湖南省岳阳市市第八中学2018年高三数学文下学期期末试题含解析

湖南省岳阳市市第八中学2018年高三数学文下学期期
末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，
，，，则下列成立的是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
2. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）
A．2 B．﹣3 C．5 D．﹣1
参考答案：
C
【考点】程序框图．
【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出y，从而到结论．
【解答】解：x=0，y=﹣1，i=1；
x=1，y=2，i=2；
x=﹣1，y=﹣3，i=3；
x=2，y=5，i=4＞3，结束循环，
输出y=5，
故选：C．
3. 复数的模为（）
A. 1
B. 2
C.
D.
参考答案：
A
【分析】
根据复数的除法运算化简再求模长即可.
【详解】.模长为1.
故选：A
【点睛】本题主要考查了复数的除法与模长的计算.属于基础题型.
4. x，y满足约束条件目标函数z＝2x＋y，则z的取值范围是（）
（A）（B）
（C）[2，＋∞)（D）[3，＋∞)
参考答案：
C
试题分析：作出可行域及目标函数如图:
将变形可得.平移目标函数线使之经过可行域,当目标函数线过点时, 纵截距最小,此时也取最小值为;因为平移目标函数线时其纵截距,所以此时.所以.故C正确.
考点：线性规划.
5.
已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A． B. C. D.
参考答案：
答案：C
6. 从1,2,3,4,5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
先求出基本事件总数n，再求出这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数
m，由此能求出这两个数字的和为偶数的概率
【详解】从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，
基本事件总数n，
这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m4，
∴这两个数字的和为偶数的概率为p．
故选B．
【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
7. 已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的
（A）既不充分也不必要的条件（B）充分而不必要的条件
（C）必要而不充分的条件（D）充要条件
参考答案：
D
因为为偶函数，所以当在上是增函数，则在上则为减函
数，又函数的周期是4，所以在区间也为减函数.若在区间为减
函数，根据函数的周期可知在上则为减函数，又函数为偶函数，
根据对称性可知，在上是增函数，综上可知，“在上是增函数”
是“为区间上的减函数”成立的充要条件，选D.
8. 若集合A={x|?1＜x＜3}，B={?1, 0, 1, 2}，则A∩B=()
A. {?1, 0, 1, 2}
B. {x|?1＜x＜3}
C. {0,1, 2}
D. {?1, 0, 1}
参考答案：
C
9. 一组数据的方差是，将这组数据中的每个数据都乘以2，所得到的一组新数据的方差是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
参考答案：
D
10. 设i为虚数单位，则=（）
A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i
参考答案：
A
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】根据复数的运算性质化简即可．
【解答】解： ==﹣i（3﹣i）=﹣1﹣3i，
故选：A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数，则，的定义域为。

参考答案：
12. 我们可以利用数列{a n}的递推公式a n=（n∈N+），求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a64+a65= ．
参考答案：
66
【考点】数列递推式．
【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，写出数列前几项，即可得到所求值．
【解答】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…
∴a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66．
故答案为：66．
【点评】本题是对数列递推公式应用的考查，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，避免不必要的错误．
13. 函数的图像关于直线对称的充要条件是 .
参考答案：
m=-2
由于二次函数的对称轴方程为,所以函数的图像关于直线对称的充要条件.
14. 如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB 的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=3，BD=4则线段AF的长
为．
参考答案：
【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】综合题；选作题；转化思想；综合法．
【分析】由切割线定理得到AE2=EB?ED=EB（EB+BD），求出EB=5，由已知条件推导出四边形AEBC是平行四边形，从而得到AC=AB=BE=5，BC=AE=3，由△AFC∽△DFB，能求出CF 的长．
【解答】解：∵AB=AC，AE=3，BD=4，
梯形ABCD中，AC∥BD，BD=4，
由切割线定理可知：AE2=EB?ED=EB（EB+BD），
即45=BE（BE+4），解得EB=5，
∵AC∥BD，∴AC∥BE，
∵过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，
∴∠BAE=∠C，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∴∠ABC=∠BAE，∴AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴EB=AC，∴AC=AB=BE=5，
∴BC=AE=3，
∵△AFC∽△DFB，∴=，即=，
解得CF=．
故答案为：．
【点评】本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．
15. 函数在区间上的值域是。

参考答案：
略
16.
参考答案：
17. 设椭圆C：，F是右焦点，是过点F的一条直线（不与y轴平
行），交椭圆于A、B两点，是AB的中垂线，交椭圆的长轴于一点D，则
的值是
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆C的两个焦点分别为，长轴长为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；
（Ⅱ）过点(0,1)的直线l与椭圆C交于A、B两点，若点M满足，求
证：由点M构成的曲线L关于直线对称．
参考答案：
（Ⅰ），离心率；（Ⅱ）见解析
【分析】
（Ⅰ）由已知，得a，c＝1，所以，由，所以
b，即可求出椭圆方程及离心率；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
，分两种情况，借助韦达定理和向量的运算，求出点M构成的曲线L的方程为2x2+3y2﹣2y＝0，即可证明。

【详解】（Ⅰ）由已知，得，所以，
又，所以
所以椭圆的标准方程为，离心率.
（Ⅱ）设，，，
①直线与轴垂直时，点的坐标分别为，．
因为，，，
所以．
所以，即点与原点重合;
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
由
得，．
所以.
则，
因为，，，
所以．
所以，．，，
消去得．
综上，点构成的曲线的方程为
对于曲线的任意一点，它关于直线的对称点为．
把的坐标代入曲线的方程的左端：
．
所以点也在曲线上．
所以由点构成的曲线关于直线对称.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点的轨迹方程，考查计算能力，属于中档题．
19. （2017?河北二模）空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良
101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．
一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．
（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天）
（Ⅱ）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，由此能求出该样本中空气质量优良的频率，从而能估计该月空气质量优良的天数．
（2）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B
（3，），由此能求出ξ的概率分布列和数学期望．
【解答】解：（1）从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2，
空气质量良的天数为4，
∴该样本中空气质量优良的频率为，
从而估计该月空气质量优良的天数为30×=18．
（2）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
且ξ～B（3，），
P（ξ=0）=（）3=，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）=（）3=，
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=3×=1.8．
【点评】本题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
20. 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知
∠ABC=120°，∠ADC=150°，BD=1（千米），AC=3（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．（即从B 点出发到达C点）
参考答案：
【考点】HU：解三角形的实际应用．
【分析】先利用正弦定理，求出AD，再在△ADC中，由余弦定理，求出DC，即可得出结论．
【解答】解：由∠ADC=150°知∠ADB=30°，
由正弦定理得，所以，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
在△ADC中，由余弦定理得：|AC|2=|AD|2+|DC|2﹣2|AD|?|DC|cos150°，
即，即DC2+3?DC﹣6=0，
解得（千米），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以|BC|≈2.372（千米），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由于2.372＜2.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．﹣﹣﹣
21. （本小题共14分）
已知，曲线在处的切线方程为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求在上的最大值；
（Ⅲ）当时，判断与交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）参考答案：
解：（Ⅰ）,
由已知可得，
解之得．
…………3分
（Ⅱ）令．
则, …………5分
故当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以
， (8)
分
故在单调递增，
所以．
………11分
（Ⅲ）当时，与有两个交点. ………14分
22. 为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取100名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：
（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；
（2）现从上表中不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出6人，求所抽取的6人中“学习成绩优秀”和“学习成绩一般”的人数；
（3）从（2）中抽取的6人中再随机抽取3人，求其中“学习成绩优秀”的学生恰有2人的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：
（1）填表见解析，有的把握认为学生的学习成绩与是否使用手机有关；（2）4
人，2人；（3）．
（1）填表如下：
由上表得，
故有的把握认为学生的学习成绩与是否使用手机有关．
（2）由题意得，所抽取的位不使用手机的学生中，“学习成绩优秀”的有人，
“学习成绩一般”的有人．
（3）设“学习成绩优秀”的人为，，，，“学习成绩一般”的人为，，
所以抽取人的所有结果为，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，
，共个，其中“学习成绩优秀”的学生恰有人的结果有，，
，，，，，，，
，，，共个，
所以所求概率．。