无穷级数变换的一种方法
高数课件28无穷级数
任意项级数审敛法总结
绝对收敛判别法
对于任意项级数，首先尝试判断其是否绝对收敛。若绝对收敛，则原级数一定收敛。
交错级数审敛法
对于交错级数，可以利用交错级数审敛法进行判断。若满足条件，则交错级数收敛。
其他审敛法
除了绝对收敛和交错级数审敛法外，还有其他一些审敛法可用于判断任意项级数的敛散性 ，如比较审敛法、比值审敛法等。在实际应用中，可以根据级数的具体形式选择合适的审 敛法进行判断。
泰勒级数是用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
原理介绍
泰勒级数的基本思想是将复杂的函数用多项式来逼近，通过逐次求导并代入展开点的值，得到各阶导 数在该点的值，进而构造出相应的多项式。
常见函数泰勒展开式举例
要点一
常见函数泰勒展开式
如$e^x$、$sin x$、$cos x$、$ln(1+x)$等函数的泰勒展 开式。
电力系统
在电力系统中，傅里叶级数被用于 分析周期性电气信号的谐波成分， 为电力系统的稳定运行提供支持。
傅里叶变换与离散时间信号处理关系
傅里叶变换与傅里叶级数关系
傅里叶变换是傅里叶级数的推广，可以将非周期函数表 示为连续频谱的形式。
离散时间信号处理中的傅里叶变 换
在离散时间信号处理中，傅里叶变换被广泛应用于频域分 析和滤波器设计等方面，为数字信号处理提供了重要工具。 同时，离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法（FFT）也在 实际应用中发挥着重要作用。
判断原级数的收敛性。
适用范围
02
适用于通项可以表示为某个函数的级数，且该函数在相应区间
内单调、可积。
应用举例
03
如对于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^p}$的$p$级数，可
无穷级数——精选推荐
无穷级数用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数，最为简单的逼近途径就是通过加法，即通过加法运算来决定逼近的程度，或者说控制逼近的过程，这就是无穷级数的思想出发点。
目录概述历史判断数项级数的性质幂级数泰勒展开式Fourier级数收敛与发散性质概述历史判断数项级数的性质幂级数泰勒展开式Fourier级数收敛与发散性质判别法展开无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。
只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。
算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。
包括数项级数、函数项级数（又包括幂级数、Fourier级数；复变函数中的泰勒级数、Laurent(洛朗)级数）。
英国曼彻斯特大学和埃克塞特大学的研究小组指出，喀拉拉学校也曾发现可用于计算圆周率的无穷级数，并利用它将圆周率的值精确到小数点后第9位和第10位，后来又精确到第17位。
研究人员说，一个极有说服力的间接证据是，15世纪，印度人曾经将他们的发现告知造访印度的精通数学的耶稣会传教士。
‚无穷级数‛可能最终摆到了牛顿本人的书桌上。
约瑟夫是在通读字迹模糊的印度文字材料时得出这些发现的，他的畅销著作《孔雀之冠：非欧洲的数学之根》(The Crest of the Peacock: the Non-European Roots of Mathematics)的第3版将刊登此次发现，该书由普林斯顿大学出版社负责出版。
他说：‚现代数学的起源通常被视为欧洲人取得的一项成就，但中世纪(14至16世纪)印度的这些发现却被人们忽视或者遗忘了。
17世纪末期，牛顿的工作取得了辉煌的成就。
他所做的贡献是不容人们抹杀的，尤其在提到微积分的运算法则时更是如此。
但喀拉拉学校的学者——特别是马德哈瓦(Madhava)和尼拉坎特哈(Nilakantha)的名字也同样不能忘记，他们取得的成就足以和牛顿平起平坐，因为正是他们发现了微积分的另一个重要组成部分——无穷级数。
无穷级数的发展演化
数学家都把级 数看作多项式的代数推广， 于是 产生许多问题，从而要求数学家进行
严 化的 究 １ 世纪 柯 （ｕ ｓ － ｕ Ｃ ｃ ，８－ ５ 建 级 理 密 研 。 ９ ， 西 Ａｇ ｔ Ｌ ｉ ａ ｈ１ ９ ８ ） 立了 数 论， ｕｉ ｏｓ ｙ７ １ ７ ｎ ｕ
来 。１ ９世 纪，数学 分析包括三大领 域：实分析 、复分析 、微 分方程 及变分法 ，其中 实分析 以变量 函数 为中心 ，主要研 究函数 的表示 、函数 的演 算 以及 函数 的性质等。
在这些问题的 研究中发展了一些主要工具和技巧， 如无穷 表达式、积分变换、积分 展开和函 数的逼近等。
从微积 分到数学 分析 的建立 ，无穷起着关 键作用 。希腊人惧 怕无穷 ， 代数学正 近
而这时期无穷级数只是近似计算的 工具。现有的文献对无穷级数某些方面的发展做
了深入的研究， ． ｉｎ ｕ ｌ 详细研究了 Ｌ ｅｅ ａ ｉ Ｆ ｇ ｂ ｍ１ 曾 泰勒定理的产生过程； Ｇ ｖ ｎ ｉａ ｉ ｏｎ
Ｆｒｒ２ ｅａ ［从欧拉对插值 问题研究的角度分析了欧拉一 麦克劳林求和公式的推导： ｒｏ１
伯努利级数泰勒的命题12和泰勒后来用以证明命题7的推论2的有限差方法的本在明显类似于莱布尼茨给出伯努利级数早期的证明下棣莫弗宣布了一个结论这个结论在1708年6月6日给约翰伯努利的信中提出他在其中讨论了关于数列的性质
中文摘 要
作为数学分 析的 一个工 具， 无穷 级数起 着不可低估 的作用 。 利用无 穷级 数可以将 一些复杂 的代 数 函数和 超越 函数展成简单 形式 ，然后对其进行 逐项微 分或积分 ，进 而 对这些 函数 处理起 来 得心应手 。随着分析 的严 密化 ，无穷级 数理论逐渐 形成 ，从 而推动 了数学的进一 步发 展 。 本文 以无穷级数 的发展 为中心，以无穷进入数 学前后思想变化为线 索，系统分析 了级数 理论形成 的历 史背 景，通过对主 要人物 工作的总 结，概括 了级 数理论 的建立 及其发展 的过程 。
无穷级数知识点总结
无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。
一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。
无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。
如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。
二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。
下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。
1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。
即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。
2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。
3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。
无穷级数的收敛和发散理论
无穷级数的收敛和发散理论一、无穷级数的基本概念1.无穷级数：一个数列 {a_n}，如果从第n=1项起，每一项都可以表示为一个函数f(n)与常数的乘积，即 a_n = f(n) * c（c为常数），则称该数列为无穷级数。
2.收敛性：如果无穷级数 {a_n} 的项趋于0，并且其和函数S(x)在实数范围内存在，那么称该无穷级数为收敛的。
3.发散性：如果无穷级数 {a_n} 的项趋于0，但其和函数S(x)在实数范围内不存在或趋于无穷大，那么称该无穷级数为发散的。
二、无穷级数的收敛性判断方法1.比较检验法：通过比较两个无穷级数的项的大小，判断它们的收敛性是否相同。
2.比值检验法：求出无穷级数的极限比值，判断其收敛性。
3.根值检验法：求出无穷级数的极限根值，判断其收敛性。
4.积分检验法：通过对无穷级数的前n项求积分，判断其收敛性。
5.级数收敛性的一般判定定理：包括交错级数的莱布尼茨判别法、正项级数的比值判别法和根值判别法等。
三、无穷级数的发散性判断方法1.比值发散判别法：求出无穷级数的极限比值，判断其发散性。
2.根值发散判别法：求出无穷级数的极限根值，判断其发散性。
3.积分发散判别法：通过对无穷级数的前n项求积分，判断其发散性。
四、特殊无穷级数的收敛性判断1.幂级数：形如a_n = x^n 的无穷级数，其收敛性取决于x的取值范围。
2.泰勒级数：函数f(x)在某一区间内的泰勒展开式，其收敛性取决于该区间内f(x)的导数存在且连续。
3.傅里叶级数：周期函数f(x)的傅里叶展开式，其收敛性取决于周期函数的性质。
五、无穷级数在数学和物理学中的应用1.数学分析：无穷级数是数学分析中的基本工具，用于求解函数的泰勒展开、积分和微分方程等。
2.物理学：无穷级数在物理学中广泛应用于求解波动方程、热传导方程等，以及模拟连续介质的行为。
无穷级数的收敛和发散理论是数学分析中的重要内容，掌握其基本概念、判断方法和应用，对于深入学习数学和物理学具有重要意义。
无穷级数与拉普拉斯变换
例１１ 求下列幂级数的收敛半径与收敛域 （１）； （２）； （３）． 解：（１）因为
所以该级数的收敛半径为 ． 又当时，级数为（－）是发散的，当时，级数为是收敛的，所以该 级数的收敛域为（，． （２）因为该幂级数缺少偶数次项，故不能直接用定理５.５．由 比值审敛法 当，即时，而当，即时，原幂级数绝对收敛，当，即时，原幂级数 发散，所以该级数的收敛半径为． 又当时，级数为是发散的，当时，级数为也是发散的，所以该级数 的收敛域为（，）． （３）设，则原幂级数化为的幂级数 因为 所以其收敛半径为 ． 于是，当，即 时，原幂级数绝对收敛． 又当时，级数为是收敛的，又当时，级数为是发散的，所以该级数 的收敛域为［， ．
要求通过学习，掌握级数的概念、性质以及级数收敛的条件，熟练 掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，掌握交错级数收敛性的莱布 尼兹判别法，理解绝对收敛和条件收敛的概念，掌握幂级数的概念和运 算，熟悉常用函数的幂级数展开，并会用间接法将一些简单函数展成幂 级数，求出其收敛半径和收敛域，掌握傅立叶级数的概念和性质，会将 周期为的函数进行傅立叶级数展开，理解周期为的函数的傅立叶级数展 开，了解拉氏变换及其逆变换的概念和性质，并知道其在求解微分方程 和分析电路中的应用.
解： 所以 即原级数收敛，其和为．
例３ 判定级数的敛散性． 解： 所以 故该级数发散．
5.1.3 无穷级数的基本性质
可以证明，无穷级数具有下列基本性质（证明从略）： 性质１ 若级数收敛，且其和为，则级数（为常数）也收敛，且其
和为． 同理，若级数发散，且，则级数也发散． 由此说明，级数的每一项同乘一个非零常数后，其敛散性不变． 性质２ 若级数与都收敛，其和分别为与，则级数也收敛，且其和
若设 ， 则有 ．
4 高等数学方法选讲——无穷级数
注：当交错级数不满足莱布尼茨判别法时，若一般项趋于零，可以考虑 将相邻的正负项加括号后证明其敛散性（相邻的正负项加括号后一般符 号固定，成为不变号级数）.
n =1
∞
（ 3） Dirichlet 判别法： 级数级数 ∑ un 中，un = an ⋅ bn ， 如果 (a) Bn = ∑ bk
n =1 k =1
∞
n
有界， (b) 数列 {an } 单调递减， (c) lim an = 0 ，则级数 ∑ un 收敛 . n →∞
n=1
∞
注： Abel 和 Dirichlet 判别法用到如下的 Abel 变换（分布求和公式） 设 {an } , {bn } 是两数列，记 Bk = ∑ bi , k = 1, 2, ，则
高等数学方法选讲——无穷级数 正项级数审敛法
（ 7）根值判别法（ Cauchy 判别法） ：设 ∑ an 为正项级数，且 ∃N > 0 ，
n =1 ∞
(a) 若当 n > N 时 n an ≤ q < 1 成立，则级数 ∑ an 收敛；
n =1
∞
(b) 若当 n > N 时 n an ≥ 1 成立，则级数 ∑ an 发散 .
n =1 n =1
（ 3）极限形式 . （ 4）分式形式
南京航空航天大学理学院数学系：马儒宁等
高等数学方法选讲——无穷级数 正项级数审敛法
（ 5）比值判别法（D’Alember 判别法） ：设 ∑ an (an ≠ 0) 为正项级数，
n=1 ∞
∃N > 0 ，
∞ an + 1 ≤ q < 1 成立，则级数 ∑ an 收敛； (a) 若当 n > N 时 an n=1
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法（infinitesimalnormalintegrals,INI）是一种用于数学计算的极限处理方法，可以用来计算无穷级数的极限、积分、微积分以及积分变换的表达式。
它可以改善数学计算的速度，减少计算的时间和空间。
INI是一种基于几何学极限理论的数值计算方法，可以对数值系统中无穷级数求极限，并可以进行无穷级数的积分求值。
反常积分极限审敛法主要是使用紧凑方案实现多维反常积分、无限级数求极限以及积分变换等操作，以及针对椭圆和抛物面等复杂曲面的积分求值。
INI的基本原理是，在坐标空间中定义一组均匀的虚拟小网格，以虚拟小网格边界为界，绘制出一组分割的小网格，其中的每个小网格都由一组函数值组成，这些函数值的计算可以采用积分的方法完成。
然后通过积分极限的方法，求出无穷级数的极限，从而求出积分变换表达式。
在有限维空间中，INI可以极大程度地提高计算效率，可以以较低的计算时间实现较高精度的极限求解和控制。
此外，INI的优势在于在多维空间中也可以实现较快的计算，而不需要耗费大量的计算时间，也不受精度的限制。
INI在实际应用中有着广泛的用途，可以用于特征提取、状态估计、机器学习、信号处理等领域。
同时，对于微分方程常见的解析方法，INI也能提供一种数值计算方法，具有较高的解析精度和准确性。
最后，INI也可以用于包括智能控制、智能工业、智能建筑等场景。
总之，反常积分极限审敛法是一种用于计算无穷级数的极限、积分和微积分等表达式的极限处理方法，它可以提高计算效率，减少计算的时间和空间，并有广泛的应用。
反常积分极限审敛法的应用可以提高计算精度和准确性，为实现各种智能技术提供一种高效的数值计算方法。
定积分与无穷级数的概念与计算
06
定积分与无穷级数关系探讨
泰勒级数在定积分中的应用
泰勒级数展开
将复杂函数表示为无穷级数形式，便于进行逐 项积分。
近似计算
通过截取泰勒级数的前几项，对定积分进行近 似计算。
收敛性判断
分析泰勒级数的收敛性，确保定积分计算的准确性。
傅里叶级数在周期函数定积分中的应用
傅里叶级数展开
将周期函数表示为傅里叶级数形式，便于进 行周期函数的定积分计算。
几何意义与物理应用
定积分的几何意义是曲边梯形的面积。在平面直角坐标系中，由曲线y=f(x)与直线x=a、x=b以及x轴围成的图 形的面积，就等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
定积分在物理学中有广泛的应用，例如在计算变力沿直线所作的功、水压力、引力、物体的转动惯量等方面都 会用到定积分。
03
换元法的基本思想
介绍了换元法的原理，即通过变量代换简化定积分的计算。
分部积分法的应用
详细讲解了分部积分法在计算复杂定积分时的应用，包括如何选择适当的 函数进行分部积分等。
换元法与分部积分法的比 较
对两种方法进行了比较，分析了各自的优缺点和适用场景。
广义积分及计算
01
广义积分的定义与 分类
介绍了广义积分的概念和分类， 包括无穷限广义积分和瑕积分等 。
2
经济学中的应用
在经济学中，定积分可以用于计算某些 经济指标的累积效应，例如总消费、总 投资等。而无穷级数则可以用于描述某 些经济现象的周期性变化或长期趋势。
3
工程学中的应用
在工程学中，定积分和无穷级数都有着 广泛的应用。例如，在电路分析中，可 以通过定积分计算电路中的电流、电压 等参数；而在信号处理中，则可以将信 号展开为无穷级数形式，以便于分析和 处理。
电路基础原理解析电路的傅里叶级数和傅里叶变换
电路基础原理解析电路的傅里叶级数和傅里叶变换电路基础原理解析：电路的傅里叶级数和傅里叶变换电路是现代社会不可或缺的一部分，它负责传递和处理电信号，使得我们的电子设备能够正常工作。
在电路的设计和分析过程中，傅里叶级数和傅里叶变换是重要的工具。
本文将解析电路中的傅里叶级数和傅里叶变换，介绍它们在电路分析中的应用。
1. 傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期函数分解为基本频率的无穷级数的方法。
根据傅里叶级数的定理，任何一个周期为T的函数f(t)都可以表示为以下形式的级数：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0是直流分量，an和bn是函数f(t)的傅里叶系数，n是正整数，ω = 2π/T是角频率。
在电路分析中，我们经常使用傅里叶级数来分析周期性信号的频谱特性。
通过计算傅里叶系数，我们可以了解到信号中各个频率成分的强度和相位差。
这对于设计和优化电路非常重要，因为不同频率的成分会对电路的性能产生不同的影响。
2. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将非周期函数转化为连续频域信号的方法。
它可以将时域信号转换为频域信号，揭示出信号的频谱特性。
傅里叶变换的公式如下：F(ω) = ∫(x(t)*e^(-jωt))dt其中，F(ω)是频域函数，x(t)是时域函数，ω是角频率。
在电路分析中，傅里叶变换被广泛应用于信号处理和滤波。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以观察到信号在不同频段的能量分布情况，并根据需要进行滤波操作。
傅里叶变换还可以帮助我们分析稳态和暂态响应，揭示电路的特性和性能。
3. 傅里叶级数和傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在理论上存在着密切的联系。
事实上，傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在周期函数上的特例。
当一个函数是周期函数时，它的傅里叶变换将得到一系列的脉冲函数，而这些脉冲函数的加权和就构成了傅里叶级数。
因此，理解和掌握傅里叶级数和傅里叶变换的原理和方法对于电路的分析和设计非常重要。
无穷级数n=0和n=1的转换
无穷级数n=0和n=1的转换
在数学中，无穷级数通常表示为无限个数的和，其中每个数都乘以一个固定的系数。
对于一个无穷级数n=0到无穷和n=1到无穷，需要进行一些转换，可以使用以下方法：
1. 改变求和的范围：将无穷级数从n=0到无穷转换为n=1到无穷，可以通过将求和的范围从0到无穷改为1到无穷。
这可以通过将原级数中的每个项都乘以一个因子(n-1)来实现。
例如，将级数∑n=0∞an转换为从1到无穷的级数∑n=1∞an，可以将每个项乘以(n-1)，得到∑n=1∞(n−1)an。
2. 改变级数的系数：将无穷级数从n=0到无穷转换为n=1到无穷，也可以通过改变级数的系数来实现。
这可以通过将原级数中的每个项都乘以一个因子(n+1)来实现。
例如，将级数∑n=0∞an转换为从1到无穷的级数∑n=1∞an，可以将每个项乘以(n+1)，得到∑n=1∞(n+1)an。
无论哪种方法，都可以将无穷级数从n=0到无穷转换为n=1到无穷的和。
但是，要注意在转换过程中保持级数的收敛性不变。
如果原级数是收敛的，那么转换后的级数也应该是收敛的。
无穷级数n=0和n=1的转换
无穷级数n=0和n=1的转换
无穷级数n=0和n=1的转换是指由n=0开始的无穷级数和由n=1开始的无穷级数之间的转换。
在数学中，无穷级数是由无穷多个项组成的数列相加的结果。
当我们将n从0转换为1时，意味着我们改变了无穷级数的起始项。
具体而言，如果一个无穷级数的项表示为a₀，a₁，a₂，
a₃，...，那么由n=0开始的无穷级数可以表示为
a₀+a₁+a₂+a₃+...，而由n=1开始的无穷级数可以表示为
a₁+a₂+a₃+...
这种转换的效果是，由n=0开始的无穷级数会包含第一项a₀，而由n=1开始的无穷级数会省略掉第一项a₀。
换句话说，两个无穷级数的和只有起始项不同。
这种转换在数学推导和计算中经常用到，可以根据具体情况选择合适的起始项以简化问题或得出更方便的结果。
无穷级数的收敛与发散
比值判别法
若$lim_{n to infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} right| = r$， 则当$r < 1$时，级数收敛；当$r > 1$时，级数发散；当$r = 1$时 ，该判别法失效。
根值判别法
若$lim_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|} = r$，则当$r < 1$时，级数收敛；当$r > 1$时， 级数发散；当$r = 1$时，该判别 法失效。
积分判别法的应用条件
适用于项可以表示为某种连续函数的级数。
3
积分判别法的优点
可以利用已知的定积分性质进行快速判断。
收敛级数的性质与
04
定理
收敛级数的四则运算性质
加法性质
两个收敛级数相加，其和仍然收敛，且和等于两个级数各自和的 相加。
减法性质
两个收敛级数相减，其差仍然收敛，且差等于被减数级数的和减 去减数级数的和。
无穷级数的基本性
02
质
级数的和与部分和
级数的和
01
无穷级数各项相加得到的和，记作$S$。
部分和
02
无穷级数前$n$项的和，记作$S_n$。
级数和与部分和的关系
03
当$n$趋向无穷大时，如果部分和$S_n$的极限存在，则这个极
限就是级数的和。
级数的收敛性与发散性
01
收敛级数
如果无穷级数的部分和在数轴上趋向一个确定的数值，则称该级数收敛
热力学
在热力学中，无穷级数被用于描述系统的热力学性质，如热容、熵等。这些性质通常与系 统的微观状态数有关，而微观状态数往往可以表示为无穷级数的形式。
工程学中的应用
信号处理
三角函数的傅里叶逆变换
三角函数的傅里叶逆变换傅里叶逆变换是将频域中的信号转换回时域的一种数学工具。
在信号处理和通信领域有着广泛的应用。
而三角函数是傅里叶变换的基础，因此也被广泛应用于傅里叶逆变换中。
本文将详细介绍三角函数的傅里叶逆变换。
首先，我们需要了解傅里叶级数展开。
傅里叶级数（Fourier series）是一种将周期函数表达为正弦函数和余弦函数的无穷级数的表示方法。
具体地说，对于一个周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数展开为：f(t) = a0 + ∑(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0为直流分量，an和bn为频率为nω的正弦和余弦分量的振幅。
ω为频率，n为谐波次数。
根据欧拉公式，正弦函数和余弦函数可以用复指数函数来表示。
即：cos(nx) = (e^(inx) + e^(-inx)) / 2sin(nx) = (e^(inx) - e^(-inx)) / (2i)将上述表达式代入傅里叶级数展开中，可以得到：f(t) = a0 + ∑(cn * exp(inωt) + cn* exp(-inωt))其中，cn = (an - ibn) / 2，c*-n = (an + ibn) / 2傅里叶逆变换的目的是将频域信号转换回时域信号，即从信号的频谱还原出原始信号。
对于一个以角频率为ω0的连续频谱信号F(ω)来说，它的傅里叶逆变换为：f(t) = 1 / (2π) * ∫F(ω) * exp(iωt) dω根据欧拉公式，上述表达式可以进一步转化为：f(t) = 1 / (2π) * ∫(Re(F(ω)) * cos(ωt) - Im(F(ω)) *sin(ωt)) dω其中，Re(F(ω))和Im(F(ω))分别为F(ω)的实部和虚部。
将上述表达式进一步展开，可以得到：f(t) = 1 / (2π) * ∫(∑(Cn * exp(inω) + C*-n * exp(-inω))) * exp(iωt) dω将指数函数的乘法法则应用于上述表达式，可以得到：f(t) = 1 / (2π) * ∫∑(Cn * exp(i(nω + ωt)) + C*-n *exp(i(-nω + ωt))) dω再对上述表达式进行求和和积分的换序操作，可以得到：f(t) = ∑(Cn * ∫exp(i(nω + ωt)) dω) + ∑(C*-n *∫exp(i(-nω + ωt)) dω)对于复指数函数exp(i(nω + ωt))和exp(i(-nω + ωt))，其积分值的结果为：∫exp(i(nω + ωt)) dω = (exp(i(nω + ωt)) / (in(n+1)))∫exp(i(-nω + ωt)) dω = (exp(i(-nω + ωt)) / (-in(n-1)))将上述结果代入傅里叶逆变换的表达式中，可以得到三角函数的傅里叶逆变换公式：f(t) = (1 / (2π)) * (∑(Cn * (exp(i(nω + ωt)) /(in(n+1)))) + ∑(C*-n * (exp(i(-nω + ωt)) / (-in(n-1)))))这就是三角函数的傅里叶逆变换的具体表达式。
课件：无穷级数 基本方法归纳
3.定义在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数
奇延拓
f ( x ) , x [ 0 , π ] 偶延拓
y
y
O x
O x
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0, ] 上展成 正弦级数
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0, ]上展成 余弦级数
4. 周期为2l 的周期函数展开成傅里叶级数
x .
2. 定义在 ( , ] 上的函数展开成傅里叶级数 定义在[-,]上的函数 f(x)的傅氏级数展开法:
周期延拓
f (x) ,
x [ π , π ]
F ( x) f ( x 2k π ) , x ((2k 1) , (2k 1) ],
傅里叶展开
k 1, 2,
上的傅里叶级数.
二、求函数项级数 un ( x)的收敛域 n0
利用比值或根值判别法计算：
lim un1( x) ( x) 或 n un ( x)
lim n
n
un( x)
(x)
1. 通过讨论 ( x ) 1 ; ( x ) 1 得到收敛区间；
2. 对满足 ( x ) 1 的点代入原函数项级数讨论；
3. 综合1和2即可得原函数项级数的收敛域。
三、幂级数的收敛半径与收敛区间（收敛域）
注意收敛域与收敛区间的区别
1. 形如 an xn 的幂级数求收敛半径方法： n0
求收敛半径公式 R lim an a n
n1
Abel定理 (抽象的幂级数)
(具体的幂级数)
2. 形如 a n ( x x 0 )n , a 2n x 2 n , a 2n 1 x 2 n 1 等的求收敛半径方法：
3! 5! 7!
无穷级数变换的一种方法新
lim
z cosh (α z ) + cos (α z ) cos ( πz 2 ) 1 sinh sin zα α z − ( ) (α z ) cos ( πz 2 )
z − ( 2n + 1) π (1 + i ) 2α
z →( 2 n +1) π (1+ i ) 2α
n
= −
= Res f ; − ( 2n + 1) π (1 + i ) 2α
Res f ; ( 2n + 1) πi (1 − i ) 2α + Res f ; ( 2n + 1) πi (1 + i ) 2α
n ( −1) 1 1 = − + ( 2n + 1) π cosh ( ( 2n + 1) π 2 ) cos ( ( 2n + 1)( −1 + i ) β ) cos ( ( 2n + 1)(1 + i ) β )
4) 在极点 z = ( 2n + 1) πi (1 − i ) 2α ，计算 f ( z ) 的留数
Res = α f ; ( 2n + 1) πi (1 − i ) 2 Res f ; ( 2n + 1) π (1 + i ) 2α = = = =
z →( 2 n +1) π (1+ i ) 2α
∞
n=0
∑ ( 2n + 1) cosh ( 2n + 1) α + cos ( 2n + 1) α
∞
( −1)
n
无穷级数的去括号律与循环抽项交换
k→∞ k→∞ n →∞ n =1 n =1
∞
| skm + 1 - σ | <ε , | skm + 2 - σ | <ε , …, | s( k + 1 ) m - σ | <ε, 于是 Π n > N ,有 | sn - σ | = | skm + i - σ | <ε ( 1 ≤ i≤m ) , 因此 lim sn =σ,即原级数收敛 ,且收敛的和不变 。
+1
k→∞ (m ) (m )
∞
(
k→∞
根据引理 2,若级数 ∑ un 收敛 , 那么级数 ∑a 必收敛 , 现 在推广到 m 个级数情形 。
∞
( ) n =1 n =1
∞
u
k→∞ (m - a + 1 ) (m - a) qm - a + 1 ( k)
k→∞
) + … + li m (u
k→∞
k→∞ (m ) (m - a) q1 ( k) + 1
m + n →∞ m →∞ n →∞ m →∞
∞
n =1
∞
已知 ∑ un i) ( i = 1, …, m ) 收敛 ,根据柯西收敛准则 , n =1 Πε > 0, ϖ N ∈N ,使 Π k > N ,有 (m - a + 1 ) (m - a + 1 ) (m ) | u (m - a) q1 ( k) + 1 + … + u (m - a) qm - a + 1 ( k) | <ε , …, | u (m - a) q1 ( k) + 1 (m ) + … + u (m - a) qm ( k) | <ε, 即 (m - a + 1 ) (m - a + 1 ) lim ( u (m - a) q1 ( k) + 1 + … + u (m - a) qm - a + 1 ( k) ) = 0, …, lim
无穷级数转化为积分
无穷级数转化为积分
积分(integral)是一种常见的数学概念，它是指在一个特定区间内我们对某种函数的累积。
无穷级数(infinite series)是一种数学概念，它指的是一个被拆分成一系列有穷项的数列，可以表示成一个无穷级数。
无穷级数可以转化为积分来表示。
无穷级数到积分的转换可以通过无穷级数的几何极限来表示。
无穷级数的几何极限是指将无穷级数的每一项的累积和按照一定的规律增加，当趋近无穷大时，其和就收敛为一个确定的数。
这个数就是无穷级数的几何极限。
可以通过无穷级数的几何极限来表示无穷级数到积分的转换，如果几何极限等于一个常数c，那么，无穷级数可以转化为积分，即：∫_a^b f(x)dx=c其中，a和b分别是积分的下限和上限，f(x)是求积函数，c是无穷级数的几何极限。
无穷级数转化为积分的一般步骤是：首先将无穷级数分解为有限项的累积和，然后确定函数f(x)，再确定积分的上限和下限，最后计算出无穷级数的几何极限，即c，然后将无穷级数转换为积分：∫_a^b f(x)dx=c。
无穷级数转化为积分有其重要的意义，它不仅可以用来求解复杂的问题，而且还可以帮助我们更好地理解无穷级数的概念。
通过这种转换，我们可以更深入地研究无穷级数的性质，掌握数学的关键知识。
总的来说，无穷级数转化为积分是一种有效的方法，它不仅可以帮助我们解决复杂的数学问题，而且还可以更深入地理解无穷级数的概念。
无穷级数基本公式
常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nn n n q q qq q n n 1312112)1(32111112+++++=++++--=++++- 级数审敛法：散。
存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=⎪⎩⎪⎨⎧=><=⎪⎩⎪⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ。
的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n nn n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛１时发散ｐ 级数： 收敛； 级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。
收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p nn n n幂级数：0010)3(lim )3(1111111221032=+∞=+∞===≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x xx x x x x n n n n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。
，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散时，收敛于 ρρρρρ 函数展开成幂级数：+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-++=+--x n x x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n m 欧拉公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ixix ix ee x e e x x i x e 或三角级数：。
无穷级数课堂讲解
无穷级数课堂讲解
无穷级数是数学中的一个重要概念，它在实际问题中有广泛的应用。
在无穷级数课堂讲解中，我们将探讨无穷级数的定义、性质、公式以及应用。
首先，让我们了解无穷级数的定义。
无穷级数是一种数学表达式，其中项的数量无限增加，但项的值无限趋近于一个常数。
例如，无穷级数
{1,2,3,4,5,......}中的项数无限增加，但每一项的值都等于 5。
接下来，我们来学习无穷级数的性质。
无穷级数的性质包括：极限、递推、级数收敛性等。
其中，极限是指无穷级数中的项数无限增加时，每一项的值与极限值之间的差值趋近于 0。
递推是指无穷级数可以通过递推公式进行推导。
级数收敛性是指无穷级数的每一项是否趋近于一个常数。
此外，我们还需要考虑无穷级数的应用。
无穷级数在物理学、经济学、工程学等领域中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，无穷级数可以用来描述运动物体的速度和加速度;在经济学中，无穷级数可以用来描述市场需求和供应的关系;在工程学中，无穷级数可以用来描述材料的应力和应变关系。
最后，我们来学习无穷级数的公式。
无穷级数的公式包括：常数项级数、常数项和导数项级数、幂级数等。
这些公式可以帮助我们更好地理解和应用无穷级数。
总结起来，在无穷级数课堂讲解中，我们将深入了解无穷级数的定义、性质、公式以及应用。
通过学习无穷级数，我们将能够更好地理解数学概念，并在实际问题中应用数学知识。
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n
1
( 2n + 1) π (1 + i ) 2 ( −1) ( −1 + i ) cosh ( ( 2n + 1) π 2 ) cos ( ( 2n + 1)(1 + i ) β ) ( −1) ( 2n + 1) π cosh ( ( 2n + 1) π 2 ) cos ( ( 2n + 1)(1 + i ) β )
= −
cos ( ( 2n + 1)( −1 + i ) β ) + cos ( ( 2n + 1)(1 + i ) β ) ( 2n + 1) π cosh ( ( 2n + 1) π 2 ) cos ( ( 2n + 1)( −1 + i ) β ) cos ( ( 2n + 1)(1 + i ) β )
n
3) 在极点 z = ( 2n + 1) πi (1 + i ) 2α ，计算函数 f ( z ) 的留数，用洛必达法则，利用并利用双曲函数展 开式以及与三角函数关系计算，利用关系式 αβ = π 2 4
177
陈艳丽 等
Res + i ) 2α f ; ( 2n + 1) πi (1 = Res f ; ( 2n + 1) π ( −1 + i ) 2α = = = = = =
n
( −1) cosh ( ( 2n + 1) β ) cos ( ( 2n + 1) β ) 4 ∞ − ∑ π n=−∞ ( 2n + 1) π cosh ( ( 2n + 1) π 2 ) cosh ( ( 4n + 2 ) β ) + cos ( ( 4n + 2 ) β )
n
Received: Apr. 30 , 2017; accepted: May 14 , 2017; published: May 18 , 2017
Abstract
By selecting the “transformation kernel” function, some infinite series identities are given by using the residual theorem of the complex function.
z →( 2 n +1) π( −1+i ) 2α
lim
z cosh (α z ) + cos (α z ) cos ( πz 2 ) 1 zα sin h (α z ) − sin (α z ) cos ( πz 2 ) 2 2 1 π 1 sinh 2 1 π 1 2 sin n i n i + − + + − + − ( ) ( ) (( ) ( ) ) ( ( 2n + 1) π ( −1 + i ) 2 ) cos ( π ( 2n + 1) π ( −1 + i ) 4α ) 2
分， CN 表示中心在原点，水平边和垂直边的矩形，当 N → ∞ 时，有矩形 C N → ∞ 。 f ( z ) 有单极点
= z 0, = z 2n + 1 和 z = ( 2n + 1) πi (1 ± i ) 2α 。
1) 在极点在 z = 0 ，计算 f ( z ) 得留数，易得 Res [ f ;0] =
178
陈艳丽 等
根据文[11]留数基本定理如果函数 f ( z ) 在 CN 内只有有限个奇点， lim
N →∞
CN
∫ f ( z ) dz = 0 。从而有
= 0
( −1) 1 2 ∞ − ∑ 2 π n=−∞ ( 2n + 1) cosh (α ( 2n + 1) ) + cos (α ( 2n + 1) )
Open Access
1. 引言
无穷级数变换有许多文献。著作[1]收录 1000 多级数公式，著作[2]介绍无穷级数求和的各种技术。 文[3] [4] [5]讨论组合数和式问题。文[6] [7] [8]用裂项法给出中心型和非中心型二项式系数倒数级数封闭 型和式问题。无穷级数与数学各个分支紧密联系，也可以说无穷级数与数学各个分支融合在一起。因此 研究无穷级数时常常利用微分，积分，伽马白塔函数，多对数，发生函数，递推关系等各种数学工具和 方法。 我们选取一些“变换核”函数，证明形式各异的无穷级数恒等式。利用复变函数的留数定理计算函 1 d m −1 m lim m −1 ( z − z0 ) f ( z ) 失效时，我们选用文[9] 数在极点的留数，特别是通常多重留数计算公式 z → z ( m − 1)! 0 dz [10]中 2 重，3 重极点留数公式去计算留数，同时应用“变换核”函数在复平面上的围线积分，得到一些 形式各异的级数恒等。
n
= −
( 2n + 1) π cosh ( ( 2n + 1) π 2 ) cos ( ( 4n + 2 ) i β ) + cos ( ( 4n + 2 ) β )
4 ( −1) cos ( ( 2n + 1) i β ) cos ( ( 2n + 1) β )
n
= Res f ; − ( 2n + 1) πi (1 − i ) 2α + Res f ; − ( 2n + 1) πi (1 + i ) 2α
( −1)
n
4 ( −1) cos ( ( 2n + 1) i β ) cos ( ( 2n + 1) β ) = − cos 2 2 n 1 i β cos + + ( 2n + 1) π cosh ( ( 2n + 1) π 2 ) ( ) ) ( 2 ( 2n + 1) β ) (
∞
n=0
∑ ( 2n + 1) cosh ( 2n + 1) α + cos ( 2n + 1) α
∞
( −1)
n
(−1) n cosh ( ( 2n + 1) β ) cos ( ( 2n + 1) β )
证明：选择变换核函数 f ( z ) =
1 ，函数 f ( z ) 在矩形 CN ， N ≥ 1 上积 z cosh z cos α + ( ) (α z ) cos 1 如果 α , β > 0 ，且 αβ = π 2 4 ，则无穷级数恒等式成立
(1) π + 2∑ = 8 n = 0 ( 2n + 1) π cosh ( ( 2n + 1) π 2 ) cosh ( ( 4n + 2 ) β ) + cos ( ( 4n + 2 ) β )
n
z − ( 2n + 1) π ( −1 + i ) 2α
z →( 2 n +1) π( −1+i ) 2α
lim
z →( 2 n +1) π( −1+i ) 2α
lim
( 2n + 1) π ( −1 + i )( −1) (1 + i ) cosh ( ( 2n + 1) π 2 ) cos ( ( 2n + 1)( −1 + i ) β ) n ( −1) − ( 2n + 1) π cosh ( ( 2n + 1) π 2 ) cos ( ( 2n + 1)( −1 + i ) β ) Res f ; − ( 2n + 1) π ( −1 + i ) 2α
n
= −
= Res f ; − ( 2n + 1) π (1 + i ) 2α
Res f ; ( 2n + 1) πi (1 − i ) 2α + Res f ; ( 2n + 1) πi (1 + i ) 2α
n ( −1) 1 1 = − + ( 2n + 1) π cosh ( ( 2n + 1) π 2 ) cos ( ( 2n + 1)( −1 + i ) β ) cos ( ( 2n + 1)(1 + i ) β )
摘
要
本文选取“变换核”函数，利用复变函数的留数定理给出一些形式各异的无穷级数恒等式。
关键词
变换核，留数，无穷级数，伽马函数，恒等式
文章引用: 陈艳丽, 张来萍, 及万会. 无穷级数变换的一种方法[J]. 理论数学, 2017, 7(3): 176-185. https:///10.12677/pm.2017.73023
lim
z cosh (α z ) + cos (α z ) cos ( πz 2 ) 1 sinh sin zα α z − ( ) (α z ) cos ( πz 2 )
z − ( 2n + 1) π (1 + i ) 2α
z →( 2 n +1) π (1+ i ) 2α
Keywords
Transformation Kernels, Residue, Infinite Series, Gamma Function, Identity
无穷级数变换的一种方法
陈艳丽，张来萍，及万会
银川能源学院基础部，宁夏 银川
收稿日期：2017年4月30日；录用日期：2017年5月14日；发布日期：2017年5月18日