2019-2020学年福建省泉州市石狮市八年级(上)期末数学试卷 及答案解析

2019-2020学年福建省泉州市石狮市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 下列表示无理数的是( )
A. √4
B. √−83
C. √643
D. π−1
2. 已知m =√4+√7，则以下对m 的估算正确的是( )
A. 3<m <4
B. 4<m <5
C. 5<m <6
D. 6<m <7
3. 下列计算正确的是( )
A. (−2a)2=2a 2
B. a 6÷a 3=a 2
C. −2(a −1)=2−2a
D. a ⋅a 2=a 2
4. 计算(x −4)(x +1)的结果是( )
A. x 2−3x +4
B. x 2−3x −4
C. x 2+3x +4
D. x 2+3x −4
5. 因式分解4−4a +a 2正确的是( )
A. (2−a)2
B. (2+a)2
C. (2−a)(2+a)
D. 4(1−a)+a 2
6. 如图是某手机店2019年1−5月份手机销售额统计图．根据图中信息，可以判断相邻两个月手
机销售额变化最大的是( )
A. 1−2月
B. 2−3月
C. 3−4月
D. 4−5月
7. 如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼
成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立( )
A. (a−b)2=a2−2ab+b2
B. a(a+b)=a2+ab
C. (a+b)2=a2+2ab+b2
D. (a−b)(a+b)=a2−b2
8.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，下列结
论不正确的是()
A. BE=CE
B. AD⊥BC
C. AE=BE
D. △BED≌△CED
9.已知，在△ABC中，BC>AB>AC.根据图中的作图痕迹及作法，下列结论一定成立的是()
作法：分别以点A，B为圆心，以大于AB的一半为半径画弧，两弧分别交于点M，N，连接MN 交BC于点P，连接AP．
A. AP⊥BC
B. ∠APC=2∠ABC
C. AP=CP
D. BP=CP
10.在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH
绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结
AB，②AE2+BF2=EF2，③S四边形CEDF=
论①AE+BF=√2
2
1
S△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是()
2
A. ①②④
B. ①②③
C. ①③④
D. ①②③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.16的平方根是__.
12.计算(15x3y−5x)÷5x=_____．
13.计算2×(−3)2−33−6÷(−2)等于______ ．
14.如下表是某校七年级(10)班共40位同学身高情况的频数分布表，则表中的组距是_____，身高
最大值与最小值的差至多是______cm．
组别(cm)145.5～152.5152.5～159.5159.5～166.5166.5～173.5频数(人)919148
15.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代
赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1=S2，则n
的值为______．
m
16.如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕
点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′.若BP的长为整数，则AP=
______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
17.如图(1)，Rt△AOB中，∠A=90°,∠AOB=60°,OB=2√3，∠AOB的平分线OC交AB于C，过
O点作与OB垂直的直线ON.动点P从点B出发沿折线BC−CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO−ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
(1)求OC、BC的长；
(2)设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)当P在OC上Q在ON上运动时，如图(2)，设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为
等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
四、解答题（本大题共8小题，共76.0分）
3−|−6|
18.计算√9+23÷√8
(12xy−6xy2)，其中x=1，y=−1．
19.先化简，再求值：4(xy2−xy)−1
3
20.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，
垂足分别为点E，F，且DE=DF.求证：△ABC是等边三角形．
21.求证：等腰三角形的两底角相等．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
22.已知一个长方形，若它的长增加4cm，宽减少1cm，则面积保持不变；若它的长减少2cm，宽
增加1cm，则面积仍保持不变。

求：这个长方形面积。

23.为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取
部分学生的比赛成绩，根据成绩(成绩都高于50分)，绘制了如下的统
计图表(不完整)：
组别分数人数
第1组90<x≤1008
第2组80<x≤90a
第3组70<x≤8010
第4组60<x≤70b
第5组50<x≤603
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求出a，b的值；
(2)计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；
(3)若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？
24.阅读下列材料：“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方
式．例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1，∵(x+2)2≥0，∴(x+2)2+1≥1，∴x2+4x+5≥1.试利用“配方法”解决下列问题：
(1)填空：x2−6x+10=(x)2+；
(2)已知x2−6x+y2+2y+10=0，求x+y的值；
(3)比较代数式：a2−1与2a−3的大小．
25.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在
△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
(1)求证：BE=CF；
(2)在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；
②DE=DN．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．.根据无理数的定义可得答案．
解：A．√4=2，是有理数；
3=−2，是有理数；
B.√−8
3=4，是有理数；
C.√64
D.π−1，是无理数．
故选D．
2.答案：B
解析：
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√7的取值范围是解题关键．
直接化简二次根式，得出√7的取值范围，进而得出答案．
解：∵m=√4+√7=2+√7，
又∵2<√7<3，
∴4<2+√7<5
∴4<m<5，
故选B．
3.答案：C
解析：[分析]
根据单项式乘以单项式，幂的乘方和积的乘方，合并同类项法则，单项式除以单项式，同底数幂的除法分别求出每个式子的值，再判断即可．
[详解]
选项A，原式=4a2；
选项B，原式=a3；
选项C，原式=−2a+2=2−2a；
选项D，原式=a3．
故选C．
[点睛]
本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方和积的乘方，合并同类项法则，单项式除以单项式，同底数幂的除法等知识点，能分别求出每个式子的值是解此题的关键．
4.答案：B
解析：解：(x−4)(x+1)=x2−3x−4，
故选：B．
原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.答案：A
解析：
本题考查的是因式分解有关知识，利用公式法直接进行分解即可．
解：原式=(2−a)2．
故选A．
6.答案：C
解析：
本题主要考查折线统计图所反映数量之间的关系，从统计图中获取相关的数据并对数据进行计算分析．
分别求出相邻两个月的销售量的差，做出判断．
解：1−2月的差：30−23=7，2−3月的差：30−25=5，3−4月的差：25−15=10，4−5月份的差：19−15=4，因此销售额变化最大的是3−4月份，
故选：C．
7.答案：D
解析：解：由题意这两个图形的面积相等，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：D．
根据面积相等，列出关系式即可．
本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，能根据根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键．
8.答案：C
解析：解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴BD=DC，AD⊥BC，
∴BE=CE，∠EDB=∠EDC=90°，
在△BED和△CED中，
{DE=DE
∠EDB=∠EDC BD=DC
，
∴△BED≌△CED(SAS)，即选项A、B、D都正确；
根据已知不能推出AE=BE，即选项C错误；
故选C．
根据等腰三角形的性质推出BD=DC，AD⊥BC，推出BE=CE，∠EDB=∠EDC=90°，根据SAS 推出△BED和△CED全等即可．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
9.答案：B
解析：
此题考查垂直平分线的性质与三角形外角性质，解决的关键是熟练掌握这两条性质．
解：根据题意可知MN是AP的垂直平分线，则可得AP=BP，∠ABP=∠BAP，
可判断选项ACD都不正确，
再根据三角形性质可得∠APC=2∠ABC，故B选项是正确的．
故选B．
10.答案：D
解析：解：连接CD，∵AC=BC，点D为AB中点，∠ACB=90°，
∴AD=CD=BD=1
2
AB.∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°．∴∠ADE+∠EDC=90°，
∵∠EDC+∠FDC=∠GDH=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△ADE和△CDF中，{∠A=∠DCB
AD=CD
∠ADE=∠CDF
，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF，DE=DF，S△ADE=S△CDF．∵AC=BC，
∴AC−AE=BC−CF，
∴CE=BF．
∵AC=AE+CE，
∴AC=AE+BF．
∵AC2+BC2=AB2，
∴AC=√2
2
AB，
∴AE+BF=√2
2
AB．
∵DE=DF，∠GDH=90°，
∴△DEF始终为等腰直角三角形．
∵CE2+CF2=EF2，
∴AE2+BF2=EF2．
∵S
四边形CEDF
=S△EDC+S△EDF，
∴S
四边形CEDF =S△EDC+S△ADE=1
2
S△ABC．
∴正确的有①②③④．
故选D．
连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE=CF，进而得出CE=BF，就有AE+BF=AC，由勾股定理就可以求出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明△ADE≌△CDF是关键．
11.答案：±4
解析：
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
直接根据平方根的定义求解即可．
解：∵(±4)2=16，
∴16的平方根是±4.
故答案为：±4；
12.答案：3x2y−1
解析：
此题主要考查了整式除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用整式除法运算法则计算得出答案．
解：(15x3y−5x)÷5x
=3x2y−1．
故答案为3x2y−1．
13.答案：−6
解析：
原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式=2×9−27+3=18−27+3=−6，
故答案为：−6．
14.答案：7cm，27
解析：
本题考查了频数(频)分别表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表；决定组距与组数(组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组．计算每一组两个端点的差即得组距，由于最大值在第四组，可能为173cm，最小值在第1组，可能为146cm，所以最大值与最小值的差至多为27．
解：152.5−145.5=7，则组距为7cm，
最小值可能为146cm，最大值可能为173cm，
所以身高最大值与最小值的差至多是27cm．
故答案为7cm，27．
15.答案：√3−1
2
解析：解：设直角三角形另一条直角边为x，依题意有
2x2=1
2
m2，
解得x=1
2
m，
由勾股定理得(1
2m)2+(n+1
2
m)2=m2，
m2−2mn−2n2=0，
解得m1=(1−√3)n(舍去)，m2=(1+√3)n，
则n
m 的值为√3−1
2
．
故答案为：√3−1
2
．
可设直角三角形另一条直角边为x，根据S1=S2，可得2x2=1
2m2，则x=√2
2
m，再根据勾股定理得
到关于m，n的方程，可求n
m
的值．
本题考查了勾股定理的证明，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．
16.答案：√7或1
解析：
解：∵△BP′C是由△BPA旋转得到，
∴∠APB=∠CP′B=135°，∠ABP=∠CBP′，BP=BP′，AP=CP′，
∵∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠CBP′+∠PBC=90°，即∠PBP′=90°，
∴△BPP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，
∵∠APB=∠CP′B=135°，
∴∠PP′C=90°，
设BP=BP′=a，AP=CP′=b，
则PP′=√2a，
在Rt△PP′C中，∵PP′2+P′C2=PC2，且PC=3，
∴CP′=√PC2−PP′2=√9−2a2，
∵BP的长a为整数，
∴满足上式的a为1或2，
当a=1时，AP=CP′=√7，
当a=2时，AP=CP′=1，
故答案为：√7或1．
根据旋转性质可得∠APB=∠CP′B=135°、∠ABP=∠CBP′、BP=BP′、AP=CP′，由∠ABP+
∠PBC=90°知△BPP′是等腰直角三角形，进而根据∠CP′B=135°可得∠PP′C=90°，设BP=BP′=
a、AP=CP′=b，在Rt△PP′C中根据勾股定理可得CP′=√9−2a2，最后由BP的长a为整数可得AP．
本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形、勾股定理等知识点，熟练运用这些性质、定理得出a、b间的关系式是关键．
17.答案：(1)解：∵∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2√3，
∴∠B=30°，
∴OA=1
2
OB=√3，
由勾股定理得：AB=3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，
∴OC=BC，
在△AOC中，AO2+AC2=CO2，
∴(√3)2+(3−OC)2=OC2，
∴OC=2=BC，
答：OC=2，BC=2．
(2)解：①当P在BC上，Q在OC上时，0<t<2，
则CP=2−t，CQ=t，
过P作PH⊥OC于H，
∠HCP=60°，
∠HPC=30°，
∴CH=1
2CP=1
2
(2−t)，HP=√3
2
(2−t)，
∴S△CPQ=1
2CQ×PH=1
2
×t×√3
2
(2−t)，
即S=−√3
4t2+√3
2
t；
②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在，∴S=0，
③当P在OC上，Q在ON上时2<t<4，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，∵CO=2，∠NOC=60°，
∴CZ=√3，
CP=t−2，OQ=t−2，
∠NOC=60°，
∴∠GPO=30°，
∴OG=1
2OP=1
2
(4−t)，PG=√3
2
(4−t)，
∴S△CPQ=S△COQ−S△OPQ=1
2×(t−2)×√3−1
2
×(t−2)×√3
2
(4−t)，
即S=√3
4
t2−√3t+√3．
④当t=4时，P在O点，Q在ON上，如图(3)
过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，
∵∠B=30°，由(1)知BC=2，
∴CM=1
2
BC=1，
由勾股定理得：BM=√3，
∵OB=2√3，
∴OM =2√3−√3=√3=CK ， ∴S =12PQ ×CK =1
2×2×√3=√3； 综合上述：S 与t 的函数关系式是：S ={−√34
t 2+√32t(0<t ≤2)
√34t 2−√3t +√3(2<t ≤4)； ．
(3)解：如图(2)，∵ON ⊥OB ，
∴∠NOB =90°，
∵∠B =30°，∠A =90°，
∴∠AOB =60°，
∵OC 平分∠AOB ，
∴∠AOC =∠BOC =30°，
∴∠NOC =90°−30°=60°，
①OM =PM 时，
∠MOP =∠MPO =30°，
∴∠PQO =180°−∠QOP −∠MPO =90°，
∴OP =2OQ ，
∴2(t −2)=4−t ，
解得：t =8
3，
②PM =OP 时，
此时∠PMO =∠MOP =30°，
∴∠MPO =120°，
∵∠QOP =60°，
∴此时不存在；
③OM =OP 时，
过P 作PG ⊥ON 于G ，
OP =4−t ，∠QOP =60°，
∴∠OPG =30°，
∴GO =12(4−t)，PG =√32
(4−t)， ∵∠AOC =30°，OM =OP ，
∴∠OPM =∠OMP =75°，
∴∠PQO =180°−∠QOP −∠QPO =45°，
∴PG =QG =√32(4−t)，
∵OG +QG =OQ ，
∴12(4−t)+√32(4−t)=t −2，
解得：t =6+2√33
综合上述：当t 为83或6+2√33时，△OPM 是等腰三角形．
解析：(1)求出∠B ，根据直角三角形性质求出OA ，求出AB ，在△AOC 中，根据勾股定理得出关于OC 的方程，求出OC 即可；
(2)有四种情况：①当P 在BC 上，Q 在OC 上时，0<t <2，过P 作PH ⊥OC 于H ，求出PH ，根据三角形的面积公式求出即可；②当t =2时，P 在C 点，Q 在O 点，此时，△CPQ 不存在；③当P
在OC 上，Q 在ON 上时，过P 作PG ⊥ON 于G ，过C 作CZ ⊥ON 于Z ，求出CZ 和PG 的值，求出△OCQ 和△OPQ 的面积，相减即可；④t =4时，求出即可；
(3)有三种情况：①OM =PM 时，求出OP =2OQ ，代入求出即可；②PM =OP 时，此时不存在等腰三角形；③OM =OP 时，过P 作PG ⊥ON 于G ，求出OG 和QG 的值，代入OG +QG =t −2，即可求出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，函数自变量的取值范围，解一元一次方程，勾股定理，含30度角的直角三角形性质等知识点的运用，本题综合性比较强，难度偏大，主要考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力，并且运用了方程思想和分类讨论思想．
18.答案：解：√9+23÷√83−|−6|
=3+8÷2−6
=3+4−6
=1
解析：首先计算乘方、开方，然后计算除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
19.答案：解：原式=4xy2−4xy−4xy+2xy2
=6xy2−8xy，
当x=1，y=−1时，原式=6+8=14．
解析：本题考查整式的混合运算−化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则，合并同类项法则，属于基础题．
先去括号合并同类项化简，再代入计算即可．
20.答案：证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
{AD=CD
DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠A=∠C，AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形．
解析：本题考查等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质．
利用DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED=∠CFD=90°，由D为AC的中点，得AD=CD，结合DE=DF
证明Rt △ADE≌Rt △CDF ，再证得AB =AC =BC ，证明△ABC 是等边三角形．
21.答案：证明：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，
∵AB =AC ，AD ⊥BC ，
∴BD =DC(等腰三角形三线合一)．
又∵∠ADB =∠ADC =90°，AD 为公共边，
在△ABD 与△ACD 中，
{BD =DC ∠ADB =∠ADC AD =AD
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴∠B =∠C ．
解析：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，利用等腰三角形三线合一性质求得BD =DC ，从而求得△ABD≌△ACD ，由全等三角形的性质就可以得出∠B =∠C ．
本题主要考查了等腰三角形性质和全等三角形的判定与性质；正确作出辅助线是解答本题的关键． 22.答案：解：设这个长方形的长与宽分别为acm 和bcm ，
则：{(a +4)(b −1)=ab (a −2)(b +1)=ab
， 整理得：{a −4b +4=0a −2b −2=0
， ∴{a =8b =3
， ∴ab =8×3=24(cm 2).
答：这个长方形的面积为24cm 2．
解析：
此题主要考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是得到相应的两个等量关系．可利用面积相等列方程组，并巧妙地消去了ab 项，求出a ，b 的值，进而求出长方形的面积．
23.答案：解：(1)抽取学生人数10÷25%=40(人)，
第2组人数40×50%−8=12(人)，
第4组人数40×50%−10−3=7(人)，
∴a=12，b=7；
(2)360°×3
=27°，
40
∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；
(3)成绩高于80分：1800×50%=900(人)，
∴成绩高于80分的共有900人．
解析：本题考查了统计表和统计图，熟练掌握扇形统计图是解题的关键．
(1)先求出抽取学生人数，再求出a，b即可；
(2)用360°乘第五组所占人数的分数即可;
(3)用总人数乘成绩高于80分的人所占的百分比即可．
24.答案：解：(1)−3；1
(2)x2−6x+y2+2y+10=0，
(x−3)2+(y+1)2=0，
则x−3=0，y+1=0，
解得x=3，y=−1，
则x+y=3−1=2；
(3)a2−1−(2a−3)
=a2−2a+2
=(a−1)2+1，
∵(a−1)2≥0，
∴(a−1)2+1>0，
∴a2−1>2a−3．
解析：
本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
(1)根据配方法的方法配方即可；
(2)先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再代入得到x+y的值；
(3)将两式相减，再配方即可作出判断．
解：(1)x2−6x+10=(x−3)2+1；
故答案为−3；1．
(2)见答案；
(3)见答案．
25.答案：证明：(1)如图，
∵∠BAC=90°，FA⊥AE，
∴∠1+∠EAC=90°，∠2+∠EAC=90°，
∴∠1=∠2．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠FCA=90°−∠ACB=45°，
∴∠B=∠FCA，
∴△ABF≌△ACF(ASA)，
∴BE=CF；
(2)①如图，过E点作EG⊥AB于点G，∵∠B=45°，
∴△GBE是等腰直角三角形，
∴BG=EG，∠3=45°，
∵AE平分∠BAD，EG⊥AB，ED⊥AD，∴DE=GE=BG，
∵BM=2DE，
∴BM=2BG，即点G是BM的中点，∴EG是BM的垂直平分线，
∴BE=ME，
∴∠4=∠3=45°，
∴∠MEB=∠4+∠3=90°，
∴ME⊥BC．
②∵AD⊥BC，
∴ME//AD，
∴∠5=∠6，
∵∠1=∠5，
∴∠1=∠6，
∴AM=EM，
∵MC=MC，
∴Rt△AMC≌Rt△EMC(HL)，
∴∠7=∠8，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=45°，∠BAD=∠CAD=45°，∴∠5=∠7=22.5°，AD=CD，
∵∠ADE=∠CDN=90°，
∴△ADE≌△CDN(ASA)，
∴DE=DN．
解析：本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同时还考查了角平分线的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键时根据已知条件判定合适的三角形全等，解决问题．
(1)通过角的转换和等腰直角三角形的性质，得到∠BAE=∠CAF和∠B=∠FCA，从而ASA证明△ABE≌△ACF，根据全等三角形对应边相等得到结论；
(2)①过E点作EG⊥AB于点G，通过证明EG是BM的垂直平分线就易得出结论．
②通过证明Rt△AMC≌Rt△EMC和△ADE≌△CDN来证明结论．。