2020版数学人教A版必修5课件：第一章 1.2 第1课时 距离、高度问题

第一章§1.2　应用举例
第1课时　距离、高度问题
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
自主学习题型探究达标检测
1自主学习PART ONE
知识点一　实际问题中的常用角(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水
平视线
时叫仰角，目标视线在水平视线 时叫俯角，如图所示.下方上方
(2)方位角
正北方向
指从顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为140°(如图
所示).
(3)方向角
①正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.
②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图所示).类似还有东北方向、西南方向等.
知识点二　距离问题
类型图形
方法
两点间不可到达的距离余弦定理
两点间可视不可到达
的距离
正弦定理
两个不可到达的点之间的距离先用正弦定理，再用余弦定理
知识点三　高度问题
类型
简图
计算方法
底部可达测得BC ＝a ，∠BCA ＝C ，
AB ＝a ·tan C .
底部不
可达点B 与C ，D 共线
测得CD ＝a 及C 与∠ADB 的度数. 先由正弦定理求出AC 或AD ，再解三角形得AB 的值.
点B 与C ，D 不共线
测得CD ＝a 及∠BCD ，∠BDC ，∠ACB 的度数.
在△BCD 中由正弦定理求得BC ，再
1.南偏东30°指正南为始边，在水平面内向东旋转30°.(
)2.两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.(
)3.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.(
)4.高度问题大多通过仰角转化为水平面内的距离问题来解决.(
)思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
√√√√
2题型探究PART TWO
解析　因为A ，B 间是湖泊，可视不可达，故三个方案涉及的量均可测，并能用这些量解三角形求出AB .题型一　距离问题
命题角度1　不可通又不可视的两点间距离
多维探究例1　(1)如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )：
①测量A ，B ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a .
则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为
A .3
B .2
C .
1 D .0
√
(2)A，B两地之间隔着一个山岗如图，现选择另一点C，
测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为 km.
解析　由余弦定理，得
反思感悟　解实际应用题，通常要把实际问题抽象为数学问题，然后解决.
命题角度2　可视不可达的两点间的距离
例2　如图所示，在一岸边选定两点A，B，望对岸
标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则BC为 m.
解析　由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
反思感悟　求可视不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形.
命题角度3　测量两个不可到达点间的距离
例3　如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为千米/分钟.
解析　在△ACD中，CD＝1，∠ADC＝30°，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝105°，
∴∠CAD＝180°－30°－105°＝45°.
同理，在△BCD中，
在△ADB中，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB
反思感悟　本方案的实质是把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为例1中的题型.
题型二　高度问题
命题角度1　在同一铅垂面内的高度问题
例4　某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前
进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为 m .(精确
到1 m)
多维探究811
解析　如图，过点D作DE∥AC交BC于E，
因为∠DAC＝20°，
所以∠ADE＝160°，
于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.在△ABD中，由正弦定理，得
在Rt△ABC中，BC＝AB sin 35°≈811(m).
所以山的高度为811 m.
反思感悟　(1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形.
(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进.
命题角度2　不在同一铅垂面内的高度问题
例5　如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是
√
解析　在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
反思感悟　此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.
核心素养之数学抽象
三角形测量中的数学抽象HEXINSUYANGZHISHUXUECHOUXIANG
典例　如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝ .求索道AB
的长.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C
所以索道AB的长为1 040 m.
素养评析　数学抽象指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象.在本例中，我们舍去A，B，C三处的景致、海拔、经度、纬度等非本质属性，得到纯粹的三个点，舍掉步行、乘缆车、速度等表征，直接抽象出线段AC，AB的长，都属于数学抽象.
3达标检测PART THREE
√
解析　∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，
2.(2018·河南南阳八校联考)如图，要测出山上一座天文台BC
的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为
√
解析　由题图，可得∠B＝45°，∠BAC＝30°，
3.如图，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3
4
千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是.
解析　由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，
整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4(舍负).
4.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一
平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度
(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，
7
A，B，C，D四点共圆，则AC的长为 km.
解析　因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.
在△ABC和△ADC中，
由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cos D，
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.测量距离和高度问题都可以转化成利用正弦、余弦定理求解三角形边的问题.
2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解.
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.。