高三数学11月联考试题理

2016—2017学年度“晋商四校”高三联考
本试卷满分150分考试时间120分钟
「一.选择题(5X12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上)
1.集合M ={x\x2 <2x} , A^ = {xllog2(x-l)<0},则Mp|N =
A.(1,2)
B. (1,2]
C. [1,2)
D. (0,2)
2.设a = lge,b = (lge)2,c = lg&?则
A. c>b> a
B. a>b>c
C. c>a>b D・a>c>b
3.已知数列{匕}为等比数列，且6。

13 + 2町=5兀，贝ijcosa® J的值为
4.函数y = ln|l|与y = + ]在同一平而直角坐标系内的大致图象为
5.下列命题正确的是
A,命题已/?工 + 1>3%0 的否泄是：Vxe/?,x2 + l<3x：
B.命题中，若A>B，贝iJcosA>cosB的否命题是真命题;
C.平面向量2与为的夹角是钝角的充要条件是:«S<0：
D・e = 1是函数/(x) = sin ex-cosex的最小正周期为2龙的充分不必要条件:
6.函数/(x) = sin(Q¥ + 0)(英中e>0且\(p\ < )的
图象如图所示，为了得到y = sin血的图象，
只需把y = f(x)的图象上所有点
A.向右平移"单位长度
B.向右平移彳个单位长度
C.向左平移仝个单位长度
D.向左平移殳个单位长度
6 3
7.已知宦义在R上的函数/⑴，对任意xeR,都有/(A:+2)=/(X)+/(1 )成立，若函数y = /(x-l)的图象关
于直线x=l对称，则/(2015)=
A. -2 B・ 0 C・ 2 D・ 2015
8.已知数列«-｝的前"和为®=0, 6/n+1 = a n + 2y]a n+\ +1,则a5+S4 =
A・39 B・45 C・50 D・55
9.在AA3C中，若丽•疋=5且|而—疋| = 4,则AABC面积的最大值为
A. 6 B・匕C・10 D・12
2
10.设函数/(x) = Asin(亦+ 0),xw/?(其中A>0g>0)在(兰,兰)上既无最大值，也无最小值,
6 2
且-/(-) = /(0) = /(-)>则下列结论成立的是
2 6
A.若/(X]) < /(x) < f (x2)对Vxe 7?恒成立，「则\x2一对讪=71；
B . y = 的图象关于点（一——，0）中心对称： 3
C. 函数/（X ）的单增区间为： ^ + ― + — 伙wZ ）：
_ 12 12. D. 函数y = \fM\（x e R ）的图象相邻两条对称轴之间的距离是y•
11.等差数列｛©｝前“项和为s”，已知（1 一旳耐）5—2017（5^—1） = 1
（1-«1011）5-2017（«1011-1） = -1,则
I 若/(«) = f(h) = /(c) = f(d)且 dv/?vcv 〃，给出下列 三个结论：
①dZ?cde （0”]: 9
③已知关于X 的方程/（x ）+（_i ）U_/ = 0恰有三个不同实根，若&为偶数，贝IJY 2,-:若k
17
为奇数，贝IJ/E 2,—:其中正确的结论有（）个
.
—— 2x + 2, x S 0
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大題共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知方丄讥=1币=2,且方+ 2乙与兄方一5垂直，则实数>1的值为
-r 丄・ 1 nd cos2<z
14. L!知sin a = —-cosa,贝ij --------------
2 ・/ 龙、
sin(a ----- )
4
\nx, x>0
15.已知f(x) =
jg+2"*。

‘则函数gig有一个零点•
16.设AABC的三个内角A、B、C的对边分别为“、b、c
且a sin A sin 3 + b cos' A = yfla，则角A的r取值范围为
三、解答题（本大题6小题共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
17.(本小题10分)已知/(x) = 2sin(’ +工)
2 6
(1)若向S nt = (y/3 cos —, cos —) > n = (-cos 丄,sin=),且m // n♦求/(x)的值;
4 4 4 4
（2）在AABC中，角A.B.C的对刘分别是a、b、c ,且满足（忑a-c）cosB = bcosC ,
求f（A）的取值范围.
18.（本小题12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人
口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题,
若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估讣人口总数将发生如下变化: 从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.
（1）求实施新政策后，从2016年开始到2035年，第"年的人口总数山的表达式；
(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2035年后是否需要调整政策？(说明：0.99" =(1—0.01)" q0.9).
19.(本小题12分)设AABC的三个内角A.B.C的对边分别为gb,c ,
3
且cos(B-C) + cos A =二，a2 =bc ・(1)求角A 的大小；
2
(2)若AABC的面积为4的，求AABC的周长.
20.(本小题12分)已知数列｛%｝的前〃项和S H=-^n2+kn伙wM),
且S”的最大值为8. (1)求常数k的值，并求①；
(2)对任意将数列匕｝中落入区间(-4n，,-2m)内的项的个数记为休，
// • h
若5=七竺,求数列｛q｝的前加项和7；・
21.(本小题12分)已知函数f(x) = a-\nx + b-x2的图象在点(1,/(1))处的切线
方程为x-y-\=0.
(1)求/(X)的表达式：
(2)若F(x)满足F(x) < G(x)恒成立，则称F(x)是G(x)的一个“游离承托函数”.
证明：函数g(x) = 2af(x + t\t eRRt<2,是函数/?(x) = e x + f(x+t)的一个“游离承托函数”.
22.(本小题12 分)已知函数f(x) = e x +ax , g(x) = x-e x + a
(1)若对于任意的实数X，都有/(X)>h求实数d的取值范国：
(2)令F(x) = «[t(?(x)-/(x)],且实数“H0,若函数F(x)存在两个极值点心吃，证明:0 < e2F(x{)< 4 且0 <e2F(x2)<4
2016-2017学年度“晋商四校”髙三联考
数学答案（理科）
一・选择题：「 A D A C D
三、解答题
17.(本小题10分)
解：(1) mHn <=> cos —sin —+ cos 2 — = ^-sin — + —cos —+ — = 0 , .......... 2 分 4 4 4 2 2 2 2 2
即sin
(2)因为(Jld — j cosB = bcosC ,
(V2sin A-sinC )cosB = sin BcosC
「即 >/2 sin A cos B = sin B cos C + cos BsinC = sin( B + C)
又 A4BC 中 A + 3 + C = /r ，:. >/2sin AcosB = sin A
因此A + C =手，于是j
二、填空题：13. 8 15. 2「 16.
由正弦左理得: :.cos B _x/2 _ 2
・・・/(A) = 2sin& + ”，号，故/(A)的取值范围为(1,2] 18.(本小题12份) 解：(1)当n<10时，数列｛©｝是首项为45.5,公差为0.5的等差数列， /. a H = 45.5 + 0.5 x(/? —1): ................. 2 分
当“211时，数列｛勺｝是公比为0.99的等比数列，又细=50,
r
.•.a” =50x0.99"") ................. 4 分
因此，新政策实施后第“年的人口「总数心(单位：万)的表达式为
[45 + 0.5/J J < 72 < e N 4 a n = < ................. 6 分
[50x0.99n_,° ,11 <« <20,n e/V* (2)设S”为数列匕｝的前"项和,则「从2016年到2035年共20年，由等差数列及 等比数列的求和公式得：
S R =几 + (知 + 如 + …+ 细)=477.5 + 4950x(l-O.9910) = 972.5 万 .......... 9 分 •••新政策实施到2035年年人口均值为』«48.63<49, ............................. 1]分 20
19.(本小题12分) 解：(1) •••在 AABC 中，A + B + C = ^
•••10 分
故到2035年不需要调整政策.
12分
••• cos(B - C) -cos(B + C)丄 2
由/=%可知角A 为锐角,
I (2) V S^BC = —hcsin A = = bc = \6 ,
/. cr =bc = \6, a = 4 ............... 8 分
由余弦上理：宀戻+宀2加心，及cosA = -,
(b + c)2 = a 2 +3bc = 64 , A Z? + c = 8 , ............... 11 分 •••A4BC 的周长为：a+b + c = \2 20.(本小题12分)
1 1 b
2 解：(1) S = — — n" + kn = — — (n — k)~ + — 2 2 2
当"=R 时(S”)十” & " 4 ................. 2 分
1 7 :.S n = -—n
2 +4M ,当” =1 时，e =S]=—, "2 1 1 2 9 当«>2时， .............................. 4 分
••• sinBsinC = -, 4
3 又a 2=bc,由正弦宦理得：sin 2A = - 4
又 A e (0, n}, sinA = f, …厶分
12分
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7 Q
显然仆㊁适合陽右T
9
•••数列「｛©｝的通项公式为①=—一(neN4)
2
⑵依题意有dyv”・・・2嗚v归雋,
9 加(£ + ｝呦_沪+伽
且4” = 3一〃八前加和为：4. = 一------------ =——
9
令t,… =(--m)x2"',前m和为记为:B rn,
7 5 3 1 O
则B W=-X2+-X2^-X2^-X2^...+(--,H)X2-•・・ 2曳=卜22 +1%2$ +1%才 +、，+...+ (译_m)x2曲
7 Q
/.-B m=-x2-(22+23+24+...+ 2-)-(--m)x2-
=7-4-2 1 -(--in)x2m+, =11-(11-2m)x2,n,
1-2 2
:.B炳=(ll-2m)x2'”一ll 11分
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21-（本小题12分）
解：(1)当x = l 时，y = 0,代入/(x) = a ・lnx + Z?・/得〃 =0, ........................... 「…1 分
所以 f(x) = alnx 9 f f M = -9 ................. 3 分
由切线方程知广(1) = 1,所以a = \,故f(x) = In x . ............................. 5分
(2)由题要证函数g(x) = 2af(x + t\teR^t<2,是函数h(x) = e x + f(x+t)的一个“游离承托 函数”，
只要证明当/W2时，g(x)<h(x)在公共立义域上恒成立，即证明：
当 t<2时，/z(x)一g(x) = e x -f(x + t) = e x -ln(x + t) > 0对于 Vx > -t 恒成立，
由于 t <2,x+t < x+2 , ln(x + r) < ln (A+ 2), e x - ln(x + /) > - ln(x + 2),
只要证明:e x -\n(x + 2)> 0对于Vx>-2恒成立即可. .............. 6分
证明：令<p(x) = e x 一ln(x + 2), x>—2,
则 0(x) = e x --- !—,令 k(x) = 0(x),贝ijrk'(x) = e x + -------- !~~r > 0, x + 2 (x + 2)~
•••0(X )在(_2,+oc)上单调递增，且0(_l) = [_lvO, 0(0) = 1-丄>0, e 2
曳-盅=(11-2肋 X2—11 -nr + 8/?z
2
=(ii ・2加)•:r + m 2 -8/z?-22
2
12分
1,0),使得0(心)=戶——=0成立, ........... 8分
勺+ 2
当x e (-2, x0)时，0(x) < 0 , (p(x)单调递减：
当xe(x0,+oo)时,(p\x) > 0 > <p(x)单调递增：
-0(兀)亦=0(人))=沪一】n(X。

+ 2)，
又由0(兀))=沪一
儿+ 2
,且x0 =-ln(x0 + 2) 10分
g)min = 0(如)=小一 I*(无 + 2) = —+ 兀=⑴匸- >°...... 11 分
如 + 2 x0 + 2
e x一In(x + 2) > 0 对于Vx > -2 恒成立
•'•函数g(x) = 2af(x + t).t e R\ \j <2.得证.
22・(本小题12分)
解：(1)由题：fXx) = e x+a, Kxe/?,
①当“ =0时，f (x) = e x I xe(Y\0)时,是函数h(x) = e x+f(x + t)的一个“游离承托函数S ................ 12分
................ 1分
/(x)e(OJ),不满足条件； .......... 2分
②当“>0时，f(x)=e x+a>0, ：.f(x)在/?上单调递增，
令b v -1 且b < In a , A f(b) = e b + ab < e]nn + ah = a + ab = 6/(1 + /?) < 0
A f(x) > 1不恒成立,0不满足条件；................. 3分
③当“vO时，令/(x) = 0 ,得x = ln(-iz),
当x w (yq, ln(-a))时，f\x) < 0 , /(A)单调递减；
当"(ln(p),~Ko)时,广⑴>0, /(x)单调递增；
/⑴価=/(ln(-a)) = e ln<_fl) + a ln(-«) = a\n(-a) -a................................... 4 分
由题a\n{-a}-a > 1,即：a\n(-a)-a- \ >0,
令(p{a) = a ln(—a)—a — 1,且a v 0 ,「则(p'{a) = ln(—«), 0(-1) = 0 , ............. 5 分当a e (-<x),-l)时，0(a)>0, ©(d)单调递增：
当a e (-1,0)时，0(a) vO,仅")单调递减：
••・e(a)nm =卩(一1) = 0,.・.只有。

=一1满足条件：
综上：实数a的取值范围为{一1} ................. 6分
⑵依题意，F{x) = a(xe x +a-e x -ax), F©) =(/(加一“)
由a 0,F'(x) = 0,得xe x =a ,令k(x) = xe x, k'(x) = (x +10 ,
当XW(YO,-1)时,k\x) < 0, k(x)单调递减;
当xe(-l,+oo)时，k'(x) >0, k(x)单调递增;
当兀=_1 时,k(x)max=/；(-l) = -l,
e
兀<0 时，《(兀)<0,且XT—=o,k(x) TO： X—>+oc,£(x) TP ,且&(0)=0,
•••GW (-丄,0)时，F'(x)有两个变号零点，F(x)有两个极值点，满足条件:-8分e
令 /?(%) = F r(x) = a(xe x-a),则h\x) = a(x+ \)e x.
因为函数F(x)存在两个极值点齐,兀(不妨设x,<x2),
所以心禺，是/?(x) = F,(x)的两个零点，且«e(--,0), e
令"'(x) = c(x+l)e'= 0得x = —\ :令/?'(x) = d(x+l)Q >0 得x<—1 ：
令/?'(x) = «(x+l)6,v <0Wx>-l.
所以/7(X)= F'(X)在(-<=0,-1］单调递增，在I-L+O0)单调递减，
又因为/?(0)= -«2<0,所以必有x,<-l<x2<0. ................. 9分
且F '(齐)=a(兀e- -a) = 0,(/ = 1,2),得a = x^',(/ = 1,2),
F(xJ = a(x i e x, +a-e x, -ax) = a{x, — l)(e" —a),(i = 1,2),
令/ = x i(i = 1,2), /<0良/工一1, a = te ,
此时H(/) = a(/ —1)(” _a)=/& (f —1)(” —te') =—e~! (F — 2r +/). ....................... 10 分
则H\t)=-e2t (f2-l)(2T-l).
当/<一1时，因为r-l>0,2r-l<0,所以0(/)>0,则丹(/)在(Y),—1)单调递增,
4 因为A- <-1,所以F(x1)=/7(x I)</7(-l) = —, 又F (x() = -e2x, (x,3 - 2x,2 + x,) = -e2V|x, (x, -1)2 > 0 ,所以0 <尸(州)< 刍：…]]分
当一lv/<0 时，r-l<0,2r-l<0,所以H0)<O,则H ⑴在(—1,0)单调递减，
, 、/ 、 4
z
因为一1VX2 <0,所以0 = H(0)vH(£)= F(X2)vH( j) = 丁.
4 4
综上知：0<F(x l)<—且0<F(X2)Vr，
即：Ov/F(xjv 4 且0 <,尸(勺)< 4・ ................ 12 分。