2021年高考数学大一轮复习 10.3二项式定理课时作业 理

2021年高考数学大一轮复习 10.3二项式定理课时作业 理
一、选择题
1．(1
x
＋x 2)3的展开式的常数项为( )
A ．1
B ．3
C ．－ 3
D.3
解析：设第r ＋1项为常数项，则T r ＋1＝C r 3(1x
)3－r (x 2)r ＝C r 3x －3＋3r
，令－3＋3r ＝0得r ＝1，
∴T 2＝C 1
3＝3，选B.
答案：B
2．若(x －2x
)n
的二项展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( )
A ．6
B ．10
C ．12
D ．15
解析：展开式的第5项为C 4
n (x )n －4
(－2x )4＝16C 4n x n －42x －4＝16C 4n x n 2－6，依题意知n 2
－6＝0，故n ＝12.
答案：C 3．(ax ＋
36)6的展开式的第二项的系数为－3，则⎠
⎛－2
a x 2
d x 的值为( ) A ．3 B.7
3 C ．3或7
3
D ．3或－
103
解析：该二项展开式的第二项的系数为C 1
6
36a 5，由C 1636a 5＝－3，解得a ＝－1，因此⎠
⎛－2
a x 2d x ＝⎠⎛－2
－1x 2
d x ＝
x 3
3
|
－1
－2
＝－13＋83＝73
.
答案：B
4．(x 2
＋2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
2－15的展开式的常数项是( )
A ．－3
B ．－2
C ．2
D ．3
解析：求展开式中的常数项，即分以下两种来源： 第一个因式取x 2，第二个因式取1x
2得：1×C 15(－1)4
＝5；
第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得：2×(－1)5
＝－2；故展开式的常数项是5＋(－2)＝3.
答案：D
5．若x 4
(x ＋3)8
＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2
＋…＋a 12(x ＋2)12
，则log 2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋
a 11)等于( )
A ．27
B ．28
C ．7
D ．8
解析：令x ＝－1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝28
①；令x ＝－3得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 12
＝0 ②.①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝28
，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27
，∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝7.
答案：C
6．设(x 2
＋1)(2x ＋1)9
＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2
＋…＋a 11(x ＋2)11
，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋
a 11的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
解析：令x ＋2＝1，所以x ＝－1，将x ＝－1代入(x 2
＋1)·(2x ＋1)9
＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2
＋…＋a 11(x ＋2)11
得[(－1)2
＋1](－2＋1)9
＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝2×(－1)＝－2.
答案：A 二、填空题
7．若(1＋2)5
＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________.
解析：(1＋2)5
＝C 0
5＋C 1
52＋C 2
5(2)2
＋C 3
5(2)3
＋C 4
5(2)4
＋C 5
5(2)5
＝41＋292，故a ＋b ＝41＋29＝70.
答案：70
8．(2x
＋x )(1－x )4
的展开式中x 的系数是________．
解析：(2x ＋x )(1－x )4的展开式中含x 的项为2x
·(－1)4C 44(x )4＋x ·C 04(－x )0
＝3x .
答案：3
9．对任意实数x ，有(x －1)4
＝a 0＋a 1(x －3)＋a 2(x －3)2
＋a 3(x －3)3
＋a 4(x －3)4
，则a 3
的值为________．
解析：∵(x －1)4
＝(x －3＋2)4
，又(x －1)4
＝a 0＋a 1(x －3)＋a 2(x －3)2
＋a 3(x －3)3
＋a 4(a －3)4
，∴a 3＝C 1
4×2＝8.
答案：8 三、解答题
10．已知⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x ＋124x n 的展开式中，前三项系数成等差数列． (1)求n ；
(2)求第三项的二项式系数及项的系数； (3)求含x 项的系数．
解：(1)∵前三项系数1，12C 1n ，14C 2
n 成等差数列．
∴2·12C 1n ＝1＋14C 2n ，即n 2
－9n ＋8＝0.
∴n ＝8或n ＝1(舍)．
(2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1241x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r
8·x 4－34r ，r ＝0,1，…，
8.
∴第三项的二项式系数为C 2
8＝28.
第三项系数为⎝ ⎛⎭
⎪⎫122·C 2
8＝7.
(3)令4－3
4
r ＝1，得r ＝4，
∴含x 项的系数为⎝ ⎛⎭
⎪⎫124·C 48＝35
8.
11．设(x 2
－x －1)50
＝a 100x 100
＋a 99x 99
＋a 98x 98
＋…＋a 0. (1)求a 100＋a 99＋a 98＋…＋a 1的值； (2)求a 100＋a 98＋a 96＋…＋a 2＋a 0的值．
解：(1)令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1，得a 100＋a 99＋a 98＋…＋a 1＋a 0＝1， 所以a 100＋a 99＋a 98＋…＋a 1＝0.
(2)令x ＝－1，得a 100－a 99＋a 98－…－a 1＋a 0＝1① 而a 100＋a 99＋a 98＋…＋a 1＋a 0＝1②
由(①＋②)÷2得a 100＋a 98＋a 96＋…＋a 2＋a 0＝1.
1．(xx·浙江卷)在(1＋x )6
(1＋y )4
的展开式中，记x m y n
项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )
A ．45
B ．60
C ．120
D ．210
解析：由题意可得f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 3
6＋C 26C 1
4＋C 1
6·C 2
4＋C 3
4＝20＋60＋36＋4＝120，故选C.
答案：C
2．(xx·山东卷)若(ax 2
＋b x
)6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2
的最小值为________．
解析：T r ＋1＝C r
6(ax 2)
6－r
(b x
)r ＝C r 6a
6－r b r x 12－3r
，令12－3r ＝3，得r ＝3，故C 36a 3b 3
＝20，所以
ab ＝1，a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1时，等号成立．
答案：2
3．(xx·安徽卷)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a n x n
.若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如右图所示，则a ＝________.
解析：由图得：a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，由二项式定理得：
C 1n 1a ＝3，C 2n (1a
)2
＝4.
即⎩
⎪⎨⎪⎧
n a
＝3.n n －1
2a
2
＝4.解得a ＝3，n ＝9.
答案：3
4．从函数角度看，组合数C r
n 可看成是以r 为自变量的函数f (r )，其定义域是{r |r ∈N ，
r ≤n }．
(1)证明：f (r )＝
n －r ＋1
r
f (r －1)； (2)利用(1)的结论，证明：当n 为偶数时，(a ＋b )n
的展开式中最中间一项的二项式系数最大．
解：(1)证明：∵f (r )＝C r
n ＝
n ！
r ！n －r ！
，
f (r －1)＝C r －1
n ＝
n ！
r －1！n －r ＋1！
，
∴n －r ＋1r f (r －1)＝n －r ＋1r ·n ！
r －1！n －r ＋1！ ＝
n ！
r ！n －r ！
.
则f (r )＝
n －r ＋1
r
f (r －1)成立． (2)设n ＝2k ，∵f (r )＝n －r ＋1
r
f (r －1)，f (r －1)>0， ∴
f r f r －1＝2k －r ＋1
r
.
令f (r )≥f (r －1)，则2k －r ＋1r ≥1，则r ≤k ＋12(等号不成立)．
∴当r ＝1,2，…，k 时，f (r )>f (r －1)成立．
反之，当r ＝k ＋1，k ＋2，…，2k 时，f (r )<f (r －1)成立．
∴f (k )＝C k 2k 最大，即(a ＋b )n
的展开式中最中间一项的二项式系数最大．P`26649 6819 栙 Z24247 5EB7
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