2018年高考数学文一轮复习文档：第八章 平面解析几何

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系
,)
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．
1．辨明两个易误点
(1)对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在的情形． (2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形． 2．求圆的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫l 22
＝r 2－d 2.
(2)代数法：运用根与系数的关系及弦长公式： 设直线与圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2|
＝（1＋k 2
）[（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2]. 注意：常用几何法研究圆的弦长有关问题．
1.教材习题改编 直线l ：x ＋3y －4＝0与圆C ：x 2
＋y 2
＝4的位置关系是( ) A ．相交过圆心 B ．相交不过圆心 C ．相切
D ．相离
C 圆心坐标为(0，0)，圆心到直线l 的距离d ＝|－4|
2＝2＝r ，所以直线l 与圆C
相切．故选C.
2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2
＋y 2
＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ． B ． C ．
D ．(－∞，－3]∪ 由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2， 所以
|a －0＋1|12
＋（－1）
2
≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1，故选C.
3．圆Q ：x 2
＋y 2
－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0
D ．x －3y ＋2＝0
D 因点P 在圆上，且圆心Q 的坐标为(2，0)， 所以k PQ ＝－32－1＝－3，所以切线斜率k ＝3
3
，
所以切线方程为y －3＝3
3
(x －1)， 即x －3y ＋2＝0.
4.教材习题改编 已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2
－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________．
圆C 1和圆C 2的标准方程为(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －m )2
＝4，圆心分别为
C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为3，2.当两圆外切时，（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝5，
解得m ＝2或m ＝－5.
2或－5
5.教材习题改编 直线l ：3x ＋y ＋m ＝0被圆C ：x 2
＋y 2
－2y －4＝0截得的弦长为10，则m 的值为________．
圆C ：x 2
＋y 2
－2y －4＝0化为x 2
＋(y －1)2
＝5.圆心为(0，1)，半径r ＝ 5. 所以C (0，1)到l 的距离d ＝
|3×0＋1＋m |32＋12
＝|1＋m |
10
， 所以截得的弦长为2r 2
－d 2
＝25－（1＋m ）2
10
＝10.
解得m ＝4或m ＝－6. 4或－6
直线与圆的位置关系
(1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2
＋(y －1)2
＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离
D ．不确定
(2)若直线x ＋my ＝2＋m 与圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0相交，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0)
C ．(0，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)
【解析】 (1)法一：由⎩
⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2
＝5，消去y ， 整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2
－5＝0，
因为Δ＝16m 2
＋20>0，所以直线l 与圆相交． 法二：由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝
|m |
m 2＋1
<1<5，故直线l 与圆相交．
法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x 2
＋(y －1)2
＝5的内部，所以直线l 与圆相交．
(2)由x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0得(x －1)2
＋(y －1)2
＝1，
因为直线x ＋my ＝2＋m 与圆x 2＋y 2
－2x －2y ＋1＝0相交，所以|1＋m －2－m |1＋m
2
<1，即1＋m 2>1，
所以m ≠0，即m ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． 【答案】 (1)A (2)D
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问
题．
1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2
＋y 2
＝1外， 则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离
D ．不确定
B 因为M (a ，b )在圆O ：x 2
＋y 2
＝1外， 所以a 2
＋b 2
＞1，
从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离
d ＝
|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2
＝1
a 2＋b
2＜1， 所以直线与圆相交．
2．(2017·聊城模拟)圆(x －3)2
＋(y －3)2
＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
C 因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|
5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆
相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．
圆与圆的位置关系
已知圆C 1：(x －a )2
＋(y ＋2)2
＝4与圆C 2：(x ＋b )2
＋(y ＋2)2
＝1相外切，则ab
的最大值为( )
A ．
6
2
B ．32
C ．94
D ．2 3
【解析】 由圆C 1与圆C 2相外切，
可得 （a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2
＝9，
根据基本(均值)不等式可知ab ≤⎝ ⎛⎭⎪
⎫a ＋b 22
＝94
，
当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C. 【答案】 C
(1)若把本例中的“外切”改为“内切”，结论如何？
(2)若把本例中的“外切”改为“相交”，则两圆公共弦所在的直线方程是什么？ (1)由C 1与C 2内切得 （a ＋b ）2
＋（－2＋2）2
＝1.
即(a ＋b )2
＝1，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪
⎫a ＋b 22
＝14
，当且仅当a ＝b 时等号成立，
故ab 的最大值为1
4
.
(2)由题意得，把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程． 圆C 1：x 2
＋y 2
－2ax ＋4y ＋a 2
＝0.①
圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2
＋3＝0，② 由②－①得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2
－a 2
＝0，
即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2
－a 2
＝0为所求公共弦所在直线方程．
1．圆C 1：x 2
＋y 2
＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2
＋y 2
－4x －2y ＋4＝0的公切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．4条
D 圆C 1：(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝4， 所以圆心C 1(－1，－1)，半径长r 1＝2； 圆C 2：(x －2)2
＋(y －1)2
＝1， 所以圆心C 2(2，1)，半径长r 2＝1.
所以d ＝（－1－2）2
＋（－1－1）2
＝13，
r 1＋r 2＝3，所以d ＞r 1＋r 2，所以两圆外离，
所以两圆有4条公切线．
2．(2017·郑州质检)若⊙O 1：x 2
＋y 2
＝5与⊙O 2：(x ＋m )2
＋y 2
＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．
由两圆在点A 处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO 1⊥AO 2，在直角三角形AO 1O 2中，(25)2＋(5)2＝m 2
，所以m ＝±5，|AB |＝2×25×55
＝4.
4
与圆有关的切线与弦长问题(高频考点)
与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．
高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下三个命题角度： (1)弦长问题； (2)切线问题；
(3)由弦长及切线问题求参数．
(1)(2016·高考全国卷乙)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2
＋y 2
－2ay －2＝0相交于
A ，
B 两点，若|AB |＝23，则圆
C 的面积为________．
(2)已知点P (2＋1，2－2)，点M (3，1)，圆C ：(x －1)2
＋(y －2)2
＝4. ①求过点P 的圆C 的切线方程；
②求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．
【解】 (1)圆C 的方程可化为x 2
＋(y －a )2
＝a 2
＋2，可得圆心的坐标为C (0，a )，半径r ＝a 2
＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2
，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(3)
2
＝(a 2＋2)2，解得a 2
＝2，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π.故填4π.
(2)由题意得圆心C (1，2)，半径长r ＝2.
①因为(2＋1－1)2
＋(2－2－2)2
＝4，所以点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－2
2＋1－1＝－1，
所以切线的斜率k ＝－
1
k PC
＝1.
所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×，即x －y ＋1－22＝0. ②因为(3－1)2
＋(1－2)2
＝5＞4，所以点M 在圆C 外部． 当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3， 即x －3＝0.
又点C (1，2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝
|k －2＋1－3k |
k 2
＋1
＝r ＝2，
解得k ＝34.所以切线方程为y －1＝3
4(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C
的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.
因为|MC |＝（3－1）2
＋（1－2）2
＝5，所以过点M 的圆C 的切线长为|MC |2
－r 2
＝5－4＝1.
(1)求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程
先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1
k
，由点斜式方程可求得切
线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程为x ＝x 0.
(2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程
①几何法：当切线斜率存在时，设斜率为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋
y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可得出k 的值，进而求出切线方程．
②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由判别式Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出．
(3)圆的弦长的求法
①几何法：如图所示，设直线l 被圆C 截得的弦为AB ，圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则有关系式：
|AB |＝2r 2
－d 2
.
②代数法：若斜率为k 的直线与圆相交于A (x A ，y A )，
B (x B ，y B )两点，则|AB |＝1＋k 2·（x A ＋x B ）2
－4x A x B ＝
1＋1
k
2|y A －y B |(其中k ≠0)．特
别地，当k ＝0时，|AB |＝|x A －x B |；当斜率不存在时，|AB |＝|y A －y B |.
当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt △ADC )，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．
角度一 弦长问题
1．(2016·高考全国卷丙)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2
＋y 2
＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．
设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2
＝23，得
d ＝3，即
||
3m －3m 2＋1
＝3，解得m ＝－
3
3
，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |
cos 30°
＝4.
4
角度二 切线问题
2．(2017·重庆一模)已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一点，PA 是圆C ：x 2
＋y 2
－2y ＝0的一条切线，A 是切点，若PA 的最小长度为2，则k 的值为( )
A ．3
B ．
212
C ．2 2
D ．2
D 圆C ：x 2
＋y 2
－2y ＝0的圆心是(0，1)，半径是r ＝1，因为PA 是圆C ：x 2
＋y 2
－2y ＝0的一条切线，A 是切点，PA 的最小长度为2，所以圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，由点到直线的距离公式可得
|1＋4|
k 2＋1
＝5，因为k ＞0，所以k ＝2，故选D.
角度三 由弦长及切线问题求参数
3．(2016·高考山东卷)已知圆M ：x 2
＋y 2
－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是2 2.则圆M 与圆N ：(x －1)2
＋(y －1)2＝1的位置关系是( )
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
B 由题知圆M ：x 2
＋(y －a )2
＝a 2
，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a
2
，所以
2
a 2
－a 2
2
＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，故两圆相
交．
, )
——直线与圆的综合问题
(本题满分12分)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l
与圆C ：(x －2)2
＋(y －3)2
＝1交于M ，N 两点．
(1)求k 的取值范围；
(2)若OM →·ON →
＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. (1)
(2)
(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|
1＋k 2
＜1. (2分)
解得4－73＜k ＜4＋73.
所以k 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫
4－73
，4＋73.(5分)
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2
＋(y －3)2
＝1， 整理得(1＋k 2
)x 2
－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝7
1＋k 2.(7分)
OM →
·ON →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1
＝
4k （1＋k ）
1＋k
2
＋8.(9分) 由题设可得4k （1＋k ）
1＋k 2
＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.(10分) 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.(12分)
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、
半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． (3)在解题过程中，注意题目要求，严格按照题目及相关知识的要求解答，不仅要注意解决问题的巧解，更要注意此类问题的通性通法．
,)
1．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x－3y－4＝0相切，则圆O的方程为( )
A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝3
C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝1
A 依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－3y－4＝0的距离，即r＝
4
1＋3
＝
2，
得圆O的方程为x2＋y2＝4.
2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切B．相交
C．外切D．相离
B 由两圆心距离d＝（2＋2）2＋12＝17，
又R＋r＝2＋3＝5，
所以d<R＋r，所以两圆相交．
3．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( ) A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
A 因为所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，
所以设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0.
因为所求直线与圆x2＋y2＝5相切，
所以|m|
1＋4
＝5，所以m＝±5.
即所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
4．过点(－2，3)的直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|取得最小
值时l 的方程为( )
A ．x －y ＋5＝0
B ．x ＋y －1＝0
C ．x －y －5＝0
D ．2x ＋y ＋1＝0
A 由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5，则圆心为(－1，2)．过圆心与点(－2，3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2
－2－（－1）
＝－1.
当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0.
5．(2017·山西太原五中月考)过点(1，－2)作圆(x －1)2
＋y 2
＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，则AB 所在直线的方程为( )
A ．y ＝－34
B ．y ＝－1
2
C ．y ＝－
32
D ．y ＝－1
4
B 圆(x －1)2
＋y 2
＝1的圆心为(1，0)，半径为1，
以（1－1）2
＋（－2－0）2
＝2为直径的圆的方程为(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝1， 将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0， 即y ＝－1
2
.故选B.
6．(2017·石家庄市第一次模考)已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1)2
＋(y ＋a )2
＝1相交于A 、B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( )
A ．1
7或－1 B ．－1 C ．1或－1
D ．1
C 由题意得圆心(1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离为22
， 所以|a －a －1|1＋a 2
＝22， 解得a ＝±1，故选C.
7．(2017·山西忻州三模)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2
的切线有且只有一条，则该切线的方程为________．
因为过点(3，1)作圆(x －1)2
＋y 2
＝r 2
的切线有且只有一条， 所以点(3，1)在圆(x －1)2
＋y 2
＝r 2
上．
因为圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝1
2，
所以切线的斜率为－2.
则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. 2x ＋y －7＝0
8．(2016·高考全国卷丙)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2
＋y 2
＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，0)，D (x 4，0)，由x －3y ＋6＝0，得x ＝3y －6，代入圆的方程，并整理，得y 2
－33y ＋6＝0，解得y 1＝23，y 2＝3，所以x 1＝0，x 2＝－3，所以直线AC 的方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，得x 3＝2，直线BD 的方程为y －3＝－3(x ＋3)，令y ＝0，得x 4＝－2，则|CD |＝|x 3－x 4|＝4.
4
9．(2017·太原模拟)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．
四边形PACB 的面积可表示为S ＝2×12×|PA |×1＝|PA |＝|PC |2
－1，故当|PC |最小时，
四边形PACB 的面积最小．而|PC |的最小值是点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，此时|PC |＝3，故S min ＝2 2.
2 2
10．(2017·重庆一中模拟)已知圆C ：(x －1)2
＋(y －2)2
＝2.y 轴被圆C 截得的弦长与直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长相等，则b ＝________．
在(x －1)2
＋(y －2)2
＝2中，令x ＝0，得(y －2)2
＝1，解得y 1＝3，y 2＝1，则y 轴被圆
C 截得的弦长为2，
所以直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长为2， 所以圆心C (1，2)到直线y ＝2x ＋b 的距离为1， 即
|2×1－2＋b |
5
＝1，解得b ＝± 5. ± 5
11．已知点P (2，2)，圆C ：x 2
＋y 2
－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．
(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2
＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →
＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM →·MP →
＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2
＋(y －3)2
＝2. 由于点P 在圆C 的内部，
所以M 的轨迹方程是(x －1)2
＋(y －3)2
＝2.
(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .
因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－1
3，
故l 的方程为y ＝－13x ＋8
3
.
又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为16
5
.
12．过点M (1，2)的直线l 与圆C ：(x －3)2
＋(y －4)2
＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．
依题意得知，当∠ACB 最小时，圆心C 到直线l 的距离达到最大，此时直线l 与直线
CM 垂直，又直线CM 的斜率为1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3
＝0.
x ＋y －3＝0
13．(2017·天津南开中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2
＋y 2
＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切．
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程． (1)将圆C ：x 2
＋y 2
＋4x －2y ＋m ＝0化为(x ＋2)2
＋(y －1)2
＝5－m ， 因为圆C ：x 2
＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切， 所以圆心(－2，1)到直线x －3y ＋3－2＝0的距离d ＝4
1＋3
＝2＝r ，
所以圆C 的方程为(x ＋2)2
＋(y －1)2
＝4.
(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则可设直线MN 的方程为 2x －y ＋c ＝0，
因为|MN |＝23，半径r ＝2，
所以圆心(－2，1)到直线MN 的距离为22
－（3）2
＝1， 即
|－4－1＋c |
5
＝1， 所以c ＝5±5，
所以直线MN 的方程为2x －y ＋5±5＝0.
14．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴正半轴上，直线3x －4y ＋4＝0与圆C 相切． (1)求圆C 的方程；
(2)若过点(0，－3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1x 2＋y 1y 2
＝3，求三角形AOB 的面积．
(1)设圆心C 的坐标为(a ，0)(a >0)， 则圆C 的方程为(x －a )2
＋y 2
＝4. 因为圆C 与直线3x －4y ＋4＝0相切， 所以
|3a ＋4|32
＋（－4）
2
＝2，
解得a ＝2或a ＝－14
3(舍)，
所以圆C 的方程为(x －2)2
＋y 2
＝4. (2)依题意设直线l 的方程为y ＝kx －3，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，（x －2）2＋y 2
＝4 得(1＋k 2)x 2
－(4＋6k )x ＋9＝0，
因为l 与圆C 相交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以Δ＝2－4(1＋k 2
)×9>0，且x 1＋x 2＝4＋6k 1＋k 2，x 1x 2＝91＋k 2，
所以y 1y 2＝(kx 1－3)(kx 2－3)＝k 2
x 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋9 ＝9k 2
1＋k 2－12k ＋18k
2
1＋k 2
＋9， 又因为x 1x 2＋y 1y 2＝3，
所以91＋k 2＋9k 2
1＋k 2－12k ＋18k 2
1＋k
2
＋9＝3，
整理得k 2
＋4k －5＝0，解得k ＝1或k ＝－5(不满足Δ>0，舍去)． 所以直线l 的方程为y ＝x －3.
所以圆心C 到l 的距离为d ＝|2－3|2
＝2
2，
则|AB |＝2·
22
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫222
＝14，
又△AOB 的底边AB 上的高h ＝
3
2
＝322.
所以S △AOB ＝12|AB |·h ＝12×14×322＝37
2.。