2020年4月普通高考数学(北京卷)全真模拟卷(3)(原卷版)

2020年4月普通高考（北京卷）全真模拟卷（3）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡 皮
擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4 .测试范围：高中全部内容.
第一部分（选择题，共40分）
、选择题：本题共 10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.
P {x Z |0 x 3}, M {x Z |x 2
9},则 PI M
…
1+2i
b 为实数，若复数—— a
bi
0,a 上单调递减，那么实数 a 的最大值为（
集合 {1 ，
2} B. {0 ,1, 2} C. {x|0 wx<3} D. {x|0 & x< 3}
2.
A.
B. a
3,b 1 C. a D. a
1,b 3
3. 卜列函数中，既是偶函数又在区间
（0,+?）上单调递增的是
4. 函数y
lg x 2
⑵3)
5.
设A 2, A. (x 3)2 6. 将函数f
B. f x
xsin x
C. f
D. y
46 x 2
的定义域为（
B. (3, 4]
C. (2, 4]
D. (2 3) U ( 3, 4]
B 4,1，则以线段AB 为直径的圆的方程是（
_ 2
2
B. (x 3) y
C. (x
3)2 y 2
2 -2
D. (x 3)
y 2 8
cos2x 图象上所有点向左平移 一个单位长度后得到函数
g x 4
的图象，如果g x 在区间
7 . 一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是(
A .最长棱的棱长为 6Q
8 .最长棱的棱长为3
r r r r r r _ .. 8,设平面向量a,b,C 均为非零向量，则 a b c 0是
A .充分非必要条件
B.必要非充分条件
则在下列选项中，函数 f(x)通过的点的坐标是(
)
x N* 1 x 15 ,集合 A 1, A2, A 3满足:
② A U A 2 U A 3
集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合 A 的特征数，记为X i (i
能为()
第二部分(非选择题，共110分)
B. C.
D. 一
4
看《店｝建
阳
C.侧面四个三角形都是直角三角形
D.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形
C.充要条件
D.即不充分又不必要条件
9.若函数y f(x)满足：对任意正整数x,都有f(x 1)
f(x) 2,且函数f(x)的图象经过点M (1,1),
A. (4,6)
B. (4,7)
C.
(4,8) D. (4,9
)
①每个集合都恰有 5个元素;
A. 37
B. 39
C. 48
D. 57
二、填空题：本题共 6个小题，每小题5分，共30分.
,,,,x 2
11.设双曲线一 4
b 2
1(b 0)的一条渐近线方程为y fx,则该双曲线的离心率为
”的()
10.已知集合M
1,2,3),则X I X 2
X 3的值不可
2
12 .抛物线x 4y 的焦点坐标是 ,准线方程是
5
13,设常数a R ,如果 x 2
a 的二项展开式中x 项的系数为-80,那么a x
14 .在4ABC 中，AB 10, D 是BC 边的中点.若 AC 6, A 60 ,则AD 的长等于
若CAD 45, AC 6应，则4ABC 的面积等于
15 .已知下列命题:
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得 四、
解答题：本大题共 6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16 .（本小题14分）
如图，在四棱柱 ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1平面ABCD ,底面ABCD 满足AD // BC,且
AB AD AA 2, BD DC 2 2.
（I ）求证：AB 平面ADD I A;
（II ）求直线AB 与平面BCD 1所成角的正弦值.
①函数f (x) lg(x 2 1）在（，0］上单调递减，在（0,）上单调递增;
②若函数f (x) |2x
1| a 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（0,1）;
③函数f(x) sin x
5
c0sx
在［―,-^―］上单倜递减;
④当x 1
时，函数f （x ） x 1
，— 一
—的最大值为0 .
x 1
上述命题正确的是
（填序号）.
5分，不选或者选错得 0分，其他得3分.
17.(本小题14分)
在①a3 5, a? a s 6b2 ;②b2 2, a3 a43b3 ；③S3 9, a4a58b2,这三个条件中任选一个,
补充在下面问题中，并解答.
已知等差数列a n的公差为d d 1 ,前n项和为S n,等比数列b n的公比为q,且a i 6, d q,
(1)求数列a n , b n的通项公式. a n
(2)记C n —,求数列C n ,的前n项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.(本小题14分)
2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得
成绩(单位：分)统计结果用茎叶图记录如下:
5
(I)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(II)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学
期望;
(III )为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选
取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90% .根据
图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值.(结论不要求证明)
19.(本小题15分)
已知函数f (x) sin x In x .
(i)求曲线y f(x)在点M( f(_))处的切线方程；2 2
(I)证明：函数f (x)在区间(1,3)上存在唯一的极大值点;
(I)证明：函数f (x)有且仅有一个零点.
20.(本小题14分)
已知椭圆C：与L 1 a> J2的离心率为—,左、右顶点分别为A, B,点M是椭圆C上异于A, B a 2 2 的一点，直线AM与y轴交于点P.
(I)若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；
(I)设椭圆C的右焦点为F,点Q在y轴上，且/ PFQ=90°,求证：AQ//BM.
21.(本小题14分)
设数组G (a i, a2, L , a2n i) , n 2 , a i N (i 1,2,L ,2n 1),数a i称为数组G的元素.对于数组G , 规定：
①数组G中所有元素的和为S(G) a1 a2, L a2n 1 ；
②变换f , f将数组G变换成数组f(G)［受21］,［》］,L ,［如/1］,其中x表示不超过x的最
大整数；
③若数组M (bi, b2, L , b2n i),则当且仅当a i b i (i 1,2,L ,2n 1)时，G M .
如果对数组G中任意2n个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组n个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组G具有f质P .
(I)已知数组A (1,1,1,1,1), B (1,4,7,10,13),计算f (A) , f(B),并写出数组A, B是否具有性质P； (I)已知数
组G具有性质P,证明：f(G)也具有性质P;
G具有性质P的充要条件是a1 =和=L = a2nl.
(I)证明：数组。