ch3容斥原理推广(组合数学)

m
...
(k) ...
i1 1 i2 i1
n
ik ik 1
n Ai1 Ai2 ... Aik = (n k ) m k
则m个有标志的球放入n个有区别的盒子,无一空 盒的方案数为
N A1 A2 ... An (0) n (1) (k )= (1) ( n k) m k 0 k 0 k n!S (m, n) 1 n k n m S (m, n) ( 1) ( n k ) n ! k 0 k
3.3. 容斥原理---一般公式
n k i ik i i q k (1) Pk i (1) Pi ik i 0 k k
n k
证３对N做归纳。 N = 1时，设此元有m种性质，m ＜ n , 不妨设A1 =A2= · · ·=Am={ a1 }.显然 Pj =C(m,j), 若 j＞m，则 Pj = 0；由定义得
恰好教两门的老师数为：
q2＝P2－3P3＝3
3.3. 容斥原理---一般公式
•广义容斥原理
设S是一个N元集合, 假定对每一个a S都赋予一个 重量(或权),记为W(a),令P表示一组性质p1 ,p2 ,..,ps , 记P {p1 ,p2 ,..,ps }, 设{pi1 ,pi2 ,...pir }是P的一个r元子集。 又令W(pi1 ,pi2 ,...pir )代表S中一切至少同时具有性质 pi1 ,pi2 ,...pir的诸元素的重量之和，记 W(r)=
r k i
1 r k i r r k (1) (n k i )! (n r )! i 0 k k i k 1 r r k i r k k (1) i (n k i )! (n r )! i 0
= P1 － 2P2 + 3P3
P0 在一般公式中，若令
= N， q0 = | A1∩A2∩···∩An |
就得到原来的容斥原理。
3.3. 容斥原理---一般公式
证２ 根据定义
qk
I (n,k )

( iI Ai ) ( jI A j ) ,
qk由Pk+j的代数和组成,带符号 (－1) j ,计算Pk+j的重 复度：k + j个集的交的绝对值的项的总个数为 C(n,k+j ) 。每一项的重复度为 C(n,k ) C(n-k,j ) / C(n,k+j ) =C(k+j,k), 从而Pk+j的重复度也是C (k+j,k)
3.3. 容斥原理---一般公式
j k j k i i k j k i i (1) (1) k i k i 0 k i i i0
j
j k j j k j i i j (1) (1) i 0 k i k i 0 i
{pi1 ,pi2 ,...pir }P

W(pi1 ,pi2 ,...pir )
3.3. 容斥原理---一般公式 特别，令W (0) W (a), 设E (r )表示集合S中
aS
恰好具有r个性质的所有元素的重量之和。 则我们有如下公式：
r 1 r 2 E (r ) W (r ) W (r 1) W (r 2) r r s r s ... (1) W ( s) r
P1＝| A1 |+| A2|+| A3 |＝8+6+5＝19; P2＝| A1∩A2|+ | A1∩A3|+| A2∩A3|＝12； P3＝| A1∩A2∩A3|＝3；
3.3. 容斥原理---一般公式
故 教其他课的老师数为：
恰好一门的教师数：
q0＝P0 －P1 +P2－P3＝２ q1＝P1－2P2 + 3P3＝4
证明 : 对i 1, 2,...r , 设Ai 为N中取r的排列a1a2 ...ar 中有ai i. 注意到, 对于0 t r , 有 Ai1 Ai2 ... Ait A1 A2 ... At n t (n t )! (r t )! (n r )! r t
s
特别，令r 0得
E(0) W(0) W(1) W(2) ... ( 1) W(s)
3.3. 容斥原理---一般公式
3.3. 容斥原理---一般公式
3.3. 容斥原理---一般公式
3.3. 容斥原理---一般公式
3.3. 容斥原理---一般公式
3.3. 容斥原理---一般公式
n k n k
n 推论3.3 (1) (n k) m 0, m n k 0 k
n k
n 推论3.4 (1) (n k) n n! S (n, n) 1 k 0 k
n k
n-1 n n 推论3.5 (1) (n 1 k) ( n 1)! k 0 k 2 n S (n, n 1) 2
nk i
k m km
假设对于 N－1，等式成立。 对于N，设新增元有m种性质.对于N个元的P’j ，q’k 有 m 1 k=m Pj Pj q k qk j 0 k m
3.3. 容斥原理---一般公式
k i i 右端 (1) Pk i 0 i n k m i k i (1) {PK i } i 0 k k i n k n k k i i i k i m (1) PK i (1) k i k k i 0 i 0
(t)
1i1 i2 ..it r

r (n t )! Ai1 Ai2 ... Ait = t (n r )!
k i D(n, r , k ) (1) (k i) i 0 k r k i k i r ( n k i )! (1) i 0 k k i (n r )!
1 k=m qk 0 k m
3.3. 容斥原理---一般公式
n k k i i k i m i 右端 (1) Pk i (1) i 0 k k i i 0 i
nk
m m k 1 (1) i 0 k i 0
3.3. 容斥原理---一般公式
若将３.1中的例子2改为“单修一门数学的学生 有多少？”“只修一门课的学生有多少”“只 修两门课的学生有多少？” 下面我们来考虑这个问题，我们有如下一般 的容斥原理。
设有与性质１,2,· · · ,n相关的元素N个， Ai为有第 i 种性质的元素的集合.i=1,2,…,n qk为恰有k种性质的元素的个数。
j

k j 0 0 k
即某恰有k + j种性质的元素对上式右边总的贡献为0
3.3. 容斥原理---一般公式
前例中只修一门课的学生为：
|M P C|+|M P C|+|M P C| 3 i 1 i q1 (1) Pi i 1 1

( iI Ai ) ( jI A j ) ,
3.3. 容斥原理---一般公式
k i Theorem1, q k (1) Pk i i 0 i
n k i
证１ 设某一元素恰有k种性质，则其对Pk的某一 项的贡献为１，而对Pk+1，Pk+2 , · · · ,Pn的贡献都 是０。若某一元的性质少于k种,则其对Pk， Pk+1，· · · ，Pn的贡献都是０.若恰有k + j种性质, 则其对Pk的贡献是C(k+j,k),对Pk+i的贡献是 C(k+j. k+i)
n k i
1 k=m qk 0 k m
等式成立．
3.3. 容斥原理---一般公式
例1,某校有12个教师，已知教数学的有8位，教物 理的有6位，教化学的5位；数、理5位，数、化4 位，理、化3位；数理化3位。问教其他课的有几 位？只教一门的有几位？只教两门的有几位？ 解 令教数学的教师属于A1，教物理的属于A2，教 化学的属于A3。则P0＝12，
3.3. 容斥原理---一般公式
记
P0 N , P 1 A 1 A2 ... An , P2 Ai Aj A1 A2 A1 A3 ... AnLeabharlann Baidu1 An ,
i j
Pk
I ( n ,k )

iI Ai ,
则
qk
I (n,k )
n 1 k
推论3.6 n n n-2 n (1) (n 2 k) ( n 2)! 3 k 0 k 3 4
n2 k
n n S (n, n 2) 3 3 4
2,错排问题的推广
N {1,2,...n}, 从N中取r个进行排列, 得a1a2 ...ar , 要求其中只有k 个数满足ai i. 这样的错排数用D(n, r , k )表示.
定理3.5 对于整数n,r,k,若n r k有 1 r r k i r-k D(n, r , k ) k (1) i (n i k)! (n r )! i0
3.3. 容斥原理---一般公式
3.4. 容斥原理应用
1第二类Stirling数的展开式 先考虑m个有标志的球放入n个有区别的盒子, 无一空盒的情形
Ai : 使 第i个盒子为空的事件, i 1,2,..., n.
(0) n m
n (1) A1 A2 ... An n(n 1) = (n 1) m 1 n n (2) Ai Aj = (n 2) m i 1 j i 2