八年级数学下册 9.1 二次根式和它的性质 二次根式的概念学习要点素材 (新版)青岛版

二次根式的概念学习要点

二次根式是一种特殊的代数式，它在实际生活以及其它科学技术中都有着广泛的应用，为了帮助同学们学好这一知识点，现提醒同学们学习时应注意领会以下几个要点：

一、正确理解二次根式的定义

、0（a ≥0）等式子，这些式子是什么样的一个式子呢？我们把式子a （a ≥0）叫做二次根式.由此，对于a （a ≥0）的讨论应注意下面的问题：

（1）式子a 只有在条件a ≥0时才叫二次根式.

.

（2a ≥0）实际上就是非负数a 的算术平方根.

（33，但3不是二次根式.因此二次根式指的是某种式子的“外部形态”.如，当a 为实数时， a 、2a 、12+a 、2)1(-a 都是二次根式，而10+a 、12-a 都不一定是二次根式.这是因为a 是实数时，并不能保证a +10、a 2－1

是非负数，即a +10、a 2

－1可以是负数，如当a ＜－10时，a +10＜0；又如当0＜a ＜1时，a 2－1＜0，因此，10+a 、12-a 不一定是二次根式.

二、能运用二次根式的定义确定有关二次根式的字母取值范围 由于式子a （a ≥0）叫做二次根式，它实际上是一个非负的实数a 的算术平方根的表达式.所以式子a 中的被开方数或被开方式必须大于或等于零，即式子a 是一个非负数. 如，当x ≥3时，式子3-x 在实数范围内有意义.这是因为由二次根式的定义可知被开方式x －3≥0，即x ≥3，就是说当x ≥3时，式子3-x 在实数范围内有意义.这类问题实质上是当x 是什么数时，x －3是非负数，式子3-x 有意义.

三、能运用二次根式的定义解题

我们知道，二次根式的结果是一个非负数，在初中阶段，常见的非负数有三个：a 2≥0，a ≥0，a ≥0.利用“几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零”的性质解题，在各

类考试中屡见不鲜.

例1 已知y +6，则y x

＝ . 简析 根据二次根式的被开方数是一个非负数，可得3－x ≥0且x －3≥0，即x ≤3且x ≥3，所以x 只能等于3，所以y ＝6.故

y x ＝63＝2.

例2 已知3x -+y 2+4y ＝0，求

x y z x y z -+++的值.

简析 本题可变形为3x -+(y +2)20，因为是三个非负数的和为0，所以x －3＝0，y +2＝0，z －1＝0，即x ＝3，y ＝－2，z ＝1，故

x y z x y z -+++＝3(2)1321

--+-+＝3. 下面两道题目供同学们自己练习：

1、已知实数a 满足2007a -a ，求a －20072

的值.

2在实数范围内成立，其中a 、x 、

y 是两两不同的实数，求222

23y

xy x y xy x +--+的值.

3、若实数x 、y 、a ，试问长度分别为x 、y 、a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.

参考答案

1，由a －2008≥0，得a ≥2008.故已知式可化为a －2007+a ，所以

2007，两边平方并整理，得a －20072＝2008.

2，由a (x －a )≥0及x －a ≥0得a ≥0；由a (y －a )≥0及a －y ≥0得a ≤0，故a ＝0，

，x ＝－y ≠0，故原式＝2222223y

y y y y y ++--＝31. 3，由x +y －8≥0，8－x －y ≥0，得x +y ≥8，x +y ≤8.所以8≤x+y ≤8，x +y ＝8.这时，

已知等式即为+＝0.因为a ≥0，

0，

00.从而3x－y－a＝0，x－2y+a+3＝0.这两个等式

相加，得4x－3y＝－3.联立x+y＝8和4x－3y＝－3，得

8,

43 3.

x y

x y

+=

⎧

⎨

-=-

⎩

解得

3,

5.

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

这时a

＝3x－y＝4.因为x、y、a中的任意两者的值大小第三者的值，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个三角形.因为x2+a2＝y2，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个直角三角形，且两条直角边的长度分别为3、4.所以该三角形的面积值＝3×4÷2＝6.