高中数学同步教学课件 指数函数的性质与图像(二)

1．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) 【答案】D
D．(－∞，－1)
【解析】∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.
2．设23－2x＜0.53x－4，则x的取值范围是________. 【答案】(－∞，1) 【解析】∵0.53x－4＝123x－4＝24－3x，∴由 23－2x＜24－3x， 得 3－2x＜4－3x，∴x＜1.]
知识点2 指数不等式
对于形如 af(x)>ag(x)(或 af(x)<ag(x))的不等式， 当 a>1 时，转化为 f(x)>g(x)(或__f_(_x_)<_g_(_x_)_)； 当 0<a<1 时，转化为__f_(x_)_<_g_(_x_) _(或___f(_x_)_>_g_(x_)_)．
[微体验]
[方法总结] 解简单的指数不等式的一般方法
(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的 取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形 式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的形式利用函数图像求解．
C．(2，－3)
D．(2，－2)
【答案】B 【解析】令x－1＝0，得x＝1，此时y＝a0－3＝1－3＝－2， ∴函数y＝ax－1－3恒过定点(1，－2)．
2．方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则 a 的取值范围是________. 【答案】a|a≥1或a＝0 【解析】作出 y＝|2x－1|的图像， 如图，要使直线 y＝a 与图像的交点只有一个， ∴a≥1 或 a＝0.
[微体验]
1．思考辨析：
(1)函数 y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( )
(2)函数 y＝2－x 在 R 上为单调减函数．( )
(3)若π1a>π1b，则 a>b .(
)
【答案】(1)× (2)√ (3)×
2．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是 【__答__案_】__c_>.a>b 【解析】∵y＝0.8x是减函数，∴0<b<a<1. 又∵c＝1.20.8>1，∴c>a>b.
[跟踪训练 2] 若 ax＋1>1a5－3x(a>0，且 a≠1)，求 x 的取值范围．
解 ax＋1>1a5－3x⇔ax＋1>a3x－5， 当 a>1 时，可得 x＋1>3x－5，∴x<3. 当 0<a<1 时，可得 x＋1<3x－5，∴x>3. ∴当 a>1 时，x 的取值范围为(－∞，3)． 当 0<a<1 时，x 的取值范围为(3，＋∞)．
知识点3 指数函数恒过定点
函数f(x)＝kag(x)＋b(k，a，b均为常数，且k≠0，a>0，且a≠1) 恒 过 定(m点，_k_＋_ b_)_ _ _ _ _ _ ( 满 足 g ( m ) ＝ 0 ) ．
[微体验]
1．函数y＝ax－1－3的图像恒过定点坐标是( )
A．(1，－3)
B．(1，－2)
探究二 解简单的指数不等式
例 2 解下列关于 x 的不等式： (1)12x＋5≤16； (2)a2x＋1≤ax－5(a>0，且 a≠1)． 解 (1)∵12x＋5≤16，∴2－x－5≤24. ∴－x－5≤4，∴x≥－9. 故原不等式的解集为{x|x≥－9}．
(2)当 0<a<1 时，∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≥x－5，解得 x≥－6. 当 a>1 时，∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≤x－5，解得 x≤－6. 综上所述， 当 0<a<1 时，不等式的解集为{x|x≥－6}； 当 a>1 时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
[方法总结]
三类指数式的大小比较问题
(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．
(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图像解决．在同一平面直角坐 标系中画出各个函数的图像，依据底数a对指数函数图像的影响，按照 逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值 即可．
(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中 一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另 一个指数式的指数为指数．比如，要比较ac与bd的大小，可取ad为中间
【互动探究】
探究一 比较大小
例1 比较下列各组数的大小： (1)1.82.2，1.83；(2)0.7－0.3， 0.7－0.4； (3)1.90.4 ，0.92.4；(4)0.60.4 ，0.70.4.
解 (1)∵1.82.2,1.83 可看作函数 y＝1.8x 的两个函数值， 又∵1.8>1，∴函数 y＝1.8x 在 R 上为增函数．故 1.82.2<1.83. (2)∵函数 y＝0.7x 在 R 上为减函数， 又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4. (3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4. (4)∵在 y 轴右侧函数 y＝0.6x 的图像在函数 y＝0.7x 的图像的下方， ∴0.60.4<0.70.4.
4.1.2 指体的指数函数，归纳总结指数
函数的性质、单调性及特殊点．
通过对指数函数性质的学习，进一步提升数
2.会利用指数函数的性质和图像解决与 学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养.
指数函数有关的问题.
【自主学习】
知识点1 指数函数的单调性
当a>1时，函数y＝ax在R上为增函数； 当0<a<1时，函数y＝ax在R上为_减__函_数______.
[跟踪训练1] 比较下列两组数的大小：
(a－1)1.3与(a－1)2.4(a＞1且a≠2)． 解 由于a＞1且a≠2，所以a－1＞0且a－1≠1， 若a－1＞1即a＞2，则y＝(a－1)x是增函数， ∴(a－1)1.3＜(a－1)2.4， 若0＜a－1＜1，即1＜a＜2，则y＝(a－1)x是减函数， ∴(a－1)1.3＞(a－1)2.4.
探究三 指数函数性质的综合应用 例 3 已知函数 f(x)＝22xx－ ＋11. (1)证明 f(x)为奇函数； (2)求证 f(x)是 R 上的增函数； (3)求函数 f(x)的值域．