高等代数-9第九章 欧几里得空间

3) ( , ) , ( , )
（线性性）
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. （非负性）
则称 ( , )为 和 的内积,称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
b
§1 定义与基本性质
线性性 ( k f lg , h) a k f ( x ) lg ( x ) h( x )dx
b
k f ( x )h( x )dx l g ( x )h( x )dx
a a
b
b
k ( f , h ) l ( g , h)
非负性 ( f , f ) f ( x ) f ( x ) dx f 2 ( x ) dx 0 a a 且 ( f , f ) 0 f ( x ) 0. 故( f , g) 为一内积, C (a , b) 构成欧氏空间.
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
b b
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质 设V为欧氏空间, , , , i V , k , l , ki R
1) ( , k ) k ( , ) 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , k l ) k ( , ) l ( , ) 4) ( k l , ) k ( , ) l ( , )
§1 定义与基本性质
例1 设A是一个n阶正定矩阵，在线性空间
R
n ' 1 2 n i
上,对任意向量 x1 , x2 , , xn , y1 , y2 ,, yn ,
' '
x , x ,, x x R, i 1,2,, n
n n i 1 j 1
| |2 2 | || | | |2
| | | |
3
§1 定义与基本性质
一. 欧几里得空间的定义
了解欧几里得空间的定义, 熟练掌握内积的 定义与运算性质
二. 欧几里得空间中向量的长度
了解长度的定义, 掌握柯西－布涅柯夫斯基 不等式、三角不等式
三. 欧几里得空间中向量的夹角
了解夹角、正交、距离的定义, 掌握勾股定理
四. n维欧几里得空间中内积的矩阵表示
k, l R
( k l , ) k ( , ) l ( , ).
§1 定义与基本性质(P360)
例2 C (a , b)为闭区间 [a , b] 上所有实连续函数所构 成的线性空间,对于函数 f ( x ), g( x ) C (a , b), 定义 ( f , g ) f ( x ) g ( x ) dx
（双线性性）
推广: ( , k1 1 k2 2 k s s )
k1 ( , 1 ) k2 ( , 2 ) k s ( , s )
5) (o, ) ( , o) 0
§1 定义与基本性质(P360)
二. 欧氏空间中向量的长度 欧氏空间V中, V , ( , ) 0 使得
故结论成立.
§1 定义与基本性质(P361)
当 o 时, 令 x ,
x R
构造函数 f ( x ) ( , ) ( x , x )
( , ) x( , ) x( , ) x 2 ( , ) ( , ) x 2 2( , ) x ( , )
或者 o , 此时 、 线性相关. 或者 f (x)与x轴有一个交点,且当 x0 , , ,
f ( x0 ) ( 0 , 0 ) ( x0 , x0 ) 0.
所以 0 x0 o, 故 、 线性相关.
长度 | a |


x x x aa
2 1 2 2 2 3
夹角 a , b arccos
x1 y1 x2 y2 x3 y3
2 2 2 2 x12 x2 x3 y12 y2 y3 ab arccos | a || b |
§1 定义与基本性质(P362)
3. 三角不等式 对欧氏空间中的任意两个向量 、 , 有
| || | | | .
| |2 ( , ) 证明
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2( , ) ( , )
( , ) 有意义.
1. 向量的长度的定义
V , | | ( , ) 称为向量 的长度.
特别地, 当 | | 1 时, 称 为单位向量. 注 (1) | | 0 且 | | 0 o.
(2) ( , ) | |2 .
§1 定义与基本性质(P361)
由内积的非负性, f ( x ) ( , ) 0, x R, f (x)为开口向上且与x轴最多只有一个交点的抛物线.
则判别式 4( , )2 4( , )( , ) 0,
即
( , )2 ( , )( , ), 结论成立.
§1 定义与基本性质(P362)
§1 定义与基本性质
例4 写出下列欧氏空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式. ' ' n (1) 在 R 上, x1 , x2 , , xn , y1 , y2 ,, yn ,
, x1 y1 x2 y2 xn yn .
解
x1 y1 x2 y2 xn yn
已知 2,1 , 4, 2 ,
' '
分别计算 | | 和 的单位化向量.
解 (1) | | 5, (2) | | 2.
1 1 ' ' 2 的单位化向量为 (1) 2,1 , (2) 2,1 . 2 5
§1 定义与基本性质(P361)
第九章 欧几里得空间(P359)
§1 定义与基本性质
§2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的距离─最小二乘法 §8 酉空间介绍
§1 定义与基本性质
具体的例子: R 3 ( x1 , x2 , x3 )' | xi R, i 1,2,3 ' 在解析几何中, a ( x1 , x2 , x3 ) , b ( y1 , y2 , y3 )' R 3 ,
3. 柯西－布涅柯夫斯基不等式
对欧氏空间V中任意两个向量 、 ,有
| ( , ) || || |
或
( , )2 ( , )( , )
且等号成立当且仅当 、 线性相关. 证明 当 o 时, ( , o) 0, | | 0
| ( , ) || || | 0.
§1 定义与基本性质
注1 同一线性空间V 上可以定义多个内积. 线性空间V 在不同的内积定义下构成不同的欧氏空间. 因此欧氏空间V的定义是和线性空间V以及V的 内积的定义紧密联系的. 因此欧氏空间也称为内积空间(Inner product space). 注2 线性性 2) ( k , ) k ( , ) 3) ( , ) , ( , ) 这两条等价于 , , V ,
定义 , ' A aij xi y j ,
(1)证明在这定义下 Rn 构成一个欧氏空间.
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(2)当 A=E 时写出内积的具体表达式.
称A =E 时定义的内积 , ' x1 y1 x2 y2 xn yn 为普通内积或按通常定义的内积.
内积 a b | a || b | cos a , b x1 y1 x2 y2 x3 y3
§1 定义与基本性质
并且内积 a b x1 y1 x2 y2 x3 y3
是 R 上的二元实函数且满足 : a , b, c R 3 , k R 1) a b b a 2) ( ka ) b k (a b ) 3) ( a b ) c a c b c 4) a a 0, 当且仅当 a o 时 a a 0.
§1 定义与基本性质
例3 在欧氏空间 R
2 ' 1 2 1
上,定义两种内积:
x1 , x2 , y1 , y2
'
x , x x , x R
2
'
(1) ( , ) x1 y1 x2 y2 ; (2) ( , ) x1 y1 x1 y2 x2 y1 4 x2 y2 .
了解欧几里得空间的内积的矩阵表示, 掌握度量矩阵
§1 定义与基本性质(P359)
一. 欧几里得空间的定义
1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间,在V上定义二 元实函数( , ) , 满足性质: , , V , k R
1) ( , ) ( , ) （对称性） 2) ( k , ) k ( , )
a b
证明 C (a , b) 对于( f , g)构成一个欧氏空间. 证明
f ( x ), g( x ), h( x ) C (a , b), k , l R
对称性 ( f , g ) f ( x ) g ( x ) dx
a
b
g ( x ) f ( x ) dx ( g , f ). a
下证 | ( , ) || || | 当且仅当 、 线性相关.
" " 若 、 线性相关,不妨设 k ,
易计算 | ( , ) || k | | | | || | .
2
" " 若 | ( , ) || || |, 由前面的证明过程知

2 2 2 2 2 2 x1 x2 xn y1 y2 yn
b
(2) 在 C (a , b) 上, ( f , g ) f ( x ) g( x ) dx
a
解
a
b
f ( x ) g( x ) dx
a
b
f ( x ) dx
2
a
b
g 2 ( x )dx
以上两不等式就是著名的柯西－施瓦茨不等式.
(3) | k || k || |, k R
(4) V , o, 为单位向量. | | 称 | | 为向量 的单位化向量.
(5) V , o,
当 k 0 时, k 与 有相同的单位化向量 | | 当 k 0 时, k 的单位化向量为 | |