2012-2013学年第一学期期末高二数学（理科）试题及答案

2012-2013学年第⼀学期期末⾼⼆数学（理科）试题及答案
⾼⼆数学（理科）试题第1页共4页
试卷类型：A
肇庆市中⼩学教学质量评估
2012—2013学年第⼀学期统⼀检测题
⾼⼆数学（理科）
注意事项：1. 答卷前，考⽣务必⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔将⾃⼰的班别、姓名、考号填写
在答题卷的密封线内.
2. 选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答题卷上对应题⽬的答案标号涂⿊；如需要改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.
3. ⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题⽬指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案⽆效.
参考公式：球的体积公式：3
3
4R V π=
，球的表⾯积公式：24R S π=，其中R 为球的半径⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，满分40分. 在每⼩题给出的四个选项中，只有
⼀项是符合题⽬要求的.
1．命题“若x >5，则x >0”的否命题是
A ．若x ≤5，则x ≤0
B ．若x ≤0，则x ≤5
C ．若x >5，则x ≤0
D ．若x >0，则x >5 2．若a ∈R ，则“a =1”是“（a -1）（a +3）=0”的
A ．充要条件
B ．充分⽽不必要条件
C ．必要⽽不充分条件
D ．既不充分⼜不必要条件
3．双曲线
125
42
2=-y x 的渐近线⽅程是 A ．x y 425±
= B ．x y 254±= C ．x y 25±= D ．x y 5
2±= 4．已知直线l 1经过两点（-1，-2）、（-1，4），直线l 2经过两点（2，1）、（x ，6），且l 1// l 2，则x =
A ．4
B ．1
C ．-2
D ．2 5．已知p 、q 是两个命题，若“?（p ∨q ）”是真命题，则
A ．p 、q 都是真命题
B ．p 、q 都是假命题
C ．p 是假命题且q 是真命题
D ．p 是真命题且q 是假命题
⾼⼆数学（理科）试题第2页共4页
6．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离⼼率为22
，则双曲线12222=-b
y a x 的离⼼率为
A ．
26 B ．3
3
2 C ．2 D ． 3
7．将长⽅体截去⼀个四棱锥，得到的⼏何体如图所⽰，则该⼏何体的侧视图为
8．已知M 是抛物线)0(22>=p px y 上的点，若M 到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M 的横坐标为
A ．1
B ．1或4
C ．1或5
D ．4或5
⼆、填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，满分30分. 9．已知命题p ：?x ∈R ，322
=+x x ，则?P 是▲ .
10．空间四边形OABC 中，=，=，=，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N
为BC 的中点，则= ▲ .
11．抛物线2
4x y -=，则它的焦点坐标为▲ .
12．圆锥轴截⾯是等腰直⾓三⾓形，其底⾯积为10，则它的侧⾯积为▲ .
13．直线)1(-=x k y 与双曲线42
2=-y x 没有公共点，则k 的取值范围是▲ .
14．如图，半径为2的圆O 中，∠AOB =90?，
D 为OB 的中点，AD 的延长线交圆O 于点
E ，则线段DE 的长为▲ .
三、解答题：本⼤题共6⼩题，满分80分. 解答须写出⽂字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本⼩题满分12分）
三⾓形的三个顶点是A （4，0），B （6，7），C （0，3）. （1）求BC 边上的⾼所在直线的⽅程；（2）求BC 边上的中线所在直线的⽅程；（3）求BC 边的垂直平分线的⽅程.
A
B
C
D
A
B
D
E
⾼⼆数学（理科）试题第3页共4页
16．（本⼩题满分13分）
⼀个长、宽、⾼分别是80cm 、60cm 、55cm 的⽔槽中有⽔200000cm 3，现放⼊⼀个直径为50cm 的⽊球，且⽊球的三分之⼆在⽔中，三分之⼀在⽔上，那么⽔是否会从⽔槽中流出？
17．（本⼩题满分13分）
如图，四棱锥P —ABCD 的底⾯为正⽅形，侧棱P A ⊥平⾯ABCD ，且P A =AD =2，E 、F 、H 分别是线段P A 、PD 、AB 的中点. （1）求证：PD ⊥平⾯AHF ；（2）求证：平⾯PBC //平⾯EFH .
18．（本⼩题满分14分）
设⽅程0916)41(2)3(24
2
2
2
=++-++-+m y m x m y x 表⽰⼀个圆. （1）求m 的取值范围；
（2）m 取何值时，圆的半径最⼤？并求出最⼤半径；（3）求圆⼼的轨迹⽅程.
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19．（本⼩题满分14分）
如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，H 是正⽅形AA 1B 1B 的中⼼，221=AA ，C 1H ⊥平⾯AA 1B 1B ，且51=
H C .
（1）求异⾯直线AC 与A 1B 1所成⾓的余弦值；（2）求⼆⾯⾓A —A 1C 1—B 1的正弦值；
（3）设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平⾯AA 1B 1B 内，且MN ⊥平⾯A 1B 1C 1，求线段BM 的长.
20．（本⼩题满分14分）
已知点P 是圆F 1：16)3(22=++y x 上任意⼀点，点F 2与点F 1关于原点对称. 线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点．
（1）求点M 的轨迹C 的⽅程；
（2）设轨迹C 与x 轴的两个左右交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意⼀点，KH ⊥x 轴，H 为垂⾜，延长HK 到点Q 使得HK =KQ ，连结AQ 延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．
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2012—2013学年第⼀学期统⼀检测题⾼⼆数学（理科）参考答案及评分标准
⼀、选择题
⼆、填空题
9．?x ∈R ，322
≠+x x 10．212132++-
11．（0，16
1-） 12．210 13．),332()332,(+∞--∞ 14．
5
5
3
三、解答题 15．（本⼩题满分12分）
解：（1）BC 边所在的直线的斜率3
2
0637=--=
k ，（2分）因为BC 边上的⾼与BC 垂直，所以BC 边上的⾼所在直线的斜率为2
3
-. （3分）
⼜BC 边上的⾼经过点A （4，0），所以BC 边上的⾼所在的直线⽅程为
)4(2
3
0--=-x y ，即01223=-+y x . （5分）
（2）由已知得，BC 边中点E 的坐标是（3，5）. （7分）
⼜A （4，0），所以直线AE 的⽅程为
4
30
540--=--x y ，即0205=-+y x . （9分）（3）由（1）得，BC 边所在的直线的斜率3
2
=k ，
所以BC 边的垂直平分线的斜率为2
3
-，（10分）
由（2）得，BC 边中点E 的坐标是（3，5），所以BC 边的垂直平分线的⽅程是
)3(2
3
5--=-x y ，即01923=-+y x . （12分）
16．（本⼩题满分13分）
解：⽔槽的容积为264000556080=??=⽔槽V （cm 3）（4分）因为⽊球的三分之⼆在⽔中，所以⽊球在⽔中部分的体积为πππ9
125000
)250(983432331=?=?=
R V （cm 3）
，（8分）所以⽔槽中⽔的体积与⽊球在⽔中部分的体积之和为
⾼⼆数学（理科）试题第6页共
26000049
125000
2000009125000200000
=πV （cm 3），（12分）所以V
17．（本⼩题满分13分）
证明：（1）因为AP =AD ，且F 为PD 的中点，所以PD ⊥AF . （1分）因为P A ⊥平⾯ABCD ，且AH ?平⾯ABCD ，所以AH ⊥P A ；（2分）因为ABCD 为正⽅形，所以AH ⊥AD ；（3分）⼜P A ∩AD =A ，所以AH ⊥平⾯P AD . （4分）因为PD ?平⾯P AD ，所以AH ⊥PD . （5分）⼜AH ∩AF =A ，所以PD ⊥平⾯AHF . （6分）
（2）因为E 、H 分别是线段P A 、AB 的中点，所以EH //PB . （7分）⼜PB ?平⾯PBC ，EH ?平⾯PBC ，所以EH //平⾯PBC . （8分）因为E 、F 分别是线段P A 、PD 的中点，所以EF //AD ，（9分）因为ABCD 为正⽅形，所以AD //BC ，所以EF //BC ，（10分）⼜BC ?平⾯PBC ，EF ?平⾯PBC ，所以EF //平⾯PBC . （11分）
因为EF ∩EH =E ，且EF ?平⾯EFH ，EH ?平⾯EFH ，所以平⾯PBC //平⾯EFH . （13分）
18．（本⼩题满分14分）
解：（1）由042
2
>-+F E D 得：0)916(4)41(4)3(44222>+--++m m m ，（2分）
化简得：01672
<--m m ，解得17
1
<<-m . （4分）所以m 的取值范围是（71
-
，1）（5分）（2）因为圆的半径7
16
)73(71674212222+
--=++-=-+=m m m F E D r ，（7分）
所以，当73=m 时，圆的半径最⼤，最⼤半径为7
7
4max =r . （9分）（3）设圆⼼C （x ，y ），则-=+=, 14,32
m y m x 消去m 得，1)3(42
--=x y . （12分）因为171<<-m ，所以
47
20
<
--=x y （47
20<
19．（本⼩题满分14分）
解：如图所⽰，以B 为原点，建⽴空间直⾓坐标
⾼⼆数学（理科）试题第7页共4页
系，依题意得，A （22，0，0），B （0，0，0）， C （2，2-，5）
，)0,22,22(1A ， )0,22,0(1B ，)5,2,2(1C . （2分）
（1）易得，)5,2,2(--=，)0,0,22(11-=B A ，（3分）所以3
2
2
234|
|||,cos 111111=
=
>=
3
2
. （5分）（2）易得，)0,22,0(1=，)5,2,2(11--=C A . （6分）设平⾯AA 1C 1的法向量),,(z y x =，则=?=?.
0,0111C A AA m
即=+--=.
0522,022z y x y 不妨令5=x ，可得)2,0,5(=m . （7分）设平⾯A 1B 1C 1的法向量),,(z y x =，则=?=?. 0,
01111B A C A n
即=-=+--.
022,0522x z y x 不妨令5=y ，可得)2,5,0(=. （8分）于是，7
2
7
72|
|||,cos =
=
>==
<，所以⼆⾯⾓A —A 1C 1—B 1的正弦值为7
5
3. （10分）（3）由N 为棱B 1C 1的中点得，)25
,223,22(N .
设M （a ，b ，0），则)25
,223,22(b a --=，（11分）
由MN ⊥平⾯A 1B 1C 1，得=?=?.
0,
01111C A MN B A
即=?+-?-+-?-=-?-.0525)2()223()22()2
2(,0)22()22
(b a a （12分）
⾼⼆数学（理科）试题第8页共4页
解得
==.
42,22b a 故)0,4
2
,22(M （13分）因此4
1008
1
21||=
++=，即线段BM 的长为410. （14分）
20．（本⼩题满分14分）
解：（1
）由题意得，(
))
12
,F F （1分）
圆1F 的半径为4，且2||||MF MP = （2分）
从⽽12112||||||||4||MF MF MF MP F F +=+=>= （3分）所以点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中长轴24a =
，焦距2c =
则短半轴1b =，（4分）
椭圆⽅程为：2
214
x y += （5分）
（2）设()00,K x y ，则2
20014x y +=．因为HK KQ =，所以()00,2Q x y ，所以
2OQ =，（6分）所以Q 点在以O 为圆⼼，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．（7分）
⼜()2,0A -，所以直线AQ 的⽅程为()0
0222y y x x =++．（8分）
令2x =，得0082,2y D x ??
+
．（9分）
⼜()2,0B ，N 为DB 的中点，所以0042,2y N x ??
+
．（10分）
所以()00,2OQ x y =，000022,2x y NQ x x ??
=- ?+?
．（11分）
所以()()()()22
00000000000000004242222222
x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -?=-+?=-+=-+
+++ ()()0000220x x x x =-+-=．（13分）所以OQ NQ ⊥．故直线QN 与圆O 相切. （14分）。