微积分同步练习参考答案

《微积分》同步练习一及其参考答案
（一）、选择题
1．()()x g x f '>'是()()x g x f >的（D ）．
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件 解：如取 ()x x f 2=，()4+=x x g ，()1,0∈x 则()()12='>='x g x f ，但()().x g x f < 反之，如取()2=x f ，()1=x g ，()+∞∞-∈,x 则()()x g x f >，但()()x g x f '='. 2．设()x x x f ln =，则()x f （A ）．
A. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0内单调减少
B. 在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,1e 内单调减少
C. 在()+∞,0内单调减少
D. 在()+∞,0内单调增加 解：（一）()+∞=,0D （二）()x x f ln 1+='； （三）令()e
x x f 1
01=⇒='.定义域内无不可导点. （四）列表判断：
x （)1
,0e
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1e y ' — + y ↓ ↑ 根据上表知应选A.
3．设()x f 在[]b a ,上连续，且()()b f a f =，但()x f 不恒为常数，则在()b a ,内（A ）． A. 必有最大值或最小值 B. 既有最大值又有最小值 C. 既有极大值又有极小值 D. 至少存在一点ξ，使().0='ξf 解：根据基本结论知：()x f 在[]b a ,上连续，则()x f 在[]b a ,上必可取到最大值和最小值.又因为()()b f a f =，故()x f 的最大值与最小值不可能都在端点处取到（否则，()x f 在[]b a ,上必恒为常数），即()x f 在()b a ,内必有最大值或最小值.
4．设()x f 在[]b a ,上有()0<'x f ，()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上（A ）． A. 沿x 轴正向下降向上凹 B. 沿x 轴正向下降向下凹 C. 沿x 轴正向上升向上凹 D.沿x 轴正向上升向下凹 5．曲线1123+-=x x y 在()2,0内（B ）．
A. 上凹且单调增加
B. 上凹且单调减少
C. 下凹且单调增加
D. 上凹且单调减少 解：（一）()+∞∞-=,D
（二）()()2231232-+=-='x x x y ，x y 6=''； （三）令2,2021=-=⇒='x x y .无不可导点.
令003=⇒=''x y ； （四）列表判断：
x （)2,-∞- （)0,2- （)2,0 ()+∞,2 y ' + — — +
y '' — —
+ +
y ↑⋂ ↓⋂ ↓⋃ ↑⋃ 根据上表知应选B. （二）、填空题
6．设()x f 在()b a ,内可导，则()0<'x f 是在()b a ,内单调_________
减少的，在________
充分条件.
7．函数()x f 在0x 处可导，()x f 在0x 取得极值的________
必要条件是()________
0.0=
'x f
8．当()x f 的二阶导数存在，()00=''x f 是曲线在()()00,x f x 为拐点的________
必要条件.
9．若在一个区间，曲线总在它的每一点的切线上方，则曲线在这个区间是
上凹的． 10．函数()401
1
≤≤+-=x x x y 在________0=x 取得最小值；在________4=x 取得最大值.
解： （一）2
)
1(2
+=
'x y ； （二）令0='y ，无解；在1-=x 处不可导（舍去）；
比较()10-=y ，()534=
y 得最小值为()10-=y ，最大值为()5
34=y . 11．若曲线()3b ax y -=在()()
3
,1b a -处为拐点，则b a ,应满足关系是.________
b a =
解：()2
3b ax a y -='；()b ax a y -=''26.
根据题意知
()01=''y 即 ()062=-b a a 所以.b a = 12．函数x x y 4
+=的单调减少区间为()________
0,2-，()________2,0. 解：
（一）()()+∞⋃∞-=,00,D ； （二）()22)2(241x
x x x y -+=-
='； （三）令2,2021=-=⇒='x x y .在定义域内无不可导点. （四）列表判断：
x （)2,-∞- （)0,2- （)2,0 ()+∞,2 y ' + — —
+
y ↑ ↓ ↓ ↑ （三）解答与证明题
13．研究下列函数的单调性． （1）x x y arctan -=
解：函数的定义域().,+∞∞-=D 因为当()+∞∞-∈,x 时，011
12
>+-='x y ， 所以x x y arctan -=在()+∞∞-,是单调增加的.
（2）())0)1
1(>+=x x
y x
函数的定义域().,0+∞=D
在x x
y )1
1(+=两边取对数得
)11l n (ln x
x y +=，即 []x x x y ln )1ln(ln -+= ①
① 两边关于x 求导得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+++='x x x x y y 111
)11l n (.1x x +-+=11)11
l n ( 故 ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-+⎪
⎭⎫
⎝⎛+='x x x y x
11)11ln(11. ② 由不等式
)0()1ln(11><+<+x x x x 知，当()+∞∈,0x 时，0>'y .所以x x
y )1
1(+=在()+∞,0是单调增加的.
（3）()
21ln x x y ++=. 解：()'++
++=
'2
2
111x
x x
x y ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'+++++
=)1(121111
2
22x x x x 函数的定义域().,+∞∞-=D 因为当()+∞∞-∈,x 时，0112
>+='x
y ，
所以()
21ln x x y ++=在()+∞∞-,是单调增加的. （4）342x x y -=. 解：
（一）()+∞∞-=,D
（二）⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-='23464223x x x x y
（三）令()2
3
,00321===⇒='x x x x f .无不可导点. （四）列表判断：
x （)0,∞- ⎪⎭⎫
⎝⎛23,0
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,23 y ' — — + y ↓ ↓ ↑
所以342x x y -=在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23,上单调减少；在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,23上单调增加.
（5）3
2
)1(x x y -=.
解：（一）()+∞∞-=,D ；
（二）3
3
13252.
35.32)1(x
x x x x y -
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+='-； （三）5
2
01=⇒='x y ，在02=x 处不可导； （四）列表判断：
x （)0,∞- ⎪⎭⎫
⎝⎛52,0
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,52 y ' + — + y ↑ ↓ ↑
所以3
2)1(x x y -=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡52,0上单调减少；在)0,∞-和⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,52单调增加.
（6） x
x y ln =
解：（一）()()+∞⋃=,11,0D ； （二）x
x y 2
ln 1
ln -=
'； （三）e x y =⇒='0；定义域内无不可导点； （四）列表判断：
x ()1,0 ()e ,1 ),(+∞e y ' — — + y ↓ ↓ ↑
所以x
x
y ln =
在()1,0和()e ,1上单调减少；在[)+∞,e 上单调增加. 14．证明下列不等式
（1）当0>x 时，x
x
x +>+1)1ln(.
证明：原命题等价于()()01ln 1>-++x x x . 令()()()[)+∞∈-++=,0,1ln 1x x x x x f ，
则()()()+∞∈>+=-++++=',0,0)1ln(111
).
1(1ln x x x
x x x f . 所以，()()()[)+∞∈-++=,0,1ln 1x x x x x f 单增.故当0>x 时
()()()()00arctan 1ln 1=>-++=f x x x x f ，即：
当0>x 时，()x
x x +>
+11ln . （2）当0>x 时，21arctan π
>+x x .
证明：令()2
1arctan π
-+=x x x f ，[)+∞∈,0x .
则 ()().,0,01
112
2+∞∈<-+=
'x x x x f 所以，()21arctan π
--=x x x f 在[)+∞,0上单增.故当0>x 时
()()0lim 21arctan =>--=+∞→x f x x x f x π，即：2
1arctan π
>+x x .
（3）当0>x 时，x x <arctan ；当0<x 时，x x >arctan .（或x x <arctan ）； 证明：令()x x x f -=arctan ，. 则 ()().,,0111
2
+∞∞-∈<-+=
'x x
x f 所以，()x x x f -=arctan 在()+∞∞-,上单增. 故
（i ）当0>x 时，
()()00=<f x f ，即：x x <arctan . （ii ）当0<x 时，
()()00=>f x f ，即：x x >arctan .
（4）当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++.
证明：令()221)1ln(1x x x x x f +-+++=，[)+∞∈,0x . 则 ()()
01ln 1ln 2=>++='x x x f ，[)+∞∈,0x .
所以，()221)1ln(1x x x x x f +-+++=在[)+∞,0上单增. 故当0>x 时
()()001)1ln(122=>+-+++=f x x x x x f ，即
221)1ln(1x x x x +>+++.
（5）当2
0π
<
<x 时，x x x 2tan sin >+.
证明：令()x x x x f 2tan sin -+=，⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈2,0πx .
则 ()2s e c c o s 2
-+='x x x f ，.2,0⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈πx .
()x
x
x x x x x f 3
2
c o s s i n 2s i n t a n .s e c 2s i n
+-=+-='' ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1c o s 2s i n 3
x x 0>，.2,0⎪⎭
⎫
⎝⎛∈πx 所以()x f '在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π单增，故当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时，()()00='>'f x f ，从而()x f 在⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π单增.所以当2
0π
<
<x 时，()()00=>f x f ，即x x x 2tan sin >+.
15．求下列函数的极值
（1）2
1x x
y +=
解法一：（一）()+∞∞-=,D ； （二）()
()()()
2
22
22
11111x x x x x y +-+=
+-=
'；
（三）1,1021=-=⇒='x x y ；无不可导点； （四）列表判断：
x ()1,-∞- 1- ()1,1- 1 ),1(+∞
y ' — 0 + 0 —
y ↓ 极小2
1-
↑ 极大21
↓
从上表可见，极小值为()211-=-y ；极大值为()2
1
1=y .
解法二：第（一）、（二）、（三）步同解法一.
（四）()()
4
25
3222124611x x x x x x y ++--='
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+-=''.
因为 ()0211>=
-''y ，所以()21
1-=-y 为极小值. 因为 ()0211<-=''y ，所以()2
1
1=y 为极大值.
（2）2332x x y -= 解：（一）()+∞∞-=,D ；
（二）()16662-=-='x x x x y ；
（三）1,0021==⇒='x x y ；无不可导点； （四）列表判断：
x ()0,∞- 0 ()1,0 1 ),1(+∞
y ' + 0 — 0 + y ↑ 极大0 ↓ 极小1- ↑
从上表可见，极小值为()11-=y ；极大值为()00=y . 解法二：第（一）、（二）、（三）步同解法一. （四）612-=''x y 。

因为 ()060<-=''y ，所以()00=y 为极大值. 因为 ()061>=''y ，所以()11-=y 为极小值。

（3）x x y ln 2= 解：（一）()+∞=,0D ；
（二）()1ln 2ln 2+=+='x x x x x y ；
（三）2
1
0-
=⇒='e x y （或0=x ，舍去）；定义域内无不可导点； （四）列表判断：
x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-21,0e 21-e ),(2
1+∞-
e
y ' — 0 +
y ↓ 极小e
21
-
↑
从上表可见，极小值为e e y 2121-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-；无极大值.
（4）x x y sin -=
解： ()+∞∞-=,D ；因为0cos 1≥-='x y ，()+∞∞-∈,x ，且驻点不能形成子区间，故x x y sin -=在()+∞∞-=,D 上（严格）单调增加，所以x x y sin -=在
()+∞∞-=,D 上无极值. （5）()32
22x x y -=
解：（一）()+∞∞-=,D ；
（二）()
()
33
12
21.
34)22.(23
2
x x x
x x x y --=--='-
； （三）101=⇒='x y ；在02=x 及23=x 不可导； （四）列表判断：
x ()0,∞- 0 ()1,0 1 ()2,1 2 ),2(+∞ y ' — 不存在 + 0 — 不存在 + y ↓ 极小0 ↑ 极大1 ↓ 极小0 ↑
从上表可见，极小值为()()020==y y ；极大值为()11=y . （6）x e y x cos = 解：（一）()+∞∞-=,D ； （二）()x x e y x sin cos -='； （三）4
20π
π+=⇒='k x y 或()4
12π
π+
+=k x （,...1,0±=k ）.
（四）x e x y .sin 2-=''
因为当42π
π+=k x 时，0.24242<-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+''+π
πππk e k y ，故
,...)1,0(.224242±==⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++k e k y k π
πππ为极大值；
又因为当()412π
π++=k x 时，()0.2412452>=⎪⎭⎫ ⎝
⎛++''+π
πππk e k y ，故
(),...)1,0(.22412452±=-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+++k e k y k π
πππ为极小值.
16．证明：如果b a 32<，则函数c bx ax x y +++=23没有极值.
证明：b ax x y ++='232，因为方程0232=++b ax x 的判别式()
0342<-=∆b a ，因此b ax x y ++='232恒大于0，即函数c bx ax x y +++=23无驻点，且无不可导点.又根据费玛定理，函数的极值点只能是驻点或不可导点.所以综上分析知，函数c bx ax x y +++=23没有极值. 17．求下列函数在所给区间上的最值 （1）[]2,2,5224-∈+-=x x x y 解：
（一）()()114443-+=-='x x x x x y ；
（二）令()()0114443=-+=-='x x x x x y ，得驻点1,1,0321-===x x x ； （三）因为()()(),132,50,41=±==±f f f ，所以，经比较：.13,4==M m （2）[]4,0,2∈+=x x x y 解：因为011>+
='x
y ，故[]4,0,2∈+=x x x y 单调增加，所以
()().84,00====f M f m
（3）⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞∈=,41,x x y x
解：
（一）().ln 1.x x y x +='；
（二）令0='y ，得驻点e
x 1=
因为当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，()0ln 1.<+='x x y x ；而当⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞∈,1e x 时，
()0ln 1.>+='x x y x
，故e e
e f 1
)1
(1=⎪⎭⎫ ⎝⎛为极小值，从而也为最小值；
又因为+∞==+∞
→+∞
→x x x x x e x ln lim lim ，所以没有最大值.
18．设()x f 满足()x x f x f 1
13=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，求()x f 的极值.
解：（一）由已知：()x
x f x f 1
13=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，（1）
得
().13x x f x f =-⎪⎭
⎫
⎝⎛（2）
由（1），（2）联立得方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-)
2(13)
1(,1
13x x f x f x x f x f
)2()1(3+⨯，立得：().381⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+
=x x x f （二）令()()()
083
3.1318122=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-='x x x x x f ，得驻点3,321=-=x x .
列表判断：
x ()3,-∞- 3- ()
3,3-
3 ),3(+∞
()x f ' + 0 — 0 + ()x f ↑ 极大43-
↓ 极小4
3
↑
从上表可见，极小值为()
4
3
3-
=-f ；极大值为()4
33=
f . 19．平面上通过点()4,1P 引一条直线，使它在两个坐标轴上截距都为正，且它们
的和最小，求这直线的方程. 解：设所求直线方程为
)0,0(1:>>=+b a b y
a x L
由题意，点()4,1P 在直线L 上，故有
14
1=+b
a ① 于是 1
4-=a a
b ②
设L 在两个坐标轴上截距之和为
()()01
4>-+
=+=a a a
a b a a f ③ 令 ()()
014
12
=--
='a a f ，得驻点3=a （或1-=a ，舍去）.
因为 ()()
3
18
-=
''a a f ，()013>=''f ，所以当3=a 时，()a f 取到最大值.此
时，由②式可算得.6=b 因此所求直线的方程为 .16
3:
=+y
x L 20．作一圆柱体体积为V ，使其表面积最小，，求圆柱体的底半径r 与高.h 解：设圆柱体的表面积为
rh r s ππ222+= ① 又由题意知 V h r =2π，即 2
r V
h π= ② 将②代入①，得 ()r
V
r r s 222+=π ③ 令 ()0242=-='r V r r s π，得唯一驻点32π
V r =. 又 ()344r V r s +
=''π；因为023>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛''πV s ，所以当32πV r =时，圆柱体的表面积最大.此时，3
4.π
V
h =.
21．判定下列曲线的拐点与凸凹性.
（1）426
2+-=x x y .
解：（一）()+∞∞-=,D .
（二）()
()
2
2
4
2112+---
='x x
x y ，()
()
3
2
4
2236+--=
''x x
x x y .
（三）令()2,0021==⇒=''x x x f .无二阶不可导点. （四）列表判断：
x （)0,∞- 0 ()2,0 2 ()+∞,2 ()f x '' + 0 — 0 +
()x f 拐点⎪⎭
⎫
⎝⎛23,0 拐点（)23,2
（2）1
1
+-=
x x y . 解：（一）()[)+∞⋃-∞-=,11,D ； （二）())1ln()1ln(21ln +--=
x x y ； ⎪⎭
⎫
⎝⎛+--='111121.1x x y y ，故 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=
'111121x x y y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=111121x x y ； ① ()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--'=
''22)1(11121111121x x y x x y y （代入①） ()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=
22
2
11)
1(1211111
4
1
x x y x x y ()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=222
11)1(12111141x x x x y ()⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+--=22)1(121x x x
y ()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--+-=22)1(121.11x x x
x x . ② （三）令2
1
01=
⇒=''x y （舍）.在12=x 及13-=x （舍）处二阶不可导. 因为当()1,-∞-∈x 时，0>''y ，所以1
1
+-=
x x y 在()1,-∞-内是凹的； 因为当()+∞∈,1x 时，0<''y ，所以1
1
+-=
x x y 在[)+∞,1内是凸的.
（3）()
2
2
12x x y -=
.
解：（一）()()+∞⋃∞-=,11,D ；
（二）()
()()3
4
2214114)1(4x x
x x x x x y -=
--+--
='；()
4
1218x x y -⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
+=''. （三）令2
1
01-=⇒=''x y .在12=x （舍）处二阶不可导. （四）列表判断：
x （)21,-∞- 21- ⎪⎭
⎫
⎝⎛-1,21 1 ()+∞,1
()f x '' — 0 + 不存在 +
()x f 拐点⎪⎭
⎫
⎝⎛-92,21 间断点
（4）53523++-=x x x y . 解：（一）()()+∞⋃∞-=,11,D ；
（二）31032+-='x x y ；.356106⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-=''x x y
（三）令3
5
0=⇒=''x y .无二阶不可导点. （四）列表判断：
x （)35,∞- 3
5
⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,35 ()f x '' — 0 +
()x f 拐点⎪⎭
⎫
⎝⎛2720,35
22．曲线d cx bx ax y +++=23在0=x 处取得极值0=y ，()1,1是拐点，求d c b a ,,,. 解：c bx ax y ++='232，.26b ax y +=''
若()1,1是拐点，则满足()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=''==='.01,11,00,00f f f f 即⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
=+=+++==.026,
1,0,0b a d c b a d c 解之得
.0,2
3
,21===-=d c b a
23．求一个四次多项式()x f ，使曲线()x f y =与x 轴相切于原点，且拐点()1,1处有一水平切线.
解：设所求多项式为()e dx cx bx ax x f ++++=234，则
()d cx bx ax x f +++='23423；().26122c bx ax x f ++='' 据题意知
()()()()()⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=''='='==,
01,01,
00,
11,00f f f f f 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧=++=+++==++++=,02612,
0234,0,1,
0c b a d c b a d e d c b a e
解之得.0,6,8,3===-==e d c b a 故所求多项式为().683234x x x x f +-= 24．求下列曲线的水平渐进线和垂直渐进先
（1）()()
3
2
11+-=x x y ；（2）()21422--=x x y ； （3）2
11x e
y --=；（4）()
2
31++
=x x
y ；
解：
（1）因为()()011lim
32
=+-∞→x x x ，故曲线()()
32
11+-=x x y 有一条水平渐进线0=y ； 注意到
()()3
2
11+-=
x x y 在1-=x 处无定义，但在其附近有定义，故1-=x 是
()()
3211+-=x x y 的间断点.又因为()()∞=+--→32
111lim x x x ，
所以直线1-=x 是曲线()()3
2
11+-=x x y 的一条垂直渐进线.
（2）因为()224214lim
22=-=--∞→x x x ，故曲线()
21
42
2--=x x y 有一条水平渐进线
2=y ；
注意到()
21
422--=
x x y 在0=x 处无定义，但在其附近有定义，故0=x 是()
21422--=x
x y 的间断点.又因为()∞=--→214lim 220x x x ，所以直线0=x 是曲线()()
3211+-=x x y 的一条垂直渐进线. （3）因为111lim
2
=--∞
→x x e
，故曲线2
11x e
y --=
有一条水平渐进线1=y ；
注意到2
11x
e y --=
在0=x 处无定义，但在其附近有定义，故0=x 是2
11x
e y --=
的间断点.又因为∞=--→2
11lim
x x e
，所以直线0=x 是曲线2
11x e
y --=
的一条垂直
渐进线.
（4）因为()10131lim 2=+=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++∞→x x x ，故曲线()231++=x x y 有一条水平渐进线1=y ；
注意到()
2
31++
=x x
y 在3-=x 处无定义，但在其附近有定义，故3-=x 是
()2
31++
=x x
y 的间断点.又因为()∞=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-→23
31lim x x x ，所以直线3-=x 是曲线()
2
31++
=x x
y 的一条垂直渐进线.
25．作出函数23
123
+-=x x y 的图形 解：
（1）函数的定义域是()+∞∞-=,D ；
（2）x x y 22-='；令022=-='x x y 得驻点2,021==x x ； 令022=-=''x y ，得.13=x
（3）列表判断：
x （)0,-∞- 0 ()1,0 1 ()2,1 2 ()+∞,2 ()x f ' + 0 — — — 0 +
()f x '' — — — 0 + + + ()x f ↑ 极大值 ↓ 拐点 ↓ 极小值 ↑
（4）曲线过极大值点()2,0，极小值点⎪⎭⎫ ⎝⎛32,2，拐点⎪⎭
⎫
⎝⎛34,1.可描点作图如下.。