行满秩Toeplitz型矩阵Moore-Penrose逆的快速算法

δ = å t12j ， rn + 1 = sn + 1 = un + 1 u n + 1 = 1 (t11 t12 t1n - 1)T ， δ j=1 ψ n = - å t1j q j w n + 1 = p1 u n + 1 ，
(i) (i) (i) j=1 n (i) n (i) (i)
[1]
2
主要结论
考虑 m ´ n 阶 Toeplitz 矩阵 T = ξ j - i
( )
m n
i j = 1
。熟知 Toeplitz
矩阵 T 满足：
T - Z mTZ nT = ( ξ 0 ξ -1 ξ -m + 1) e1
(n) i (m) 2 (m) (m) (n) T ( n )T
(
)
(r m + n j + n - s m + n j + n + x m + n j + n) y m + n k ( y͂ m + n j + n + y͂ m + n j + n)u m + n k (k = 1 2 n - 1) m n j + n - 1 = å w m + n j + n y m + n n + v m + n j + n x͂ m + n n +
2
2010， 46 （30）
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
(i) æ (i) ö (i) x͂ k + 1 = ç x͂ k ÷ + μ k u k + 1 è0 ø
Toeplitz 型矩阵是更广泛的一类矩阵。 当 Toeplitz 型矩阵 T 的秩为 m 时， 构造 m + n 阶对称矩阵
T 即 为 通 常 的 Toeplitz 矩 阵 。 可 见 q = (0 ξ1 ξ n - 1)T 时 ，
(2) (1) (1) (n) (2) (m) (i) (i) (i)
(i)
基金项目： 国家自然科学基金 （the National Natural Science Foundation of China under Grant No.70901063） ； 西北工业大学基础研究基金 （the NPU Foundation for Fundamental Research No.G9KY102202） 。 作者简介： 安晓虹 （1979-） ， 女， 博士研究生， 讲师， 研究方向： 特殊矩阵快速算法； 徐仲 （1957-） ， 男， 教授， 研究方向： 特殊矩阵快速算法； 陆全 （1957-） ， 女， 教授， 研究方向： 特殊矩阵快速算法； 王树勋 （1964-） ， 男， 教授， 研究方向： 计算机辅助几何设计。 收稿日期： 2010-05-10 修回日期： 2010-09-06
T -1 O （mn） +O （m2） ， 而由 T（ TTT） 直接求解所需运算量为 O （m2n） +O （m3） 。数值算例表明了该快速算法的有效性。
关键词： Toeplitz 型矩阵； Moore-Penrose 逆； 对称化； 快速算法 DOI： 10.3778/j.issn.1002-8331.2010.30.001 文章编号： 1002-8331 （2010） 30-0001-04 文献标识码： Ａ 中图分类号： TP301.6
T - Z mTZ nT = å p q
i=1 (i) (i)
l
(i) (i)T
（1）
(i) (i)
其中 l 是正整数，p = ( p1 p 2 p m ) (i = 1 2 l) 为 m 维 列向量， q = (q1 q 2 q n ) (i = 1 2 l) 为 n 维列向量， 则 称 T 为 m ´ n 阶 Toeplitz 型矩阵。 当 l = 2 且 p = (ξ 0 ξ -1 ξ -m + 1)T ，q = e1 ，p = e1 ，
T æ ö M = ç In T ÷ èT O ø
（2）
μ k = c k - n + 1 - å t k - n + 1 j x͂ kj (i = 1 2 l)
(i) (i) (i) j=1 n (i) (i) (i) (i) æ (i) ö y͂ k + 1 = ç y͂ k ÷ + θ k u k + 1 ， θ k = - å t k - n + 1 j y͂ kj (i = l + 1 l + 2) j=1 è0 ø
(i) (i) (i) (i) i=1 l (l + 1) (l + 2)
(l + 2)
(l + 1)
(
)
(r m + n j + n - s m + n j + n + x m + n j + n) y m + n n ( y͂ m + n j + n + y͂ m + n j + n)u m + n n
(i) (i) (i) (i) (i) ö θ n = - å t1j d j ，y͂ n + 1 = æ ç d ÷ + θ n u n + 1 (i = l + 1 l + 2) è0 ø j=1 n
[3]
算量均为 O(n2) 。之后， 1972 年 Gohberg I.C 和 Krupnik N.Ya.[4]， 1984 年 Heining 和 Rost ， 1986 年 Ben-Artzi A. 和 Shalom T. ，
[5] [6]
1995 年 Martin 和 Marlis[7]相继给出了 Toeplitz 矩阵的逆矩阵可 以分解为上三角 Toeplitz 矩阵和下三角 Toeplitz 矩阵乘积之 和的表示式。而关于 m ´ n 阶 Toeplitz （型） 矩阵 Moore-Penrose 逆的研究未见。本文作者在 2008 年 [8] 给出了求 m ´ n 阶 Toeplitz 方程组的快速算法。 针对比 Toeplitz 矩阵更广泛的 Toeplitz 型矩阵展开研究， 通过由其构造的特殊的对称分块矩阵， 给出了求行满秩 To-
T -1 T（ TT T） needs O （m2n） +O （m3） .Examples show the efficiency of the fast algorithm.
Key words：Toeplitz-type matrix； Moore-Penrose inverse； symmetric； fast algorithm 摘 要： 通过构造对称分块矩阵给出了秩为 m 的 m×n 阶 Toeplitz 型矩阵 Moore-Penrose 逆的快速算法。该算法计算复杂度为
n
容易推出
æ I - T (TT ) T M -1 = ç n (TT T)-1T è
T T -1
T (TT ) ö ÷= -(TT T)-1 ø
T
T -1
对于 k = 1 2 n
m k m + n = u m + n k
æ I n - T T (TT T)-1T ç (T T)+ è
ö T T -1 ÷ -(TT ) ø
+ e1
( m)
(0 ξ1 ξ n - 1)
其中， e 指的是第 i 个分量为 1、 其余分量为 0 的 n 维列向量，
Z m = (e e 3 e m 0) ，Z n = (e 2 e 3 e n 0) 分别是 m 和 n 阶移位矩阵。进而有如下更一般的 Toeplitz 型矩阵的定义。
+
对于 j = 1 2 m - 1
m k j + n - 1 = m k + 1 j + n + å w m + n j + n y m + n k + v m + n j + n x͂ m + n k +
(i) (i) (i) (i) i=1 l
因此， 分块矩阵 M -1 右上角的矩阵即为行满秩的 Toeplitz 型矩 阵 T 的 Moore-Penrose 逆。 当式 （1） 中右端的向量 p q (i = 1 2 l) 的元素为已 知时， 给出行满秩的 Toeplize 型矩阵 Moore-Penrose 逆的快速 算法如下。 算法：
+
v
(i) n+1
(i) æ ö = ç q ÷ + ψ n u n + 1 (i = 1 2 l) è0 ø (i) (i) n (i)
λ n = - å t1j b j x n + 1 = t11u n + 1 ；
(l + 2) j=1
(i) (i) ö (i) yn + 1 = æ ç b ÷ + λ n u n + 1 (i = 1 2 l + 1) è0 ø
n 定义 1[9] （Toeplitz 型矩阵）若 m ´ n 阶矩阵 T = (tij )im j = 1 满足： (n) (n)
年 Thench[2] 给出了求 Hermite 正定 Toeplitz 矩阵逆矩阵的快速 算法； 1969 年， Zohar 将其推广到强非奇异的情形， 其算法运
(l + 1) (l + 2)
(l + 2)
(l + 1)
最后可得
æ m1 n + 1 m1 n + 2 m1 n + m ö ç ç m 2 n + 1 m 2 n + 2 m 2 n + m ÷ ÷ ÷ T =ç ç ÷ ç ÷ çm ÷ è n n + 1 m n n + 2 m n n + m ø
1
引言
Toeplitz 矩阵及 Toeplitz 型矩阵在线性预测、 最小二乘估
eplitz 型矩阵 Moore-Penrose 逆的快速算法， 其计算复杂度比 直接构造求解 T + = T T (TT T)-1 降低了一个数量级。
计、 谱分析、 自回归滤波器设计等领域内起着重要的作用； 尤 其在数字信号处理领域中， Toeplitz （型） 矩阵更是应用最广泛 的特殊矩阵之一。例如， 均值为零的实平稳随机序列的自协 方差矩阵就是对称 Toeplitz 矩阵； 地震勘探中的稀疏反褶积计 算一般会导出一个 Toeplitz 矩阵的线性系统。 有关 Toeplitz （型） 矩阵求逆的快速算法的研究， 开始于 Levinsion 在 1949 年对对称 Toeplitz 线性方程组的研究； 1964
算法复杂度： 该 算பைடு நூலகம்法 需 (13l + 17) mn + æ 7 l + 5 ö m2 + O(m) 次 乘 除 运 算 ， è2 ø
l + 9 ö m2 + O(m) 次加减运算。 (13l + 19) mn + æ 7 2 2 è ø
x͂ n + 1 = p 2 u n + 1 (i = 1 2 l)
西北工业大学 理学院， 西安 710072 College of Science， Northwestern Polytechnical University， Xi’ an 710072， China E-mail： anxiaohong@ AN Xiao-hong， XU Zhong， LU Quan， et al.Fast algorithm for Moore-Penrose inverse of Toeplitz-type puter Engineering and Applications， 2010， 46 （30） ： 1-4. Abstract： A new fast algorithm for Moore-Penrose inverse of Toeplitz-type matrices with full row rank is presented by forming a symmetric block matrix.The computational complexity of this algorithm is O （mn） +O （m2） ， while solving T + from
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
2010， 46 （30）
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⦾博士论坛⦾
行满秩 Toeplitz 型矩阵 Moore-Penrose 逆的快速算法
安晓虹， 徐 仲， 陆 全， 王树勋 AN Xiao-hong， XU Zhong， LU Quan， WANG Shu-xun