高中竞赛辅导讲义抽屉原理

抽屉原理
“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet ）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。

这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。

这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。

抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。

抽屉原理的几种常见形式：
【1】把m 个元素分成n 类，当|n m ，则至少有一类中含有至少
m n 个元素；当|n m 时，则至少有一类中含有至少[]1m
n +个元素。

【2】把m 个元素分成n 类，则至少有一类中含有至多[]m
n 个元素。

【3】把无穷多个元素分成有限类，则必存在一类含有无穷多个元素。

【4】把121n m m m ++++ 个元素分成n 类，则必存在一个(1)i i n ≤≤，在第i 类中至少含有1i m +个元素。

【5】把121n m m m +++- 个元素分成n 类，则必存在一个(1)i i n ≤≤，在第i 类中至多含有1i m -个元素。

用抽屉原理解题有两个难点，其一是根据题目条件，经过分析，要想到问题应该可以利用抽屉原理解决；其二是怎样构造抽屉，其实构造抽屉的技巧性很强，这正是利用抽屉原理解题的魅力所在。

常用的构造抽屉的方法有：利用余数分类，划分集合，分割区间，分割图形，利用染色等。

例题：1.任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数。

2. ,,,a b c d 为四个任意给定的整数，求证：以下六个差数,,,,,b a c a d a c b d b d c ------的乘积一定可以被12整除。

3.从1～25这25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有偶两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。

4.已知正整数012,,,,n a a a a 满足0122n a a a a n <<<<< ，证明：一定可以从中选出3个不同的数，使得其中两个数之和，等于第三数。

5.在边长为1的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点
的三角形的面积不超过1
8。

6.17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时，只讨论三个题目，而且任意两名科学家通信时只讨论一个题目，证明：其中至少有三名科学家，他们互相通信时讨论的是同一个题目。

7.某次考试有5道选择题，每题都有4个不同答案供选择，每人每题恰选1个答案，在2000份答卷中发现存在一个n，便得任何n份答卷中都存在4份，其中每两份的答卷都至多3题相同，求n的最小可能值。

（2000*中国）。