九年级数学中考复习专题：反比例函数综合（考察坐标、取值范围、面积等）（一）

九年级数学中考复习专题：反比例函数综合（考察坐标、取值
范围、面积等）（一）
2021年九年级数学中考复习专题：
反比例函数综合（考察坐标、取值范围、面积等）（一）
1．如图，已知直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18＝0的一个根，OB＝OA．请解答下列问题：
（1）求点A，B的坐标；
（2）直线EF交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线AB于点C．若C是EF的中点，OE＝6，反比例函数y＝图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作CD⊥OE，垂足为D，点M在直线AB上，点N在直线CD上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，四边形OACB为平行四边形，OA＝m，cos∠AOB＝，反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内过点A，且经过BC边的中点F，连接AF，OF．
（1）当m＝10，即OA＝10时，求反比例函数的表达式；
（2）设△OAF的面积为S，求S关于m的函数表达式；
（3）证明：△OAF∽△AFC
3．定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如：y＝+1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝的图象，则y＝+1是y与x的“反比例平移函数”．（1）若（x+3）（y+2）＝8，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”？
（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3），点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”y＝的图象经过B、E两点，则这个“反比例平移函数”的表达式为；
这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式．
（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点（P在Q的右侧），若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．
4．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E 为AD中点，双曲线y＝经过C、D两点．
（1）a＝，b＝；
（2）求D点的坐标；
（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q的坐标；
（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT 的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF 上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y＝（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．
（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；
（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．
6．定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM?ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB 的“相关角”．
（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°＜α＜90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；
（3）如图3，C是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点C
的直线CD分别交x 轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标．7．如图，已知Rt△ABO，点B在x轴上，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝，反比例函数的图象经过OA的中点C，交AB于点D．（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△OCD的面积；
（3）点P是x轴上的一个动点，请直接写出使△OCP为直角三角形的点P坐标．
8．如图1，已知点A（﹣1，0），B（0，﹣2），C、D均为双曲线y＝上一点，连接AD与y轴交于点E，且E为AD中点，其坐标为（0，2）．
（1）求k的值；
（2）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT 的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF 上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
9．如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y＝（m＞0，x＞0）图象上的两点，一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，与y轴、
x轴分别交于点B和点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA、OD，已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE ＝3：4．（1）求S△OAB与反比例函数解析式；
（2）已知点P（6，0）在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2），AC的垂直平分线分别交BC，OA于点D，E，过点D的反比例函数的图象交AB于点F．
（1）求反比例函数的表示式；
（2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
（3）连接OD，在反比例函数图象上存在点G，使∠ODG＝90°，直接写出点G的坐标．
参考答案
1．解：（1）∵线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18＝0的一个根，解得：x＝9或﹣2（舍），而点A在x轴正半轴上，
∴A（9，0），
∵OB＝OA，
∴B（0，），
（2）∵OE＝6，
∴E（﹣6，0），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，将点A和B的坐标代入，
得：，解得：，
∴AB的表达式为：，
∵点C是EF的中点，
∴点C的横坐标为﹣3，代入AB中，y＝6，
则C（﹣3，6），
∵反比例函数经过点C，
则k＝﹣3×6＝﹣18；
（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，
在四边形DM1P1N1中，
M1和点A重合，
∴M1（9，0），
此时P1（9，12）；
在四边形DP3BN3中，可知M在直线y＝x+3上，
联立：，
解得：，
∴M（1，4），
∴P3（1，0），
同理可得：P2（9，﹣12），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
点P的坐标为P1（9，12），P2（9，﹣12），P3（1，0），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．
2．解：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA?cos∠AOB＝m，同理AM＝m，
故点A（m，m），
k ＝m2＝100；
（2）过点F作y轴的平行线交x轴于点H，交AC于点G，
∵四边形OACB为平行四边形，则∠AOB＝∠CBH＝∠α，
则△AMO∽△GHB，点F是BC的中点，
则相似比为：2：1，点A（m，m），
则FH＝AM＝m，
即点F的坐标为：（2m，m），
BH＝OM＝m，
∵BF＝CF，AC∥x轴，∴∠C＝∠CBH，
而∠HFC＝∠BFH，
∴△GFC≌△HFB（AAS）
则GC＝BH＝m，则点C（m，m）；
AC＝m﹣m＝m＝OB，
S＝S
＝OB×y C＝m2；
ACBO
（3）∵OA∥BC，
∴∠AFC＝∠FAO，设α＝∠AOB，cosα＝，
∵点A（m，m）、点F（2m，m）、点C（m，m）；
则OA?FC＝m×＝m2，而AF2＝m2＝OA?FC，
故：△OAF∽△AFC．
3．解：（1）（x+3）（y+2）＝8，则y＝﹣2，
该函数图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到y＝的图象，
故：函数是“反比例平移函数”；
（2）如图1中，点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3），点D是OA的中点，则
点D（，0），
设HE＝x，
tan∠BOA＝＝，则OH＝3x，tan∠CDO＝＝，则DH＝，
OD＝OH+HD＝＝，解得：x＝1，故点E（3，1），
将B、E的坐标代入y＝得：，解得：，
故这个“反比例平移函数”的表达式为：y＝2+，
故变换后的反比例函数表达式为y＝，
故答案为：y＝2+，y＝；
（3）如图2，当点P在点B左侧时，
设线段BE的中点为F，由反比例函数中心对称性，四边形PEQB 为平行四边形．
∵四边形PEQB的面积为16，∴S△PFE＝4，
∵B（9，3），F（6，2）．
y＝是y＝的“反比例平移函数”，
S△PFE＝S△POE＝4，点E的坐标是：（3，1）
过E作x轴的垂线，与BC、x轴分别交于M、N点．
S△OP1E＝S四边形ONMC﹣S△OCP1﹣S△MP1E﹣S△ONE．
设P1（m，n），
3n﹣mn﹣1×3﹣（n﹣1）（3﹣m）＝4，解得：3n﹣m＝8，而mn＝3，故m＝1，n＝3，故：P1（1，3），
∴点P的坐标为（7，5）．
当点P在点B右侧时，同理可得点P的坐标为（15，），
综上，点P的坐标为：（7，5）或（15，）．
4．解：（1）∵+（a+b+3）2＝0，且≥0，（a+b+3）2≥0，∴，解得：．
故答案是：﹣1；﹣2；
（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），
∵E为AD中点，
∴x D＝1，
设D（1，t），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C（2，t﹣2）．
∴t＝2t﹣4．
∴t＝4．
∴D（1，4）；
（3）∵D（1，4）在双曲线y＝上，
∴k＝xy＝1×4＝4．
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，），
①当AB为边时：如图1所示：
若ABPQ为平行四边形，则＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；如图2所示：
若ABQP为平行四边形，则＝，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；
②如图3所示：
当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴＝，解得x＝﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
综上所述，Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；（4）如图4，连接NH、NT、NF，
∵MN是线段HT的垂直平分线，
∴NT＝NH，
∵四边形AFBH是正方形，
∴∠ABF＝∠ABH，
在△BFN与△BHN中，
，
∴△BFN≌△BHN（SAS），
∴NF＝NH＝NT，
∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
所以，∠ATN+∠AHN＝180°，所以，四边形ATNH内角和为360°，
所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°．
∴MN＝HT，
∴＝．
即的定值为．
5．解：（1）当m＝1时，点A（﹣3，1），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣3×1＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
∵点B（n，2）在反比例函数y＝﹣图象上，
∴2n＝﹣3，
∴n＝﹣，
设直线AB的解析式为y＝ax+b，则，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x+3；
（2）如图，过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过点A作AF⊥BN于F，交BE于G，
则四边形AMNF是矩形，
∴FN＝AM，AF＝MN，
∵A（﹣3，m），B（n，2），
∴BF＝2﹣m，
∵AE＝2﹣m，
∴BF＝AE，
在△AEG和△BFG中，，
∴△AEG≌△BFG（AAS），
∴AG＝BG，EG＝FG，
∴BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，
∵点A（﹣3，m），B（n，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣3m＝2n，
∴m＝﹣n，
∴BF＝BN﹣FN＝BN﹣AM＝2﹣m＝2+n，MN＝n﹣（﹣3）＝n+3，
∴BE＝AF＝n+3，
∵∠AEM+∠MAE＝90°，∠AEM+∠BEN＝90°，
∴∠MAE＝∠NEB，
∵∠AME＝∠ENB＝90°，
∴△AME∽△ENB，
∴＝＝＝＝，
∴ME＝BN＝，
在Rt△AME中，AM＝m，AE＝2﹣m，根据勾股定理得，AM2+ME2＝AE2，∴m2+（）2＝（2﹣m）2，
∴m＝，
∴k＝﹣3m＝﹣，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣．
6．（1）证明：∵∠AOB＝60°，P为∠AOB的平分线上一点，∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝30°，
∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°，
∴∠OMP+∠MPO＝150°，
∵∠MPN＝150°，
∴∠MPO+∠OPN＝150°，
∴∠OMP＝∠OPN，
∴△MOP∽△PON，
∴，
∴OP2＝OM?ON，
∴∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相关角”，
∴OM?ON＝OP2，
∴，
∵P为∠AOB的平分线上一点，
∴∠MOP＝∠NOP＝α，
∴△MOP∽△PON，
∴∠OMP＝∠OPN，
∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣α，即∠MPN＝180°﹣α；
过点M作MH⊥OB于H，如图2，
则S△MON＝ON?MH＝ON?OM sinα＝OP2?sinα，∵OP＝3，∴S△MON＝sinα；
（3）设点C（a，b），则ab＝4，
过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；
Ⅰ、当点A在x轴的负半轴上，如图3所示：
BC＝3CA不可能，
Ⅱ、当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示：
∵BC＝3CA，
∴＝，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴＝，
∴
∴OB＝4b，OA＝a，
∴OA?OB＝a?4b＝ab＝，
∵∠APB是∠AOB的“相关角”，
∴OP2＝OA?OB，
∴OP＝＝＝，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（，）；
②当点B在y轴的负半轴上时，如图5所示：∵BC＝3CA，
∴AB＝2CA，
∴＝，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴＝，
∴＝
∴OB＝2b，OA＝a，
∴OA?OB＝a?2b＝ab＝，
∵∠APB是∠AOB的“相关角”，
∴OP2＝OA?OB，
∴OP＝＝＝，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（，﹣）；
综上所述：点P的坐标为：（，）或（，﹣）．
7．解：（1）如图，过点C作CE⊥OB于E．则∠OEC＝90°，∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝2，
∴AB＝OB＝2，
∵点C是OC的中点，
∴OC＝AC，
∵∠ABO＝90°，∠OEC＝90°．
∴CE∥AB，。