推荐学习K122018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章 点、直线、平面之间的

2.2.1直线与平面平行的判定
学习目标 1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理.2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．
知识点直线与平面平行的判定定理
思考1如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？
答案平行．
思考2如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？
答案由于直线a∥b，所以两条直线共面．直线a与平面α不相交．
梳理线面平行的判定定理
类型一直线与平面位置关系的判定
例1如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是()
A．相交B．b∥α
C．b⊂αD．b∥α或b⊂α
答案 D
解析由a∥b，且a∥α，知b与α平行或b⊂α.
反思与感悟用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：
(1)直线a在平面α外，即a⊄α；
(2)直线b在平面α内，即b⊂α；
(3)两直线a、b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．
跟踪训练1下列说法正确的是()
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥α
D．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
答案 D
解析A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内．故选D.
类型二直线与平面平行的证明
命题角度1以锥体为背景证明线面平行
例2如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AM SM
＝DN NB.
求证：MN∥平面SBC.
证明 连接AN 并延长交BC 于P ，连接SP .
因为AD ∥BC ，所以DN NB ＝AN
NP ，
又因为AM SM ＝DN NB ，所以AM SM ＝AN
NP ，所以MN ∥SP ， 又MN ⊄平面SBC ，SP ⊂平面SBC ， 所以MN ∥平面SBC . 引申探究
本例中若M ，N 分别是SA ，BD 的中点，试证明，MN ∥平面SBC .
证明 连接AC ，由平行四边形的性质可知AC 必过BD 的中点N ，在△SAC 中，M ，N 分别为SA ，AC 的中点，所以MN ∥SC ，又因为SC ⊂平面SBC ，MN ⊄平面SBC ，所以MN ∥平面SBC .
反思与感悟 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．
跟踪训练2 如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面PAD .
证明 如图，取PD 的中点G ，连接GA ，GN .
∵G ，N 分别是△PDC 的边PD ，PC 的中点， ∴GN ∥DC ，GN ＝1
2
DC .
∵M 为平行四边形ABCD 的边AB 的中点， ∴AM ＝1
2DC ，AM ∥DC ，∴AM 綊GN ，
∴四边形AMNG 为平行四边形，∴MN ∥AG . 又∵MN ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .
命题角度2 以柱体为背景证明线面平行
例3 如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点，证明：BC 1∥平面A 1CD .
证明 如图，连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．
又∵D 是AB 的中点，连接DF ， 则BC 1∥DF .
∵DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD .
反思与感悟 证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线． 跟踪训练3 如图所示，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1. (1)求证：BC 1∥平面AB 1D 1；
(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.
证明(1)∵BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.
(2)∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点，又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.
1．如果直线a平行于平面α，则()
A．平面α内有且只有一直线与a平行
B．平面α内无数条直线与a平行
C．平面α内不存在与a平行的直线
D．平面α内的任意直线与直线a都平行
答案 B
2．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案 D
解析由直线与平面平行的判定定理知．EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．
3．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________．
答案平行
解析∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，∴A1C1∥平面ACE.
4．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别是AB、PD的中点．
求证：AF∥平面PCE.
证明如图，取PC的中点M，连接ME、MF，
则FM∥CD且FM＝1
2CD.
又∵AE∥CD且AE＝1
2CD，
∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形，
∴AF∥ME.
又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，
∴AF∥平面PCE.
1．判断或证明线面平行的常用方法
(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．
(2)判定定理法：(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．
2．证明线线平行的常用方法
(1)利用三角形、梯形中位线的性质．
(2)利用平行四边形的性质．
(3)利用平行线分线段成比例定理．
课时作业
一、选择题
1．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是()
A．b∥α
B．b与α相交
C．b⊂α
D．b∥α或b与α相交
答案 D
解析由题意画出图形，当a，b所在平面与平面α平行时，b与平面α平行，当a，b所在平面与平面α相交时，b与平面α相交．
2．若l是平面α外的一条直线，则下列条件中可推出l∥α的是()
A．l与α内的一条直线不相交
B．l与α内的两条直线不相交
C．l与α内的无数条直线不相交
D．l与α内的任意一条直线不相交
答案 D
解析根据直线与平面的位置关系易判断选项D正确．
3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()
A．l∥α
B．l⊥α
C．l与α相交但不垂直
D．l∥α或l⊂α
答案 D
解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等．l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α的距离相等；l与α斜交时，也只能有两点到α的距离相等．
4．点E，F，G，H分别是空间四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面
体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是()
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析如图，由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
5．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线()
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内
答案 C
解析由平行公理知过点P作与直线a平行的直线有且只有一条，又由线面平行的判定定理得，该直线一定在平面内．
6．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面()
A．有且只有一个
B．有无数多个
C．有且只有一个或不存在
D．不存在
答案 A
解析在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的．
7．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：
①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC. 其中正确的个数有()
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由题意知，OM 是△BPD 的中位线，∴OM ∥PD ，故①正确；PD ⊂平面PCD ，OM ⊄平面PDC ，∴OM ∥平面PCD ，故②正确；同理可得：OM ∥平面PDA ，故③正确；OM 与平面PBA 和平面PBC 都相交，故④，⑤不正确．故共有3个结论正确． 8．如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 是BC 的中点，D 是AA 1上的动点，且AD
DA 1
＝m ，若AE ∥平面DB 1C ，则m 的值为(
)
A.12 B ．1 C.3
2 D ．2 答案 B
解析 如图，取CB 1的中点G ，连接GE ，DG ，当m ＝1时，AD ＝GE ＝1
2BB 1且AD ∥GE ，
∴四边形ADGE 为平行四边形，则AE ∥DG ，可得AE ∥平面DB 1C
.
二、填空题
9．过平面外一点，与该平面平行的直线有________条，如果直线m 平行于平面，那么在平面内有________条直线与直线m 平行． 答案 无数 无数
10．考查下列两个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中a 、b 为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为________．
⎭⎪
⎬⎪
⎫ b ⊂α
① a ∥b ⇒a ∥α；
⎭
⎪⎬⎪
⎫ a ∥b
② b ∥α ⇒a ∥α. 答案 a ⊄α a ⊄α
解析 根据线面平行的判定定理知，①处横线上应填a ⊄α；②处横线上应填a ⊄α.
11．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A ，E ，C
的平面的位置关系是________．
答案平行
解析如图，连接BD，与AC交于点O，连接OE.
∵OE为△BDD1的中位线，∴BD1∥OE.
又BD1⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，
∴BD1∥平面AEC.
三、解答题
12．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．
求证：PD∥平面MAC.
证明如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO，
则MO为△BDP的中位线，∴PD∥MO.
∵PD⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，
∴PD∥平面MAC.
13．如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
求证：BD∥平面FGH.
证明如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.
在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF綊GC，
所以四边形DFCG为平行四边形，
则O为CD的中点，
又H为BC的中点，所以OH∥BD.
又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
四、探究与拓展
14．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的是()
A．①③B．①④
C．②③D．②④
答案 B
解析①如图(ⅰ)，连接BC，则平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP，所以①正确．②如图(ⅱ)，连接底面正方形对角线，并取其中点O，连接ON，则ON∥AB，所以AB与平面PMN相交，不平行，所以②不满足题意．③AB与平面PMN相交，不平行，所以③不满足题意．④因为AB∥NP，所以AB∥平面MNP.所以④正确．
故答案为①④.
15．如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．
解如图，存在点M，当点M是线段AE的中点时，
PM∥平面BCE.
取BE的中点N，连接CN，MN，
则MN綊1
2AB綊PC，
所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.
因为PM⊄平面BCE，CN⊂平面BCE，
所以PM∥平面BCE.。