高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 复习点拨：类比推理的命题

谈类比推理的命题 类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理；类比推理由特殊到特殊的推理，借助类比推理可以推测未知、可以发现新结论、可以探索和提供解决问题的思路和方法；因此，类比推理是一种很重要的推理，它在近年各级各类的考试中，也时有出现；本文简介类比推理的命题特点，揭示求解规律，希望对你求解此类问题能有所帮助。

1、类比概念
类比某些熟悉的概念，产生的类比推理型试题；在求解时可以借助原概念所涉及的基本方法与基本思路。

例1、等和数列的定义是：若数列{}n a 从第二项起，以后每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和；如果数列{}n a 是等和数列，且11=a ，22=a ，写出数列{}n a 的一个通项公式为；
分析：由定义知公和为3，且31=+-n n a a ，
那么)23(231--=-
-n n a a ，于是)2
3()1(2311--=--a a n n ， 因为11=a ，得21)1(23⋅-+=n n a 2、类比定理
从初中到高中我们学过的定理很多，这些定理是产生类比型问题的“沃土”。

请看：
例2、在平面几何里有勾股定理：“设ABC ∆的两边AC AB ,互相垂直，则
222BC AC AB =+。

”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥BCD A -的三侧面ADB ACD ABC ,,两两垂直，则 。

”
分析：在平面上是线的关系，在空间呢？假若是面的关系，类比一下：直角顶点所对的边的平方是另外两边的平方和，而直角顶点所对的面会
有什么关系呢？大胆一点猜测：2222ADB ACD ABC BCD S S S S ∆∆∆∆++=
事实上，如图作CD AE ⊥连BE ，则CD BE ⊥
222222222)(4
1)(4141AB AD AC AE AB CD BE CD S BCD +=+=⋅=∆ =+∆2ACD S 222ADB ACD ABC S S S ∆∆∆++
3、类比性质
从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，产生的类比推理型问题；求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键。

例3、我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心连线与该弦垂直；那么，若椭圆222222b a y a x b =+的一弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明。

分析：假若弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在，由于两线垂直，我们知道斜率之积为1-；对于方程222222b a y a x b =+，若b a =，则方程即为圆的方程，由此可以猜测两斜率之积为22a b -或22
b
a -； 于是，设弦AB 的两端点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ，中点为P ，则
=--⋅++⇒=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+12121212212222122222222222222122120)()(x x y y x x y y y y a x x b b
a y a x
b b a y a x b 22a b - =⋅⇒OP AB k k 22a b -即两斜率之积为22a
b - 4、类比方法
有一些处理问题的方法，具有类比性，结合这些方法产生的问题，在求解时，要注意知识的迁移。

例4、若点P 是正四面体BCD A -的面BCD 上一点，且P 到另三个面的距离分别为321,,h h h ，正四面体BCD A -的高为h ，则（ ）
（A ）321h h h h ++> （B ）321h h h h ++=
（C ）321h h h h ++< （D ）321,,h h h 与h 的关系不定
分析：由点P 是正三角形ABC 的边BC 上一点，且P 到另两边的距离分别为
21,h h ，正三角形ABC 的高为h ，由面积相等很快可以得到21h h h +=；于是，类比方法，平面上用面积，空间中用体积，立即可得答案为（B ）
5、类比陷阱
类比推理是一种很好、很重要的推理，为使这种推理更严谨、更完美，有时也会故意设计一些让你“误入歧途”的类比推理型陷阱题。

例5、平几中有“一个角的两边分别垂直于另一个角的两边则两角相等或互补”；在立几“当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时”，两二面角（ ）
（A ）互补 （B ）相等
（C ）互补或相等 （D ）此两二面角的关系不定
分析：平几中的这个结论有很大的误导性，建立在这个结论的基础上，很多同学也许会不知不觉“上当”误选答案（C ）；
其实，正确答案为（D ），作一个图形就可以发现结论。

借助类比推理进行命题是命题改革产生的一类新型试题，从前面的例题可以看出，命题的方式很多，可设计的命题点也很多。

面对这些试题我们要搞清楚是知识型类比还是方法型类比，不同的类型将有不同的分析与求解思路。