2018届高考数学理科二轮总复习苏教版高考小题分项练 (14份打包) (5)

高考小题分项练5 三角函数与解三角形
1．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭
⎫π3－ωx (ω<0)的最小正周期是4π，则ω＝________. 答案 －12
解析 T ＝2π|－ω|
＝4π，∴|ω|＝12. ∵ω<0，∴ω＝－12
. 2.1－3tan 75°3＋tan 75°
的值为________． 答案 －1
解析 原式＝1－tan 60°tan 75°tan 60°＋tan 75°＝1tan (60°＋75°)
＝1tan 135°＝－1tan 45°
＝－1. 3．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝________. 答案 1＋6210
解析 因为cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫152＝265.
所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝15×12＋265×32＝1＋6210
. 4．若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos(A ＋B )＝________.
答案 ±22
解析 由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，得 tan A ＋tan B
1－tan A tan B
＝－1，即tan(A ＋B )＝－1， 所以A ＋B ＝k π＋34π，k ∈Z ，所以cos(A ＋B )＝±22.
5．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0＜x ≤π，
则f ⎝⎛⎭⎫－15π4的值为________．
答案 22 解析 f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π2
×(－3)＋3π4 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22
.
6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为____________．
答案 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4
解析 由图象知A ＝3，T 2
＝5－1＝4，所以T ＝8. 因为T ＝2πω＝8，所以ω＝π4
， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ.
因为函数f (x )的图象过点(1,3)，
所以3sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝3，即sin ⎝⎛⎭
⎫π4＋φ＝1， 所以π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π4
，k ∈Z . 又因为0<φ<π，所以φ＝π4
， 所以函数f (x )的解析式是f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.
7．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭
⎫π4＋α的值为________． 答案 －13
解析 ∵⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫α－π4＝π2
， ∴π4＋α＝π2＋⎝
⎛⎭⎫α－π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎣⎡⎦
⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13
. 8．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c .若a ＝
52
b ，A ＝2B ，则cos B ＝________. 答案 54 解析 由正弦定理，得sin A a ＝sin B b
， 又∵a ＝
52b ，A ＝2B ， ∴sin 2B 52
b ＝sin B b ，b ≠0，sin B ≠0， ∴
2cos B 5
2＝1，∴cos B ＝54. 9．函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭
⎫x －π4－1在区间(0，π)内的零点是________． 答案 7π12
解析 函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭
⎫x －π4－1的零点，即方程 2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝1的解，也就是方程cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12
的解， ∴x －π4＝2k π±π3
(k ∈Z )， 即x ＝2k π＋7π12或x ＝2k π－π12
(k ∈Z )， ∴在区间(0，π)内的零点是x ＝7π12
. 10．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1－tan 213°
，c ＝ 1－cos 50°2
，将a ，b ，c 用“＜”号连接起来为________．
答案 a ＜c ＜b
解析 a ＝1cos 6°－3sin 6°＝sin 30°cos 6°－cos 30°·sin 6°＝sin 24°，b ＝2tan 13°1－tan 213°
＝tan 26°，c ＝
1－cos 50°2＝sin 225°＝sin 25°. ∵tan 26°＝sin 26°cos 26°
，0<cos 26°＜1，∴tan 26°＞sin 26°. 又∵y ＝sin x 在(0°，90°)上为增函数，∴a ＜c ＜b .
11．函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A ，B 两点，且AB 最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间为________________．
答案 ⎣
⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) 解析 由函数y ＝tan ωx (ω>0)的图象可知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f (x )＝
2sin ⎝⎛⎭
⎫x －π6. 由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2
(k ∈Z )， 得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3
(k ∈Z )． 12．若0<α<π2，－π2
<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝________. 答案 539
解析 根据条件可得α＋π4∈⎝⎛⎭
⎫π4，3π4， π4－β2∈⎝⎛⎭
⎫π4，π2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63
， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭
⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539
. 13．在△ABC 中，若AB ＝2，AC ＝2BC ，则△ABC 的面积的最大值是________． 答案 2 2
解析 设BC ＝x ，则AC ＝2x ，
根据面积公式，得
S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2x 1－cos 2B ，
根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 2
2AB ·BC ＝4＋x 2－(2x )24x ＝4－x 2
4x
， 将其代入上式，得
S △ABC ＝x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 24x 2＝ 128－(x 2－12)216
. 由三角形三边关系，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋x ＞2，x ＋2＞2x ，
解得22－2＜x ＜22＋2， 故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2.
14．若2tan α＝3tan π8
，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π8＝________. 答案 1＋5249
解析 因为tan π4
＝2tan π81－tan 2π8＝1， 所以tan 2π8＋2tan π8
－1＝0. 又tan π8>0，则tan π8＝2－1. 又tan α＝32tan π8
，则 tan ⎝⎛⎭⎫α－π8＝tan α－tan π81＋tan α·tan π8＝12tan π81＋32tan 2π8
＝2－12＋3(3－22)＝1＋5249.。