天津市南开区2016-2017学年高三第五次月考数学(文)试题Word版含答案
2020届天津市南开区南开中学2017级高三下学期第五次月考数学试卷及解析
2020届天津市南开中学2017级高三下学期第五次月考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.设集合{}11A x x =-<,{}1B x x =<,则() R B A 等于（ ） A. {}1x x ≥ B. {}01x x << C. {}12x x ≤< D. {}12x x <≤【答案】C【解析】解出集合A ,B ,然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】{}02A x x =<<,{}1B x x =<；{|1}R B x x ∴=≥； (){} 12R B A x x ∴⋂=≤<．故选：C ．2.“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的（ ） A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 先由两直线垂直求出m 的值,再由充分条件与必要条件的概念,即可得出结果.【详解】因为直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直,则(2)(2)3(2)0+-++=m m m m ,即(2)(42)0+-=m m ,解得2m =-或12m =； 因此由“12m =”能推出“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”,反之不能推出,所以“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的充分非必要条件.故选B3.已知直线l m 、,平面αβ、,且,l m αβ⊥⊂,给出下列四个命题：（1）若//αβ,则l m ⊥ （2）若l m ⊥,则//αβ（3）若αβ⊥,则//l m （4）若//l m ,则αβ⊥其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】根据空间线线、线面和面面位置关系有关定理,对四个命题逐一分析,由此得出正确选项.【详解】对于命题（1）,由于,//l ααβ⊥,所以l β⊥,进而l m ⊥,故（1）正确.对于命题（2）,如图所示,,l m αβ⊥⊂,l m ⊥,但α与β相交,故（2）错误。
2017届天津市南开中学高三第五次月考数学(文)试题(解析版)
2017届天津市南开中学高三第五次月考数学（文）试题一、选择题1．复数z 满足: ()()25z i i --=，则z =（ ） A. 22i -- B. 22i -+ C. 22i - D. 22i + 【答案】D【解析】试题分析：因为()()25z i i --=，所以【考点】复数的运算2．函数()log f x x x=-+21的零点所在区间是（ ）（A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,3 （D ）()3,4 【答案】B【解析】试题分析：不难知，当x ＞0时f （x ）为增函数，且f （1）＝－1＜0，f （2）＝－12＋1＝12＞0所以零点一定在（1，2）内.选B 【考点】函数的零点3．若0.30.33,log 3,log a b c e π===，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >> 【答案】A【解析】因为00.31,1e <，所以0.3l o g 0c e =<，由于.30.3031,130l o g 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A 。
4．若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（ ） A.23 B. 1 C. 12 D. 34【答案】B【解析】因为22243a b c +=，所以圆心()0,0O 到直线0ax by c ++=的距离d ==1212l =⨯=，应选答案B 。
5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：左视图是从左往右看，将几何体上的点往右面做投影，看到的是一个长方形，连从右上角到左下角的对角线 【考点】本题考查三视图点评：考察学生的空间想象能力，此题比较简单，能直接想象出来6．如图， 12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点， ,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A.B. C.32 D. 2【答案】D【解析】因为2,1a b c ==⇒=22212||412AF AF c +==，由椭圆定义可得1224AF AF a +==，所以12216124AF AF ⋅=-=，又因为12AF AF -==a '=，所以双曲线的离心率c e a ===D 。
天津市2016届高三数学“五校”联考试题 文
2016届天津市“五校”联考数学（文） 试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷共150分。
考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置填涂考号。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试题卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本试卷共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知全集U Z =，集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =，()U C A B ⋂等于A ．{－1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{－1,2}2.命题“2a a ∀∈R ，≥0”的否定为A ．2a a ∀∈R ，＜0B ．2a a ∃∈R ，≥0C ．a ∀∈2a R ，≥0D ．2a a ∃∈R ，＜0 3. 右图给出的是计算11111 (246896)+++++的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是A ．48i >B ．24i >C ．48i <D ．24i <4.若0.522log 3,2,log sin5a b c ππ===，则A. c a b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>5.点P 在边长为2的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为A. 4πB.16π C. 14D.116第3题图6. 双曲线22194x y -=的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r =AB.C.11 D.7.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x=的图象，则只要将()f x 的图象A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度8.设集合3[1,)2A =，3[,2]2B =，函数1,,()22(2),.x x A f x x x B ⎧-∈⎪=⎨⎪-∈⎩若0x A ∈， 且01[()1]0,2f f x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭， 则0x 的取值范围是A.(51,4] B. (53,42] C. 513(,)48 D.(53,42) 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市2017届高三数学下学期第五次月考试题 文
天津市2017届高三数学下学期第五次月考试题 文第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3,5A =，{}2,4B =，则()U A B =ð（ ）A ．{}0,2,3,4B ．{}4C ．{}1,2,4D ．{}0,2,42.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选22种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ．13B ．12C ．23D 63.下列说法正确的是（ ）A ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题B ．命题“已知A 、B 为一个三角形的两内角，若A B >，则sin sin A B >”的逆命题为真命题C ．“若a b >，则221ab>-”的否命题为“若a b <，则221ab<-”D 20x ay +-=互相垂直”的充要条件0>）的一条渐近线过点，且双曲线的一个）A 1= C ．22134x y -= D ．22143x y -= ）A ．323B ．2163π-C ．403D ．8163π-6.已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()sin f x x x =-，若不等式2(4)(2)f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,-∞B ．(C ．(,0)(2,)-∞+∞D ．(,(2,)-∞+∞8.已知函数21|1|,1,()42,1,x x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩则函数||()2()2x g x f x =-的零点个数为（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则b = ． k 的值是 ．11.已知函数()ln f x x =，则函数()()'()g x f x f x =-在区间[]2,e 上的最大值为 ．12.设直线2y x a =+与圆C ：22220x y ay +--=相交于A ，B 两点，若||AB =，则圆C 的面积为 ．13.在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，3AB =，2BC =，60ABC ∠=︒，动点E ，F 分别在线段BC 和CD 上，且BE BC λ=，2DC DF λ=，则AE AF ⋅的最小值为 ．14.设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>），若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =3b =，sin B A +=（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求sin(2)6B π+的值．16.本市某玩具生产公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产A ，B ，C 三种玩具共100个，且C 种玩具至少生产20个，每天生产时间不超过10小时，已知生产这些玩具每个所需工时（分钟）和所获利润如表：（Ⅰ）用每天生产A 种玩具个数x 与B 种玩具y 表示每天的利润ω（元）； （Ⅱ）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？17.如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//AB EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知2AB =，1EF =．（Ⅰ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ； （Ⅱ）求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；（Ⅲ）当AD 的长为何值时，二面角D FE B --的大小为60︒．18.已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．220)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 2|||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．1,<的图象在点(2,(2))f --处的切线方程为16200x y ++=．（Ⅰ）求实数a 、b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值；（Ⅲ）曲线()y f x =上存在两点M 、N ，使得MON ∆是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边MN 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围．2016~2017学年高三年级五月考数学（文科）试卷答案一、选择题1-5:DCBDC 6-8:BAB 二、填空题 9.23-10.4 11.11e- 12.4π 13.5 14.π 三、解答题 15.解：（Ⅰ）∵sin sin a b A B =，∴sin sin b AB a=，又a =3b =sin B A +=∴sin A =． 又02A π<<，∴3A π=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，sin 14B A ==． 又02B π<<，∴cos B ==∵sin 22sin cos 14B B B ==，213cos 212sin 14B B =-=-， ∴1sin(2)sin 2coscos 2sin6667B B B πππ+=+=-． 16.解：（Ⅰ）563(100)30023x y x y x y ω=++--=++．（Ⅱ）10020,574(100)600,,,x y x y x y x y N --≥⎧⎪++--≤⎨⎪∈⎩即800,32000,,.x y x y x y N +-≤⎧⎪+-≤⎨⎪∈⎩最优解为800,32000,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩即20,60,x y =⎧⎨=⎩∴max 300220360520ω=+⨯+⨯=（元）．17.（Ⅰ）证明：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥，平面ABCD平面ABEF AB =，所以CB ⊥平面ABEF ．因为AF ⊂平面ABEF ，所以AF CB ⊥， 又因为AB 为圆O 的直径，所以AF BF ⊥， 所以AF ⊥平面CBF ， 因为AF ⊂平面ADF ， 所以平面DAF ⊥平面CBF ．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有AF ⊥平面CBF ， 所以FB 为AB 在平面CBF 上的射影， 所以ABF ∠为直线AB 与平面CBF 所成的角， 因为//AB EF ，所以四边形ABEF 为等腰梯形， 过点F 作FH AB ⊥，交AB 于H ． 已知2AB =，1EF =，则122AB EF AH -==． 在Rt AFB ∆中，根据射影定理2AF AH AB =⋅，得1AF =，1sin 2AF ABF AB ∠==，所以30ABF ∠=︒． 所以直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30︒．（Ⅲ）过A 作AG EF ⊥于G ，连接DG ，则AGD ∠是二面角D FE B --的平面角，所AB ，所以30FAG ABF ∠=∠=︒， cos30︒=3tan 602AG ︒==． FE B -的大小为60︒． 18.解：（Ⅰ）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ， 由112223,,a b b a b b =+⎧⎨=+⎩即11112,1723,b d b d =+⎧⎨=+⎩解得14b =，3d =，所以31n b n =+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+， 又123n n T c c c c =++++…，得23413223242(1)2n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+++⨯⎣⎦…， 345223223242(1)2n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+++⨯⎣⎦…，两式作差，得23412322222(1)2n n n T n ++⎡⎤-=⨯⨯++++-+⨯⎣⎦…24(21)34(1)221n n n +⎡⎤-=⨯+-+⨯⎢⎥-⎣⎦232n n +=-⋅．所以232n n T n +=⋅．19.解：（Ⅰ）由已知，222(2)a a c +=，即a =，所以a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=．由方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0x x b -+-=，①方程①的判别式224(3)b ∆=-，由0∆=，得23b =，此方程①的解为2x =，所以椭圆E 的方程为22163x y +=， 点T 坐标为(2,1)．（Ⅱ）由已知可设直线'l 的方程为12y x m =+（0m ≠）， 由方程组1,23,y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩可得22,321,3m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以P 点坐标为22(2,1)33m m -+，228||9PT m =． 设点A ，B 的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，由方程组221,631,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可得2234(412)0x mx m ++-=．②方程②的判别式为216(92)m ∆=-，由0∆>，解得2m -<<由②得1243mx x +=-，2124123m x x -=．所以|||2PA ==同理22||2|3m PB x =--， 所以52|m 2121222)(2)()|33m m x x x x ---++ |2109m =． |． b +．16200x y ++=．212,'(2)12416,a b f a b -=-=--+=-⎩解得1a =，0b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当1x <时，32()f x x x =-+， 令2'()320f x x x =-+=可得0x =或23x =， ()f x 在(1,0)-和2(,1)3上单调递减，在2(0,)3上单调递增，对于1x <部分：()f x 的最大值为2max (1),()(1)23f f f ⎧⎫-=-=⎨⎬⎩⎭； 当12x ≤≤时，()ln f x c x =，当0c ≤时，ln 0c x ≤恒成立，()02f x ≤<， 此时()f x 在[]1,2-上的最大值为(1)2f -=；当0c >时，()ln f x c x =在[]1,2上单调递增，且(2)ln 2f c =． 令ln 22c =，则2ln 2c =，所以当2ln 2c >时， ()f x 在[]1,2-上的最大值为(2)ln 2f c =；当20ln 2c <≤时，()f x 在[]1,2-上的最大值为(1)2f -=． 综上可知，当2ln 2c ≤时，()f x 在[]1,2-上的最大值为2；当2ln 2c >时，()f x 在[]1,2-上的最大值为ln 2c ．（Ⅲ）32,1,()ln ,1,x x x f x c x x ⎧-+<=⎨≥⎩根据条件M ，N 的横坐标互为相反数，不妨设32(,)M t t t -+，(,())N t f t ，（0t >）．若1t <，则32()f t t t =-+，由MON ∠是直角，得0OM ON ⋅=，即23232()()0t t t t t -++-+=， 即4210t t -+=，此时无解；若1t ≥，则()ln f t c t =，由于MN 的中点在y 轴上，且90MON ∠=︒，所以N 点不可能在x 轴上，即1t ≠．同理有0OM ON ⋅=，即232()ln 0t t t c t -++=，1(1)ln c t t=+．由于函数1()(1)(1)ln g t t t t=>+的值域是(0,)+∞，实数c 的取值范围是(0,)+∞，即为所求．。
2016-2017年天津市南开中学高三(下)第五次月考数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）一、选择题1．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）＝5．则z＝（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．函数f（x）＝﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）3．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．若3a2+3b2﹣4c2＝0，则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为（）A．B．C．D．15．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．如图F1、F2是椭圆C1：+y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．7．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x＝b y＝3，a+b＝2的最大值为（）A．2B．C．1D．8．设f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件二、填空题9．已知全集U＝R，A＝{y|y＝2x+1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则（∁U A）∩B＝．10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．11．设函数y＝f（x）在区间[0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f（x）及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S，先生产两组（每组N个）区间[0，1]上均匀随机数x1，x2，…，x N和y1，y2，…，y N，由此得到N个点（x i，y i）（i＝1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i＝1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．12．已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是它的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为．13．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的值为．14．已知函数f（x）＝a x+x2﹣xlna，对任意的x1、x2∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a ﹣1恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题15．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2cos2x+1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若f（）＝2，b＝1，c＝2，求a的值．16．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2．出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？17．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD （1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．18．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2（n为正整数）．（1）令b n＝2n a n，求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令c n＝a n，T n＝c1+c2+…+c n．是否存在最小的正整数m，使得对于n∈N×都有T n ＜2m﹣4恒成立，若存在，求出m的值；不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，证明f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2．2016-2017学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）＝5．则z＝（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i【解答】解：（z﹣i）（2﹣i）＝5⇒z﹣i＝⇒z＝+i＝+i＝+i＝2+2i．故选：D．2．函数f（x）＝﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：根据函数的实根存在定理得到f（1）•f（2）＜0．故选：B．3．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：∵a＝30.3＞1，b＝logπ3∈（0，1），c＝log0.3e＜0，则a＞b＞c．故选：A．4．若3a2+3b2﹣4c2＝0，则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为（）A．B．C．D．1【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径为1，∵3a2+3b2﹣4c2＝0，∴圆心到直线ax+by+c＝0的距离d＝＝，∴圆x2+y2＝1被直线ax+by+c＝0所截得的弦长为2＝1．故选：D．5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选：D．6．如图F1、F2是椭圆C1：+y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设|AF1|＝x，|AF2|＝y，∵点A为椭圆C1：+y2＝1上的点，∴2a＝4，b＝1，c＝；∴|AF1|+|AF2|＝2a＝4，即x+y＝4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+＝，即x2+y2＝（2c）2＝＝12，②由①②得：，解得x＝2﹣，y＝2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m＝|AF2|﹣|AF1|＝y﹣x＝2，2n＝2c＝2，∴双曲线C2的离心率e＝＝＝．故选：D．7．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x＝b y＝3，a+b＝2的最大值为（）A．2B．C．1D．【解答】解：∵a x＝b y＝3，∴x＝log a3＝，y＝log b3＝，∴当且仅当a＝b时取等号故选：C．8．设f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）＝x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）＝﹣x3+log2（﹣x+）＝﹣x3+log2＝﹣x3﹣log2（x+）＝﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）＝﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）＝f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．二、填空题9．已知全集U＝R，A＝{y|y＝2x+1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则（∁U A）∩B＝（﹣1，1]．【解答】解：根据题意，集合A＝{y|y＝2x+1}表示函数y＝2x+1的值域，则A＝{y|y＝2x+1}＝（1，+∞），故∁U A＝（﹣∞，1]，|x﹣1|＜2⇒﹣1＜x＜3，则B＝{x||x﹣1|＜2}＝（﹣1，3），则（∁U A）∩B＝（﹣1，1]；故答案为：（﹣1，1]．10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：此时S值为10．故答案为：10．11．设函数y＝f（x）在区间[0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f（x）及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S，先生产两组（每组N个）区间[0，1]上均匀随机数x1，x2，…，x N和y1，y2，…，y N，由此得到N个点（x i，y i）（i＝1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i＝1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．【解答】解：∵∫01f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x＝0和直线x＝1所围成图形的面积，∴根据几何概型易知∫01f（x）dx≈．故答案为：．12．已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是它的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为．【解答】解：显然q≠1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，则前5项和为：．故答案为：13．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的值为．【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，cos∠BAC＝，又∵△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝5，cos∠CAD＝，∴＝•（﹣）＝•﹣•＝﹣＝，故答案为：．14．已知函数f（x）＝a x+x2﹣xlna，对任意的x1、x2∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a ﹣1恒成立，则实数a的取值范围为[e，+∞）．【解答】解：f′（x）＝a x lna+2x﹣lna＝（a x﹣1）lna+2x，当a＞1时，x∈[0，1]时，a x≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′（x）≥0；f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）min＝f（0）＝1，f（x）max＝f（1）＝a+1﹣lna，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min＝a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，故答案为：[e，+∞）．三、解答题15．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2cos2x+1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若f（）＝2，b＝1，c＝2，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）sin2x﹣cos2x＝2（sin2x﹣cos2x）＝2sin（2x﹣），∵ω＝2，∴最小正周期T＝＝π；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵f（）＝2，∴2sin（A﹣）＝2，即sin（A﹣）＝1，∴A﹣＝+2kπ，k∈Z，即A＝+2kπ，k∈Z，又0＜A＜π，∴A＝，由余弦定理及b＝1，c＝2，cos A＝﹣得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝7，即a2＝1+4+2＝7，解得：a＝．16．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2．出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？【解答】解：设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则目标函数z＝80x+120y，约束条件为作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y＝t，此直线经过点A（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400个，有最大利润为z max＝80×100+400×120＝56000元．17．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD （1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD＝AC，∴∠ADC＝45°同理：∠A1DC1＝45°，∴∠CDC1＝90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD＝D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1＝C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1＝B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD＝A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH＝O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC＝a，则，，∴sin∠C1DO＝∴∠C1DO＝30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°18．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a＝8，∴a＝2∵e＝，∴c＝1∴b2＝a2﹣c2＝3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0∵动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△＝0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）＝0∴4k2﹣m2+3＝0①此时x0＝＝，y0＝，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k＝0，m＝，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2＝4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k＝，m＝2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2＝，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）方法二：假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ 平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，﹣），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则•＝0对满足①式的m，k恒成立．因为＝（﹣﹣x1，），＝（4﹣x1，4k+m），由•＝0得﹣+﹣4x1+x12++3＝0，整理得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3＝0．②由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以，解得x1＝1．故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．19．已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2（n为正整数）．（1）令b n＝2n a n，求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令c n＝a n，T n＝c1+c2+…+c n．是否存在最小的正整数m，使得对于n∈N×都有T n ＜2m﹣4恒成立，若存在，求出m的值；不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2，∴S n+1＝﹣a n+1﹣（）n+2，S n+1﹣S n＝a n+1＝﹣a n+1+a n+（）n，2a n+1＝a n+（）n，2n+1a n+1＝2n a n+1，∵b n＝2n a n，∴b n+1＝b n+1，∴数列{b n}是等差数列．（2）解：∵S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2，∴a1＝S1＝﹣a1﹣（）0+2，解得，又b n＝2n a n，b n+1＝b n+1，∴b1＝2×＝1，∴b n＝2n a n＝n，∴．（3）解：∵c n＝a n＝，∴T n＝c1+c2+…+c n＝，①2T n＝2+，②②﹣①，得：T n＝2++…+﹣＝2+﹣＝3﹣﹣＝3﹣．假设存在最小的正整数m，使得对于n∈N×都有T n＜3≤2m﹣4恒成立，则2m﹣4≥3，解得m≥，∴最小的正整数m＝4．20．已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，证明f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2．【解答】（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝，令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1，f′（x）＜0，可得＜x＜1，∴f（x）的递增区间为（0，）和（1，+∞），递减区间为（，1）；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）＝＝0，即2x2﹣ax+1＝0有两个不相等的实数根，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴2（x1+x2）＝a，x2＝，∴f（x1）﹣f（x2）＝lnx1+x12﹣ax1﹣（lnx2+x22﹣ax2）＝2lnx1﹣x12++ln2（0＜x≤1）．设F（x）＝2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），则F′（x）＝﹣＜0，∴F（x）在（0，1）上单调递减，∴F（x）≥F（1）＝﹣+ln2，即f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2．。
【真题】2016-2017年天津市南开区高三(上)期末数学试卷(文科)与答案
2016-2017学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则∁U （S∪T）等于（）A．∅B．{4}C．{2，4}D．{2，4，6}2．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣13．（5分）如果命题“￢（p∧q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个为真命题D．p、q至多有一个为真命题4．（5分）在等差数列{a n}中，若前10项的和S10=60，且a7=7，则a4=（）A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣55．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πcm3B．3πcm3C．πcm3D．πcm36．（5分）从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．7．（5分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．B．C．D．28．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）=，f（x+1）=f（x﹣1），则方程f（x）=在区间[﹣3，3]上的所有实根之和为（）A．0 B．﹣2 C．﹣8 D．8二、填空题：本大题共6大题，每小题5分，共30分.9．（5分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是．10．（5分）阅读下列程序框图，该程序输出的结果是．11．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则不等式f（x）＜﹣1的解集是．12．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．13．（5分）已知圆C：x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=．14．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），给出以下四个论断：①它的周期为π；②它的图象关于直线x=对称；③它的图象关于点（，0）对称；④在区间（﹣，0）上是增函数，以其中两个论断为条件，另两个论断作结论，写出你认为正确的一个命题，条件结论．（注：填上你认为正确的一种答案即可）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或验算过程．15．（13分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为，且sinC=2sinA，求最小边长．16．（13分）电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为80 min，广告时间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，广告时间为1 min，收视观众为20万．已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟．问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率？17．（13分）如图所示，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1⊥平面ABCD，AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°．（Ⅰ）证明：BD⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）证明：CC1∥平面A1BD；（Ⅲ）若DD1=AD，求直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值．18．（13分）在等差数列{a n}中，首项a1=1，数列{b n}满足b n=（），且b1b2b3=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和S n．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为．（1）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程；（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，且OQ1⊥OQ2．20．（14分）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然对数的底数时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2016-2017学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则∁U （S∪T）等于（）A．∅B．{4}C．{2，4}D．{2，4，6}【解答】解：∵S={1，3，5}，T={3，6}，∴S∪T={1，3，5，6}，则∁U（S∪T）={2，4}，故选：C．2．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣1【解答】解：∵=，∴复数的虚部是1．故选：B．3．（5分）如果命题“￢（p∧q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个为真命题D．p、q至多有一个为真命题【解答】解：∵命题“￢（p∧q）”为假命题，∴命题“p∧q”为真命题，∴命题p、q均为真命题．故选：A．4．（5分）在等差数列{a n}中，若前10项的和S10=60，且a7=7，则a4=（）A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5【解答】解：在等差数列{a n}中，∵S10=60，a7=7，∴，解得，∴．故选：C．5．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πcm3B．3πcm3C．πcm3D．πcm3【解答】解：由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，所以其体积为V=πr2h﹣πr3=3π﹣π=π（cm3）．故选：D．6．（5分）从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=﹣1，∴x0=5﹣1=4∴|y0|==4，∴△MPF的面积为×5×4=10故选：B．7．（5分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．B．C．D．2【解答】解：，，；∴===；∴由平面向量基本定理得：；解得；∴．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）=，f（x+1）=f（x﹣1），则方程f（x）=在区间[﹣3，3]上的所有实根之和为（）A．0 B．﹣2 C．﹣8 D．8【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1），∴函数f（x）的周期为2，∵f（x）=，∴f（x）﹣2=，∵f（x）=，∴f（x）﹣2=，作函数y=f（x）﹣2与y=在[﹣3，3]上的图象如下，易知点A与点C关于原点对称，故方程f（x）=在区间[﹣3，3]上的所有实根之和为0，故选：A．二、填空题：本大题共6大题，每小题5分，共30分.9．（5分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是27．【解答】解：由频率分布直方图知，成绩在[14，16）内的人数为50×0.16+50×0.38=27（人）∴该班成绩良好的人数为27人．故答案为：27．10．（5分）阅读下列程序框图，该程序输出的结果是729．【解答】解：分析框图可得该程序的作用是计算并输出S=9×9×9的值．∵S=9×9×9=729故答案为：72911．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则不等式f（x）＜﹣1的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，）．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，∴f（﹣x）=log2（﹣x），∵f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x），①当x∈（0，+∞）时，f（x）＜﹣1，即log2x＜﹣1=，解得0＜x＜，②当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜﹣1，即﹣log2（﹣x）＜﹣1，则log2（﹣x）＞1=log22，解得x＜﹣2，综上，不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，）．12．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x﹣3．【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当x=1时，y′=4，∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案为：y=4x﹣3．13．（5分）已知圆C：x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+8=0的圆心为（3，0），半径r=1∴当直线y=kx与圆C相切时，点C（3，0）到直线的距离等于1，即=1，解之得k=∵切点在第四象限，∴当直线的斜率k=时，切点在第一象限，不符合题意直线的斜率k=﹣时，切点在第四象限．因此，k=﹣故答案为：﹣14．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），给出以下四个论断：①它的周期为π；②它的图象关于直线x=对称；③它的图象关于点（，0）对称；④在区间（﹣，0）上是增函数，以其中两个论断为条件，另两个论断作结论，写出你认为正确的一个命题，条件①②结论③④．（注：填上你认为正确的一种答案即可）【解答】解：若①f（x）的周期为π，则ω=2，函数f（x）=sin（2x+φ）．若再由②f（x）的图象关于直线x=对称，则sin（2×+φ）取最值，又∵﹣＜φ＜，∴2×+φ=，∴φ=．此时，f（x）=sin（2x+），③④成立，故由①②可以推出③④成立．故答案为：①②，③④．另：①③⇒②④也正确．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或验算过程．15．（13分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为，且sinC=2sinA，求最小边长．【解答】解：（Ⅰ）由，整理得（a+c）c=（b﹣a）（a+b），即ac+c2=b2﹣a2，∴，∵0＜B＜π，∴．（Ⅱ）∵，∴最长边为b，∵sinC=2sinA，∴c=2a，∴a为最小边，由余弦定理得，解得a2=1，∴a=1，即最小边长为116．（13分）电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为80 min，广告时间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，广告时间为1 min，收视观众为20万．已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟．问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率？【解答】解：将所给信息用下表表示．设每周播放连续剧甲x次，播放连续剧乙y次，收视率为z．则目标函数为z=60x+20y，约束条件为，作出可行域如图．（5分）作平行直线系y=﹣3x+，由图可知，当直线过点A时纵截距最大．（6分）解方程组，得点A的坐标为（2，4），z max=60x+20y=200（万）．（11分）所以，电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率．17．（13分）如图所示，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1⊥平面ABCD，AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°．（Ⅰ）证明：BD⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）证明：CC1∥平面A1BD；（Ⅲ）若DD1=AD，求直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB=2AD，∠BAD=60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2﹣2AD•ABcos60°=3AD2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∵DD1⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD．∴DD1⊥BD，又AD∩DD1=D，∴BD⊥平面ADD1A1．（Ⅱ）证明：连接AC，A1C1，设AC∩BD=E，连接EA1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴EC=AC，由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1∥EC，且A1C1=EC，∴四边形A1ECC1是平行四边形，因此CC1∥EA1，又∵EA1⊂平面A1BD，∴CC1∥平面A1BD；（Ⅲ）解：直线EA1与平面ADD1A1所成角=直线CC1与平面ADD1A1所成角，∵BD⊥平面ADD1A1，∴A1D为EA1在平面ADD1A1上的射影，∴∠EA1D是直线EA1与平面ADD1A1所成角，∵DD1=AD，AB=2AD，AD=A1B1M∠BAD=60°，∴A1D1=AD，DE=AD，A1E=AD，∴sin∠EA1D=，∴直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值为．18．（13分）在等差数列{a n}中，首项a1=1，数列{b n}满足b n=（），且b1b2b3=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列数列{a n}的公差为d，∵a1=1，b n=（），且b1b2b3==，3a1+3d=6∴d=1 a n=1+（n﹣1）×1=n；（2）由（1）得b n=（）n，a n b n=，∴数列{a n b n}的前n项和S nS n=，∴s n==∴．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为．（1）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程；（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，且OQ1⊥OQ2．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为，椭圆上的一点A到两焦点的距离之和为4，∴，解得a=2，b=，∴椭圆的方程为．（2）过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处切线方程为，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则，化为5x2﹣24x+36﹣2b2=0，由△＞0，得b＞，，，y1y2=2x1x2﹣6（x1+x2）+18=，由OQ1⊥OQ2，知x1x2+y1y2=0，解得b2=9，即b=±3，∵b＞，∴b=3．20．（14分）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然对数的底数时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f （x ）=x 2+x ﹣lnx ，x ＞0 ∴f′（x ）=，令f′（x ）＞0，解得：x ＞，x ＜﹣1（舍）， 令f′（x ）＜0，解得：0＜x ＜，∴f （x ）在（0，）递减，在（，+∞）递增； （Ⅱ）∵f′（x ）=，当函数f （x ）在[1，2]上是减函数时， 得f′（1）=2+a ﹣1≤0①， f′（2）=8+2a ﹣1≤0②， 由①②得：a ≤﹣，∴a 的范围是（﹣∞，﹣）； （Ⅲ）∵f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，∴g （x ）=f （x ）﹣x 2=ax ﹣lnx ，x ∈（0，e ]． ∴g′（x ）=a ﹣=（0＜x ≤e ），①当a ≤0时，g （x ）在（0，e ]上单调递减，g （x ）min =g （e ）=ae ﹣1=3，解得a=（舍去）；②当0＜＜e 时，g （x ）在（0，）上单调递减，在（，e ]上单调递增， ∴g （x ）min =g （）=1+lna=3，解得a=e 2，满足条件；③当≥e 时，g （x ）在（0，e ]上单调递减，g （x ）min =g （e ）=ae ﹣1=3，解得a=（舍去）；综上，存在实数a=e 2，使得当x ∈（0，e ]时，g （x ）有最小值3．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = xxx(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。
2017-2018年天津市南开中学高三(下)第五次月考数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数（2+i）（a﹣2i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则|a+i|＝（）A．B．C．D．102．（5分）“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为（）A．﹣3B．C．5D．64．（5分）设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a5．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足（）A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x6．（5分）已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线＝1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．7．（5分）若关于x的不等式3﹣|x+a|＞x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，）B．（）C．（﹣3，3）D．[）8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝1+，若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，1）∪（1，）二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．（5分）已知集合A＝{﹣1，a}，B＝{2a，b}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝．10．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是．11．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是．12．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，过圆心C的直线l交圆C于A，B两点，交y轴于点P．若A恰为PB的中点，则直线l的斜率为．13．（5分）已知△ABC中，||＝10，＝﹣16，D为边BC的中点，则||等于．14．（5分）函数f（x）＝sin x（sin x+cos x）﹣在区间（）（0＜a＜1）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知•＝2，cos B＝，b＝3．求：（1）a和c的值；（2）cos（B﹣C）的值．16．（13分）有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2个零件直径相等的概率．17．（13分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF 与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．18．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，S5＝30；数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝2n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝（﹣1）n（a n b n+lnS n），求数列{c n}的前2n项和W2n．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．（i）求四边形APBQ面积的最大值；（ii）设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．20．（14分）设函数f（x）＝+x2+（m2﹣1）x（x∈R），其中m＞0．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．2017-2018学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数（2+i）（a﹣2i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则|a+i|＝（）A．B．C．D．10【解答】解：∵（2+i）（a﹣2i）＝（2a+2）+（a﹣4）i的实部与虚部相等，∴2a+2＝a﹣4，即a＝﹣6．∴|a+i|＝|﹣6+i|＝．故选：C．2．（5分）“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy＝lgx•lgz，即y2＝zx，∴充分性成立，因为y2＝zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，故选：A．3．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为（）A．﹣3B．C．5D．6【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）设z＝F（x，y）＝2x﹣y，将直线l：z＝2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值＝F（2，﹣1）＝5故选：C．4．（5分）设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：a＝0.23＝0.008，b＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，c＝log30.2＜1，∴b＞a＞c，故选：B．5．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足（）A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x【解答】解：输入x＝0，y＝1，n＝1，则x＝0，y＝1，不满足x2+y2≥36，故n＝2，则x＝，y＝2，不满足x2+y2≥36，故n＝3，则x＝，y＝6，满足x2+y2≥36，故y＝4x，故选：C．6．（5分）已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线＝1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：依题意知抛物线的准线x＝﹣2，代入双曲线方程得y＝±•，不妨设A（﹣2，）．∵△F AB是等腰直角三角形，∴＝p＝4，求得a＝，∴双曲线的离心率为e＝＝＝＝3，故选：A．7．（5分）若关于x的不等式3﹣|x+a|＞x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，）B．（）C．（﹣3，3）D．[）【解答】解：不等式3﹣|x+a|＞x2即|x﹣a|＜﹣x2+3，在同一坐标系内画出y＝﹣x2+3（x＜0，y＞0）与y＝|x|的图象，将绝对值函数y＝|x|向右移动，当左支过点（0，3），得a＝﹣3；将绝对值函数y＝|x|向左移动，当右支与y＝﹣x2+3相切，即联立，得x2+x+a﹣3＝0，由△＝1﹣4（a﹣3）＝0，得a＝．∴要使不等式3﹣|x+a|＞x2至少有一个负数解，则﹣3＜a．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝1+，若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，1）∪（1，）【解答】解：当x≤0时，f（x）＜g（x）可化为：，解得：x＜，或x＞1，故x ≤0；当0＜x＜1时，f（x）＜g（x）可化为：+x，解得：＜x＜，或x＞1，故0＜x＜；当x＞1时，f（x）＜g（x）可化为：+x，解得：＜x＜1，或x＞，故x＞；综上可得：若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（﹣∞，）∪（，+∞）故选：B．二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．（5分）已知集合A＝{﹣1，a}，B＝{2a，b}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝{﹣1，1，2}．【解答】解：集合A＝{﹣1，a}，B＝{2a，b}，又∵A∩B＝{1}，∴a＝1，2a＝2，则b＝1故A＝{﹣1，1}，B＝{1，2}∴A∪B＝故答案为{﹣1，1，2}10．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是8+6π．【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，∴该几何体的体积V＝×π×22×3+×3×4×2＝6π+8，故答案为：6π+8．11．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是．【解答】解：x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，可得x+3y＝1．＝＝＝≥＝．当且仅当x＝，x+3y＝1，即y＝＝，x＝＝时取等号．的最小值是．故答案为：．12．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，过圆心C的直线l交圆C于A，B两点，交y轴于点P．若A恰为PB的中点，则直线l的斜率为±2．【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，圆心C（3，5），则直线L的斜率存在，可设直线L的方程为y﹣5＝k（x﹣3），令x＝0可得y＝5﹣3k，即P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与圆的方程，消去y可得（1+k2）x2﹣6（1+k2）x+9k2+4＝0，由方程的根与系数关系可得，x1+x2＝6，x1x2＝，∵A为PB的中点，∴x2＝2x1②，把②代入①可得x2＝4，x1＝2，则x1x2＝＝8，解可得：k＝±2，即直线l的斜率为±2；故答案为：±2．13．（5分）已知△ABC中，||＝10，＝﹣16，D为边BC的中点，则||等于3．【解答】解：如图，D为边BC的中点；∴＝；根据余弦定理：＝＝＝；∴．故答案为：3．14．（5分）函数f（x）＝sin x（sin x+cos x）﹣在区间（）（0＜a＜1）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是（，）∪（，1）．【解答】解：f（x）＝sin x（sin x+cos x）﹣＝sin2x+sin x cos x﹣＝﹣cos2x﹣+sin2x ＝sin（2x﹣），令f（x）＝sin（2x﹣）＝0，则2x﹣＝kπ，解得x＝π+，k∈Z，当k＝0时，x＝，此时＜＜aπ，解得＜a＜，当k＝1时，x＝π，此时＜π＜aπ，解得＜a＜1，综上所述f（x）在区（，aπ）（0＜a＜1）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是（，）∪（，1）故答案为：（，）∪（，1）三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知•＝2，cos B＝，b＝3．求：（1）a和c的值；（2）cos（B﹣C）的值．【解答】解：（1）•＝2，cos B＝，b＝3，可得ca cos B＝2，即为ac＝6；b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即为a2+c2＝13，解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2，由a＞c，可得a＝3，c＝2；（2）由余弦定理可得cos C＝＝＝，sin C＝＝，sin B＝＝，则cos（B﹣C）＝cos B cos C+sin B sin C＝×+×＝．16．（13分）有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2个零件直径相等的概率．【解答】解：（1）由10个零件直径（单位：cm）数据，得：10个零件中，一等品有6个，∴从上述10个零件中，随机抽取一个，这个零件为一等品的概率p＝．（2）①从一等品零件中，随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果共15个，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）．②这2个零件直径相等包含的基本事件有6个，分别为：（A1，A4），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A5），（A3，A5），（A4，A6）．∴这2个零件直径相等的概率p＝＝．17．（13分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取EC中点N，连结MN，BN，在△EDC中，M，N分别为ED、EC的中点，∴MN∥CD，且MN＝CD．由已知AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABMN为平行四边形．∴BN∥AM．又∵BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，∴AM∥平面BEC．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，得BC＝．在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2，BD2+BC2＝CD2，∴BC⊥BD．∵ED∩BD＝D，∴BC⊥平面BDE．解：（3）作DH⊥平面BEC于点H，连接CH，则∠DCH为CD与平面BEC所成角，由（2）知，BC⊥BE，BC⊥BD，∴S△BCD＝，又∵ED⊥平面ABCD，＝．∴DH＝，∴sin＝＝．∴CD与平面BEC所成角的正弦值为．18．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，S5＝30；数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝2n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝（﹣1）n（a n b n+lnS n），求数列{c n}的前2n项和W2n．【解答】解：（1）等差数列{a n}的前n项和为S n，利用：＝30，且a1＝2，解得：d＝2．故：a n＝2n．数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝2n﹣1①．则：当n≥2时：②，①﹣②得：．当n＝1时，符合通项公式．故：．（2）由（1）得到：S n＝n（n+1），故：c n＝（﹣1）n（a n b n+lnS n）＝n•（﹣2）n+（﹣1）n•[lnn+ln（n+1）]设数列{（﹣1）n a n b n}的前2n项和为A2n，数列{（﹣1）n lnS n}的前2n项和为B2n，则：+2•（﹣2）2+…+n•（﹣2）n①．﹣2A2n＝1•（﹣2）2+2•（﹣2）3+…+n•（﹣2）n+1②．①﹣②得：3A2n＝（﹣2）1+（﹣2）2+…+（﹣2）2n﹣2n•（﹣2）2n+1解得：A2n＝，数列{（﹣1）n lnS n}的前2n项和，利用叠加法得到：B2n＝﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）+…+（ln2n+ln（2n+1）），＝ln（2n+1）﹣ln1，＝ln（2n+1）．故：W2n＝ln（2n+1）．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．（i）求四边形APBQ面积的最大值；（ii）设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．由已知b＝2，离心率e＝，a2＝b2+c2，得a＝4，所以，椭圆C的方程为．（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3），Q（2，﹣3），则|PQ|＝6，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝x+t，代入，得：x2+tx+t2﹣12＝0．由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由根与系数的关系得，四边形APBQ的面积，故当t＝0时，；②由题意知，直线P A的斜率，直线PB的斜率，则＝＝，由①知，可得，所以k1+k2的值为常数0．20．（14分）设函数f（x）＝+x2+（m2﹣1）x（x∈R），其中m＞0．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当，故f'（1）＝﹣1+2＝1，所以曲线y＝f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1．方程为y﹣＝x﹣1，即为y＝x﹣（2分）（2）f'（x）＝﹣x2+2x+m2﹣1，令f'（x）＝0，解得x＝1﹣m或x＝1+m．∵m＞0，所以1+m＞1﹣m，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：∴f（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1﹣m，1+m）内是增函数．函数f（x）在x＝1﹣m处取得极小值f（1﹣m），且f（1﹣m）＝，函数f（x）在x＝1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）＝．（6分）（3）由题设，，∴方程有两个相异的实根x1，x2，故，∵m＞0解得m，（8分）∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2＝3，故x2＞．（10分）①当x1≤1＜x2时，f（1）＝﹣（1﹣x1）（1﹣x2）≥0，而f（x1）＝0，不符合题意，②当1＜x1＜x2时，对任意的x∈[x1，x2]，都有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，则，又f（x1）＝0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）＝m2﹣＜0，解得，∵由上m，综上，m的取值范围是（，）．（14分）。
天津市南开区2017届高三下学期毕业班联考数学(文)试题Word版含答案
天津市南开区2017届高三下学期毕业班联考数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上.一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1. 已知复数z 满足11z i=+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i - D ． 1i +2. 已知直线l ：y kx b =+，曲线C ：22(1)1x y +-=，则“1b =”是“直线l 与曲线C 有公共点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 若ππ23sinlog ,3log ,552.0===c b a ，则（ ） A ．b c a >> B.b a c >> C.a b c >> D ．c a b >>4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为8，则判断条件是（ ）A ．2k <B ．4<kC ．3<kD ．3≤k 5. 点P 为ABC ∆边AB 上任一点，则使ABC PBC S S ∆∆≤31的概率是（ ） A.31 B.32 C.95D.946. 函数()sin(2)3f x x π=+的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．56π B ．3π C ．4π D ．6π7. 已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于,A B 两点,若22::4:3:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）A ． B ．C ．2 D8. 在平行四边形ABCD 中，2=AB ，1=BC ，0120=∠ABC ，平面ABCD 内有一点P ，满足5=AP ，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ，则μλ+2的最大值为（ ）A ．35 BC ．453D ．615二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9. 某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取 人进行该项调查.10. 甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如下图所示，甲、乙几何体的体积分别为1V 、2V ，则12:V V 等于 .11.ABC ∆是o 的内接三角形，PA 是o 的切线，PB 交AC 于点E ，交o 于点D .若PA PE =，060ABC ∠=，1PD =，9PB =，则EC = .12. 函数212log (43)y x x =-+-的单调增区间为 .13.已知数列{}n a ，11a =,23a =,21n n n a a a ++=-,则2016a = .14. 若函数22()26f x x a x a =++-的图像与x 轴有三个不同的交点，函数()()g x f x b =-有4个零点，则实数b 的取值范围是 ．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）已知函数)sin 3(cos cos )(x x x x f +=. （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若1)(=C f 且4,7=+=b a c ，求ABC S ∆.第10题16.（本小题满分13分）某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B 若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过并且B 最大，最大收益是多少?17.（本小题满分13的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，其中//AB CD ，AB BC ⊥，112CD BC AB ===，AE DF O = ,M 为EC 的中点.（Ⅰ）证明： //OM 平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D AB E --的正切值；（Ⅲ）求BF 与平面ADEF 所成角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>.（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）设椭圆E 的焦距为，直线l 与椭圆E 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，求证：直线l 恒与圆2234x y +=相切.19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()22log 22nn na n n nb n n a ⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T .20.（本小题满分14分）已知函数x ax x f ln 1)(--=.（R a ∈） （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若函数)(x f 在x=2处的切线斜率为12，不等式2)(-≥bx x f 对任意),0(+∞∈x 恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）证明对于任意n ∈N ，n≥2有：222222222ln 2ln3ln 4ln 212342(1)n n n n n --++++<+ .天津市南开区2017届高三下学期毕业班联考数学（文）试题评分标准9．31； 10．1:3； 11．4； 12．()2,3； 13． 2-； 14． ()6,0- 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15. 解：（Ⅰ）2()cos (cos )cos cos f x x x x x x x ==……………….1分1cos 2222x x +=+ …………….3分 1sin(2)26x π=++ ……………….5分 当sin(2)16x π+=-时，()f x 取最小值为21-. ……………….6分（Ⅱ）1)62sin(21)(=++=πC C f ，∴ 1sin(2)62C π+= ………………. 7分()0,C π∈ ， 132,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭………………. .8分 ,3C π∴=………………. 9分又2222cos c a b ab C =+-， ………………. 10分2()37a b ab +-= ………………. 11分∴3=ab ………………. 12分 ∴433sin 21==∆C ab S ABC . …………….13分16．解：设搭载A 产品x 件，B 产品y 件，则预计收益z=1000x+1200y ……….2分则有2 1.5151.512200,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ …………….6分……….9分上述不等式组表示的平面区域如图，阴影部分（含边界）即为可行域． 作直线l ：1000x+1200y=0，即直线x+1.2y=0．把直线l 向右上方平移 到l 1的位置，直线l 1经过可行域上的点B ，此时z=1000x+1200y取得最大值． ……….10分由解得点M 的坐标为（3，6）． ……….11分∴当x=3，y=6时，z max =3×1000+6×1200=10200（百元）．……….12分答：所以搭载A 产品3件，B 产品6件，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为10200百元. ……….13分17 .解：（Ⅰ）,O M 分别为EA ，EC 的中点//OM AC ∴ ……………….2分 OM ⊄ 平面ABCD AC ⊂平面ABCD ………………….3分OM ∴||平面ABCD ………………….4分（Ⅱ）取AB 中点H ，连接,DH EHDA DB = ,DH AB ∴⊥ ………………………….5分又EA EB = EH AB ∴⊥ …………………………….6分 EHD ∴∠为二面角D AB E --的平面角 …………………………….7分H又1DH = tan EDEHD DH∴∠==…………………………….8分 （Ⅲ）∠=∠==t ,1R BCD BC DC 2=∴BD2,2==AB AD DA BD ⊥∴ …………………………….9分ABCD BD AD ABCD ADEF ABCD ADEF 平面,平面平面,平面平面⊂=⊥ ADEF BD 平面⊥∴ …………………………….10分 的余弦值即为所求BFD ∠∴ ……………………………11分在6,2,t ,中t ==∠=∠∆BF DF R BDF BDF R3662cos ===∠∴BF DF BFD …………………………….12分 36所成角的余弦值为与平面ADEF BF ∴ …………………………….13分 18 .解（1）依题意得：322=ba ，又222cb a +=， ………………….2分36==∴a c e …………………………….3分 （2）222，36==c a c1,322==∴b a ∴椭圆E 的方程为2213x y +=， …………………………….5分（Ⅰ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+,联立方程得()()()22222136310,12130k x kmx m k m +++-=∆=+->，……….6分设()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理，得()2121222316,1313m kmx x x x k k--+=⋅=++，….7分 所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ⋅=+⋅+=+++， ……………….9分结合韦达定理，得()2212122431013m k OP OQ x x y y k-+⋅=⋅+⋅==+ ，所以()22431m k =+，又原点O 到直线l的距离2d ==== ∴当直线l 的斜率存在时，l 恒与圆2234x y +=相切. …………………………….11分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，OPQ ∆是以PQ 为斜边的等腰直角三角形，,P Q 的坐标满足方程y x =，结合椭圆方程，得x =，从而原点O 到直线l的距离d =， ∴当直线l 的斜率不存在时，l 与圆2234x y +=相切. …………………………….12分 综上，直线l 恒与圆2234x y +=相切. …………………………….13分 19 . 解（1） 2n ≥,1122n n S a --=- ………………….2分 1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -= ………………….3分又1n = ,1122S a =- 12a = ………………….4分∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列2n n a ∴= ………………….5分（2）由（1）知()()2211log 222222n n n n nn n n n n n b b nn n n -⎧⎧⎪⎪++⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数……………….7分所以21232n n T b b b b =++++ =1111111213352121n n ⎛⎫-+-++- ⎪-+⎝⎭ 135212462222n n -⎡⎤+++++⎢⎥⎣⎦ ………………….9分 21n n =+135212462222n n -⎡⎤+++++⎢⎥⎣⎦设135212462222n nA -=++++ ， 则23572124622222n n A -+=++++ ， ………………….10分两式相减得3572121322221422222n n nA -+=++++- ， ………………….12分整理得211668992n n A -+=-⨯， ………………….13分 所以221166899221n n n n T n -+=-+⨯+． …………………14.分20．解：（1） 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xax x a x f 11)(-=-=' ………………1分 当0≤a 时，01<-ax ，从而0)(<'x f ，故函数)(x f 在),0(+∞上单调递减 …………2分 当0>a 时，若ax 10<<，则01<-ax ，从而0)(<'x f ， …………3分 若ax 1>，则01>-ax ，从而0)(>'x f ， …………4分 故函数)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在),1(+∞a上单调递增； …………5分（Ⅱ）求导数：1()f x a x'=-， ∴11(2)22f a '=-=，解得a=1． …………6分 所以2)(-≥bx x f ，即2ln 1-≥--bx x x ，由于0>x ，即xx x b ln 11-+≤. …………7分 令x x x x g ln 11)(-+=，则2222ln ln 11)(xx x x x x g -=---=' 当20e x <<时，0)(<'x g ；当2e x >时，0)(>'x g∴)(x g 在),0(2e 上单调递减，在),(2+∞e 上单调递增； …………9分故22min 11)()(ee g x g -==，所以实数b 的取值范围为]11,(2e --∞ …………10分 （3）证明：由当1a = ，1x > 时，11()10x f x x x-'=-=> ，()f x 为增函数， (1)0f = ()1ln 0f x x x ∴=--> 即ln 1x x <- …………11分 ∴当2n ≥时，221lnn n ＜﹣， …………12分2222ln 111111(1)1n n n n n n n n -∴<<-=-+++ …………13分 22222222ln 2ln 3ln 4ln 111111(1)(1)(1)23423341n n n n ++++<-++-+++-++211211212(1)n n n n n --=--+=++ ∴222222222ln 2ln 3ln 4ln 212342(1)n n n n n --++++<+ （*2n N n ∈≥， ）． …………14分。
天津市南开中学2017届高三第五次月考数学文试题 含答
天津市南开中学2017届高三第五次月考数学试题（文史类）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数z 满足：()(2)5z i i --=，则z =A ．22i --B ．22i -+C ．22i -D ．22i + 2、函数()21log f x x x=-+的一个零点所在区间为 A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 3、若0.30.33,log 3,log a b c e π===，则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>4、若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为 A ．23 B ．1 C ．12 D ．345、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为6、如图，12,F F 是椭圆2214:1x C y a+=与双曲线2C 的公共点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是A ．32 D7、设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b ==+=11x y+ 最大值为A ．2B ．32 C ．1 D ．128、设()32log (f x x x =+，则对任意实数,,0a b a b +≥是()()0f a f b +≥的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 9、已知全集,{|21},{|12}x U R A y y B x x ===+=-<，则()U C A B = 10、下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是11、设函数()y f x =在区间[]0,1上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有()01f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算由曲线()y f x =及直线0,1,0x x y ===所围成部分的面积S ，现产生两组（每组N 个）区间[]0,1上均匀随机数12,,,N x x x 和12,,,N y y y ，由此得到N 个点(,)(1,2,3,,)i i x y i N = ，再数出其中满足()(1,2,,)i i y f x i N ≤= 的点数N 1，那么由随机模拟方法可得S 的 近似值为12、已知{}m a 是首项为的对边数列，n S 是它的前n 项和，且369S S =，则数列1{}na 的前5项的和为13、如图，在四边形ABCD 中，,3,4,AB BC AB BC ACD ⊥==∆是等边三角形，则AC BD ⋅的值为14、已知函数()2ln xf x a x x a =+-，对任意的12,[0,1]x x ∈，不等式12()()1f x f x a -≤-恒成立，则实数a 的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若()2,1,22Af b c ===，求a 的值.18、（本小题满分13分）某家具厂有方木料903m ，五合板6002m ，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.13m ，五合板22m ；生产每个书橱需要方木料0.23m 、五合板12m ，出售一张书桌可获利80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产科获所得利润最大？最大利润为多少？17、（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11,2AC BC AA D ==是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥. （1）证明：1DC BC ⊥；（2）求二面角11A BD C --的大小.18、（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点2F ，离心率12e =，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为8.（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相较于点Q ，试探究：在坐标平面内是否在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.已知数列{}n a 的前n 项和11()2(2n n n S a n -=--+为正整数）.（1）令2n n n b a =，证明数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令121,n n n n n c a T c c c n+==+++ ，是否存在最小的正整数m ，使得对于n N +∈都有24n T m <-恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.20、已知函数()2ln ()f x x x ax a R =+-∈. （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1(0,1]x ∈，证明：123()()ln 24f x f x -≥-+.。
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4. 若 ，则直线 被圆 所截得的弦长为（ ）
A．
B． C.
D．
5. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图 为（ ）
A．
B．
C.
D．
6. 如图， 是椭圆
与双曲线 的公共焦点， 分别是 在第二、四象限的公共点，若四边形
为矩形，则 的离心率是（ ）
A． B． C. D．
19. 已知数列 的前 项和
为正整数） . （ 1）令
，证明数列 是等差数列；
（ 2）求数列 的通项公式；
（ 3）令
. 是否存在最小的正整数 ，使得对于 都有 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 .
20. 已知函数 .
（ 1）当 时，求函数 的单调区间；
（ 2）若函数 有两个极值点 ，且 ，证明
20. 解：
. (1) 当
时，
，令 ，有
或 ，当
或 时， ；当
时， . 所以
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
(2) 由于 有两个极值点 ，则 有两个不相等的实根，所以 ，即 ，
，设 ，则 ， 在
上单调递减，所以 ，即 .
（ 2）求二面角 的大小 .
18. 椭圆
的左焦点为 ，右焦点为 ，离心率
，过 直线椭圆于 两点，且 的周长为 .
（ 1）求椭圆 的方程；
（ 2）设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 . 试探宄：在坐标平面内是否存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过点
？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由 .
7. 设 ， ，若 ，则 最大值为（ ）
A． B．
C. D．
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天津市南开中学2017届高三第五次月考数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足：(z -i )(2-i )5=，则z =（ ）A ．22--iB ．22-+iC ．22-iD ．22+i 2. 函数()21log =-+f x x x的一个零点所在区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4 3. 若0.30.33,log 3,log a b c e π===，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>4. 若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（ ）A ．23 B ．1 C.12 D ．345. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）A ．B ． C. D ．6. 如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A 32 D7. 设,x y ∈R ，1,1>>a b ，若3,x y a b a b ==+=，则11x y+最大值为（ ） A ．2 B ．32 C.1 D ．128.设()(32log f x x x =++，则对任意实数,,0a b a b +≥是()()0f a f b +≥的 （ ）A ．充分必要条件B ． 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷二、填空题（将答案填在答题纸上）9.已知全集U R =，{}{}|21,|12==+=-<xA y yB x x ，则()= UC A B ．10. 如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 ．11.设函数()y f x =在区间[]0,1上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有()01f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算由曲线()y f x =及直线0,1,0x x y ===所围成部分的面积S ，先产生两组（每组N 个）区间[]0,1上均匀随机数12,,...,n x x x 和12,,...,n y y y ，由此得到N 个点()(),1,2,...,i i x y i N =，再数出其中满足()()1,2,...,i i y f x i N ≤=的点数1N ，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为 ．12.已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是它的前n 项和，且369S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为 ．13.如图，在四边形ABCD 中，,3,4,AB BC AB BC ACD ⊥==∆是等边三角形，则AC BD ⋅的值为 ．14.已知函数()2ln x f x a x x a =+-，对任意的[]12,0,1x x ∈，不等式()()121f x f x a -≤-恒成立，则实数a 取值范围为 ．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若2,1,22A f b c ⎛⎫===⎪⎝⎭，求a 的值. 16. 某家具厂有方木料390m ，五合板2600m ，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料30.1m 、五合板22m ；生产每个书橱需要方木枓30.2m 、五合板21m .出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？ 17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11,2AC BC AA D ==是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥.（1）证明：1DC BC ⊥；（2）求二面角11A BD C --的大小.18. 椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率12e =，过1F 直线椭圆于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q .试探宄：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.19. 已知数列{}n a 的前n 项和112(2n n n S a n -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭为正整数）.（1）令2nn n b a =，证明数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令121,....n n n n n c a T c c c n+==+++.是否存在最小的正整数m ，使得对于n N *∈都有24n T m <-恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.20. 已知函数()()2ln f x x x ax a R =+-∈.（1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且(]10,1x ∈，证明()()123ln 24f x f x -≥-+.天津市南开中学2017届高三第五次月考数学（文）试题参考答案一、选择题1-4:DBAB 5-8: DDCA二、填空题9.(]1,1- 10. 10 11.1N N 12.3116 13.7214. [),e +∞ 三、解答题15. 解：(1)()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭,2T ππω==,由222262k x k πππππ-≤-≤+，得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故()f x 的单调增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. (2)22,2sin 22,2,26623A f A A k A k k Z ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=⇒-=+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又0A π<<，23A π∴=，2222cos 7,a b c bc A a ∴=+-==16. 解：设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元.则0.10.2902600,8012000x y x y z x y x y +≤⎧⎪+≤⎪=+⎨≥⎪⎪≥⎩，可行域如图.由图可知：当直线23120z y x =-+经过可行域上的点M 时，截距120z 最大，即z 最大，解方程组29002600x y x y +=⎧⎨+=⎩得M的坐标为()100,400，max 801208010012040056000z x y ∴=+=⨯+⨯=（元）.因此，生产书桌100张，书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56000元.17. 解：(1)依题设条件，在Rt DAC ∆中，由AD AC =，易知45ADC ∠=，同理可得11145,90A DC CDC ∠=∴∠= ，从而可得1DC DC ⊥.又依题设11,DC BD DC ⊥∴⊥平面BCD ，于是有1DC BC ⊥.(2)如图，取11A B 的中点E ，连接1C E .由AC BC =知1111AC B C =，从而有等腰三角形三线合一定理，即知111C E B A ⊥，又平面111A B C ⊥平面11ABB A ，则1C E ⊥平面11ABB A .从而有1C E ED ⊥，而已知1C D BD ⊥，连结ED ，由可知ED DB ⊥，则1C DE ∠即是二面角11A BD C --的平面角,设AC a =，则1DC =；由（1）知有1BC DC ⊥，又1BC CC ⊥，故BC ⊥平面11A ACC ，于是BC AC ⊥，求得12C E a =.在1Rt C EH ∆中，11111sin ,26C E C DE C HE C D π∠==∴∠=，即二面角11A BD C --的大小为6π. 18. 解：(1)设c =2221234,2c e a c a b ABF a ==⇔=⇔=∆的周长为 221221288AB AF BF AF AF BF BF ++=⇔+++=482,1a a b c ⇔=⇔===.故椭圆E 的方程为22143x y +=. (2)由对称性可知设()()000,0P x y y >与(),0M x ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，则0.0m ≠∆=，得()22430k m -+=*，此时0002443,43km k x y kx m k m m =-=-=+=+，即43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()4,4Q k m +，若存在定点M 满足条件，则当PQ 平行x 轴时，圆也过定点M，此时得(P或(0,P ，由图形对称性知两圆在x 轴过相同的交点，点M 必在x 轴上.设()1,0M x ，则0MP MQ ⋅=对()*式的,m k 恒成立.易得()211144430kx x x m-+-+=，得11x =，故存在定点()1,0M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .参考：220031'434x x y y y k y +=⇒==⇒=-，直线()()200000313:4,4x x l y y x x Q y y -⎛⎫-=--⇒ ⎪⎝⎭，()()()()()()()0000031040113x MP MQ x x x y x x x x y -⋅=⇔--+⨯=⇔-=--* ，()*对()02,2x ∈-恒成立1x ⇔=，得()1,0M .19. 解：(1)在1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭中，令1n =，可得11112S a a =--+=，即112a =.当2n ≥时，211111112,22n n n n n n n n n S a a S S a a ------⎛⎫⎛⎫=--+∴=-=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，11122n n n a a --⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，即111221,2,1n n n n n n n n n a a b a b b ---=+=∴=+ ，即当2n ≥时，11n n b b --=. 又1121b a ==，所以数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列.(2)于是()1112,2nn n n nn b n n a a =+-⋅==∴=. （3）由（2）得()1112nn n n c a n n +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以()231111234...12222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()234111111234...122222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（1）-(2)得()231111111...122222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111111334211122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎣⎦=+-+=- ⎪⎝⎭-3373,3324,222n n n n n n T T m m ++∴=-=-<≤-≥ ，故m 的最小值是4. 20. 解：()()2121'20x ax f x x a x x x-+=+-=>. (1)当3a =时，()2231'x x f x x-+=，令()'0f x =，有12x =或1x =，当102x <<或1x >时，()'0f x >；当112x <<时，()'0f x <.所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭. (2)由于()f x 有两个极值点12,x x ，则2210x ax -+=有两个不相等的实根，所以12121,22a x x x x +=⋅=，即()122112,2x x a x x +==，()()2212111222ln ln f x f x x x ax x x ax -=+---+ ()()()21121211121111ln ln2ln ln 201224a x x x a x x x x x x x =-+---=-++<≤，设()()22112ln ln 2014F x x x x x =-++<≤，则()()22332121'2022x F x x x x x-=--=-<， ()F x ∴在(]0,1上单调递减，所以()()31ln 24F x F ≥=-+，即()()123ln 24f x f x -≥-+ .。
天津版2016届高三第五次月考数学(文)含答案
第五次月考数学文试题【天津版】本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P += ·如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=·柱体的体积公式Sh V =·锥体的体积公式Sh V 31=其中S 表示柱（锥）体的底面面积h 表示柱（锥）体的高一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设全集为R ，集合{}3A x x =<，{}15B x x =-<≤，则()R A C B = （A ） (]3,1--（B ） ()3,1--（C ） ()3,0-（D ） ()3,3-（2）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“01q <<”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 则输出的K 和S 值分别为（A ）9，49 （B ）11，511 （C ）13，613 （D ）15，715（4）设3log a π=，13log b π=，3c π-=，则（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）c b a >> （5）已知双曲线C ：22221x ya b-=的焦距为10， 点(1,2)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为（A ）221205x y -= （B ） 221520x y -= （C ）2218020x y -= （D ）2212080x y -= （6）若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是（A ） 8π （B ） 4π （C ）38π（D ）34π （7）若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式中①1ab ≤；②2a b +≤；③222a b +≥；④112a b+≥.对一切满足条件的a ，b 恒成立的序号是（A ）①②（B ）①③（C ）①③④（D ）②③④（8）在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，CA CE λ=，若14AD BE ⋅=-，则λ的值为 （A ）12（B ）2（C ）13（D ）3第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
天津市南开区2017届高三一模数学(文)试题Word版含答案
南开区2016— 2017学年度第二学期高三年级总复习质量检测 （一）数学试卷（文史类）第I 卷一、选择题（本大题共 8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）1、 若复数z 满足（-3 4i ）z =25i ，其中i 为虚数单位，则 z = A . 4 -3i B . 3 4i C . -5 3i D . 4 3i2、 口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球 45个，从中袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为 A . 0.45 B . 0.32 C . 0.64 D . 0.673、已知p,q 是简单命题，那么“ p q 是真命题”是“ —p 是真命题”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 2 24、已知双曲线才計的右焦点与抛物线2y =12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A .、、5B . 3C . 5D . 4、25、我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损术的算法思路与右图类似，记R（a b）为a除以b所得的余数，执行程序，若输入a,b分别为266,63 , 则输出的b的值为A . 1B . 3C . 7D . 216、已知函数f x AT nx2-x，则关于的不等式f(丄厂：2(1 n丄-1)的解集为m 2A. (0, 1) B . ^1,0^J(0,1) C . (0,2) D . (-2,0)U(0,2)2 2 2—I T T T T T 17、在ABC 中，AB =AC =1, AM =MB,BN = NC,CM AN ，则ABC =45■: 12Jl Tt —D .-4 6最小值是/输乜b /a且f (x 2^ f x 对任意的x • R 恒成立，若函数g x 二f x ］；「m(x • 1)在区间［「1,5］内有6个 零点，则实数m 的取值范围 _________ .三、解答题：本大题共 5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、(本小题满分13分)»oo o3T在匚ABC 中，角A, B,C 所对的边为a,b,c ，已知c = a b —4bccosC ，且A —C .2(1 )求cosC 的值；n(2 )求 cos(B)的值•316、(本小题满分13分)某厂拟输出甲乙两种适销产品，每件销售收入分别为A . 8B . 9C . 11D . 12二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答△«u13、 圆心在直线2x-y=0上的圆C 与x 轴的正半轴相切，圆 C 截y 轴所得的弦的长为 2. 3 , 则圆C 的标准方程为14、已知定义域为 R 的函数f x 满足：当(-1,1］时,，一1 ：：x 02-x-2,0 ：： x_13000元、2000元，甲乙产品都需要在 A 、B两种设备上加工，在每台A、B设备上加工一件甲所工时分别为1h,2h，加工一件乙设备所需工时分别为2h,1h ,A,B两种设备每月效使用台数分别为400h和500h，分别用x,y表示计划每月生产甲乙产品的件数•（1 ）用x, y累成满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲乙两种产品各多少件，可使收入最大？并求出最大收入17、（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA = PB,PA _ PB, F为CE 上的点，且BF _平面PAC .（1）求证：平面PAB _平面ABCD ；（2）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值；（3）在棱PD上是否存在一点G，使GF //平面PAB，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由•18、（本小题满分13分）等比数列祐鳥的各项均为正数，成等差数列，且满足a^4a f.（1）求数列Ca n 1的通项公式；（2）设b n色口，n，N ，求数列匕』的前n项和S n.（1—a n）（1 ~a n 十）21、（本小题满分14分）2 2已知过点（0, -2.3），斜率为3的直线l过椭圆C:令匕-1（a b 0）的焦点，椭圆C的中心a b22关于直线l 的对称点在直线X 二’上.2(1)求椭圆C 的方程;点)，求直线m 的方程.20、(本小题满分14分)已知函数 f (x )=仮卜-a,a^ R, g(x) = 16x 3 +mx 2 _15x - 2，且 g(2)=0. (1) 求函数g x 的极值； (2)若函数f x 为单调函数，求实数 a 的取值范围；(3) 设a • 0 ,若存在实数t(t 0)，当x • ［0, t ］时函数f x 的值域为［0,丄］， 求实数a 的取值范围(2)过点E(2,0)的直线m 交椭圆于点M,N ，且满足ta n. MON =(O 为坐标原3OM ON南开区2016〜2017学年度第二学期离三年级总复习质量检测（一）9(13) (X -1)2+(^2)M ；(14) [j, j)三.解答题：（其他正礎解法请比照给分）（15） H ： （I ） •••c 2=o 2+y-46ccosG 由余弦定理可得"2G：•由正弦定理得siiU=2sinC.又 T A-C- £ ■ sinX =sin (C+—) =cosC ・ -2 2/•2sinC=cosC» X V sin 2C+cos 2C=l,解得cosC=座5(D)由(I )知sinC*y,/.sin2C=2sinCcosC= j, cos2C=2cos J C-l=-, •*.cos(B+i) =co S (—-2O， 68=005cos2C+sin —sin2C6 6J 迺丄丄红上迈2 5 2 510 -•** •7 ‘2 • •扣(9) {x|-2©<7}；(10)尸4x-3訂(11) V3： (12) [-2, 4]； 13分b+”500, =+2ys400, "0, 丿20, 该二元一次不等式畅赫的区域为右图中的阴形部分；・•・・•・•・・・・・6分（U ）设毎月收入为z千元.则目标函数为"3x+2y. 考虔z=3x+幼 将它变形为『〜討峙.这是斜 率为弓・随z 变化的一族平行直线.彳为直线在丁 轴上的截距，当彳取得量大值时，z 的值最大.又 因为工，y 满足约束条件，所以由右图可知，z=3x+却在点M 处取得最大值.2x +y = 500> />得点M 坐标为（200, 100）-x+2y = 400>所以 ^=600+200=800.答：生产甲产品200件，乙产品100件，可便收入量大，且最大收入为80万元............ ・・13分(17) M ： (I) TBF 丄平面 PAC. ：^BFLPA.又 VE41PB- •••比丄平面FBG•••£4 丄 BC.又・••底面M3是正方形,•VXB 丄 BG・・・BC 丄平面如， ・・•平面"BCD 丄平面£4B ・5）作PE±M?垂足为'电警;+案CXJ 脚却真如頁八烏开区高斗复习咖E:（⑹斛⑴由己知&曲”11分”12分由（I）知.PEJL平面XBCD■•・.直线PC与平面XBCD所成角即为ZPCE・• ........................... 6分•:吩PB. B4丄PB, AB^2,:・PE=l, PB二逅,・••在R1APBC中，由勾股定OPC=V6,.•曲“EC中，5=胃.即貢銭PC与平而肋CD所成角的正號值为嬰・、 (9)■(IH)作FG//CD，交PD 于G・. .■:・；• … • •・••:FG7/CP. AB//CD,:.FG//AB.又VFGcr平面⑷，Mu平面RL8・■:.FG〃平面E4B. •/•・•・ ........... 11 分7BF1平面刃C.\BFLPC.由（II）知，在R1MBC中，PF=卷,・3从而,PG=¥即棱PD上存在一点G,使GF〃平面刃B,且PG的长为半. .............. 13分（18）解，（I）设等比数列口｝的公比为仆TUJ KS*"S 2o<—2u5r4a^t.................. *............ I 分■•山4=舸+汝乳........ .................... 2分•・q>0，•“>0,且2^+^lM),庖开区高三总复习电检利（-）（以知M3X（共70解探尸*奏旷-匕(會》・J4・・.. .1 y 于所以数列｛心｝的通项公式为a 产□由⑴卄心忒石ED,1 - 1_莎二1_2”匸1・(19) Mt (I )依题意.宜线7：尸街X-2VL:•直线/过捕B8焦点，二该焦点坐标为(2, 0),即c=2. •・•过原点垂直于I 的直线方程为y~旦, ......3•••橢圆中心0(0, 0)关于直钱/的对称点在宜线“工卜2上4-2x r x•••/%从而，护=2.审口吋* 一如3粘(如*页希必乜故«0C 的方程为4+v = 1-o Z(U)由题设知直线加的斜杯为零，故SS 线加的方程为尸X' 代入捕圆C 的方程并整理得(F+3)FN"-2=0, 则知*島・wy 萨焉, ・•」側=J1 + F 1比》|71+卩7以f )2-伽》□分••6分_2R(1+F)，7tanZW^=-^Z ： _ .30M ON•sinZWN _ 4^6 */cosZMON '3\OM\^\ON\W3£MON，・•・［亦|・|页|sinZMON=还，3即.…3- ............................... . ...._ ••276-71+7 2^6••- —=—■.F + 3 3解得e±V5或E).泗护(1)%⑵T6・2%・2匚15・2-27 Am=-24,• i •• :. ■・・・g(r) =16?_24?-15辽令glx) M&?-48x-15=0. «得工—1 54*少变化时，g'S和g(x)的变化倩况如下表：X (-C0, -丄)443 4}~5~4r__________G，+«>)4+0■0,+/ w / 极大值\极小值/A/U) •*«=/(—)=0» /(x)«x«=/(^)=-27.当aWO 时，fix)*= 7x (x-a), /z(r) = -x^--or 1 ^0,2 2・J&)在[0, +«>)上单调递增，符合题意；业 a ■fVxffl —x)>OMxVa纸>0时，/(x)=：W °[Vx(x-a)> x>a,此时，XWZ为心)的零点.显然不单调；此实数a的取值范围是go.5)瓯当x>a时・/(x)单调递增・•W,护5当询訂嘗<。
天津南开中学2016届高三第五次月考数学(文)试卷 含答案
天津南开中学2016届高三第五次月考数 学(文史类）本试卷分为第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题，每小题5分,共40分一。
选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数212i i+-等于A ．iB ．i - C. 1D 。
1-(2）已知命题p ：若a b >，则22ab >；q ：“1x ≤"是“2230x x +-≤"的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是A ．p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ⌝∧⌝D 。
p q ∧⌝（3）记集合22{(,)|16}A x y xy =+≤，集合{(,)|40,(,)}B x y x y x y A =+-≤∈表示的平面区域分别为12,ΩΩ。
若在区域1Ω内任取一点(,)P x y ，则点P 落在区域2Ω中的概率为A ．24ππ-B ．324ππ+C ．24ππ+D ．324ππ-（4）运行如下图所示的程序,则输出的结果为A ．7B ．9C ．10D ．11（5）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．33π+ B ．323π+C ．23π+D ．3π+(6)已知函数sin23cos2y x x =-，下列结论正确的个数是①图象关于12x π=-对称②函数在[0，2π］上的最大值为2 ③函数图象向左平移6π个单位后为奇函数A ．0B ．1C ．2D ．3（7)已知定义在R 上的函数2()1|1()|f x x m =---关于y 轴对称，记(2),a f m =+1251(log ),()2b fc f e ==则,,a b c 的大小关系是A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<(8）已知函数||()2x f x x =+，若关于x 的方程2()f x kx =有4个不同的实数解,则k 的取值范围是开始1,0i S ==lg2i S S i =++1S ≤-i 输出结束2i i =+是否A ．1k >B ．1k ≥C ．01k <<D ．01k <≤天津南开中学2016届高三第五次月考数 学(文史类） 第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2020届天津市南开区南开中学高三第五次月考数学试题Word版含解析
1．设 U ∈ R ， A = {-2, -1,0,1,2}， B = {x x ≥ 1}，则 A I ð B = （2．若变量 x, y 满足约束条件 ⎨ x + y - 4 ≥ 0 ，则 z = 2x + y 的最小值是（ ）⎪ x - y ≥ 02020 届天津市南开区南开中学高三第五次月考数学试题一、单选题U）A ． {1,2}C ． {-2, -1,0}B ． {-1,0,1}D ． {-2,-1,0,1}【答案】C【解析】先根据补集的定义求出 ðU B ，再由交集的定义可得结果.【详解】因为 U ∈ R ，B = {x x ≥ 1}，∴ð B = {x | x < 1}，U又因为 A = {-2, -1,0,1,2 }，∴ A I (ð B )= {-2, -1,0}，故选 C ．U【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 A 且不属于集合 B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.⎧ y ≤ 4⎪ ⎩A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】试题分析：可行域为一个开放区域，如图其中 B(4,4), C(2,2) ，所以直线 z = 2x + y 过点 C 时取最小值 6，选 B.5，c=log25，则a,b,c的大小关系是（）【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3．设a=0.30.1，b=log13 A．a>b>cC．b>c>a 14B．a>c>bD．c>b>a【答案】D【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a,b,c的取值范围，从而可得结果.【详解】因为0<a=0.30.1<0.30=1，1=log1311<b=log3153=log5<log9=2,33c=log25>log42=2，44∴c>b>a，故选D.【点睛】本题主要考查对数函数的单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看三个区间B．“∃x∈R，x2-x≤0”的否定是“∀x∈R，x2-x≥0”2r r2，得l1//l2的充要条件是a=±(0,1),(1,2),(2,+∞)）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4．下列选项中说法正确的是（）r r r rA．若非零向量a，b满足a⋅b>0，则a与b的夹角为锐角000C．直线l:2ax+y+1=0，l:x+2ay+2=0，l//l的充要条件是a=11212D．在∆ABC中，“若sin A>sin B，则A>B”的逆否命题是真命题【答案】Dv v【解析】利用a，b同向的情况判断A；利用特称命题的定义判断B；利用l1//l2等价于a=±判断C；利用正弦定理边角互化以及原命题与其逆否命题的等价性判断D.【详解】v v v v对于A，a，b同向时，a与b的夹角为0，不是锐角，故不正确；对于B，“∃x0∈R，x-x≤0”的否定应该是“∀x∈R，x2-x>0”，故不正确；12对于C，l1//l2等价于4a2=1，即a=±1122，故不正确；对于D，Q sinA>sinB，∴由正弦定理可得a>b，由于大边对大角，∴A>B，即原命题正确，∴逆否命题是真命题，故正确，故选D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查向量的夹角、特称命题的否定、两直线平行的充要条件以及正弦定理边角互化的应用，属于中档题.做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.5．已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则A．的值为（）B．C．D．【答案】D= 1(a > 0, b > 0 ) 的离心率为 ，过右焦点 F 作渐近线的垂线，垂足为 M ，B ． -C ． - = 1D ． - = 1由题意可得 e = = ①， 可得 = 1 - = ，+ b【解析】试题分析：又因为 是 与 的等比中项,所以，即 ,，解之得，所以，故选 D.【考点】1.等差数列定义与性质；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的前 项和.【名师点睛】本题考查等差数列定义与性质、等比数列的定义与性质、等差数列的前 项和，属中档题；解决等差数列与等比数列相关问题最常用的方法就是基本量法，即用首项及公差，公比 来表示已知条件，列出方程或方程组，求出就可以解决受益人问题.6．已知双曲线 x 2 y 2- a 2 b 2 3 2若 ∆FOM 的面积为 5 ，其中 O 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（）A ． x 2 - 4 y 2 5= 1x 2 2 y 2 2 5= 1x 2 y 24 5 x 2 y 216 20【答案】C【解析】运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得 F 到渐近线的距离为 b ，由勾股定理可得 OM = a ，运用三角形的面积公式，结合 a , b , c 的关系，解得 a, b ，即可求出双曲线方程．【详解】c 3 b c 2 a 2 a a 2设F (c,0 )，渐近线为 y = bx， a52可得F 到渐近线的距离为 MF =bca 2 2= b ，由勾股定理可得O M = | OF |2 - | MF |2 = c 2 - b 2 = a，所以双曲线的方程为 - = 1 ,故选 C.1因为 ∆FOM 的面积为 5 ，所以 ab = 5② ，2又a 2 +b 2 =c 2 ③，由①②③ 解得 b = 5, a = 2, c = 3，x 2 y 24 5【点睛】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.7．已知函数，若方程 在 上有且只有四个实数根，则实数 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】作出的函数图象如图所示：令得 或或⎧⎪ x 2 + 2, x ∈ [0,1)8．已知定义在 R 上的函数 f (x ) = ⎨⎪⎩2 - x 2 , x ∈ [-1,0 ) ，且 f x + 2 = f x ,若方程 f (x ) - kx - 2 = 0A ． ,1⎪B ． - , - ⎪C ． -1,- ⎪ U ,1⎪D ． - , - ⎪ U , ⎪3设直线与 在 上从左到右的第 4 个交点为 ，第 5 个交点为 ，、则∵方程在（ 上有且只有四个实数根， 即解得 .故选 B ．( ) ( )有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（）⎛ 1 ⎫⎝ 3 ⎭⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎝3 ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 1 ⎫ ⎝ 3 4 ⎭⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎝ 3 4 ⎭ ⎝ 4 3 ⎭【答案】C【解析】由 f (x + 2) = f (x )可得函数周期为 2，结合函数在 [-1,1]上的解析式，利用周期作出f (x )的函数图象,根据 y = f (x ) 和 y = kx + 2图象 交点个数判断 k 的范围.【详解】方程 f (x )- kx - 2 = 0 有三个不相等的实数根，等价于 y = f (x ) 和 y = kx + 2图象 有三个不同交点，由函数 f (x ) = ⎨ ，利用周期性作出 f (x )的函数图象，如图所示:当直线 y = kx + 2 过 (-3,1), (-1,1)时， k 的值分别为 与 1，由图可知， < k < 1 时直线 y = kx + 2 与 f (x )的图象有三个交点，∴ < k < 1 时, 方程 f (x ) - kx - 2 = 0 有三个不相等的实数根,同理,若 k < 0 ,可得 -1 < k < - 时，方程 f (x ) - kx - 2 = 0 有三个不相等的实数根,所以实数 k 的取值范围是 -1,- ⎪ U ,1⎪ ，故选 C.⎪3因为 f (x + 2) = f (x ),所以 f (x )的周期为 2，⎧ x 2 + 2, x ∈ [0,1) ⎪⎩2 - x 2, x ∈ [-1,0 )不妨设 k > 0,13131313⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎝⎭ ⎝ 3 ⎭【点睛】本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数 y = f ( x ) - g ( x ) 的零点 ⇔ 函数 y = f ( x ) - g ( x ) 在 x 轴的交点 ⇔ 方程 f ( x ) - g ( x ) = 0 的根 ⇔ 函数 y = f ( x ) 与y = g ( x ) 的交点.二、填空题9．已知复数 z 满足 1 - z 1 + z= -i ，则 z = ________.【答案】1【解析】化简原式，利用复数的乘法运算法则求得 z = i ，利用复数模的计算公式即可得结果.【详解】Q 复数 z 满足1 - z 1 + z= -i ，∴ (1- i) z = 1 + i ，∴ (1+ i)(1- i) z = (1+ i)(1+ i) ，即2z=2i，∴z=i，则z=1，故答案为1.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．在(2x-1)6的展开式中，含x3项的系数是________（请用数字作答）.【答案】-160【解析】先求出二项式(2x-1)6的展开式的通项公式，令x的指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的项的系数.【详解】(2x-1)6的展开式的通项公式为Tr+1令6-r=3⇒r=3，所以含x3的项是C3(2x)3⨯(-1)36=C r(2x)6-r⨯(-1)r=C r26-r x6-r⨯(-1)r，66=6⨯5⨯43⨯2⨯1⨯23⨯x3⨯(-1)=-160x3，∴含x3项的系数是-160，故答案为-160.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式Tr+1=C r a n-r b r；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查n各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.11．已知直线ax+by-6=0(a>0,b>0)被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为25，则ab的最大值为________.【答案】9 22几何关系，可求得外接球 O 的半径 R = r + ⎪ =2 + 1 = 5，，代入公式即可求球 O 的2【解析】由圆的方程得到圆的半径为 5 ,再由弦长为 2 5 得到直线过圆心,可得到 a 与 b 满足的关系式,再利用基本不等式即可得到结论.【详解】圆 x 2 + y 2 - 2 x - 4 y = 0 可化为 ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 5 ,则圆心为 (1,2 ) ,半径为 r = 5 ,又因为直线 ax +by - 6=0(a > 0,b > 0)被圆 x 2 + y 2 - 2 x - 4 y = 0 截得的弦长为 2 5 = 2r ,所以直线 ax +by - 6=0(a > 0,b > 0)过圆心,即 a + 2b - 6 = 0 ,化为 a + 2b = 6, a > 0, b > 0 ,∴ 6 = a + 2b ≥ 2 2ab ,当且仅当 a = 2b 时取等号,9 9 9∴ a b ≤ ,∴ a b 的最大值为 ,故答案为 .2 2 2【点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及基本不等式的应用，考查了转化思想的应用属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将弦长问题转化为直线过圆心是解题的关键.12．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 P - ABC 为鳖臑， P A ⊥ 平面 ABC ，P A = AB = 2, AC = 4 ，三棱锥 P - ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为__________.【答案】 20π【解析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且 P A ⊥ 平面 ABC ，可得 PC = 2 5 ，PB = 2 2 ．因为 V P BC 为直角三角形，可得 BC = 2 3 ，所以 PB ⊥ BC ，因此 AB ⊥ BC ，结合⎛ P A ⎫2⎝ 2 ⎭ 表面积。
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天津市南开区2017-2018学年高三第五次月考数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z 满足：(z -i )(2-i )5=，则z =（ ）A ．22--iB ．22-+iC ．22-iD ．22+i 2. 函数()21log =-+f x x x的一个零点所在区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4 3. 若0.30.33,log 3,log a b c e π===，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>4. 若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（ ）A ．23 B ．1 C.12 D ．345. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）A ．B ． C. D ．6. 如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A 32 D ．27. 设,x y ∈R ，1,1>>a b ，若3,x y a b a b ==+=，则11x y+最大值为（ ） A ．2 B ．32 C.1 D ．128.设()(32log f x x x =+，则对任意实数,,0a b a b +≥是()()0f a f b +≥的 （ ）A ．充分必要条件B ． 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷二、填空题（将答案填在答题纸上）9.已知全集U R =，{}{}|21,|12==+=-<xA y yB x x ，则()= UC A B ．10. 如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 ．11.设函数()y f x =在区间[]0,1上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有()01f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算由曲线()y f x =及直线0,1,0x x y ===所围成部分的面积S ，先产生两组（每组N 个）区间[]0,1上均匀随机数12,,...,n x x x 和12,,...,n y y y ，由此得到N 个点()(),1,2,...,i i x y i N =，再数出其中满足()()1,2,...,i i y f x i N ≤=的点数1N ，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为 ．12.已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是它的前n 项和，且369S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为 ．13.如图，在四边形ABCD 中，,3,4,AB BC AB BC ACD ⊥==∆是等边三角形，则AC BD ⋅的值为 ．14.已知函数()2ln x f x a x x a =+-，对任意的[]12,0,1x x ∈，不等式()()121f x f x a -≤-恒成立，则实数a 取值范围为 ．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若2,1,22A f b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，求a 的值.16. 某家具厂有方木料390m ，五合板2600m ，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料30.1m 、五合板22m ；生产每个书橱需要方木枓30.2m 、五合板21m .出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11,2AC BC AA D ==是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥.（1）证明：1DC BC ⊥；（2）求二面角11A BD C --的大小.18. 椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率12e =，过1F 直线椭圆于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q .试探宄：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.19. 已知数列{}n a 的前n 项和112(2n n n S a n -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭为正整数）.（1）令2n n n b a =，证明数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令121,....n n n n n c a T c c c n+==+++.是否存在最小的正整数m ，使得对于n N *∈都有24n T m <-恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.20. 已知函数()()2ln f x x x ax a R =+-∈.（1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且(]10,1x ∈，证明()()123ln 24f x f x -≥-+.天津市南开区2017-2018学年高三第五次月考数学（文）试题试题参考答案一、选择题1-4:DBAB 5-8: DDCA 二、填空题9.(]1,1- 10. 10 11.1N N 12.3116 13.7214. [),e +∞ 三、解答题15. 解：(1)()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭,2T ππω==,由222262k x k πππππ-≤-≤+，得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故()f x 的单调增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. (2)22,2sin 22,2,26623A f A A k A k k Z ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=⇒-=+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又0A π<<，23A π∴=，2222cos 7,a b c bc A a ∴=+-==16. 解：设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元.则0.10.2902600,8012000x y x y z x y x y +≤⎧⎪+≤⎪=+⎨≥⎪⎪≥⎩，可行域如图.由图可知：当直线23120z y x =-+经过可行域上的点M 时，截距120z最大，即z 最大，解方程组29002600x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 的坐标为()100,400，max 801208010012040056000z x y ∴=+=⨯+⨯=（元）.因此，生产书桌100张，书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56000元.17. 解：(1)依题设条件，在Rt DAC ∆中，由AD AC =，易知45ADC ∠= ，同理可得11145,90A DC CDC ∠=∴∠= ，从而可得1DC DC ⊥.又依题设11,DC BD DC ⊥∴⊥平面BCD ，于是有1DC BC ⊥.(2)如图，取11A B 的中点E ，连接1C E .由AC BC =知1111AC B C =，从而有等腰三角形三线合一定理，即知111C E B A ⊥，又平面111A B C ⊥平面11ABB A ，则1C E ⊥平面11ABB A .从而有1C E ED ⊥，而已知1C D BD ⊥，连结ED ，由可知ED DB ⊥，则1C DE ∠即是二面角11A BD C --的平面角,设AC a =，则1DC =；由（1）知有1BC DC ⊥，又1BC CC ⊥，故BC ⊥平面11A ACC ，于是BC AC ⊥，求得12C E a =.在1Rt C EH ∆中，11111sin ,26C E C DE C HE CD π∠==∴∠=，即二面角11A BD C --的大小为6π. 18. 解：(1)设c 2221234,2c e a c a b ABF a ==⇔=⇔=∆的周长为 221221288AB AF BF AF AF BF BF ++=⇔+++=482,1a a b c ⇔=⇔===.故椭圆E 的方程为22143x y +=.(2)由对称性可知设()()000,0P x y y >与(),0M x ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，则0.0m ≠∆=，得()22430k m -+=*，此时0002443,43km k x y kx m k m m =-=-=+=+，即43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()4,4Q k m +，若存在定点M 满足条件，则当PQ 平行x 轴时，圆也过定点M，此时得(P或(0,P ，由图形对称性知两圆在x 轴过相同的交点，点M 必在x 轴上.设()1,0M x ，则0MP MQ ⋅=对()*式的,m k 恒成立.易得()211144430kx x x m-+-+=，得11x =，故存在定点()1,0M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .参考：220031'434x x y y y k y +=⇒==⇒=-，直线()()200000313:4,4x x l y y x x Q y y -⎛⎫-=--⇒ ⎪⎝⎭，()()()()()()()0000031040113x MP MQ x x x y x x x x y -⋅=⇔--+⨯=⇔-=--* ，()*对()02,2x ∈-恒成立1x ⇔=，得()1,0M .19. 解：(1)在1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭中，令1n =，可得11112S a a =--+=，即112a =.当2n ≥时，211111112,22n n n n n n n n n S a a S S a a ------⎛⎫⎛⎫=--+∴=-=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，11122n n n a a --⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，即111221,2,1n n n n n n n n n a a b a b b ---=+=∴=+ ，即当2n ≥时，11n n b b --=. 又1121b a ==，所以数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列.(2)于是()1112,2nn n n nn b n n a a =+-⋅==∴=. （3）由（2）得()1112nn n n c a n n +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以()231111234...12222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()234111111234...122222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（1）-(2)得()231111111...122222n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111111334211122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎣⎦=+-+=- ⎪⎝⎭-3373,3324,222n n n n n n T T m m ++∴=-=-<≤-≥ ，故m 的最小值是4. 20. 解：()()2121'20x ax f x x a x x x-+=+-=>. (1)当3a =时，()2231'x x f x x-+=，令()'0f x =，有12x =或1x =，当102x <<或1x >时，()'0f x >；当112x <<时，()'0f x <.所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭. (2)由于()f x 有两个极值点12,x x ，则2210x a x -+=有两个不相等的实根，所以12121,22a x x x x +=⋅=，即()122112,2x x a x x +==，()()2212111222ln ln f x f x x x ax x x ax -=+---+ ()()()21121211121111ln ln2ln ln 201224a x x x a x x x x x x x =-+---=-++<≤，设()()22112ln ln 2014F x x x x x =-++<≤，则()()22332121'2022x F x x x x x-=--=-<， ()F x ∴在(]0,1上单调递减，所以()()31ln 24F x F ≥=-+，即()()123ln 24f x f x -≥-+ .。