数学建模练习题

数学建模练习题
一、基础数学知识类
某企业生产两种产品，生产每吨产品A需耗用原料1吨、工
时4小时，生产每吨产品B需耗用原料2吨、工时3小时。

若企业每
月原料供应量为10吨，工时供应量为36小时，求该企业每月生产产
品A和产品B的数量。

某湖泊污染问题，已知污染物的降解速度与污染物浓度成正比，求污染物浓度随时间的变化规律。

计算由曲线y=x^2和直线x=2、y=0所围成的图形的面积。

二、统计分析类
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
某地区居民消费水平（y）与收入（x）之间的关系，数据如
下表所示，求出线性回归方程。

| 收入（x） | 消费水平（y） |
| | |
| 1000 | 800 |
| 1500 | 1200 |
| 2000 | 1600 |
| 2500 | 2000 |
| 3000 | 2400 |
三、优化方法类
某企业生产三种产品，产品A、B、C的单件利润分别为5元、4元、3元。

生产每吨产品A、B、C所需的原料分别为2吨、1吨、1
吨。

若企业每月原料供应量为10吨，求该企业每月生产产品A、B、C
的数量，使得总利润最大。

某企业生产两种产品，产品A、B的单件利润分别为10元、8元。

生产每吨产品A、B所需的工时分别为4小时、3小时。

若企业每
月工时供应量为120小时，求该企业每月生产产品A、B的数量，使得
总利润最大。

四、离散数学类
关系矩阵为：
| 1 0 1 0 |
| 0 1 0 1 |
| 1 0 1 0 |
| 0 1 0 1 |
A (3)>
B (4)> D
\ |
\ (2)
\ /
C (1)>
五、实际问题建模类
某城市交通拥堵问题，分析道路宽度、车辆数量、交通信号
等因素对交通拥堵的影响，建立数学模型。

某地区水资源分配问题，考虑农业、工业、生活用水等因素，建立数学模型，并提出合理的水资源分配方案。

六、运筹学方法类
一位背包客有最大负重为50公斤的背包，现有五种物品，每
种物品的重量和价值如下表所示。

问背包客应如何选择物品，使得背
包内物品的总价值最大？
| 物品 | 重量（公斤） | 价值（元） |
| | | |
| A | 10 | 60 |
| B | 20 | 100 |
| C | 30 | 120 |
| D | 40 | 140 |
| E | 50 | 160 |
某物流公司有5个仓库和4个配送中心，仓库与配送中心之
间的运输能力如下表所示。

求最大运输量及相应的运输方案。

| | 配送中心1 | 配送中心2 | 配送中心3 | 配送中
心4 |
| | | | | |
| 仓库1 | 100 | 200 | 150 | 50 |
| 仓库2 | 80 | 170 | 120 | 40 |
| 仓库3 | 120 | 180 | 160 | 60 |
| 仓库4 | 90 | 150 | 140 | 30 |
| 仓库5 | 60 | 100 | 80 | 20 |
七、数值计算类
计算∫(从0到π) sin(x) dx 的近似值。

给定函数 f(x) = e^x 在 x=0 处的导数值。

八、机器学习与数据挖掘类
| 天气 | 温度 | 湿度 | 风速 | 是否打篮球 |
| | | | | |
| 晴 | 热 | 高 | 弱 | 否 |
| 晴 | 热 | 高 | 强 | 否 |
| 阴 | 温和 | 高 | 弱 | 是 |
| 雨 | 温和 | 高 | 弱 | 是 |
| 雨 | 冷 | 正常 | 弱 | 否 |
| 阴 | 冷 | 正常 | 强 | 否 |
| 晴 | 温和 | 正常 | 强 | 是 |
| 晴 | 冷 | 高 | 弱 | 否 |
九、经济管理类
某企业生产两种产品，产品A和产品B。

生产每吨产品A的利
润为2000元，生产每吨产品B的利润为1500元。

企业每月的资源限
制如下：原材料不超过100吨，劳动力不超过400小时。

生产每吨产
品A需原材料2吨、劳动力20小时，生产每吨产品B需原材料1吨、
劳动力30小时。

求每月生产产品A和产品B的数量，使得总利润最大。

某银行有三个服务窗口，顾客到达率为每小时20人，每个窗
口的服务率为每小时10人。

求顾客平均等待时间和服务窗口的平均空
闲时间。

答案
一、基础数学知识类
1. 线性方程组求解：
设生产产品A的数量为x吨，产品B的数量为y吨。

解方程组：
\[
\begin{cases}
x + 2y \leq 10 \\
4x + 3y \leq 36
\end{cases}
\]
得到解为：x = 6, y = 2。

3. 积分计算：
面积S = ∫(从0到2) x^2 dx = [1/3 x^3] (从0到2) = (1/3 2^3) (1/3 0^3) = 8/3。

二、统计分析类
1. 数据统计：
均值 = (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20)
/ 10 = 11。

方差= [(211)^2 + (411)^2 + + (2011)^2] / 10 ≈ 28.5。

标准差= √方差≈ 5.34。

2. 线性回归分析：
线性回归方程为：y = 0.8x。

三、优化方法类
1. 线性规划：
设生产产品A的数量为x，产品B的数量为y，产品C的数量为z。

最大化：5x + 4y + 3z
约束条件：
\[
\begin{cases}
2x + y + z \leq 10 \\
x, y, z \geq 0
\end{cases}
\]
解得：x = 3, y = 4, z = 0。

2. 非线性规划：
设生产产品A的数量为x，产品B的数量为y。

最大化：10x + 8y
约束条件：
\[
\begin{cases}
4x + 3y \leq 120 \\
x, y \geq 0
\end{cases}
\]
解得：x = 18, y = 24。

四、离散数学类
1. 传递闭包：
传递闭包为：
| 1 1 1 1 |
| 1 1 1 1 |
| 1 1 1 1 |
| 1 1 1 1 |
2. 图论最短路径：
最短路径为：A > B > D，总权重为7。

五、实际问题建模类
1. 交通拥堵问题：
建立的数学模型可能包含变量如道路容量、车辆密度、信号
周期等。

2. 水资源分配问题：
建立的数学模型可能包含变量如农业需水量、工业需水量、
生活需水量等。

六、运筹学方法类
1. 动态规划：
背包客应选择物品A、B、C，总价值为280元。

2. 网络流理论：
最大运输量为530单位，具体运输方案需根据算法结果确定。

七、数值计算类
1. 数值积分：
∫(从0到π) sin(x) dx 的近似值为2。

2. 数值微分：
f'(0) = e^0 = 1。

八、机器学习与数据挖掘类
1. K均值聚类算法：
根据数据点的分布，聚类结果可能为两组：{(1, 2), (2, 2), (3, 3)} 和 {(5, 4), (7, 5), (8, 7), (9, 8)}。

2. 决策树算法：
决策树分类结果需根据算法构建的树进行分类。

九、经济管理类
1. 线性规划生产计划：
最大化利润的生产计划为：产品A生产10吨，产品B生产20吨。

2. 排队论分析：
顾客平均等待时间和服务窗口的平均空闲时间需通过排队论
公式计算得出，具体数值需计算。