log a M N ＝________(N ∈R )． (4)a log a N ＝N (对数恒等式)．
(5)对数的换底公式：log a b ＝________________(a >0，a ≠1，b >0，c >0，c ≠1)． 特别地，log a b ·log b a ＝1(a >0，a ≠1，b >0，b ≠1)． 知识点七 对数函数及其性质 1．对数函数的定义
一般地，我们把函数y ＝________(a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中________是自变量，函数的定义域是________． 2．对数函数的图象及其性质
a >1
0<a <1
图象
性质
定义域 (0，＋∞)
值域
R
过定点 过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0
函数值的变化
当0<x <1时，y <0，当
x >1时，y >0
当0<x <1时，y >0，当
x >1时，y <0
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
知识点八 指数函数和对数函数的关系
同底的指数函数与对数函数图象关于直线________对称，单调性________． 知识点九 幂函数 1．幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数，其中________是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象与性质
幂函数
y ＝x
y ＝x 2
y ＝x 3
y ＝1
2
x
y ＝x －
1
图象
定义域 值域 奇偶性
奇函数
单调性
在R 上是________
x ∈[0，＋∞)
______，x ∈(－∞，0] ______
在R 上是________
在[0，＋∞)上是增函数
x ∈(0，＋∞)____，x ∈(－∞，0)____
公共点 (1,1)
例1 对任意的正实数a 及m ，n ∈Q ，下列运算正确的是( ) A ．(a m )n ＝a m ＋
n B ．(a m )n ＝am n C ．(a m )n ＝a m －n D ．(a m )n ＝a mn
例2 设函数f (x )＝(2e )x ，g (x )＝(e
3)x ，其中e 为自然对数的底数，则( )
A ．对于任意实数x 恒有f (x )≥g (x )
B ．存在正实数x 0使得f (x 0)>g (x 0)
C ．对于任意实数x 恒有f (x )≤g (x )
D ．存在正实数x 0使得f (x 0)<g (x 0)
例3 函数f (x )＝2x ＋a (a ∈R )，若函数f (x )的图象过点(3,18)，则a 的值为________． 例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1
2，1)
C ．(0，1
2
)
D ．(1，＋∞)
例5 已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )
例6 幂函数f (x )＝(m 2－m －1)23
m m x
+-在(0，＋∞)上为增函数，则m ＝________.
例7 在同一平面直角坐标系中，函数y ＝f (x )的图象与y ＝e x 的图象关于直线y ＝x 对称，函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称．若g (m )＝－1，则m ＝________. 例8 已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． (1)若a ＝3，f (27
x )＝－5，求x 的值；
(2)若f (3a －1)>f (a )，求实数a 的取值范围；
(3)若函数f (x )在区间[a,2a ]上最大值是最小值的3倍，求a 的值．
例9 已知定义在R 上的奇函数f (x )＝a ·3x ＋3－
x ，a 为常数． (1)求a 的值；
(2)用单调性定义证明f (x )在[0，＋∞)上是减函数； (3)解不等式f (x －1)＋f (2x ＋3)<0.
一、选择题
1．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( ) A ．幂函数 B ．对数函数 C ．指数函数
D ．余弦函数
2．若log 32＝a ，则log 38－2log 36用a 表示为( ) A ．a －2 B ．a －1－a 2 C ．5a －2
D ．3a －2－a 2
3．设a ＝12
log 3，b ＝(1
3
)0.2，c ＝1
32，则( )
A ．a <b <c
B ．c <b <a
C ．c <a <b
D ．b <a <c
4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是单调增函数的是( ) A ．y ＝1
x
B ．y ＝|x |－1
C ．y ＝lg x
D ．y ＝(1
2
)|x |
5．对a (a >0且a ≠1)取不同的值，函数y ＝log a 2x ＋1
x －1
的图象恒过定点P ，则P 的坐标为( ) A ．(1,0) B ．(－2,0) C ．(2,0)
D ．(－1,0)
6．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与函数y ＝(1－a )x 的图象可能是( )
7．设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(－∞，0)上单调递减，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系是( ) A ．f (b －2)＝f (a ＋1)
B ．f (b －2)>f (a ＋1)
C ．f (b －2)<f (a ＋1)
D ．不能确定 二、填空题
8．已知幂函数f (x )的图象过点(2，1
4
)，则f (x )的单调减区间为________．
9．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (2)＝________. 10．若x ＋x －1
＝4，则1
2
x ＋12
x
-
＝________.
11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(12)x ，x ≥4，
f (x ＋1)，x <4，则f (lo
g 23)＝________.
12．函数f (x )＝log 2x ·
x )的最小值为________．
三、解答题
13．已知函数f (x )＝2x ＋k ·2－
x ，k ∈R . (1)若函数f (x )为奇函数，求实数k 的值；
(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，都有f (x )>2－
x 成立，求实数k 的取值范围．
答案精析
知识条目排查 知识点一 1．x n ＝a
3．根指数 被开方数 4．(1)a (2)|a | (3)0 (4)偶次 知识点二 n a m
1
a m n
0 没有意义 知识点三
1．(1)a r ＋
s (2)a rs (3)a r b r 知识点四 1．y ＝a x x R
2．(0，＋∞) (0,1) 1 增函数 减函数 知识点五
1．a N x ＝log a N 底数 真数 3．log a N 知识点六
(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)N log a M (5)log c b
log c a
知识点七
1．log a x x (0，＋∞) 知识点八 y ＝x 相同 知识点九 1．y ＝x α x
2．R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇函数 偶函数 非奇非偶 奇函数 增函数 递增 递减 增函数 递减 递减 题型分类示例 例1 D 例2 D 例3 10
解析 由题意可得f (3)＝23＋a ＝18，得a ＝10.
例4 B [因为a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0(a ≠1)，
所以a 2＋1>2a .
由log a (a 2＋1)<log a 2a 知，0<a <1.
又log a 2a <0＝log a 1，所以2a >1⇒a >12
. 综上所述，12
<a <1.故选B.] 例5 B [∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg ab ＝0，
即ab ＝1.
A 项，∵g (x )的定义域为{x |x >0}，
∴A 错误；
B 项，由图象知指数函数单调递增，
∴a >1，此时g (x )单调递增，满足条件；
C 项，由图象知指数函数单调递减，
∴0<a <1，此时g (x )单调递减，不满足条件；
D 项，由图象知指数函数单调递增，
∴a >1，此时g (x )单调递增，不满足条件．
故答案为B.]
例6 2
解析 由题意知m 2－m －1＝1，
解得m ＝2或－1，
当m ＝－1时，幂函数f (x )＝x －3在(0，＋∞)上为减函数，不合题意，舍去；
当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3在(0，＋∞)上为增函数，满足题意，∴m ＝2.
例7 －1e
解析 由题意，得f (x )＝ln x .
由于函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，
可得g (x )＝f (－x )＝ln(－x )，g (m )＝－1，
即ln(－m )＝－1，解得m ＝－e －1＝－1e
. 例8 解 (1)f (27x )＝log 3(27x
)＝－5， ∴27x ＝3－5，∴x ＝273－5＝33
3
－5＝38. (2)①若a >1，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数，
∴3a －1>a >1，解得a >1；
②若0<a <1，则f (x )在(0，＋∞)上是减函数，
∴0<3a －1<a ，解得13<a <12
. 综上，a 的取值范围是(13，12
)∪(1，＋∞)． (3)由题意知，当0<a <1时，
log a a ＝3log a 2a ，解得a ＝24
； 当a >1时，log a 2a ＝3log a a ，解得a ＝ 2.
∴a ＝24
或 2. 例9 解 (1)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，
∴f (0)＝0，即a ＋1＝0，解得a ＝－1.
(2)f (x )＝－3x ＋3－
x ，
设x 1>x 2≥0，
则f (x 1)－f (x 2)＝3x 2－3x 1＋3－x 1－3－x 2，
∵x 1>x 2≥0，∴－x 1<－x 2，
∴3x 2<3x 1，3－x 1<3－x 2，
即3x 2－3x 1<0,3－x 1－3－x 2<0，
∴f (x 1)－f (x 2)＝3x 2－3x 1＋3－x 1－3－x 2<0，
∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．
(3)∵f (x )是奇函数且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f (x )在R 上是减函数．
∵f (x －1)＋f (2x ＋3)<0，
∴f (2x ＋3)<－f (x －1)＝f (1－x )，
∴2x ＋3>1－x ，解得x >－23
. 考点专项训练
1．C
2．A [log 38－2log 36＝log 323－2(1＋log 32)
＝3a －2－2a ＝a －2.]
3．A [∵a ＝12log 3<12log 1＝0，
0<b ＝(13)0.2<(13
)0＝1， c ＝1
2
2>20＝1，∴c >b >a .]
4．B [对于A ，y ＝1x
为定义域上的奇函数，不满足题意； 对于B ，y ＝|x |－1是定义域R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是单调增函数，满足题意； 对于C ，y ＝lg x 是非奇非偶的函数，不满足题意；
对于D ，y ＝(12
)|x |是定义域上的偶函数，但在(0，＋∞)上单调递减，不满足题意． 故选B.]
5．B 6.C
7．C [由题意知f (－x )＝f (x )，
即log a |－x ＋b |＝log a |x ＋b |，
得b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，
再根据f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递减，
可得a >1，∴a ＋1>2－b ＝2，
由偶函数的性质可得，
f (x )＝lo
g a |x |在(0，＋∞)上单调递增，
∴f (a ＋1)>f (2－b )．]
8．(0，＋∞)
解析 设幂函数f (x )＝x α(α为常数)，
由题意可得，14＝2α，
解得α＝－2，∴f (x )＝1
x 2，
则f (x )的单调减区间为(0，＋∞)．
9．－1
解析 由题意可知，f (x )＝log a x ，
∵f (x )的图象过点(a ，a )，
∴a ＝log a a ，解得a ＝12，
∴f (2)＝12
log 2＝－1. 10. 6
解析 (1
2x ＋1
2x -)2＝x ＋2＋x －1＝6， 由题意知，1
2x >0，1
2x ->0. ∴1
2x ＋1
2x -＝ 6.
11.124
解析 ∵1<log 23<2，
∴f (log 23)＝f (log 23＋3)
又log 23＋3>4，
∴f (log 23)＝2log 331()
2＋ ＝18×13＝124
. 12．－14
解析 f (x )＝12
log 2x ·2log 2(2x ) ＝log 2x (1＋log 2x )，
设t ＝log 2x (t ∈R )，
则原函数可化为y ＝t (t ＋1)＝(t ＋12)2－14
，t ∈R ， 故该函数的最小值为－14
. 13．解 (1)因为f (x )＝2x ＋k ·2－x 是奇函数，
所以f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，
即2－x ＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x )，
所以(1＋k )2x ＋(k ＋1)2－x ＝0对一切x ∈R 恒成立，
所以k ＝－1.
(2)因为对x ∈[0，＋∞)均有f (x )>2
－x,
即2x ＋k ·2－x >2－x 成立，
所以1－k <22x 对x ≥0恒成立，
所以1－k <(22x )min (x ≥0)，
又y ＝22x 在[0，＋∞)上单调递增，
所以(22x )min ＝1，所以k >0.
知识点一 函数的零点
1．定义
对于函数y ＝f (x )，使________________叫做函数y ＝f (x )的零点．
2．几何意义
函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的________，就是函数y ＝f (x )的零点．
知识点二 函数的零点与方程的根的关系
方程f (x )＝0有________⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有________⇔函数y ＝f (x )有________． 知识点三 函数零点的判定
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )________，那么y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )________，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．
例1 函数f (x )＝x 2－|x |－6，则f (x )的零点个数为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
例2 已知实数a ，b 满足2a ＝3,3b ＝2，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( )
A ．(－2，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1,2)
例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m ，若函数g (x )＝f (x )－x 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．
例4 已知关于x 的方程2kx 2－2x －3k －2＝0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，求实数k 的取值范围．
例5 已知函数f (x )＝1x －a －1x －b (a ，b 为实常数且a <b )．设集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，N ＝{(x ，y )|y ＝λ(x －a ＋b 2
)2，λ∈R }．若M ∩N ＝∅，求λ的取值范围．
一、选择题
1．方程(13
)x ＝1
2x 有解x 0，x 0所在区间是( ) A ．(2,3)
B ．(1,2)
C ．(0,1)
D ．(－1,0) 2．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，1]
D ．[1，＋∞)
3．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．已知函数f (x )＝(x －1)(x －2)＋(x －2)(x －3)＋(x －3)(x －1)，则函数f (x )的两个零点分别位于区间( )
A ．(1,2)和(2,3)内
B ．(－∞，1)和(1,2)内
C ．(2,3)和(3，＋∞)内
D ．(－∞，1)和(3，＋∞)内
5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )
A ．{1,3}
B ．{－3，－1,1,3}
C ．{2－7，1,3}
D ．{－2－7，1,3}
6．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )
A ．a <b <c
B ．a <c <b
C ．b <a <c
D ．c <a <b
7．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．[2，＋∞)
C ．(0,1)
D ．(1,2)
二、填空题
8．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．
9．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x
的零点个数是________． 10．函数f (x )＝|x |＋k 有两个零点，则k 的取值范围是________．
三、解答题
11．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝log n (mx ＋1)的零点．
12．若函数F (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．
答案精析
知识条目排查
知识点一
1．f (x )＝0的实数x
2．横坐标
知识点二
实数根 交点 零点
知识点三
<0 ＝0
题型分类示例
例1 C [x >0时，x 2－x －6＝0，
解得x ＝－2或3，∴x ＝3；
当x <0时，x 2＋x －6＝0，
解得x ＝2或－3，∴x ＝－3；
∴f (x )的零点个数为2.]
例2 B [∵实数a ，b 满足2a ＝3,3b ＝2，
∴a ＝log 23>1,0<b ＝log 32<1，
∵函数f (x )＝a x ＋x －b ，
∴f (x )＝(log 23)x ＋x －log 32单调递增，
∵f (0)＝1－log 32>0，f (－1)＝log 32－1－log 32＝－1<0，
∴根据函数的零点判定定理得出函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间为(－1,0)．] 例3 [－1,2)
解析 由题意可得函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m ， 若它的图象和直线y ＝x 有3个不同的交点，
即直线y ＝x 和直线y ＝2有交点，
且y ＝x 2＋4x ＋2的图象和直线y ＝x 有两个交点，
即必须使函数y ＝2－x 有零点，
并且函数y ＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)有两个零点，
从而得到m <2并且m ≥－1.
故答案为[－1,2)．
例4 解 令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，
则由根的分布知函数f (x )的图象如图所示．
对应的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，f (1)<0或⎩
⎪⎨⎪⎧
k <0，f (1)>0， 即⎩
⎪⎨⎪⎧ k >0，2k －2－3k －2<0 或⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，2k －2－3k －2>0， 解得k >0或k <－4.
故k 的取值范围是
(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
例5 解 因为M ∩N ＝∅，
所以函数y ＝f (x )与y ＝λ(x －a ＋b 2
)2的图象无公共点， 即方程1x －a －1x －b
＝λ(x －a ＋b 2)2无实数根， 也即方程a －b ＝λ(x －a )(x －b )(x －a ＋b 2
)2(x ≠a 且x ≠b )(*)无实数解． ①当λ＝0时，(*)无解，显然符合题意．
②当λ≠0时，令y ＝(x －a )(x －b )(x －a ＋b 2
)2， 变形得
y ＝[(x －a ＋b 2)2－(a －b )24](x －a ＋b 2
)2. 又令t ＝(x －a ＋b 2
)2，得 y ＝t [t －(a －b )24
] ＝[t －(a －b )28]2－(a －b )464
. 于是当t ＝(a －b )28
， 即x ＝a ＋b 2±2(a －b )4
时，
有y min ＝－(a －b )464
. 所以，要使(*)无实数解，
只要a －b λ<－(a －b )464
， 解得0<λ<64(b －a )3
. 综上可得0≤λ<64(b －a )3
. 考点专项训练
1．C [令f (x )＝(13
)x －1
2x ， ∵f (0)＝1>0，f (1)＝－23
<0， ∴f (0)f (1)<0，
∴方程(13
)x ＝12x 的解所在区间为(0,1)．] 2．B 3.B
4．A [∵f (1)＝2>0，f (2)＝－1<0，f (3)＝2>0，
∴f (1)·f (2)<0，f (2)·f (3)<0，
则f (x )的两个零点分别位于区间(1,2)和(2,3)内．]
5．D [当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，令g (x )＝x 2－3x －x ＋3＝0，得x 1＝3，x 2＝1. 当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )，
∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x .
令g (x )＝－x 2－3x －x ＋3＝0，
得x 3＝－2－7，x 4＝－2＋7>0(舍)，
∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合是{－2－7，1,3}，故选D.]
6．B [由于f (－1)＝12－1＝－12
<0， f (0)＝1>0，且f (x )为R 上的递增函数．
故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1,0)；
∵g (2)＝0，∴g (x )的零点b ＝2；
∵h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12
<0，h (1)＝1>0， 且h (x )为(0，＋∞)上的增函数，
∴h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，
因此a <c <b .]
7．A [设函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，
则函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，
就是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点， 由图象可知当0<a <1时两函数只有一个交点，不符合条件． 当a >1时，∵函数y ＝a x (a >0)的图象过点(0,1)， 而直线y ＝x ＋a 所过的点(0，a )， 此点一定在点(0,1)的上方，
∴一定有两个交点，∴实数a 的取值范围是(1，＋∞)， 故选A.] 8．0或－1
2
解析 由题意知，f (2)＝0，即b ＝－2a ， ∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)＝0， ∴x ＝0或－1
2.
9．2
10．(－∞，0) 解析
在同一平面直角坐标系中画出y 1＝|x |与y 2＝－k 的图象，如图所示： 若f (x )有两个零点，必有－k >0，即k <0.
11．解 由题可知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2， 则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两个根，
可得⎩⎪⎨⎪⎧
1＋2＝－3(m ＋1)，1×2＝n ，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝－2，n ＝2，
所以函数y ＝log n (mx ＋1)的解析式为y ＝log 2(－2x ＋1)． 则log 2(－2x ＋1)＝0，解得x ＝0. 所以函数y ＝log 2(－2x ＋1)的零点为0. 12．解
若F (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点， 即方程|4x －x 2|＋a ＝0有四个根， 即|4x －x 2|＝－a 有四个根． 令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a . 则作出g (x )的图象，
由图象可知要使|4x －x 2|＝－a 有四个根， 则需g (x )的图象与h (x )的图象有四个交点， ∴0<－a <4，即－4<a <0， 故a 的取值范围为(－4,0)．
知识点一三种函数模型的性质
函数
性质
y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调________单调________单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳
图象的变化随x的增大逐渐表现
为与________平行
随x的增大逐渐表现
为与________平行
随n值变化而各
有不同
值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x 知识点二几类函数模型
函数模型函数解析式
一次函数模型f(x)＝ax＋b (a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型f(x)＝k
x＋b (k，b为常数且k≠0)
二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝ax n＋b (a，b为常数，a≠0)。