几何概型 课件

[特别提醒] 解几何概型问题时，常常需要寻找不等关系．要找不等关系，先找等量关系，再借助图 形分析寻找不等关系．
与面积有关的几何概型问题
如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个
通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区
域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该
几何概型
与长度有关的几何概型
如图所示，A，B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C，D， 问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？ [探究] 在A，B之间每一位置处安装路灯C，D都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个 基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型的条件．
[解析] 记 E：“A 与 C，B 与 D 之间的距离都不小于 10 米”， 把 AB 三等分，由于中间长度为 30×13＝10(米)，∴P(E)＝1300＝13. 求解几何概型的概率关键是将所有基本事件及事件 A 包含的基本 事件转化为相应长度，进而求解．
[规律总结] 与长度有关的几何概型问题综述： (1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则 其概率的计算公式为： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域长度. (2)将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取 一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的 发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样 的概率模型就可以用几何概型来求解．
[规律总结] 与面积有关的几何概型问题解法： (1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示， 则其概率的计算公式为： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的面区积域面积. (2)解几何概型问题的关键点： ①根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题． ②找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何 特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．
[规律总结] 体积型几何概型问题解法探秘： 1．如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们 要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的 体 积 及 事 件 A 占 的 体 积 ． 其 概 率 的 计 算 公 式 为 ： P(A) ＝ 构成事件A的体积 试验的全部结果构成的体积. 2．解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注 意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．
与体积有关的几何概型的求法
一个多面体的直观图和三视图如下图所示，M是AB的中点，一只蜻蜓在几何体ADF－BCE内自由 飞翔，则它飞入几何体F－AMCD内的概率为( )
3 A.4
2 B.3
1 C.2 D.13
[解析] 由三视图可知 DA，DC，DF 两两垂直，且 DA＝DC ＝DF＝a，
∴VF－AMCD＝13S 梯形 AMCD·DF＝14a3. 又 VADF－BCE＝12a3， ∴蜻蜓飞入几何体 F－AMCD 内的概率为 P＝VVAFD－FA－MBCCDE＝12. [答案] C
(3)几何概型的计算步骤： ①判断是否为几何概型； ②确定并计算基本事件空间； ③计算事件A所含基本事件对应的区域的几何度量； ④代入公式计算． (4)在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段
或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边 界点是否取到却不影响事件A的概率．
矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A．1－π4
B.π2－1
C．2－πLeabharlann D.π24
[探究] 将两个四分之一圆补成半圆求出面积，除以矩形的面积即得概率．
[解析] 由题意知，将两个四分之一圆补成半圆其面积为12 ×π×12＝π2，矩形面积为 2，则所求概率为2－2 π2＝1－π4.
[答案] C