线性代数第二章综合练习答案

线性代数练习题 第二章 矩 阵
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综 合 练 习
一．选择题
1．设n 阶矩阵A ，B 是可交换的，即AB = BA ，则不正确的结论是 [ B ]
（A ）当A ，B 是对称矩阵时，AB 是对称矩阵 （B ）当A ，B 是反对称矩阵时，AB 是反对称矩阵
（C ）2222)(B AB A B A ++=+ （D ）22))((B A B A B A -=-+
2．方阵A 可逆的充要条件是 [ B ]
（A ）A ≠ 0 （B ）| A | ≠ 0 （C ）A * ≠ 0 （D ）| A * | ＞0
3．设n 阶矩阵A ，B ，C 和D 满足E ABCD =，则=-1)(CB [ A ]
（A ）CDADAB （B ）DA （C ）AD （D ）DABCDA 注：因E ABCD =，所以，E CDAB AB CD ==))((，所以CDA B =-1
同理E DABC =，DAB C =-1，所以=-1)(CB CDADAB C B =--11
二．填空题：
1．已知二阶矩阵M 的伴随矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4221*M
，则=M 4221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
注:二阶矩阵的用”二调 “
2．若A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=121106223211043a 可逆，则a 为 6a ≠- 三．计算题与证明题：
1． 已知)3,2,1(=α，)3/1,2/1,1(=β，设βαT A =，求n A
解： 1()()...()()
n T T T T T T T n A αβαβαβαβαβαβαβ-==
T βα＝1(1,1/2,1/3)233⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
所以111133132(1,1/2,1/3)31
1/21/33212/333/21n T n n T n n A αβαβ
----==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101010
112A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=020100301B ，A ，B 与X 满足06*1*=++-BA XA AXA ，
求X
解：||30A ≠＝所以A 可逆
*111*1*1|||||||||606060
|||||
6E A X A X A
B A A X X A B A X X B A A A A
A A A A A A A A A
B -----∴++=++=+++== 由得右乘（）X ＝－得
||3A ＝所以
2E 2E A B
X A B +=-+-1（）X ＝－（）
4 1 12E 0 3 0-1 0 39 -3 -32E 0 13 03 -1 12A A ⎛⎫
⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭-1（）=1（）=39
-9 6 -24 0 0 -13-3 -24 -8⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
1x=39
3．设n 阶矩阵A 满足062=--E A A ，试证：
（1）A 与A －E 都可逆，并求它们的逆矩阵； （2）A + 2E 和A －3E 不同时可逆 证明：
（1）
11()6|||()||6|0
6
)
6A A E E
A A E E A E
A A A
A E A E ---=-=≠-=--=可逆可逆( (2) 因O E A A =--62，所以（A + 2E ）(A －3E )= O
两边取行列式|（A + 2E ）||(A －3E )|=0,所以|（A + 2E ）|=0或|(A －3E )|=0
即A + 2E 不可逆或A －3E 不可逆
即A + 2E 和A －3E 不同时可逆。