高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》单元汇编附答案

《平面解析几何》知识点汇总

一、选择题

1．已知双曲线22

19x y m

-=的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )

A ．34y x =?

B ．43y x =±

C ．y x =

D ．y x = 【答案】B 【解析】

根据题意,双曲线的方程为22

19x y m

-=，则其焦点在x 轴上，

直线5x y +=与x 轴交点的坐标为()5,0， 则双曲线的焦点坐标为()5,0， 则有925m +=， 解可得，16m =，

则双曲线的方程为：22

1916

x y -=，

其渐近线方程为：4

3

y x =±， 故选B.

2．已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16

【答案】C 【解析】 【分析】

设点A 、B 的坐标，利用线段AB 中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12y y +的值，即可得结果； 【详解】

抛物线2

:6C x y =中p ＝3， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），

由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3， 又线段AB 中点M 的横坐标为

12

2

y y +=5，

∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C . 【点睛】

本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．

3．已知椭圆2

2

:12

y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，

则m 的取值范围是( )

A ．33⎛- ⎝⎭

B ．,44⎛- ⎝⎭

C ．⎛ ⎝⎭

D ．⎛ ⎝⎭

【答案】C 【解析】 【分析】

设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得

002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可.

【详解】

设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.

又因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211

12y x +=，2

2

2212

y x +=，

两式相减可得

1212

1212

2y y y y x x x x -+⋅=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =.

因为点M 在椭圆C 内部，所以2

2

21m m +<，解得m ⎛∈ ⎝⎭

.

故选：C 【点睛】

本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.

4．已知抛物线x 2

＝16y 的焦点为F ，双曲线22

145

x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P

是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】C

【解析】 【分析】

由题意并结合双曲线的定义可得

1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公

式可得所求最小值． 【详解】

由题意得抛物线2

16x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22

145

x y -=的左、右焦点分别为

()()123,0,3,0F F -．

∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．

∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当

2,,F P F 三点共线时等号成立，

∴1PF PF +的最小值为9． 故选C ． 【点睛】

解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．

5．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ,设A ,B 是抛物线上的两个动点, AF BF +=, 则∠AFB 的最大值为（ ） A ．

3

π B ．

34

π C ．

56

π D ．

23

π 【答案】D 【解析】 【分析】

设|AF |＝m ,|BF |＝n ,再利用基本不等式求解mn 的取值范围,再利用余弦定理求解即可. 【详解】

设|AF |＝m ,|BF |＝n ,

∵AF BF +=,

AB ≥∴213mn AB ≤,

在△AFB 中,由余弦定理得2

2

222()2cos 22m n AB

m n mn AB

AFB mn

mn

+-+--∠=

=

2

12213222

AB mn

mn mn mn mn --=≥=-

∴∠AFB 的最大值为

23

π. 故选：D 【点睛】

本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.

6．已知直线(3)(0)y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点.若5FA FB =，则k 等于（ ） A

．

3

B ．

12

C ．

23

D

．

2

【答案】B 【解析】 【分析】 由2

(3)4y k x y x

=+⎧⎨

=⎩，得()

22226490k x k x k +-+=，()

22

464360k k ∆=-->，得21

3

k <，129x x =①，再利用抛物线的定义根据5FA FB =，得到1254x x =+②，从

而求得21x =，代入抛物线方程得到(1,2)B ，再代入直线方程求解. 【详解】

设()11,A x y ，()22,B x y ，易知1 0x >，20x >，10y >，20y >， 由2

(3)4y k x y x

=+⎧⎨

=⎩，得()

22226490k x k x k +-+=，()

22

464360k k ∆=-->， 所以2

1

3

k <

，129x x =①. 因为1112p FA x x =+

=+，2212

p

FB x x =+=+，且5FA FB =， 所以1254x x =+②. 由①②及20x >得21x =， 所以(1,2)B ，代入(3)y k x =+， 得12

k =

.