三角形全等的证明(内含flash动画)
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问：通过实验可以发现什么事实？
现在同学们把我们所画的两个三角形重合在 一起，你发现了什么？
完全重合
角边角公理：
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简 写为“ASA”)
பைடு நூலகம்
例1、已知：如图，∠DAB=∠CAB，∠C=∠D 求证：AC=AD ∵ ∠DAB=∠CAB，∠C=∠D 证明： ∴∠ABD=∠ACD (三角形内角和定理）
课 堂 练 习
如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件 和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。
（1）AC∥BD，CE=DF， AC=BD
( 2) AC=BD， AC∥BD
∠A=∠B
(SAS)
(ASA)
∠AEC=∠BFD ( 3) CE=DF，
∠C=∠D (ASA) (ASA)
( 4)∠ C= ∠D， AC=BD ∠A=∠B A
证明：连结AC, 在△ABC和△ ADC中 AB＝CD（已知） BC＝AD（已知） AC＝AC（公共边） A D
∴ △ ABC≌ △ CDA（SSS） ∴ ∠B＝∠D（全等三角形对应角相等）
B
C
小结：四边形问题转化为三角形 问题解决。
问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？ A 在原有条件下，还能推出什么结论？ D
C
N
∠1＝∠3 ∠ADB＝∠ACE ∴AD＝CE BD＝AE （全等三角形的对应边相等） AB＝AC ∵DE＝AE－AD ∴△ADB≌△ACE （AAS） ∴DE＝BD－CE
二：利用全等三角形证明线的垂直关系
例：如图：BF是Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°， CD是高，BF与CD交于点E，EG∥AC交AB于G C 求证：FG⊥AB F 证明：∵BF平分∠ABC 3 ∴∠1＝∠2 E ∵CD⊥AB 1 ∴∠3+∠ABC=90° 2 4 又∵∠ACB＝90° A G D ∴∠A+∠ABC=90° ∴BG=BC （全等三角形的对应边相等） ∴∠3＝∠A 在△BFG与△BFC中 又∵EG∥AC BG=BC ∴∠A＝∠4 ∠1＝∠2 ∴∠3＝∠4 BF=BF 在△BEG与△BEC中 ∠1＝∠2 ∴△BFG≌△BFC （SAS） ∠3＝∠4 ∴∠FGB=∠FCB=90° BE＝BE ∴FG⊥AB ∴△BEG≌△BEC（AAS）
AC=AD （全等三角形对应边相等） ∴_________
C
全等三角形的判定（四）
SSS（边边边定理）
定理的引入:
A E F
C
B D
思考
已知：AC=DE AB=DF BC=FE
求证：△ABC≌ △DFE
定理的引入:
A 已知：AC=DC AB=DB 求证：△ABC≌ △DBC C B
证明：连接AD， ∵AC=DC ∴∠CAD= ∠CDA 同理， ∠BAD= ∠BDA ∴ ∠BAC= ∠BDC ∵ AC=DC ∠A= ∠D AB=DB
B
三、利用全等三角形证明线段的和差问题
例：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A的任意直线AN， BD⊥AN于D，CE⊥AN于E 求证：DE=BD－CE A 证明： ∵∠BAC=90° 2 ∴∠1＋∠2＝90° 1 D ∵BD⊥AN ∴∠2＋∠3＝90° 3 ∴∠1＝∠3 B 又∵CE⊥AN ∴∠ADB＝∠AEC＝90° E 在△ADB和△ACE中
互相重合的边叫做 对应边 。
≌ ”来表示，读作“ 全等于 ”
4.全等三角形的 对应边 和 对应角 相等
5.书写全等式时要求把对应字母放在对应 的位置上
全等三角形的判定（一）
SAS（边角边定理)
任 意 画 一 个 △ ABC 和 △ DEF ， 使 AB=DE ,
AC=DF , ∠A=∠D , 把画好的△ABC和△DEF比 较，它们全等吗？
目录
三角形全等的判定
一、边角边 （SAS） 二、角边角
三、角角边 四、边边边 五、综合练习
(ASA)
(AAS) (SSS)
复习提问
1.能够重合的两个图形叫做 全等形 。 互相重合的顶点叫做 对应顶点 。 其中
互相重合的角叫做 对应角 。 2.能够重合的两个三角形 叫做全等三角形。 3.“全等”用符号“
怎么办？可以 帮帮我吗？
A
D
C
E
B
已知：任意 △ ABC，画一个△ A/B/C/， 使A/B/＝AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B ： 画法： 1、画A/B/＝AB；
2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A ， ∠EB/A/ =∠B， A/ D，B/E交于点C/。
△A/B/C/就是所要画的三角形。
解（1）在△ABC和△CDA中 B AB=CD（已知） BC=DA（已知） AC=CA（公共边） ∴△ABC≌△CDA（SSS） （2）∵ △ABC≌△CDA ∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等） C
D
练习1 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线 上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF。求证：∠A ＝∠D。
C
证明：在△ACB和△ADB中
AC=AD（已知） ∠CAB=∠DAB（已知） A AB=AB（公共边） ∴△ACB≌△ADB（SAS）
B
D
图 1
例2 已知：如图2，AD∥BC，AD=CB
求证：△ADC≌△CBA 分析：观察图形，结合已知条件，知， AD=CB，AC=CA，但没有给出两组对 应边的夹角（∠1，∠2）相等。 所以，应设法先证明∠1=∠2，才能使 B 全等条件充足。
D
∴△ABC≌ △DBC（SAS）
A
C
如图所示， △ABC≌△DBC ，那么 B 边边边定理得证。
D
三角形的判定定理四
在两个三角形中， 如果有三条边相等， 那么这两个三角形全 等。
△ABC≌ △DBC（SSS）
AC=DC AB=DB BC=BC
例1：如图，已知AB=CD，BC=DA。 说出下列判断成立的理由： A （1）△ABC≌△CDA （2）∠B=∠D
A B
D
E
C
F
△ABC≌△DEF
由前边的作图比较过程，我们可以得出什么结论？ 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全 等。简写成“边角边”或“SAS” A
用符号语言表达为： 在△ABC与 △DEF中
∠A=∠D AC=DF
AB=DE
B
C
D
E
F
∴△ABC≌△DEF（SAS）
例题讲解
例1
已知：如图1，AC=AD，∠CAB=∠DAB 求证：△ACB≌△ADB
O
F
C
如图：AB=DC，AC=DB 求证：∠ABO=∠DCO 证明： 在△ABC和△DCB中 AB=DC AC=DB BC=CB
A
D
O
B ∴ △ABC△DCB （SSS） ∴ ∠A=∠D (全等三角形的对应角相等)
C
在△AOB和△DOC中 ∠A=∠D ∠AOB=∠DOC AB=CD ∴ △AOB≌△DOC （AAS） ∴ ∠ABO=∠DCO （全等三角形的对应角相等）
证明：∵∠A+∠B+∠C=180° ∠D+∠E+∠F=180° 又∵∠A=∠D ∠B=∠E
C D
∴∠C=∠F
B
∠C=∠F
BC=EF ∠B=∠E F △ABC≌△DEF (ASA)
E
A
如图所示， △ABC≌△DEF,那么
C
D
角角边定理得证。
B
E
F
三角形的判定定理三 在两个三角形中， 如果有二个角和任意一 条边相等，那么这两个 三角形全等。 △ABC≌△DEF (AAS)
巩 固 如图，∠1=∠2，∠D=∠C 练 求证：AC=AD 习 ABC 中 ABD 和△_______ 证明：在△______
∠ 1=∠2 （ 已知 ） _______ _______ ∠ D=∠C（ 已知 ） AB=AB _______ （公共边）
D
A
1 2
B
ABC （ AAS ） ABD ≌ △_______ ∴△________
E
C A
D
B
图4
F
解 题 小 结：
解题思路
1、根据“边角边（SAS）”条件，可 证明两个三角形全等； 2、再由“全等”作为过渡的条件， 得到对应边等或对应角等；
全等三角形的判定（二）
ASA（角边角定理）
创设情景,实例引入 一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了，如图，你能制作一张与原来 同样大小的新教具？能恢复原来三角形 的原貌吗？
五、综合练习题
全等三角形的应用
一：利用全等三角形证明线段（或角）相等
例1：如图，直线AC、 BD交于点O，OA=OC OB=OD 直线EF过点O且 分别交AB、 CD于E、F 求证：OE=OF E
A B
证明
在△AOB和△COD中 OB=OD ∠AOB=∠COD OA=OC ∴△AOB≌△COD （SAS） ∴∠B=∠D （全等三角形的对应角相等） D 在△BOE和△DOF中 ∠B=∠D OB=OD ∠BOE=∠COF ∴△BOE≌△DOF （ASA） ∴OE=OF （全等三角形的对应边相等）
C
F
E B
D
变式练习：
1、如右图：已知，∠ABE=∠CBD, ∠BCE=∠DBA,EC=AD 求证：AB=BE,BC=DB
2、如右图：已知，AD, EF,BC交于O，且AO=OD，BO=OC， EO=OF
求证：△AEB≌△DFC
全等三角形的判定（三）
AAS（角角边定理）
定理的引入:
如图在△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等 吗？ A
证明：∵BE＝CF（已知） ∴ BE+EC=CF+EC 即 BC＝EF 在△ABC和△DEF中 AB＝DE（已知） A D
BC＝EF（已证） AC＝BF（已知） B ∴△ABC≌△DEF（SSS） ∴∠A＝∠D(全等三角形对应角相等）
E
C
F
小结：欲证角相等，转化为 证三角形全等。
例2，如图，已知AB＝CD，AD＝CB，求证：∠B＝∠D
在△ACB和△ADB中 ∠DAB=∠CAB
AB=AB （共用边）
∠ABD=∠ACD
∴ △ACB≌△ADB （ASA)
∴AC=AD
例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于 O点，AB=AC，∠B=∠C. 求证：BD=CE 证明：在△ABE和△ACD中 ∠A= ∠A AB=AC ∠B=∠C ∴ △ABE≌△ACD （ASA) ∴AD=AE ∵AB=AC ∴BD=CE
A D 1
2 图2
C
证明：∵AD∥BC ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等） 在△DAC和△BCA中 AD=CB（已知） ∠1=∠2（已知） AC=CA （公共边） ∴△ADC≌△CBA（SAS）
练习：已知：如图4，点A、B、C、D在同一条直 线上，AC=DB，AE=DF，EA⊥AD，BC⊥AC，垂足分 别为A、D 求证：（1）△EAB≌△FDC、（2）DF= AE
∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF
例题讲解：
例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于
点O，AD=AE，∠B=∠C。
求证：BD=CE 证明 ：在△ADC和△AEB中
A D O B C E
∠A=∠A（公共角）
AD=AE（已知） ∠C=∠B（已知） ∴△ACD≌△ABE（AAS）
∴ AB=AC （全等三角形的对应边相等） 又∵ AD=AE （ 已知） ∴BD=CE
B
C
答：∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC
归纳：二个三角形全等的判定方法
两边一角 两角一边 三角 三边
对应 相等 的元 素
两边及其 两边及其 两角及其 两角及其 夹角 中一边的 夹边 中一角的 对角 对边
三角形 一定 不一定 是否全 （SAS） 等
一定 (ASA)
一定 不一定 一定 (SSS) (AAS)
现在同学们把我们所画的两个三角形重合在 一起，你发现了什么？
完全重合
角边角公理：
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简 写为“ASA”)
பைடு நூலகம்
例1、已知：如图，∠DAB=∠CAB，∠C=∠D 求证：AC=AD ∵ ∠DAB=∠CAB，∠C=∠D 证明： ∴∠ABD=∠ACD (三角形内角和定理）
课 堂 练 习
如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件 和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。
（1）AC∥BD，CE=DF， AC=BD
( 2) AC=BD， AC∥BD
∠A=∠B
(SAS)
(ASA)
∠AEC=∠BFD ( 3) CE=DF，
∠C=∠D (ASA) (ASA)
( 4)∠ C= ∠D， AC=BD ∠A=∠B A
证明：连结AC, 在△ABC和△ ADC中 AB＝CD（已知） BC＝AD（已知） AC＝AC（公共边） A D
∴ △ ABC≌ △ CDA（SSS） ∴ ∠B＝∠D（全等三角形对应角相等）
B
C
小结：四边形问题转化为三角形 问题解决。
问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？ A 在原有条件下，还能推出什么结论？ D
C
N
∠1＝∠3 ∠ADB＝∠ACE ∴AD＝CE BD＝AE （全等三角形的对应边相等） AB＝AC ∵DE＝AE－AD ∴△ADB≌△ACE （AAS） ∴DE＝BD－CE
二：利用全等三角形证明线的垂直关系
例：如图：BF是Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°， CD是高，BF与CD交于点E，EG∥AC交AB于G C 求证：FG⊥AB F 证明：∵BF平分∠ABC 3 ∴∠1＝∠2 E ∵CD⊥AB 1 ∴∠3+∠ABC=90° 2 4 又∵∠ACB＝90° A G D ∴∠A+∠ABC=90° ∴BG=BC （全等三角形的对应边相等） ∴∠3＝∠A 在△BFG与△BFC中 又∵EG∥AC BG=BC ∴∠A＝∠4 ∠1＝∠2 ∴∠3＝∠4 BF=BF 在△BEG与△BEC中 ∠1＝∠2 ∴△BFG≌△BFC （SAS） ∠3＝∠4 ∴∠FGB=∠FCB=90° BE＝BE ∴FG⊥AB ∴△BEG≌△BEC（AAS）
AC=AD （全等三角形对应边相等） ∴_________
C
全等三角形的判定（四）
SSS（边边边定理）
定理的引入:
A E F
C
B D
思考
已知：AC=DE AB=DF BC=FE
求证：△ABC≌ △DFE
定理的引入:
A 已知：AC=DC AB=DB 求证：△ABC≌ △DBC C B
证明：连接AD， ∵AC=DC ∴∠CAD= ∠CDA 同理， ∠BAD= ∠BDA ∴ ∠BAC= ∠BDC ∵ AC=DC ∠A= ∠D AB=DB
B
三、利用全等三角形证明线段的和差问题
例：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A的任意直线AN， BD⊥AN于D，CE⊥AN于E 求证：DE=BD－CE A 证明： ∵∠BAC=90° 2 ∴∠1＋∠2＝90° 1 D ∵BD⊥AN ∴∠2＋∠3＝90° 3 ∴∠1＝∠3 B 又∵CE⊥AN ∴∠ADB＝∠AEC＝90° E 在△ADB和△ACE中
互相重合的边叫做 对应边 。
≌ ”来表示，读作“ 全等于 ”
4.全等三角形的 对应边 和 对应角 相等
5.书写全等式时要求把对应字母放在对应 的位置上
全等三角形的判定（一）
SAS（边角边定理)
任 意 画 一 个 △ ABC 和 △ DEF ， 使 AB=DE ,
AC=DF , ∠A=∠D , 把画好的△ABC和△DEF比 较，它们全等吗？
目录
三角形全等的判定
一、边角边 （SAS） 二、角边角
三、角角边 四、边边边 五、综合练习
(ASA)
(AAS) (SSS)
复习提问
1.能够重合的两个图形叫做 全等形 。 互相重合的顶点叫做 对应顶点 。 其中
互相重合的角叫做 对应角 。 2.能够重合的两个三角形 叫做全等三角形。 3.“全等”用符号“
怎么办？可以 帮帮我吗？
A
D
C
E
B
已知：任意 △ ABC，画一个△ A/B/C/， 使A/B/＝AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B ： 画法： 1、画A/B/＝AB；
2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A ， ∠EB/A/ =∠B， A/ D，B/E交于点C/。
△A/B/C/就是所要画的三角形。
解（1）在△ABC和△CDA中 B AB=CD（已知） BC=DA（已知） AC=CA（公共边） ∴△ABC≌△CDA（SSS） （2）∵ △ABC≌△CDA ∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等） C
D
练习1 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线 上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF。求证：∠A ＝∠D。
C
证明：在△ACB和△ADB中
AC=AD（已知） ∠CAB=∠DAB（已知） A AB=AB（公共边） ∴△ACB≌△ADB（SAS）
B
D
图 1
例2 已知：如图2，AD∥BC，AD=CB
求证：△ADC≌△CBA 分析：观察图形，结合已知条件，知， AD=CB，AC=CA，但没有给出两组对 应边的夹角（∠1，∠2）相等。 所以，应设法先证明∠1=∠2，才能使 B 全等条件充足。
D
∴△ABC≌ △DBC（SAS）
A
C
如图所示， △ABC≌△DBC ，那么 B 边边边定理得证。
D
三角形的判定定理四
在两个三角形中， 如果有三条边相等， 那么这两个三角形全 等。
△ABC≌ △DBC（SSS）
AC=DC AB=DB BC=BC
例1：如图，已知AB=CD，BC=DA。 说出下列判断成立的理由： A （1）△ABC≌△CDA （2）∠B=∠D
A B
D
E
C
F
△ABC≌△DEF
由前边的作图比较过程，我们可以得出什么结论？ 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全 等。简写成“边角边”或“SAS” A
用符号语言表达为： 在△ABC与 △DEF中
∠A=∠D AC=DF
AB=DE
B
C
D
E
F
∴△ABC≌△DEF（SAS）
例题讲解
例1
已知：如图1，AC=AD，∠CAB=∠DAB 求证：△ACB≌△ADB
O
F
C
如图：AB=DC，AC=DB 求证：∠ABO=∠DCO 证明： 在△ABC和△DCB中 AB=DC AC=DB BC=CB
A
D
O
B ∴ △ABC△DCB （SSS） ∴ ∠A=∠D (全等三角形的对应角相等)
C
在△AOB和△DOC中 ∠A=∠D ∠AOB=∠DOC AB=CD ∴ △AOB≌△DOC （AAS） ∴ ∠ABO=∠DCO （全等三角形的对应角相等）
证明：∵∠A+∠B+∠C=180° ∠D+∠E+∠F=180° 又∵∠A=∠D ∠B=∠E
C D
∴∠C=∠F
B
∠C=∠F
BC=EF ∠B=∠E F △ABC≌△DEF (ASA)
E
A
如图所示， △ABC≌△DEF,那么
C
D
角角边定理得证。
B
E
F
三角形的判定定理三 在两个三角形中， 如果有二个角和任意一 条边相等，那么这两个 三角形全等。 △ABC≌△DEF (AAS)
巩 固 如图，∠1=∠2，∠D=∠C 练 求证：AC=AD 习 ABC 中 ABD 和△_______ 证明：在△______
∠ 1=∠2 （ 已知 ） _______ _______ ∠ D=∠C（ 已知 ） AB=AB _______ （公共边）
D
A
1 2
B
ABC （ AAS ） ABD ≌ △_______ ∴△________
E
C A
D
B
图4
F
解 题 小 结：
解题思路
1、根据“边角边（SAS）”条件，可 证明两个三角形全等； 2、再由“全等”作为过渡的条件， 得到对应边等或对应角等；
全等三角形的判定（二）
ASA（角边角定理）
创设情景,实例引入 一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了，如图，你能制作一张与原来 同样大小的新教具？能恢复原来三角形 的原貌吗？
五、综合练习题
全等三角形的应用
一：利用全等三角形证明线段（或角）相等
例1：如图，直线AC、 BD交于点O，OA=OC OB=OD 直线EF过点O且 分别交AB、 CD于E、F 求证：OE=OF E
A B
证明
在△AOB和△COD中 OB=OD ∠AOB=∠COD OA=OC ∴△AOB≌△COD （SAS） ∴∠B=∠D （全等三角形的对应角相等） D 在△BOE和△DOF中 ∠B=∠D OB=OD ∠BOE=∠COF ∴△BOE≌△DOF （ASA） ∴OE=OF （全等三角形的对应边相等）
C
F
E B
D
变式练习：
1、如右图：已知，∠ABE=∠CBD, ∠BCE=∠DBA,EC=AD 求证：AB=BE,BC=DB
2、如右图：已知，AD, EF,BC交于O，且AO=OD，BO=OC， EO=OF
求证：△AEB≌△DFC
全等三角形的判定（三）
AAS（角角边定理）
定理的引入:
如图在△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等 吗？ A
证明：∵BE＝CF（已知） ∴ BE+EC=CF+EC 即 BC＝EF 在△ABC和△DEF中 AB＝DE（已知） A D
BC＝EF（已证） AC＝BF（已知） B ∴△ABC≌△DEF（SSS） ∴∠A＝∠D(全等三角形对应角相等）
E
C
F
小结：欲证角相等，转化为 证三角形全等。
例2，如图，已知AB＝CD，AD＝CB，求证：∠B＝∠D
在△ACB和△ADB中 ∠DAB=∠CAB
AB=AB （共用边）
∠ABD=∠ACD
∴ △ACB≌△ADB （ASA)
∴AC=AD
例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于 O点，AB=AC，∠B=∠C. 求证：BD=CE 证明：在△ABE和△ACD中 ∠A= ∠A AB=AC ∠B=∠C ∴ △ABE≌△ACD （ASA) ∴AD=AE ∵AB=AC ∴BD=CE
A D 1
2 图2
C
证明：∵AD∥BC ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等） 在△DAC和△BCA中 AD=CB（已知） ∠1=∠2（已知） AC=CA （公共边） ∴△ADC≌△CBA（SAS）
练习：已知：如图4，点A、B、C、D在同一条直 线上，AC=DB，AE=DF，EA⊥AD，BC⊥AC，垂足分 别为A、D 求证：（1）△EAB≌△FDC、（2）DF= AE
∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF
例题讲解：
例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于
点O，AD=AE，∠B=∠C。
求证：BD=CE 证明 ：在△ADC和△AEB中
A D O B C E
∠A=∠A（公共角）
AD=AE（已知） ∠C=∠B（已知） ∴△ACD≌△ABE（AAS）
∴ AB=AC （全等三角形的对应边相等） 又∵ AD=AE （ 已知） ∴BD=CE
B
C
答：∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC
归纳：二个三角形全等的判定方法
两边一角 两角一边 三角 三边
对应 相等 的元 素
两边及其 两边及其 两角及其 两角及其 夹角 中一边的 夹边 中一角的 对角 对边
三角形 一定 不一定 是否全 （SAS） 等
一定 (ASA)
一定 不一定 一定 (SSS) (AAS)